人教A版必修二单元测试本册综合复习与测试（含解析）

人教版必修二单元测试综合复习与测试A

一、选择题

1.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位C）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）甲_______9861130A.

①③B.

①④C

②③D.

②④

2.复平面内表示复数z=i（-2+i）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限

3.如图，在矩形ABC中，AB=后,BC=2,E为8C的中点，点/在边8上.若丽・#=后,A.2-V2B.1C.V2D.2则丽•加的值是（）

44.已知向量=（1㈤,〃=（-1,3）.若向量为+〃与向量〃平行，则％的值为（）A.-A.-3B.0C.

35.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”31，311sA111P（B^=-x1--则p

（4）=—X—x1——=—,出）=—X—x1——=—，X——=,V374I221644I2）32v27424J323113则有尸（为=尸

（4）+尸（6+网名人上+上+工=3,所以比赛结束时,甲恰好赢三盘32321616棋的概率为

1618.答案

（1）见解析

（2）余弦值为工4,B解析

（1）假设AE与尸3共面，设平面为a，所以Awa,E Ewa,所以平面a即为平面ABE,所以平面45E,这与卜仁平面AB石矛盾,所以AE与PB是异面直线.

（2）取BC的中点凡连接E凡AF,则EF//PB,所以/4E户（或其补角）就是异面直线AE与P8所成的角.因为/BAC=60o,Q4=AB=AC=2,B4_L平面ABC,所以AF=®AE=REF=e,AE2+EF2-AF22+2—31cos/ALEF------------------------=------j=；==—,2・AE・EF2xV2x/24故异面直线AE与PB所成角的余弦值为

419.答案

（1）C=工3⑵c=6解析

（1）m・〃=sinA・cos3+sin3・cosA=sin（A+3）,对于△ABC,A+8=7i-C0vCv7i,所以sin（A+3）=sin C,所以帆•〃=sin C,又〃=sin2C，所以sin2C=sinC,cosC=，，2又因为£0,兀，所以=工.32由sin AsinC,sin8成等差数列，可得2sinC=sin A+sin3,由正弦定理得2c=a+UUUUUUUIU UUUL1因为CA・A3—AC=18,所以C4・C3=18,HP abcosC=lS,ab=

36.由余弦定理得=a2+/2-2abcosC=a+b2-3ab,所以/=4c之一3x36,/=3,所以c=

6.B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

6.已知复数Z是Z的共飘复数，则三的虚部为（）（）1-11-1A.2B.2i C.-2D,-2i

7.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，左，平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是（）o工N.PB AD

8.平面Q4BJ_平面PBCC直线BC//平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°

8.从甲袋中摸出1个红球的概率是1,从乙袋中摸出1个红球的概率是工，从两袋中各摸出1个球,32则;是（）A.2个球都不是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率

二、多项选择题

9.下列说法正确的有（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是

0.1B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若样本数据玉，x,...，不的标准差为8,则数据2苞—1,2%-1,2%0-1的标准差为

322210.在中，BC=2，边上的中线45=2,则下列说法正确的有（）B.AC2+AB2=10C.-cosAl D.的最大值为30°

511.4支球队进行单循环比赛任意两支球队恰进行一场比赛，任意两支球队之间获胜的概率都是,.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小的顺序排列，成绩相同则名2次相同.下列结论正确的是A.恰有4支球队并列第一为不可能事件B.有可能出现恰有3支球队并列第一C.恰有2支球队并列第一的概率为‘4D.只有1支球队为第一名的概率为,2

三、填空题

12.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22c.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据记录数据都是正整数.

①甲地5个数据的中位数为24,众数为22；

②乙地5个数据的中位数为27,总体均值为24；

③丙地5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为108则肯定进入夏季的地区有.填正确答案的序号

13.若，-=1+历，其中小〃都是实数，i是虚数单位，则|々+为|=.1+i

14.复数z=l+2i3-i,其中i为虚数单位，则z的实部是o

四、解答题

15.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面A3CD是菱形，ZBAD=60°,△尸是正三角形，E为线段43的中点，PF=AFCA

0.1求证平面平面P3E_2是否存在点「使得吃楂锥

3.幺石=3暝极锥D PM若存在，求出力的值；若不存在，请说明理8由.3若平面B4D_L平面ABC，在平面PBE内确定一点H,使CH+FH的值最小，并求此时处BP的值.

16.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，石为SO的中点.1证明SB〃平面ACE；2若S4_L平面A5C7,证明SCA.BD.

317.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为一，由于心4态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为一，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.21求第四盘棋甲赢的概率2求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.

18.如图所示，三棱锥P—ABC中，ABC.ZBAC=60°.PA=AB=AC=2E是PC的中点.9P⑴求证AE与P3是异面直线.⑵求异面直线AE与PB所成角的余弦值.

19.已知在ZvlBC中，角A,B,的对边分别为a,h,c,向量帆=因1124刈113,〃=80氏0024,mn=sin2C.1求角的大小.UUUUUUUIU2若sin Asincsin5成等差数列，且C4・A3—AC=18,求c边的长.参考答案

1.答案B解析

2.答案C解析

3.答案C解析因为击=拓+加，AB AF=AB AD^-DF=AB AD^AB DF=AB DF=y]2\DF\=y/2,所以I市1=1，\CF\=^2-1,所以AB CF+BE BC=-V2/2-^E BF=^B+BE BC+CF=A1+1x2=后,故选C.

4.答案A解析・・・向量Q=l,x,力=-1,3,・•.加+=l,2x+

3.又向量2〃+与向量b平行，.・.3=-2x-3,解得x=-

3.故选A.

5.答案C解析从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误.故选C.

6.答案C解析由题意得z=3+^^=3—1=21+1+i=i+i+i=i+2i,.・・^=l—2i,・•二的虚部1-i1-i21-i il-il+i为-

2.故选C.

7.答案D解析若必，AD,则ABLAD,与NE4D=60矛盾，A错误；平面Q4B_L平面P8D故平面P43不垂直于平面P3GB错误;8C与A£是相交直线，故3C与平面玄£相交,C错误;D正确，在中知直线PD与平面ABC所成角是/PD4=

458.答案C119解析根据题意，从甲袋中摸出1个红球的概率为上，则摸出的球不是红球的概率为1-2=三，从乙333袋中摸出1个红球的概率为！，则摸出的球不是红球的概率为1-!=’,依次分析选项222对于A,2个球都不是红球，即从甲袋中摸出的球不是红球与从乙袋中摸出的球不是红球同时发生，则其概率为=不合题意323对于B,2个球都是红球，即从甲袋中摸出的球是红球与从乙袋中摸出的球是红球同时发生，则其概率为‘乂!二工，不合题意326对于c,至少有1个红球与两球都不是红球为对立事件，则其概率为1-工=2,符合题意33对于D,由A可得，2个球都不是红球的概率为」，由B可得2个球都是红球的概率为l，则2个球36中恰有1个红球的概率为』=」，不合题意，选项C是正确的

3629.答案AC解析对于A,一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为-L,以简单随机抽样方式从该总50体中抽取一个容量为5的样本，指定的某个个体被抽到的概率为‘义5=,，故A正确.对于B,・・・5010数据1,2,m,6,7的平均数是4,.・.m=4x5—1—2—6—7=4,这组数据的方差是l rl-42+=x2-42+4-42+6-42+7-421=—,故B错误.对于C,8个数据且8x70%=

5.616,第70百分位数为从小到大排序的第6个数23,故C正确.对于D,设数据的标准差为s,数据2%—1,2%-1,…，2%—1的标准差2为s,则Y=82,又$2=22/二房？，所以s=16,故数据2为—1,2%-1，…，2%—1的标准差为16,故D错误，故选AC.

10.答案ABD解析对于A选项，•ABAC=AD^DByAD+DC=^+DByAD-DB=AD-DB=4-1=3,:.ABAC值，A正确；对于B选项，,.,cosNADC=—cosNAZM,・・.AC2+AB2=AD+2_2AD-DC-cosZADC+A£2+DB1DC-2AD・DB cosZADB=2AD2+=222+1+1=10,DB2+DC2X故B正确；对于C选项，由余弦定理及基本不等式得cosC=64/AB.AC4=]——2当且仅当至二人时，等号成立，由A选2ABAC2ABAC ABAC2Q cos4项知AB・cosNKAC=3,cos ABAC1-----------------=1-----------------,解得cos/BACN—,故C335cos ZBAC错误；对于D选项，cos/BAD=W一尸=n递竺=走当且仅当=g时，等号4AB4AB4AB2成立・・・・N84De[o,四],的最大值为30，D正确.故选ABD.I2j

11.答案ABD解析4支球队记为a,b,c,d进行单循环比赛，有a,Z,Z,c,c,d,d,a,a,c,d,b,共6场比赛.因为每场比赛都有2种不同结果如,〃这场比赛有，胜负和负b胜这2种结果,所以6场比赛的所有结果共有26=64种.选项A,这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支球队获胜，那么4支球队所得分值就不可能都一样，故4支球队并列第一是不可能事件,A正确.选项B,在a,Z,b,c,c,d,d,a,a,c,d可6场比赛中,比如依次获胜的可以是m b,c,a,c,b,此时a,江3支球队都获得2分，并列第一，故B正确.选项C,在a,b,b,c,c,d,d,a,a,c,d力6场比赛中,从4支球队中选2支球队并列第一有ab,ac,ad,be,bd,cd6种可能，不妨设出并列第一，根据〃/场比赛结果分类其中第一类〃赢则需6场比赛中和人都能胜2场，c和d都至多胜1场，在a/，/,c，c,d,d,a，Q,c,涉6场比赛中，获胜的球队依次有a,b,d,a,c,和a,b,c,d,a,〃两种情况；同43理，第二类b赢处也有两种情况，故恰有2支球队并列第一的概率为一x6=—,故C错误,选项D,648从4支球队中选1支为第一名有4种可能；这支球队比赛的3场应该都获胜，则另外3场的可能比赛结果有23=8种，故只有1支球队为第一名的概率为§x4=,，故D正确.故选ABD.

64212.答案

①③解析

①甲地，5个数据的中位数为24,众数为22,根据数据得，甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26,其连续5天的日平均气温均不低于22℃；

②乙地，5个数据的中位数为27,总体均值为24,当5个数据为19,20,27,27,27时可知其连续5天的日平均温度有低于22℃,故不确定；

③丙地，5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,若有低于22,假设取21,此时方差就超出了

10.8,可知其连续5天的日平均温度均不低于22,如22,25,25,26,32,这组数据的平均值为26,方差为

10.8,但是进一步扩大，方差就会超过

10.

8.则肯定进人夏季的地区有甲、丙两地.故答案为

①③.

13.答案V5所以2解得r=2；所以a[b=-l.解析因为1+Ai=\a+b\H2-i|=V22+—I=后.故答案为V

5.

14.答案5解析因为2=1+33-=3-1+-22=5+与，所以z的实部是

515.答案1证明见解析2存在⑶-3解析1证明因为△24是正三角形，E为线段AO的中点，所以正石，

4.因为A5c是菱形，所以AZ=AB.因为NE4D=60，所以△ABO是正三角形，所以3石JLAO,而8EnPE=£，BE,PEu平面PBE,所以AO JL平面PBE,又AD〃BC,所以3C J_平面PBE,因为3Cu平面尸BC,所以平面尸平面PBE2存在.由PF=AFC,知PC=2+1FC.所以忆棱锥B-PAE=匕棱锥P-BDC—V三棱锥F-BCD=三棱锥尸-BCD,因此丫三棱锥B-P4E=g三棱锥D-PFB的充要条件是早=管，所以2=

4.即存在满足尸尸=4尸C40的点F,使得咚棱锥8他=:咚棱锥D.B，Z oo此时；1=

4.3如图，延长到C,使得3C=8C,由1知C8,平面P既，PB u平面PBE,CBLPB.则C是点关于平面PBE的对称点.在平面P3C中，过点C作下，PC,垂足为「交PB于点H,则点”是使CH+FB的值最小时，在平面PBE上的一点，设BC=2a,则PE=BE=®,因为平面平面A3CD平面PAOpI平面ABCZ=AO,PE±AD,P£u平面必，所以庄_1_平面A3CD因为3石u平面A5CD所以Ph BE,所以PB=G，因为C8J_平面PBE,BC_24tan/BCH=tan/BPC=BH=BC tan/BCH=尸—~PB~Hci/6A所以CB1PB，又因为CFJ_CQ，所以ZBCH=ZBPC，所以4的二丁=4=2BP

6316.答案

（1）证明见解析

（2）证明见解析解析

（1）证明设3与AC交于点F,连接石R如图，因为底面A5c是正方形，所以尸为的中点，又因为E为的中点，所以石尸〃S

3.因为S3仁平面ACE,斯u平面ACE,所以SB〃平面ACE.

（2）证明因为底面A3CD是正方形，所以AC_L3D,又因为S4JL平面ABC，BDu平面ABCD所以S4JLBD.又=AC,SA u平面SAC,所以5，平面SAC,因为SC u平面SAC,所以SC，.解17析.答案（:1）⑴u记第四盘棋甲赢的事件为4它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A,的和,Q Q16a11111（）=4+J=—P4V x—=—,p=—x—=—,则P AP PA+.・・一=—,所以第四41642816816盘棋甲赢的概率是u.16

（2）记甲恰好赢三盘棋的事件为8,它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和,B甲只在第三盘赢的事件为及、只在第四盘赢的事件为^

2、只在第五盘赢的事件为P。