《数据结构与算法》课件

数据结构与算法欢迎来到数据结构与算法课程本课程将带领你深入理解计算机科学中最基础且最重要的概念通过系统学习各类数据结构与算法设计，你将掌握解决复杂计算问题的核心能力无论是软件开发、人工智能还是大数据分析，数据结构与算法都是构建高效系统的基石我们将从基础概念出发，循序渐进地探索这个引人入胜的领域让我们开始这段探索计算思维奥秘的旅程，掌握改变世界的编程核心技能！什么是数据结构数据元素的集合组织数据的框架数据结构是计算机存储、组数据结构为数据提供了组织织数据的方式它是相互之框架，使得数据可以高效地间存在一种或多种特定关系被访问和修改不同的数据的数据元素的集合结构适用于不同类型的应用程序算法的基础数据结构是算法的基础精心设计的数据结构可以帮助提高算法的效率，甚至决定了某些问题是否可以高效求解逻辑结构是从具体问题中抽象出来的数据模型，描述了数据元素之间的关系；而存储结构是数据结构在计算机中的实际表示方式，关注的是如何用计算机语言实现逻辑结构算法基础概念有穷性算法必须在有限步骤内结束确定性每一步骤都有确定的含义输入输出有明确的输入和输出可行性可以用已有工具实现有效性产生正确的结果算法是一系列解决问题的明确指令，是一组有限的定义明确的步骤，用于执行特定任务或解决特定问题算法的效率通常从两个方面衡量时间复杂度和空间复杂度时间复杂度衡量算法执行所需的时间，通常用大符号表示；空间复杂度衡量算法执行过程中所需的存储空间优秀的算法应当在这两方面都表现良好O数据结构的分类线性结构树形结构元素之间一对一关系元素之间一对多关系集合结构图形结构元素之间无逻辑关系元素之间多对多关系数据结构按照逻辑关系可分为线性结构和非线性结构线性结构中，数据元素之间是一对一的关系；非线性结构中，数据元素之间存在一对多或多对多的关系从实现角度看，数据结构又可分为静态与动态数据结构静态数据结构在运行过程中大小固定不变，如数组；动态数据结构则可以根据需要动态调整大小，如链表选择合适的数据结构对于提高程序效率至关重要常见逻辑结构详解线性表树图线性表是最基本、最简单的一种数据结构，树是一种非线性数据结构，它是个结点图是最复杂的一种数据结构，由顶点集合n它是个数据元素的有限序列在线性表的有限集合在树结构中，每个结点最多及顶点间的关系集合组成在图中，任意n中，除了第一个和最后一个数据元素外，有一个父结点，可以有多个子结点，形成两个数据元素之间都可能有关系，这种关其他数据元素都有唯一的前驱和后继层次关系树广泛应用于表示具有层次关系用边表示图结构可以表示更为复杂的系的数据网络关系这些基本逻辑结构构成了数据组织的基础模型，能够满足不同应用场景的需求理解这些结构的特点和适用场景，是掌握数据结构与算法的关键一步运算与抽象数据类型（）ADT增加操作往数据结构中添加新元素删除操作从数据结构中移除元素查找操作在数据结构中定位元素修改操作更新数据结构中元素的值抽象数据类型（）是数据结构的抽象模型，定义了一组操作和这些操作的行为特征ADT ADT隐藏了数据的具体实现细节，使用者只需关注数据的逻辑特性和可执行的操作的核心理念是将数据的表示与操作分离，提供了一种从使用者角度思考数据组织的方式这ADT种抽象使得我们能够独立于具体实现来理解和设计算法，增强了代码的可维护性和重用性线性表定义与抽象有序集合元素之间保持前后顺序关系一对一关系每个元素最多有一个前驱和后继多种实现方式可以用顺序存储或链式存储实现线性表是由个数据元素组成的有限序列除了首元素和末元素外，每个元素都有唯一的前驱和后继，体现了数据之间的线性nn≥0关系线性表是最基本的数据结构之一，也是其他复杂数据结构的基础线性表有两种基本的物理存储方式顺序存储和链式存储顺序存储方式使用一段连续的内存空间，元素地址连续；链式存储方式则使用链表实现，元素存储空间可以是不连续的这两种存储方式各有优缺点，适用于不同的应用场景线性表的顺序存储结构连续内存分配随机访问优势使用一段物理位置连续的存储单元可以直接计算元素的内存地址••存储元素类型相同，大小一致支持时间复杂度的随机访问••O1需要预先分配固定大小的空间适合需要频繁查询的场景••插入删除劣势插入和删除需要移动大量元素•这些操作的平均时间复杂度为•On空间利用效率可能不高•顺序存储结构的访问公式为×，其中表示第个元素LOCi=LOC0+i sizeLOCi i的地址，表示起始位置，表示每个元素占用的空间大小这种简单的地址计LOC0size算使得顺序存储结构能够实现时间复杂度的随机访问O1顺序存储结构的主要缺点是在插入和删除操作时需要移动大量元素，时间复杂度为On另外，由于需要预先分配空间，可能会造成内存浪费或空间不足的问题线性表的链式存储结构单链表结构双链表结构单链表中每个节点包含数据域和指针域，指针域指向后继节点单链表只能从头到尾遍历，不支持反向查找双链表中每个节点有两个指针域，分别指向前驱和后继节点支持双向遍历，但需要额外的存储空间维护前驱指针链表的插入与删除操作定位前驱节点找到插入或删除位置的前一个节点修改指针指向调整前驱节点的指针指向完成操作插入完成新节点连接或删除后释放节点空间在单链表中插入节点的步骤首先创建新节点并赋值；然后将新节点的指针指向next插入位置的后继节点；最后将前驱节点的指针指向新节点整个过程只需要修改next两个指针，时间复杂度为O1删除节点的步骤则是将被删除节点的前驱节点的指针指向被删除节点的后继节next点；然后释放被删除节点的内存空间同样，删除操作也只需修改一个指针，时间复杂度为需要注意的是，虽然插入和删除本身的时间复杂度是，但定位到插O1O1入或删除位置可能需要的时间On循环链表与双向链表循环链表特点双向链表特点尾节点指向头节点形成环每个节点有两个指针字段••可以从任意节点出发遍历整个链表支持双向遍历和快速访问前驱节点••适用于需要循环处理的应用场景节点删除操作更为便捷••循环链表是一种特殊的链表，其中最后一个节点指向头节点，形成一个环这种结构使得从链表中的任何一点都能遍历整个链表，特别适合于需要循环操作的场景，如操作系统中的资源分配双向链表则在单链表的基础上，为每个节点增加了指向前驱节点的指针这种结构虽然增加了额外的空间开销，但提供了更多的灵活性，如可以方便地实现从后向前的遍历，以及在不知道前驱节点的情况下实现时间复杂度的节点删除操作O1栈结构定义与应用后进先出原则操作特性Last InFirst OutLIFO基本操作入栈和出栈是核心操作pushpop广泛应用用于表达式求值、函数调用等场景栈是一种特殊的线性表，限定仅在表的一端进行插入和删除操作这一端被称为栈顶，相对的另一端称为栈底栈的基本操作包括入栈（）和出栈（），以及获取栈顶元素和判断栈是否为空等辅助操作push pop栈结构在计算机科学中有着广泛的应用，如编译器中的语法分析、表达式求值和转换、函数调用与递归实现、浏览器的前进后退功能等理解栈的工作原理对理解程序执行流程和设计算法至关重要栈的顺序与链式实现顺序栈链式栈顺序栈使用一维数组实现，定义栈顶指针指向栈顶元素的位置入栈操作时增链式栈使用链表实现，通常将链表的头部作为栈顶入栈相当于在链表头部插入节点，top top加，出栈操作时减少出栈则删除头部节点top空间连续，便于管理动态分配空间，不会溢出••容量固定，可能溢出需要额外空间存储指针••实现简单，性能好实现稍复杂，但更灵活••选择顺序栈还是链式栈取决于具体应用场景如果能预估栈的最大容量，且空间利用率高，顺序栈是更好的选择；如果栈大小变化频繁或无法预估最大容量，链式栈则更为适合队列结构详解先进先出原则队列遵循原则，新元素添加到队尾，从队首移除元素First InFirst OutFIFO循环队列循环队列用数组实现，通过取模运算使队首和队尾在数组中循环移动，提高空间利用率阻塞队列阻塞队列在队列为空或满时阻塞操作，常用于多线程编程中的生产者消费者模型-队列是一种特殊的线性表，限定只能在一端插入，在另一端删除允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队首队列的基本操作包括入队（）和出队（），以enqueue dequeue及获取队首元素和判断队列是否为空等辅助操作循环队列是队列的一种重要变体，它解决了普通顺序队列中假溢出的问题在循环队列中，当队尾指针到达数组末尾时，如果数组前端有空闲位置，队尾指针会绕回到数组开头，形成一个逻辑上的环形结构栈与队列的应用实例括号匹配栈用于解决括号匹配问题遇到开括号时入栈，遇到闭括号时与栈顶元素比较是否匹配若匹配则栈顶元素出栈，最终栈为空则括号完全匹配这是编译器语法检查的基础技术之一任务调度队列在操作系统任务调度中扮演重要角色新进程被添加到就绪队列尾部，调度器从队列首部选择进程执行不同优先级的进程可以被分配到不同的队列，形成多级反馈队列调度算法表达式求值栈用于处理中缀表达式求值一个栈存储操作数，另一个栈存储运算符根据运算符优先级决定何时执行计算同样的原理也用于将中缀表达式转换为后缀（逆波兰）表达式栈和队列是两种最基本且实用的数据结构，在实际编程和系统设计中有着广泛的应用掌握它们的特性和应用场景，能够帮助我们设计出更高效、更优雅的算法和系统字符串的存储与基本算法顺序存储结构链式存储结构使用字符数组存储字符串每个节点存储一个或多个字符••需要额外标记字符串结束位置（如长度可动态变化，适合长度不确定••）的场景\0支持随机访问，但长度固定需要额外空间存储指针，访问效率••较低基本操作算法字符串查找（如、算法）•BF KMP字符串替换和插入•字符串比较和连接•字符串是由字符组成的有限序列，是最常用的数据类型之一在计算机中，字符串通常以顺序存储的方式实现，即使用一个字符数组来存储字符序列，并用特殊字符（如）标记字符\0串的结束字符串的基本操作包括求长度、比较、连接、复制等字符串查找是一个重要的操作，常用的算法有暴力匹配法（）和算法算法简单直观但效率较低，算法通过预处BF KMPBF KMP理模式串来避免不必要的比较，提高了匹配效率串与数组的关系串的数组实现算法简介KMP字符串在计算机中通常使用字符数组实现，每个数组元素存储一个字符顺序存储的字符串便于随机访问和比较操作，（）算法是一种改进的字符串查找算法，通过计算部分匹配表（）来避免重复比较已KMP Knuth-Morris-Pratt PMT但在进行插入和删除操作时效率较低匹配的字符，大大提高了匹配效率算法的关键在于利用已知信息跳过不必要的匹配尝试KMP数组基础数组是最基本的数据结构之一，它由一组同类型的数据元素组成，这些元素在内存中按照一定的顺序连续存储一维数组是最简单的数组形式，每个元素通过单个索引访问二维数组可以看作是数组的数组，需要两个索引来定位元素多维数组则进一步扩展了这一概念数组在内存中的排布有两种主要方式行优先（采用）和列优先（采用）在行优先存储中，数组的一行中的元素在内存中连C/C++Fortran续存储；而在列优先存储中，一列的元素在内存中连续存储对于维数组，可以通过一系列计算将多维索引转换为一维内存地址例如，对于二维数组，元素的地址计算公式为n A[m][n]A[i][j]AddressA[i][j]=BaseAddress+i*n+j*ElementSize稀疏矩阵与压缩存储稀疏矩阵特点压缩存储目的三元组表示法大多数元素为零或同一减少存储空间占用，提每个非零元素用行号列,值，非零元素数量远少高矩阵运算效率通过号值三元组表示，所有,于矩阵总元素数一般只存储非零元素及其位三元组按一定规则排序认为非零元素数量小于置信息，可大幅降低内存储，形成完整的稀疏总元素数的时，可视存使用并加速访问矩阵表示5%为稀疏矩阵三元组存储法是表示稀疏矩阵的常用方法之一它使用一个三元组数组，每个三元组包含一个非零元素的行号、列号和值通常，第一个三元组特殊处理，用于存储矩阵的行数、列数和非零元素的总数这种存储方式大大节省了存储空间除了三元组表示法外，还有其他表示稀疏矩阵的方法，如十字链表法、带行指针的三元组表等不同的表示方法适用于不同的应用场景和操作需求例如，十字链表法便于进行矩阵的行操作和列操作，而带行指针的三元组表则便于按行访问矩阵元素树结构基础基本概念层次关系树是由个结点组成的有限集树的每个元素称为结点，结点之间nn≥0合当时，称为空树在任意的连线称为边树具有明显的层次n=0一棵非空树中，有且仅有一个特定关系，根结点在顶层，其余结点按的被称为根的结点，其余结点可分连接关系分为不同层级为个互不相交的子树mm≥0专业术语树的重要术语包括父结点、子结点、兄弟结点、叶子结点、结点的度（子结点数量）、树的度（所有结点度的最大值）、树的高度或深度等树结构是一种非线性数据结构，它模拟了现实世界中的树的分支结构与线性结构不同，树中的数据元素之间存在着一对多的父子关系树结构在计算机科学中有着广泛的应用，如文件系统组织、数据库索引、语法分析等理解树的基本术语对于学习树类数据结构至关重要例如，结点的度是指该结点子结点的数量；树的度是指树中各结点度的最大值；树的高度或深度是指树中结点的最大层次叶子结点是指度为的结点，也就是没有子结点的结点0二叉树详解1二叉树定义二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构，子树有左右之分，次序不能颠倒二叉树的每个结点最多有两个子结点2满二叉树在满二叉树中，每一层的结点数都达到最大值，即第层的结点数为一棵高i2^i-1度为的满二叉树有个结点h2^h-13完全二叉树完全二叉树是指在最后一层之前的每一层都是满的，且最后一层的所有结点都尽可能地靠左排列完全二叉树的特性使其适合用数组存储4二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树上所有结点的值都小于根结点的值，右子树上所有结点的值都大于根结点的值这种性质使得二叉搜索树支持高效的查找、插入和删除操作二叉树是最常见也是最重要的树结构之一，它有许多特殊的形式，每种形式都有其特定的性质和应用场景理解不同类型二叉树的特性，对于选择合适的数据结构解决实际问题至关重要二叉树的存储与遍历存储方式遍历方式二叉树有两种常见的存储方式二叉树的基本遍历方法有顺序存储适用于完全二叉树，使用一维数组存储，按层序编号先序遍历根左右先访问根节点，再左子树，最后右子树••--链式存储更常用，每个节点包含数据域和左右子节点指针中序遍历左根右先访问左子树，再根节点，最后右子树••--后序遍历左右根先访问左子树，再右子树，最后根节点•--层序遍历与广度优先搜索根节点入队将根节点放入队列中开始遍历出队并访问从队列取出节点并访问子节点入队将当前节点的所有子节点按从左到右顺序入队重复过程重复出队访问和入队操作直到队列为空层序遍历是一种按层从上到下、从左到右访问树中所有节点的方法它是广度优先搜索（）在树结构上的具体实现与深度优先的先序、中序、后序遍历不同，层序遍历需要BFS借助队列这一辅助数据结构来实现广度优先搜索是一种图搜索算法，它从起始节点开始，先访问所有邻接节点，然后再访问下一层节点适用于寻找最短路径、网络流分析等问题在树的层序遍历中，队列确保了BFS按照层次顺序访问节点，而不会过早地深入到树的深层二叉树的应用案例表达式树哈夫曼树应用决策树表达式树是一种特殊的二叉树，用于表示算术哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，决策树是机器学习中的一种重要模型，用于分表达式在表达式树中，叶节点表示操作数广泛应用于数据压缩领域哈夫曼编码根据字类和回归问题在决策树中，内部节点表示特（变量或常量），非叶节点表示运算符中序符出现频率构建最优二叉树，为高频字符分配征测试，分支表示测试的不同结果，叶节点表遍历表达式树可得到中缀表达式，后序遍历可短编码，为低频字符分配长编码，从而实现最示最终的类别或预测值决策树通过递归地选得到后缀表达式（逆波兰表示法）优的数据压缩率择最优特征进行分割，构建出一个可解释的分类模型二叉树因其特有的结构特性，在计算机科学的多个领域中都有重要应用除了上述案例外，二叉树还被广泛用于计算机图形学（二叉空间分割树）、网络路由算法（最短路径树）以及数据库索引结构（树和树的基础）等理解这些应用有助于我们更深入地把握二叉树的本质和价值B B+平衡二叉树树AVL平衡因子概念旋转操作平衡因子是指节点的左子树高度减去右子树高度的差值在树中，任何节点的平衡因子只能树通过四种基本旋转操作来维持平衡AVL AVL是、或，否则需要通过旋转操作进行平衡调整-101左旋（旋转）针对右子树过重的情况•LL右旋（旋转）针对左子树过重的情况•RR左右旋（旋转）先左后右的复合旋转•LR右左旋（旋转）先右后左的复合旋转•RL不平衡的二叉搜索树在最坏情况下可能退化为链表，导致查找、插入和删除操作的时间复杂度从退化为树通过维持树的平衡，确保树的高度始终保持在级别，从而保证了Olog n On AVLOlog n各种操作的高效性树、树简介B B+平衡特性树结构B+树和树都保证了树的平衡，所有叶节树是树的变种，所有数据都存储在叶B B+B+B点都位于同一层，这确保了查找、插入和删节点，内部节点只存储索引，叶节点之间通除操作的稳定性能过指针连接形成有序链表多路搜索树应用场景树是一种多路平衡查找树，每个节点可以树和树主要应用于文件系统和数据库B B B+拥有多个键和子节点，这种特性使其非常适索引，能够高效处理大规模数据的存储和检合磁盘等外部存储设备索需求树和树是为磁盘等外部存储设备设计的平衡查找树与二叉树相比，它们的节点可以包含更多的键值和子节点，这种设计减少了树的高度，从而减少了磁盘操作，提高了查找BB+I/O效率树相较于树有几个重要的改进所有数据都存储在叶节点，这使得内部节点可以存储更多的键值；叶节点之间通过指针连接形成有序链表，便于范围查询；数据只出现在叶节点，B+B内部节点只存储索引，这使得树的非叶节点相对更小，可以加载更多节点到内存中这些特性使树成为数据库系统中最常用的索引结构B+B+哈希表基础哈希函数定义闭散列法（开放定址法）开散列法（链地址法）将任意长度的输入映射为固定长度的输出发生冲突时在表中寻找下一个空位每个哈希桶维护一个链表•••相同的输入总是产生相同的输出线性探测依次检查后续位置冲突的元素插入对应链表•••理想情况下，不同输入产生不同输出二次探测按二次函数间隔探测适合动态插入和删除•••常见函数除留余数法、平方取中法等双重散列使用第二个哈希函数空间开销较大但更灵活•••哈希表是一种基于哈希函数实现的数据结构，它提供了近乎时间复杂度的查找、插入和删除操作哈希表的核心思想是通过哈希函数将关键字转换为数组索引，O1从而实现直接访问哈希冲突是指不同的关键字通过哈希函数得到相同的哈希值，这是哈希技术不可避免的问题处理冲突的方法主要有两类开放定址法和链地址法开放定址法在冲突发生时，在哈希表中寻找其他位置存储冲突元素；链地址法则将所有映射到同一个哈希值的元素存储在一个链表中选择合适的哈希函数和冲突处理方法对哈希表的性能至关重要哈希表实际应用字典实现哈希表是现代编程语言中字典或映射数据结构的底层实现机制通过哈希函数，可以将任意类型的键映射到数组索引，实现键值对的快速存取这种结构广泛用于符号表、缓存系统和关联数组等应用场景数据库索引哈希索引在数据库系统中用于加速等值查询与树索引不同，哈希索引只支持等值比较（、、），不支持范围查询或排序但在等值查询场景中，哈希索引通常比其他索引B=IN=结构更高效，查询复杂度接近O1缓存系统哈希表是各种缓存系统（如和）的核心数据结构这些系统通过哈希表快速定位缓存项，大大减少了数据访问延迟由于内存访问远快于磁盘操作，基于哈希表的memcached Redis缓存能显著提升应用性能在实际应用中，哈希表的性能受到多种因素影响，包括负载因子（已存储元素数量与哈希表容量的比值）、哈希函数的质量以及冲突处理策略当负载因子增加时，冲突概率上升，查找效率下降，这时通常需要对哈希表进行扩容和重新哈希操作图结构基础图的基本概念图的类型图是由顶点集合和边集合组成的数据结构，表示为，其中是顶点集，是边图可以根据边的方向性和权重进行分类G=V,E VE集图可以用来表示各种复杂的关系和网络结构，如社交网络、交通路线、网络拓扑等有向图边有方向，从一个顶点指向另一个顶点•无向图边没有方向，顶点间的关系是双向的•顶点图中的节点•Vertex加权图边带有权值，表示顶点间关系的强度•边连接顶点的线段•Edge非加权图边不带权值，只表示顶点间是否有关系•路径顶点序列，相邻顶点间有边•环起点和终点相同的路径•图是一种非常灵活的数据结构，能够表示现实世界中的许多关系在图中，两个顶点之间如果有边相连，则称它们是邻接的或相邻的一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量；在有向图中，还区分入度（指向该顶点的边数）和出度（从该顶点出发的边数）图的存储方法邻接矩阵邻接表十字链表使用二维数组表示顶点间的关系每个顶点维护一个链表，存储与之相邻的顶针对有向图的优化存储结构•••点矩阵元素表示从顶点到顶点的边既能快速找到以顶点为起点的边•a[i][j]i j•链表节点包含相邻顶点索引和边信息优点简单直观，适合密集图•也能快速找到以顶点为终点的边••优点空间效率高，适合稀疏图缺点空间复杂度，稀疏图浪费空间•结合了邻接表的优点•OV²•缺点查询两点间是否有边需要遍历链表•图的存储结构选择取决于图的特性和需要执行的操作对于稠密图（边数接近顶点数的平方），邻接矩阵通常是更好的选择，因为它能够在时间内判断任意两O1个顶点之间是否存在边而对于稀疏图（边数远小于顶点数的平方），邻接表更为适合，它只需要的空间复杂度OV+E在实际应用中，还会根据具体需求使用其他存储结构，如边集数组（适合对边集频繁操作的场景）、邻接多重表（针对无向图的优化结构）等选择合适的存储结构可以显著提高图算法的执行效率图的遍历深度优先遍历广度优先遍历DFS BFS深度优先遍历沿着图的深度方向探索，尽可能深地搜索图的分支当一条路走到尽头时，回溯到上一个拥有广度优先遍历从起始顶点开始，先访问所有邻接顶点，然后再访问邻接顶点的邻接顶点，按照层次逐层扩展未探索边的节点，继续搜索从起始顶点开始，标记为已访问从起始顶点开始，标记为已访问并入队

1.

1.递归访问其未被访问的邻接点出队一个顶点，访问其所有未访问的邻接点

2.

2.如果邻接点都被访问，回溯到前一个顶点标记这些邻接点并入队

3.

3.重复直到所有顶点被访问重复直到队列为空

4.

4.图的遍历是许多图算法的基础，如路径搜索、连通性分析、拓扑排序等通常使用递归或栈实现，适合寻找路径、判断连通性等；则通常使用队列实现，适合寻找最短路径、网络爬虫等应用DFS BFS在实际应用中，还需要处理图不连通的情况，通常通过设置外层循环，遍历所有未被访问的顶点作为起点，确保图中的每个顶点都能被访问到此外，为了避免重复访问，常使用标记数组或访问集来记录已访问的顶点最短路径算法初始化设起点到自身距离为，到其他顶点的距离为无穷大创建优先队列，包含所有顶点和它们s0到起点的距离，并标记所有顶点为未访问状态选择顶点从优先队列中取出距离起点最近且未访问的顶点，标记为已访问若队列为空或提取的u顶点距离为无穷大，算法结束松弛操作遍历顶点的所有邻接点，如果通过到达的距离（即）小u vu vdist[u]+weightu,v于当前记录的，则更新并调整优先队列dist[v]dist[v]重复过程重复选择顶点和松弛操作直到所有顶点都被访问或无法找到更短路径最终数组包含从起点到所有其他顶点的最短距离dist算法是解决单源最短路径问题的经典算法，适用于所有边权值为非负数的图该算法的Dijkstra核心思想是贪心策略，每次选择当前与起点距离最近的未访问顶点，然后通过这个顶点尝试更新其他顶点与起点的距离算法在实际中有广泛应用，如导航系统中的路径规划、网络路由协议、社交网络中的六Dijkstra度分隔计算等对于有负权边的图，可以使用算法或算法来解决最短Bellman-Ford Johnson路径问题最小生成树算法算法算法Prim Kruskal算法从一个起始顶点开始，不断选择连接树内顶点和树外顶点的最小权值边，逐步扩展生成树，直到包含所有顶点算法按边的权值从小到大排序，依次添加不形成环的边，直到构成一棵包含所有顶点的树Prim Kruskal选择一个起始顶点加入树中将所有边按权值升序排序

1.

1.选择权值最小的边，连接树内顶点和树外顶点依次选择权值最小的边

2.

2.将新顶点加入树中如果边不形成环，则加入生成树

3.

3.重复步骤直到所有顶点加入重复步骤直到选择条边

4.2-

34.2-3n-1拓扑排序构建有向无环图确保图中不存在环路，否则无法进行拓扑排序计算入度统计每个顶点的入度（指向该顶点的边数）入度为零顶点入队将所有入度为零的顶点加入队列处理顶点并更新出队顶点并输出，减少其邻接点的入度，有入度变为零的顶点入队拓扑排序是针对有向无环图的一种排序算法，它将所有顶点排序，使得所有的有向边都从DAG排序靠前的顶点指向排序靠后的顶点拓扑排序的结果不唯一，但都满足依赖关系的约束拓扑排序广泛应用于描述依赖关系的场景，如任务调度、编译顺序确定、课程安排等例如，在编译系统中，模块之间存在依赖关系，拓扑排序可以确定正确的编译顺序；在项目管理中，拓扑排序可以用来规划任务执行顺序，确保依赖任务先完成排序算法概览平均时间复杂度最差时间复杂度空间复杂度冒泡排序与选择排序冒泡排序选择排序冒泡排序是一种简单直观的排序算法，它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就交换它们，直到没有选择排序是一种简单直观的排序算法，它的工作原理是每次从待排序数列中选出最小（或最大）的一个元素，放在已排序序列的末尾，再需要交换的元素为止直到全部待排序的数据元素排完for i=1to n-1for i=0to n-1for j=0to n-i-1min=iif a[j]a[j+1]for j=i+1to n-1swap a[j]and a[j+1]if a[j]a[min]min=jswap a[i]and a[min]插入排序与希尔排序插入排序插入排序通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入插入排序分为直接插入排序和折半插入排序两种直接插入排序逐个比较找到插入位置，而折半插入排序使用二分查找定位插入位置，可以减少比较次数希尔排序希尔排序是插入排序的一种改进版本，它通过比较相距一定间隔的元素来工作希尔排序的核心思想是使数组中任意间隔为的元素都是有序的通过不断减小间隔，最终用直接插h h入排序将数组排序希尔排序的关键在于选择合适的增量序列，常用的有希尔增量、增量等Hibbard性能对比插入排序对于小规模或接近有序的数据集表现良好，时间复杂度为，但在最好情况下（已排序）可达到希尔排序通过分组插入的策略，大幅提升了插入排序的效率，特On²On别是对大规模乱序数组希尔排序的时间复杂度与增量序列有关，一般在左右On log²n插入排序是一种稳定的排序算法，它的工作方式类似于我们在打牌时整理手中的牌希尔排序则是第一个突破的排序算法，尽管它不是稳定的排序方法，但在实际应用中，希尔排序通常比同样复杂度的其他排序算法更快，尤其是对中等规On²模的数据排序快速排序选择基准元素从数组中选择一个元素作为基准（）pivot分区操作将数组重新排列，使基准左侧元素都小于它，右侧都大于它递归排序子数组对基准左右两侧的子数组递归应用快速排序快速排序是一种高效的排序算法，采用分治法（）策略其基本思想是通过一次排序将数据分割成独立的两部分，其中一部分的所Divide andConquer有数据都比另一部分的所有数据小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行基准元素的选择对快速排序的性能至关重要常见的选择策略包括选取第一个元素、选取最后一个元素、选取中间元素、随机选取或三数取中法（取首、尾、中三个元素的中值）不同的选择策略在面对不同分布的数据时，性能表现也不同例如，如果总是选择第一个元素作为基准，那么对于已排序的数组，快速排序的时间复杂度会退化为On²快速排序的平均时间复杂度为，最坏情况下为，但通过随机化技术可以避免最坏情况的出现快速排序是不稳定的排序算法，但它的高效性On log n On²使其成为实际应用中最常用的排序算法之一归并排序分解将原始数组不断二分，直到每个子数组只包含一个元素（此时视为已排序）2合并将两个已排序的子数组合并成一个更大的已排序数组自底向上3重复合并步骤，直到所有子数组合并完成，得到最终排序结果归并排序是一种稳定的排序算法，它的核心思想是分治法，将大问题分解为小问题解决归并排序的关键步骤是合并两个已排序的子数组，这一步骤采用了线性扫描的方式，比较两个子数组的元素并按顺序放入辅助数组中，最后将辅助数组的元素复制回原数组归并排序的时间复杂度在所有情况下都是，这使它在最坏情况下表现优于快速排序但归并排序需要额外的空间来存储辅助数组，这是它相对于原地排序算法（如快速排序）的On logn On一个缺点在实际应用中，归并排序常用于外部排序，即数据太大无法全部加载到内存中的情况堆排序构建堆提取堆顶将无序数组构建成大根堆或小根堆交换堆顶元素与堆尾元素调整堆缩小堆规模重新调整剩余元素维持堆性质将堆的大小减一，排除已排序元素堆排序是一种基于比较的排序算法，它利用堆这种数据结构来进行排序堆是一种特殊的完全二叉树，大根堆的每个父节点值都大于或等于其子节点值，小根堆则相反堆排序的基本思想是先将待排序的数组构建成一个堆，然后利用堆的性质进行排序堆排序的时间复杂度在所有情况下都是，且它是一种原地排序算法，不需要额外的存储空间尽管堆排序在理论上优于冒泡排序、插入排序On logn等的算法，但在实际应用中，由于其对缓存不友好，通常比快速排序慢不过，堆排序在某些场景下很有用，如求解问题On²CPU TopK计数、桶、基数排序计数排序桶排序基数排序计数排序是一种非比较型排序算法，它通过桶排序将数据分散到有限数量的桶中，每个基数排序是一种多关键字排序算法，它按照统计小于等于每个元素的个数来确定该元素桶再分别排序（可能使用其他排序算法）关键字的位数进行排序基数排序可以从最在排序后数组中的位置计数排序适用于已当数据分布均匀时，桶排序的时间复杂度接高位或最低位开始，最常用的是从最低位开知范围的整数排序，且当数据范围不大时效近于桶排序适合排序均匀分布的数据，始的（）基数On LSDLeast SignificantDigit率极高计数排序的时间复杂度为，且对象类型不限于整数排序基数排序的时间复杂度为×，其On+k Onk其中是数据范围中是数字的位数k k这三种排序算法都是非比较排序，它们通过特殊的技巧绕过了基于比较的下界计数排序依赖于数据范围；桶排序依赖于数据分布；On logn基数排序则适用于固定位数的整数或字符串在合适的场景下，这些算法可以实现线性时间复杂度，大大优于传统的比较排序算法查找算法基础顺序查找二分查找顺序查找是最简单的查找算法，它从头到尾依次检查集合中的每个元素，直到找到目标元素或检查完所有元素二分查找是一种高效的查找算法，它针对已排序的数据集，通过不断缩小查找范围来定位目标元素时间复杂度时间复杂度•On•Olog n空间复杂度空间复杂度（迭代实现）或（递归实现）•O1•O1Olog n优点适用于任何数据集，无需预先排序优点高效，适合大规模有序数据••缺点效率低，不适合大规模数据缺点要求数据必须有序且支持随机访问••平衡查找树与哈希查找二叉查找树平衡二叉查找树每个节点的左子树中所有节点值均小于该节点如树、红黑树等，通过旋转等操作保持树••AVL值的平衡每个节点的右子树中所有节点值均大于该节点查找、插入、删除操作均能保证的时••Olog n值间复杂度平均查找时间复杂度为，最坏情况下适用于需要动态维护的有序数据集•Olog n•可退化为On在数据库索引等领域有广泛应用•插入和删除操作可能导致树不平衡•哈希查找通过哈希函数将关键字映射到数组索引•理想情况下查找复杂度为•O1哈希冲突处理方式包括开放地址法和链地址法•适用于快速查找但不要求有序的场景•平衡查找树和哈希表是两种高效的查找数据结构，各有优势平衡查找树保持元素的有序性，支持范围查询和有序遍历；而哈希表则提供了接近常数时间的查找效率，但无法保持元素的有序性在实际应用中，选择合适的数据结构需要考虑具体需求例如，如果需要频繁地按范围查询或有序访问数据，平衡查找树可能是更好的选择；而如果只关心单点查询的效率，哈希表则更为适合现代编程语言中的集合类通常根据不同的使用场景提供了不同的实现，如的（基于红黑树）和（基于哈希表）C++map unordered_map动态规划算法基础问题分解将原问题分解为子问题，确保子问题具有重叠性和最优子结构性质定义状态明确定义状态及其含义，确定状态表示方法状态转移方程找出状态之间的递推关系，表达成数学方程计算顺序确定自底向上或自顶向下的计算顺序，避免重复计算动态规划是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决问题的算法策略它的核心思想是通过存储子问题的解来避免重复计算动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，即问题的最优解包含其子问题的最优解背包问题是动态规划的经典应用之一在背包问题中，我们有个物品，每个物品有一定的重量0-1n和价值，需要在背包容量限制下选择物品使总价值最大通过定义状态表示前个物品放入容DP[i][j]i量为的背包中的最大价值，可以得到状态转移方程j DP[i][j]=maxDP[i-1][j],DP[i-1][j-类似地，最长公共子序列、编辑距离等问题也可以通过动态规划高效解决weight[i]]+value[i]贪心算法导论贪心思想活动选择问题在每一步选择中都采取当前状态下最好的选有个活动，每个活动有开始时间和结束时间••n择（局部最优解）目标是安排最多的互不冲突的活动•希望通过局部最优选择最终得到全局最优解•贪心策略按活动结束时间排序，每次选择•不回溯或修改之前的选择结束最早且不冲突的活动•计算速度快，实现简单这种贪心策略可以证明得到最优解••最小硬币兑换给定不同面值的硬币和一个总金额•目标是使用最少的硬币凑出总金额•贪心策略每次尽可能使用最大面值的硬币•注意对于某些货币系统，贪心算法可能不会得到最优解•贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好的选择，不考虑全局的算法设计范式与动态规划不同，贪心算法不会重新考虑之前的选择贪心算法的适用条件是问题具有贪心选择性质和最优子结构性质并不是所有问题都适合用贪心算法解决在一些问题中，局部最优解不一定导致全局最优解例如，在最小硬币兑换问题中，如果硬币系统为，要凑出总金额，贪心算法会选择共枚硬币，而最优解{1,3,4}64+1+13是共枚硬币因此，在应用贪心算法前，需要证明其正确性3+32分治算法与递归分解将原问题分解为若干个规模较小的相同子问题解决递归地解决各个子问题合并将子问题的解组合成原问题的解分治法（）是一种算法设计范式，它将一个复杂问题分解为多个相似或相同的子问题，递归地解决这些子问题，然后将结果合并Divide andConquer以获得原问题的解分治法的特点是子问题相互独立，这与动态规划处理的重叠子问题不同快速排序和归并排序是分治法的两个典型应用快速排序先选择一个基准元素将数组分为两部分，然后递归地对这两部分进行排序；归并排序则将数组不断二分，直到只剩单个元素，然后合并已排序的子数组其他常见的分治算法应用包括二分搜索、大数乘法算法、矩阵乘法的算Karatsuba Strassen法等递归是实现分治算法的自然方法，但需要注意控制递归深度，避免栈溢出在某些情况下，可以通过迭代方法代替递归，以提高效率和降低空间复杂度算法复杂度分析数据规模nO1Olog nOn OnlognOn^2性能优化与工程实践1问题分析深入理解问题需求和特点，包括数据规模、数据特征、时间和空间限制等算法选型根据问题特点选择合适的数据结构和算法，权衡时间效率和空间消耗代码优化优化实现细节，如消除不必要的计算、利用缓存局部性、减少函数调用开销等测试与评估全面测试算法在不同场景下的表现，使用性能分析工具定位瓶颈在实际工程中，算法和数据结构的选择需要考虑多方面因素，而不仅仅是理论复杂度例如，对于小规模数据，简单的插入排序可能比理论上更优的快速排序更快；对于频繁进行范围查询的场景，树可能B+比哈希表更适合，尽管后者在单点查询上更快大数据处理是一个典型的案例，传统的算法在面对或级数据时可能无法直接应用在这种情况下，TB PB可能需要采用分布式算法、数据分片、并行计算等技术例如，模型通过将大任务分解为多MapReduce个可并行执行的小任务，实现了大规模数据的高效处理另外，针对特定问题的近似算法和概率算法也是大数据处理中常用的策略，它们牺牲一定的精确度来换取更高的效率总结与拓展数据结构与算法的关系实际应用价值数据结构是算法操作的对象，而算法是对数据结良好的数据结构和算法设计能显著提高程序效率，构进行操作的方法两者相辅相成，共同构成了减少资源消耗，支持更大规模的数据处理和更复程序设计的基础杂的功能实现未来发展方向人工智能中的应用量子算法、生物计算、认知计算等新兴领域正在机器学习和深度学习算法大量借鉴了传统数据结拓展传统算法的边界，为解决复杂问题提供新思构与算法思想，如决策树、图神经网络等高效路的算法是系统的核心组成部分AI学习数据结构与算法不仅是掌握一系列技术工具，更是培养一种解决问题的思维方式通过系统学习，我们能够将复杂问题分解为可解决的子问题，选择合适的数据表示和处理方法，从而设计出高效的解决方案在人工智能领域，传统的数据结构与算法知识扮演着重要角色例如，决策树算法是机器学习中的基础模型；图算法广泛应用于社交网络分析和推荐系统；动态规划方法则应用于序列模型和强化学习理解这些算法的本质和局限性，有助于我们更好地开发和应用人工智能技术，推动智能计算的进一步发展课后思考与练习为了巩固所学知识并提升实践能力，建议参与各类在线（）平台的编程练习、、牛客网等平台提供OJ OnlineJudge LeetCodeCodeForces了大量分级的算法题目，从基础到高级，涵盖了各种数据结构和算法的应用场景定期参与这些平台的竞赛也是提升能力的好方法对于希望深入学习的同学，推荐阅读以下经典教材《算法导论》提供了算法设计与分析的理论基础；《数据结构与算法分析》系列从实用角度介绍了各种数据结构的实现；《编程珠玑》和《算法》则提供了更多实际问题的解决思路和技巧最后，算法学习是一个持续的过程，建议建立学习小组，定期讨论和分享解题思路；同时，将算法知识应用到实际项目中，才能真正理解其价值和局限性祝各位在数据结构与算法的学习道路上取得进步！。