《材料力学基础》课件

材料力学基础材料力学是工程力学中的重要分支学科，主要研究工程构件在各种载荷作用下的内力分布与变形规律通过系统学习材料力学，学生能够掌握分析工程结构受力状态的基本方法，为工程设计提供必要的理论基础本课程将带领大家深入理解构件的强度、刚度与稳定性分析方法，探讨材料在力学性能方面的基本规律，培养解决实际工程问题的能力无论是建筑结构、机械零件还是航空航天部件，都离不开材料力学原理的指导课程概述教学目标教材资料考核方式培养学生掌握材料力学基本理论和分析主教材《材料力学》（第六版）孙训平时成绩（30%）作业、课堂表现、方法，能够应用所学知识解决工程实际方主编；参考书《材料力学教程》刘小测验；期末考试（70%）闭卷笔问题，具备工程结构设计的基本能力鸿文著，《工程力学》范钦珊著试，综合应用题为主本课程共16周，每周3学时，其中理论课时占75%，习题课和实验课占25%学习过程中将结合实际工程案例，加深对理论知识的理解，培养解决工程实际问题的能力第一章绪论基本概念研究方法应力、应变、变形、位移等基本物理论分析、数值计算、实验测试相理量，以及强度、刚度、稳定性等结合的研究方法，建立数学模型解工程概念决工程问题研究对象学科关联工程中各种构件在载荷作用下的力与理论力学、弹性力学、塑性力学行为，如梁、轴、板、壳等结构学、结构力学等学科有密切联系，元件是工程设计的基础材料力学是研究材料在外力作用下机械性能的学科，它在工程技术领域具有广泛的应用，是各类工程专业学生必须掌握的一门基础课程通过系统学习，能够培养学生的工程思维和分析问题的能力材料力学的任务强度分析确保构件不发生破坏刚度计算保证变形在允许范围内稳定性校核防止结构失稳材料力学的核心任务是研究工程构件在各种载荷作用下的内力分布规律，分析应力和应变状态，评估构件的安全性和可靠性通过材料力学的计算，工程师能够合理选择材料和构件尺寸，确保结构在正常工作条件下不会发生破坏、过大变形或失稳现象在实际工程设计中，材料力学为我们提供了分析方法和计算工具，帮助解决各种复杂结构的受力问题，实现安全经济的工程设计目标基本假设连续性假设忽略材料微观结构的不连续性，将材料视为无间隙填充空间的连续介质，使得可以应用微分方程描述其力学行为均匀性假设假定材料在宏观上各点的物理力学性质相同，不考虑局部微小区域的性质差异，简化问题的处理各向同性假设材料在各个方向上的力学性能相同，其弹性常数不随方向变化，这适用于大多数金属材料小变形假设构件的变形相对于自身尺寸很小，可忽略变形对内力分布的影响，保持原始几何形状进行计算这些基本假设使我们能够建立相对简单的数学模型来描述复杂的力学现象，是材料力学理论分析的基础尽管实际材料可能存在各种不均匀性和各向异性，但在大多数工程问题中，这些假设能够提供足够准确的解决方案基本物理量外力与内力应力与应变材料常数外力是作用在构件表面或体内的载荷，应力是单位面积上的内力，分为正应力弹性模量E表示材料抵抗弹性变形的能包括集中力、分布力、力偶等；内力是和切应力；应变描述变形的程度，包括力；泊松比μ反映横向变形与轴向变形的构件内部各部分之间的相互作用力，通正应变（伸长或压缩）和切应变（角变比值，通常为

0.25~

0.35；剪切模量G表常以截面内力的形式表示形）示材料抵抗剪切变形的能力这些基本物理量构成了材料力学的理论基础，它们之间存在着确定的数学关系例如，胡克定律描述了应力与应变的线性关系，对于多数工程材料在弹性范围内适用深入理解这些物理量及其关系，是掌握材料力学分析方法的关键第二章轴向拉伸与压缩轴向变形轴力计算应力分布杆件在轴向力作用下，沿轴任意截面上的轴力等于截面在轴向拉压中，假设正应力线方向产生伸长或缩短的变一侧所有外力在轴向的代数在截面上均匀分布，形，横截面仅发生平移，不和，用平衡方程确定σ=N/A，其中N为轴力，A为发生扭转或弯曲截面面积变形计算根据胡克定律，杆件的总伸长量Δl=∫Ndx/EA，其中E为弹性模量，A为截面面积轴向拉伸与压缩是材料力学中最基本的变形形式，也是理解更复杂变形的基础通过研究这一简单变形，我们可以掌握应力、应变分析的基本方法，并了解材料的基本力学性能轴向拉伸与压缩构件确定计算模型识别构件受力状态，建立简化力学模型截面法分析截取自由体，列写平衡方程计算内力绘制轴力图表示轴力沿构件长度的分布情况在工程中，常见的轴向拉伸构件包括各种拉杆、吊索、钢缆等；压缩构件则有柱子、支柱、顶杆等这些构件在受力时主要产生轴向内力，其截面主要承受正应力例如，桥梁中的缆索、建筑中的立柱、机械中的连杆等都是典型的拉压构件分析拉压构件时，首先要确定其受力状态和约束条件，然后利用截面法确定内力，最后根据内力分布绘制轴力图，为强度和变形计算提供依据熟练掌握轴力图的绘制方法，对于理解构件的受力状态非常有帮助轴向拉伸与压缩应力σ=N/A1-3应力计算公式应力集中因数轴向正应力等于轴力除以截面面积截面突变处的最大应力与名义应力之比100%均匀分布率轴向拉压中正应力在截面上的分布均匀性在轴向拉伸或压缩的杆件中，正应力在横截面上理论上呈均匀分布，即每个点的应力大小相等这是材料力学的基本假设之一，简化了问题的分析实际上，在截面突变处（如孔洞、凹槽、横截面积突变处）会出现应力集中现象，局部应力显著高于平均应力应力集中是许多工程构件失效的主要原因，需要在设计中予以特别注意在实际工程设计中，常通过改善结构形式、增加过渡圆角、表面强化处理等方法来减小应力集中的影响，提高构件的安全性轴向拉伸与压缩变形绝对伸长量Δl构件在轴向力作用下的长度变化量，单位为mm相对伸长量ε绝对伸长量与原长之比，ε=Δl/l，无量纲胡克定律应力与应变成正比，σ=Eε，其中E为弹性模量分段计算法对于截面或材料不同的复杂构件，分段求解后累加当杆件在轴向力作用下产生变形时，其横截面只发生平移而不发生扭转或弯曲对于等截面杆件，若材料遵循胡克定律，则轴向变形量Δl=Nl/EA，其中N为轴力，l为杆件长度，E为弹性模量，A为截面面积对于变截面杆件或分段不同材料的杆件，需要采用分段计算法，将杆件分为若干段，分别计算各段的变形量，然后累加得到总变形此外，温度变化也会导致杆件长度改变，计算总变形时需要考虑温度效应第三章材料的力学性质试样准备按标准制备试样拉伸测试记录载荷-变形数据数据处理绘制应力-应变曲线参数计算确定各力学性能指标材料力学性质指材料在外力作用下表现出的力学行为特性，主要通过标准试验方法测定拉伸试验是最基本、最常用的材料力学性能测试方法，通过该试验可以获得材料的弹性模量、屈服强度、抗拉强度、延伸率等重要参数不同材料的应力-应变曲线形状各异，反映了它们独特的力学性能例如，脆性材料（如铸铁、玻璃）几乎没有塑性变形就发生断裂；韧性材料（如低碳钢、铜）则具有明显的屈服平台和较大的塑性变形能力了解材料的力学性能对于合理选材和工程设计至关重要金属材料拉伸试验试验设备准备拉伸试验通常使用电子万能试验机进行，该设备能够精确控制载荷或位移速率，并实时记录试验数据现代试验机通常配备自动数据采集系统，可以直接输出应力-应变曲线试样规格制备按照国家标准（如GB/T228）制备标准试样，常用的是直径为10mm的圆棒试样或厚度为2mm的板状试样在试样的工作部分划定标距，用于测量伸长量试验过程记录试验过程中，记录载荷与变形的对应值，尤其关注弹性极限、屈服点、最大载荷点和断裂点等特征点对于没有明显屈服点的材料，采用规定非比例延伸应力代替屈服强度试验完成后，通过测量断口处的横截面尺寸，计算断面收缩率；通过测量断后试样的总长度，计算断后伸长率这些数据反映了材料的塑性特性，对于评估材料在实际使用中的性能非常重要弹性与塑性变形弹性变形特点塑性变形机理弹性变形是可逆的，当外力撤除后，物体能够恢复原来的形状和塑性变形是不可逆的，外力撤除后物体保持变形状态微观上，尺寸在微观上，弹性变形主要表现为原子间距的微小改变，原塑性变形主要通过晶体中的位错滑移和孪晶变形实现，原子间的子相对位置没有发生永久性变化相对位置发生了永久性改变在应力-应变曲线上，弹性变形对应于曲线的初始线性部分，遵金属材料的塑性变形能力与其晶体结构、合金成分、加工硬化程循胡克定律对于大多数金属材料，弹性变形量很小，通常应变度等因素有关通过热处理和合金化设计，可以调控材料的弹塑不超过

0.2%性变形特性，满足不同工程需求在材料从弹性阶段过渡到塑性阶段时，出现屈服现象对于低碳钢等材料，存在明显的上、下屈服点；而对于铝合金等材料，屈服过程较为平缓，通常采用规定的残余应变（如

0.2%）所对应的应力作为屈服强度材料的力学性能指标弹性模量E表征材料抵抗弹性变形能力的参数，等于应力-应变曲线弹性段的斜率钢材约为

2.1×10⁵MPa，铝合金约为7×10⁴MPa，橡胶仅为几MPa强度指标屈服强度σs表示材料开始产生塑性变形时的应力水平；抗拉强度σb表示材料能够承受的最大拉应力，反映材料抵抗断裂的能力塑性指标伸长率δ表示试样断裂后标距长度的相对增加量；断面收缩率ψ表示试样断口处横截面积的相对减小量这两个参数反映材料的塑性变形能力硬度与韧性硬度表示材料抵抗局部变形的能力，通常通过压入试验测定；韧性表示材料吸收能量并产生塑性变形而不断裂的能力，可用冲击试验测定这些力学性能指标为工程设计和材料选择提供了重要依据在实际应用中，往往需要综合考虑多种性能指标，找到最佳平衡点例如，高强度材料通常塑性较差，高塑性材料强度往往不高，需要根据具体工况要求进行权衡选择拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算基于许用应力法，即要求构件中的最大应力不超过材料的许用应力σmax≤[σ]许用应力通常由材料的强度极限除以安全系数确定，即[σ]=σb/n或[σ]=σs/n，其中n为安全系数，通常取

1.5-5，视工作条件、载荷性质和重要性而定在工程设计中，根据计算目的不同，强度计算可分为三类设计计算（确定构件尺寸）、校核计算（检查已知尺寸构件是否安全）和验算计算（确定构件的承载能力）掌握这三种计算方法，能够灵活应对各种工程设计问题第四章扭转扭矩作用切应力产生外力偶使轴绕其轴线转动截面上产生切应力分布力学平衡角位移形成内外扭矩达到平衡状态轴线上各截面相对转动扭转是一种基本的变形形式，在传动轴、弹簧、钻杆等工程构件中广泛存在当圆轴两端受到相反方向的力偶作用时，轴会绕其轴线产生转动变形，这就是扭转在扭转变形中，轴的横截面保持平面且半径保持直线，但相邻截面之间会产生相对转动扭转变形的特点是横截面上主要产生切应力，且切应力沿半径呈线性分布，由中心向外递增，在外表面达到最大值掌握扭转应力和扭转变形的计算方法，对于传动系统设计至关重要圆轴扭转基本假设

1.横截面仍为平面；

2.半径保持直线；

3.圆周长度不变2扭矩分析截面法确定内扭矩，T=∑Mi，注意力偶方向的判断扭矩图绘制表示扭矩沿轴长的分布，以确定最大扭矩位置圆轴扭转是最简单也是最常见的扭转形式在分析圆轴扭转问题时，首先需要明确构件的受力状态和边界条件，然后利用截面法确定轴上各截面的内扭矩对于复杂受力的轴，绘制扭矩图有助于直观地判断危险截面的位置在实际工程中，如车辆传动轴、机床主轴、船舶推进器轴等都是典型的受扭构件这些构件主要通过传递扭矩来实现动力传输合理设计这些构件，既要保证足够的强度和刚度，又要考虑减轻重量，提高传动效率扭转切应力扭转变形φ=Tl/GIp G=E/21+μ扭转角公式剪切模量圆轴扭转角计算的基本公式材料抵抗剪切变形的能力参数τ=Gγ切变胡克定律切应力与切应变的线性关系扭转变形主要表现为轴上各截面的相对转动，用扭转角φ来度量在纯扭转状态下，等截面圆轴的扭转角与扭矩、轴长成正比，与剪切模量、极惯性矩成反比对于变截面或分段不同材料的轴，需要采用分段计算法，累加各段的扭转角扭转刚度是衡量轴抵抗扭转变形能力的重要参数，定义为单位扭转角所对应的扭矩，即k=T/φ=GIp/l提高扭转刚度可以通过增大截面尺寸、优化截面形状或选用高剪切模量的材料来实现在精密机械传动中，控制扭转变形对于保证传动精度和减小振动尤为重要扭转强度与刚度计算强度条件刚度条件τmax≤[τ]，即16T/πd³≤[τ]φ/l≤[φ/l]，即T/GIp≤[φ/l]设计计算d≥³√16T/π[τ]设计计算d≥⁴√32T/πG[φ/l]校核计算[τ]≥16T/πd³校核计算[φ/l]≥T/GIp材料充分利用对于圆轴，当τ=[τ]时，内部材料的应力小于许用值，利用不充分空心轴可提高材料利用率，但制造难度增加非圆截面轴在扭转时会发生翘曲，计算更复杂在轴系设计中，既要满足强度要求，又要满足刚度要求，通常需要同时进行两种计算，取较大的尺寸值对于长轴，往往是刚度条件起控制作用；对于短粗轴，则多由强度条件控制此外，实际工程中还需考虑疲劳强度、动载荷影响以及与其他零件的配合等因素多数传动轴不仅承受扭转，还同时承受弯曲，需要进行组合变形的强度计算，这将在后续章节中讨论第五章梁的弯曲变形特征分析梁轴线弯曲，横截面转动但保持平面内力计算2确定剪力Q和弯矩M的分布应力分析计算正应力和切应力的大小与分布变形计算确定挠度和转角的大小梁的弯曲是工程中最常见的变形形式之一，几乎所有的受弯构件，如楼板、桥梁、机械臂等，都可以简化为梁模型进行分析弯曲变形的主要特征是构件的轴线由直线变为曲线，横截面虽然保持平面但会发生转动弯曲内力包括剪力Q和弯矩M，它们共同作用产生梁的弯曲变形在分析梁的弯曲问题时，首先要确定支座反力，然后计算内力分布，进而分析应力状态，最后计算变形掌握梁的弯曲理论，是解决众多工程问题的基础梁的类型与支承方式简支梁两端分别为铰支座和滚动支座，可防止水平位移简支梁是静定结构，内力计算简单，但刚度较低，变形较大常见于桥梁、屋架等结构中悬臂梁一端固定，另一端自由悬臂梁也是静定结构，特点是固定端产生最大弯矩和最大剪力应用于建筑悬挑构件、起重机臂等固定梁两端均为固定约束，限制了位移和转角固定梁是超静定结构，计算较复杂，但刚度高，变形小广泛用于现代建筑框架结构中支座类型决定了梁的约束条件和受力特性铰支座可防止垂直位移但允许转动；滚动支座只能防止垂直位移；固定支座则同时约束位移和转动根据约束条件的不同，梁可分为静定梁和超静定梁静定梁可直接用平衡方程求解内力，而超静定梁则需要引入变形协调条件，计算过程较为复杂在实际工程中，应根据具体需求选择合适的支承方式，平衡结构性能和计算复杂度弯曲内力弯曲正应力平面假设应力分布计算公式变形前平的横截面，变形纯弯曲时，截面上的正应σ=My/I，其中M为弯后仍保持平面，并垂直于力沿高度呈线性分布，中矩，y为点到中性轴的距变形后的轴线这一假设性轴处应力为零，远离中离，I为截面对中性轴的惯是弯曲理论的基础性轴应力逐渐增大，最大性矩最大应力σmax=值出现在最远处M/W，W=I/ymax为抗弯截面系数梁在弯曲变形时，其纵向纤维会产生伸长或压缩，从而在横截面上产生正应力根据平面假设，这些正应力沿梁高度呈线性分布，通过中性轴（截面形心轴）处应力为零，中性轴上方为压应力，下方为拉应力（或相反）梁的弯曲强度主要由正应力控制，正应力的大小与弯矩M、截面惯性矩I以及到中性轴的距离y有关增大截面惯性矩或减小最大弯矩，都可以降低最大正应力，提高梁的弯曲强度因此，工程中常采用I形、T形等高效截面形式，以提高截面惯性矩，改善抗弯性能弯曲强度计算梁的弯曲强度计算基于最大正应力理论，即要求最大正应力不超过许用应力σmax=M/W≤[σ]对于已知载荷和支承条件的梁，首先计算最大弯矩Mmax，然后根据强度条件确定所需的抗弯截面系数W，最后选择合适的截面形状和尺寸不同截面形状的梁具有不同的弯曲强度特性在截面面积相同的情况下，I形梁的抗弯能力最强；箱形截面兼具较高的抗弯和抗扭能力；T形截面适用于主要受单向弯矩的情况；圆管截面则在各个方向上具有均匀的抗弯性能工程设计中应根据实际受力状况和功能要求，选择最合适的截面形式弯曲切应力切应力来源计算公式在非纯弯曲梁中，除了弯矩外还存在剪力，剪力在横截面上产生弯曲切应力的计算采用朱可夫公式τ=QS/Ib，其中Q为剪切应力这些切应力在梁的各个部位分布不均匀，其分布规律与力，S为被切面以上（或以下）部分对中性轴的静矩，I为整个截截面形状密切相关面对中性轴的惯性矩，b为计算点处的截面宽度切应力的存在使得截面上下部分产生相对滑移趋势，在一些情况对于矩形截面，切应力沿高度呈抛物线分布，最大值出现在中性下（如短粗梁、木结构）可能成为控制梁强度的主要因素轴处τmax=3Q/2A对于I形截面，最大切应力通常出现在腹板与翼缘连接处附近在薄壁截面梁（如薄壁箱形截面或薄壁开口截面）中，切应力分析更为复杂对于闭口薄壁截面，切应力可近似为剪流q=Q/2Ω，其中Ω为截面所围面积；对于开口薄壁截面，则需要分段计算梁的变形建立微分方程弯矩与挠曲线曲率关系EIw″=M积分求解通过积分获得挠度和转角表达式应用边界条件根据支承条件确定积分常数梁的弯曲变形主要表现为挠度（垂直位移）和转角（截面转动角）挠度过大会影响结构的正常使用功能，如造成门窗变形、精密机械失准等；转角过大则可能导致连接处应力集中因此，在工程设计中，不仅要考虑强度条件，还要满足刚度要求，即变形不超过允许值计算梁的变形有多种方法微分方程法、叠加法、能量法等微分方程法是基本方法，基于弯矩与挠曲线曲率的关系；叠加法适用于复杂载荷情况，利用已知基本载荷的变形公式；能量法则基于能量原理，适用于某些特殊问题实际工程中，对于常见的梁和载荷情况，可直接查表获取变形公式，方便快捷第六章应力与应变分析三维应力状态平面应力状态物体内点周围最一般的应力状态当一个坐标轴方向的应力全为零时莫尔圆应用主应力确定图解法分析应力状态转换求解主方向和主应力大小应力分析是材料力学的核心内容之一，它研究物体内部任意点在任意截面上的应力状态对于三维应力状态，需要九个应力分量（三个正应力和六个切应力）完全描述；而平面应力状态则只需要三个分量（两个正应力和一个切应力）在工程中，许多构件可简化为平面应力状态进行分析，如薄板、薄壳等通过应力分析，可以确定物体内部的最大正应力、最大切应力以及它们的作用方向，为材料的强度评估提供依据应变分析与应力分析密切相关，两者通过材料的本构关系（如胡克定律）联系起来应力状态分析确定应力张量通过力学分析获得点处的应力分量值应力转换公式利用应力转换公式计算任意面上的应力寻找主方向求解使得切应力为零的方向确定主应力计算主方向上的正应力值（主应力）应力状态分析的目的是确定构件内任意点在任意方向上的应力分量对于平面应力状态，任一方向上的正应力和切应力可通过应力转换公式计算σα=σx·cos²α+σy·sin²α+2τxy·sinα·cosα，τα=σy-σx·sinα·cosα+τxy·cos²α-sin²α主应力是物体内部点处各个可能方向上正应力的极值，对应的方向称为主方向在主方向上，切应力为零，只有正应力作用三个主应力σ1≥σ2≥σ3分别称为最大、中间和最小主应力最大切应力τmax=σ1-σ3/2，作用在与主应力方向成45°的面上主应力的大小和方向是评估材料强度的重要依据莫尔应力圆确定最大切应力确定主应力莫尔圆的半径即为最大切应力τmax，等于σ1-构建莫尔圆圆与横轴的交点即为主应力σ1和σ3，圆心到坐标σ3/2最大切应力面与主应力面成45°角通过莫莫尔应力圆是平面应力状态图解分析的有力工具原点的距离为σx+σy/2，圆的半径为√[σx-尔圆，不仅可以直观地确定主应力和最大切应力，以正应力σ为横坐标，切应力τ为纵坐标，建立坐标σy²/4+τxy²]主应力σ1=σx+σy/2+√[σx-还可以方便地求得任意方向上的应力值系已知两个互垂直面上的应力状态σx,τxy和σy²/4+τxy²]，σ3=σx+σy/2-√[σx-σy²/4σy,-τxy，在图上标出这两个点，连接形成直+τxy²]径，绘制出莫尔圆莫尔应力圆在工程分析中有广泛应用，尤其适用于判断材料的破坏条件例如，根据最大切应力理论，当最大切应力达到材料的许用切应力时，材料将发生屈服；而根据莫尔-库仑理论，破坏条件与莫尔圆包络线有关应变状态分析应变的定义与分类应变转换与主应变应变是描述物体变形程度的物理量，包括正应变ε（长度相对变类似于应力转换，应变也可以通过转换公式计算任意方向上的化）和切应变γ（角度变化）正应变反映物体的伸长或压缩程值平面应变状态的转换公式为εα=εx·cos²α+εy·sin²α+度，切应变反映剪切变形程度γxy·sinα·cosα，γα=2εy-εx·sinα·cosα+γxy·cos²α-sin²α对于三维应变状态，需要六个独立的应变分量（三个正应变和三个切应变）完全描述；而平面应变状态则只需要三个分量（两个主应变是指切应变为零时对应的正应变，其方向称为主方向主正应变和一个切应变）应变的大小和方向可通过求解特征方程或使用莫尔应变圆图解法确定体积应变εv=εx+εy+εz表示单位体积的相对变化在实际工程中，应变测量比应力测量更为直接和容易，常用的应变测量方法包括应变片、光弹性法、莫尔条纹法等通过测量应变，再利用材料本构关系，可以间接确定应力状态，评估结构的安全性广义胡克定律应力状态应变表达式单向应力εx=σx/E,εy=εz=-μσx/E平面应力εx=σx-μσy/E,εy=σy-μσx/E三向应力εx=[σx-μσy+σz]/E剪切变形γxy=τxy/G,G=E/21+μ广义胡克定律描述了弹性范围内多向应力状态下应力与应变的关系，是一组线性方程组对于各向同性材料，这一关系可由两个独立的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ）完全确定三维应力状态下，任一方向的正应变不仅与该方向的正应力有关，还受到其他两个方向正应力的影响这种相互影响通过泊松比体现，表示为横向变形与轴向变形的比值正应力引起的应变遵循叠加原理，即总应变等于各向应力单独作用时产生的应变之和温度变化也会导致材料变形，热应变εT=αΔT，其中α为线膨胀系数，ΔT为温度变化量在有约束的情况下，温度变化会产生热应力，计算方法是将热应变视为初始应变处理第七章强度理论1强度理论基本概念2强度理论选择依据强度理论是预测材料在复杂应力状态下选择合适的强度理论应考虑材料类型、何时发生破坏的理论，它将多轴应力状破坏模式、应力状态等因素不同材料态转化为一个当量应力与单轴极限应力的破坏机制不同，适用的强度理论也不比较，为复杂受力构件的强度计算提供同例如，脆性材料和韧性材料的破坏依据特征有明显差异3理论应用条件各种强度理论都有其适用范围和局限性工程实践中，应根据材料性质和受力特点，选择最合适的强度理论，确保结构设计的安全性和经济性常用的强度理论包括最大正应力理论、最大切应力理论、最大应变能理论、最大畸变能理论等这些理论从不同角度解释材料的破坏机制，给出不同的判据条件例如，最大正应力理论认为材料破坏是由最大主应力控制的；而最大切应力理论则认为最大切应力是导致屈服的关键因素对于大多数金属材料，最大切应力理论（Tresca准则）和最大畸变能理论（von Mises准则）的预测结果与实验数据较为接近在工程实际中，最大切应力理论计算简单但稍偏于保守，而最大畸变能理论则更加准确但计算稍复杂最大正应力理论理论基础强度条件最大正应力理论认为，无论材料处于何种σ1≤[σt]（当σ10，σ30时）应力状态，只要最大主应力达到材料在单|σ3|≤[σc]（当σ10，σ30时）向拉伸试验中的极限应力，材料就会发生破坏这一理论由兰姆提出，也称为第一其中σ

1、σ3分别为最大和最小主应力，强度理论[σt]和[σc]分别为拉伸和压缩许用应力适用范围最大正应力理论主要适用于脆性材料，如铸铁、混凝土、石材等这类材料在拉伸时容易沿垂直于最大拉应力的方向开裂，符合最大正应力理论的破坏特征在平面应力状态下，最大正应力理论的强度条件可表示为六边形安全区域如果材料的拉伸和压缩强度相等，则安全区域简化为正方形这一图形表明，按照最大正应力理论，材料的强度与中间主应力σ2无关，只由最大主应力σ1和最小主应力σ3决定尽管最大正应力理论在脆性材料强度计算中应用广泛，但它忽略了应力状态的综合效应，特别是在多轴应力状态下，预测结果与实验数据可能有较大偏差因此，在复杂应力状态下，需要谨慎应用这一理论最大切应力理论理论基础最大切应力理论认为，材料的屈服始于最大切应力达到临界值时这一理论由Tresca提出，也称为第三强度理论或Tresca屈服准则2强度条件τmax=σ1-σ3/2≤[τ]=σs/2，其中σ1和σ3分别为最大和最小主应力，σs为材料的屈服强度工程应用这一理论在金属塑性加工、机械零件设计等领域有广泛应用，计算简便且结果偏于安全最大切应力理论的物理基础是金属材料的塑性变形机制金属材料的塑性变形主要通过晶体中的滑移系统实现，而滑移受切应力控制当某一方向的切应力达到临界值时，将激活对应的滑移系统，导致材料发生塑性变形在平面应力状态下，最大切应力理论的安全区域为正六边形与最大正应力理论相比，最大切应力理论更适合韧性金属材料的屈服判据实验表明，对于大多数工程金属材料，这一理论的预测结果与实际情况较为吻合，特别是在平面应力状态下然而，在复杂的三维应力状态中，其准确性可能略有下降最大应变能理论U U0总应变能密度临界应变能单位体积材料储存的总变形能量单轴拉伸屈服时的应变能密度̄σ当量应力多轴应力状态下的等效应力值最大应变能理论（也称为第四强度理论或贝尔特拉米-赫兹理论）认为，当材料中单位体积的总应变能达到临界值时，材料将发生屈服或破坏这一理论适用于某些特殊材料，如高分子材料和某些合金弹性变形过程中，单位体积的应变能为U=1/2E[σ1²+σ2²+σ3²-2μσ1σ2+σ2σ3+σ3σ1]根据最大应变能理论，强度条件为U≤U0=σs²/2E，其中σs为材料的屈服强度这一条件可转化为当量应力表达式σ̄=√[σ1²+σ2²+σ3²-2μσ1σ2+σ2σ3+σ3σ1]≤σs最大应变能理论考虑了所有三个主应力的贡献以及它们之间的相互作用，理论上更为完备然而，这一理论在工程中应用相对较少，主要是因为计算较为复杂，且对大多数金属材料而言，其预测结果不如最大切应力理论和最大畸变能理论准确最大畸变能理论第八章组合变形识别变形类型确定构件受力产生的基本变形类型分析内力分布计算各种内力在危险截面的大小叠加应力效应综合各种内力产生的应力效应强度校核应用强度理论进行安全性评估组合变形是指构件同时受到多种基本变形（如拉压、弯曲、扭转等）的综合作用，在工程中非常常见例如，传动轴通常既承受扭转又承受弯曲；起重机臂既有弯曲又有压缩；偏心受力构件则可能同时产生拉伸和弯曲分析组合变形问题的基本方法是叠加原理，即分别计算各种基本变形产生的应力，然后叠加得到总应力状态这种方法的前提是变形较小且材料处于弹性阶段在确定危险点位置时，需要综合考虑各种内力的分布规律及其最大值出现的位置确定总应力状态后，再根据适当的强度理论进行强度校核，评估构件的安全性拉伸（压缩）与弯曲组合确定偏心距测量载荷作用线与构件轴线的距离等效转化2将偏心力转化为轴力与弯矩组合应力叠加计算轴力应力与弯曲应力的代数和拉伸（压缩）与弯曲组合是一种常见的组合变形，典型例子是偏心拉伸或压缩当拉力或压力的作用线不通过截面形心时，除了产生轴向拉压外，还会产生弯曲效应这种情况可以等效为轴向力与附加弯矩的组合轴向力N等于外力，附加弯矩M=N·e，其中e为偏心距截面上的总应力分布是轴向应力和弯曲应力的叠加σ=N/A±M·y/I，其中A为截面面积，I为截面惯性矩，y为点到中性轴的距离对于矩形截面，应力分布呈线性变化，最大值和最小值分别出现在两侧边缘特殊情况下，如果外力作用线位于核心区内，则整个截面仍处于同一种应力状态（全拉或全压）；如果作用线超出核心区，则截面上将同时存在拉应力和压应力弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合是机械传动系统中最常见的组合变形形式典型例子如传动轴，它既承受扭矩传递转动功率，又因自重和传动装置产生的横向载荷而受到弯曲弯曲产生正应力σ=M/W，扭转产生切应力τ=T/Wp，两者共同作用形成复杂的应力状态危险点通常位于轴的表面，此处弯曲正应力和扭转切应力均达到最大值根据最大切应力理论或最大畸变能理论，可以计算当量应力进行强度校核例如，根据最大畸变能理论，当量应力σ̄=√σ²+3τ²≤[σ]另一种简化的计算方法是当量弯矩法，即计算等效弯矩Me=√M²+

0.75T²，然后按照纯弯曲进行强度计算σe=Me/W≤[σ]第九章压杆稳定压杆概念稳定性含义细长比影响压杆是指受压且长度远大于横截面稳定性是指构件抵抗失稳的能力细长比λ=l/i（其中l为计算长度，i尺寸的细长构件，如柱、支撑杆、当压力达到临界值时，压杆会突然为截面回转半径）是影响压杆稳定压杆等这类构件的失效常因失稳产生较大的侧向弯曲变形，称为失性的关键参数细长比越大，越容而非强度不足稳或屈曲易发生失稳稳定性校核稳定性校核的基本条件是σ=N/φA≤[σ]，其中φ为稳定系数，与细长比有关，A为截面面积，[σ]为许用应力压杆失稳是一种特殊的失效形式，与材料强度无直接关系即使应力远低于材料的强度极限，压杆也可能因失稳而丧失承载能力压杆稳定性的理论基础是欧拉公式，它给出了理想弹性压杆的临界力Pcr实际工程中，需要考虑材料的非弹性行为、初始曲率、偏心载荷等因素对稳定性的影响根据细长比的不同，压杆的稳定性计算方法也有所不同对于大细长比压杆，采用欧拉公式；对于中等细长比压杆，采用切线模量理论；对于小细长比压杆，则主要考虑强度条件欧拉公式非弹性稳定欧拉公式局限性切线模量理论实用计算方法欧拉公式基于材料完全弹性的假设，适切线模量理论由恩格塞尔提出，用材料工程实践中，通常采用简化的实用公式用于大细长比压杆当压杆细长比较小应力-应变曲线上某点的切线斜率（切线计算压杆的稳定系数φ稳定系数φ是考时，失稳前材料已进入塑性阶段，此时模量Et）代替弹性模量E，修正欧拉公虑了非线性因素后的修正系数，与细长欧拉公式不再适用工程中需要考虑材式σcr=π²Et/λ²这一理论适用于细比λ有关，可通过查表或经验公式获得料的非弹性行为对压杆稳定性的影响长比在中等范围内的压杆，更符合实际压杆的稳定性校核条件为σ=N/φA≤情况[σ]对于实际工程问题，通常将压杆按细长比分为三类大细长比压杆（λλp）采用欧拉公式；中等细长比压杆（λeλλp）采用切线模量理论或经验公式；小细长比压杆（λλe）主要考虑强度校核不同材料的λp和λe值有所不同，需要通过实验确定第十章能量法能量法基本原理能量法是基于能量守恒和能量转换原理分析结构变形的方法当外力作用于弹性体时，外力做的功转化为弹性体内储存的应变能通过分析外力功与应变能之间的关系，可以求解变形和内力问题互等定理互等定理（又称麦克斯韦互等定理）指出，在线弹性范围内，作用在弹性体上的一组力F₁对另一组力F₂的载荷点位移所做的功，等于力F₂对力F₁的载荷点位移所做的功，即W₁₂=W₂₁卡氏定理卡氏定理（又称卡氏互等定理）是互等定理的推广，适用于分析温度变化、制造误差等引起的内力和变形问题它为解决超静定结构提供了有力工具能量法应用能量法广泛应用于复杂结构的变形计算、超静定结构的内力分析、结构稳定性研究等领域它特别适合于采用近似函数描述变形的情况，如瑞利-里兹法与传统的平衡方程法相比，能量法具有计算简便、适用范围广的优点它不需要求解复杂的微分方程，而是通过能量平衡条件直接建立代数方程这使得能量法在处理复杂结构问题时具有明显优势，尤其是对于难以直接应用平衡方程的问题应变能变形类型应变能表达式轴向拉伸/压缩U=∫N²dx/2EA弯曲U=∫M²dx/2EI扭转U=∫T²dx/2GIp剪切U=∫Q²dx/2GA应变能是外力作用下储存在弹性体内的势能，它表示变形过程中所做的功对于线弹性材料，应变能与应力和应变成正比关系单位体积的应变能密度为u=σε/2=σ²/2E=Eε²/2对于一般三维应力状态，应变能密度为u=1/2E[σ1²+σ2²+σ3²-2μσ1σ2+σ2σ3+σ3σ1]结构的总应变能是各种变形应变能的总和在多数情况下，某一种变形形式的应变能占主导地位，其他形式可以忽略例如，对于细长梁，弯曲应变能远大于剪切应变能；而对于短粗梁，剪切应变能的贡献也不可忽视互补应变能是应力与应变曲线下方的面积减去应变能，表示为U*=∫σdε-∫εdσ对于线弹性材料，互补应变能等于应变能互补应变能在解决某些边值问题时具有特殊优势，如卡氏定理的应用虚功原理虚位移原理虚力原理平衡状态下的几何协调系统几何协调状态下的平衡系统2能量守恒最小势能原理4外力功等于内力功与动能增量稳定平衡对应势能极小值虚功原理是力学分析中的基本原理，包括虚位移原理和虚力原理两个互补的方面虚位移原理指出，对于平衡状态下的系统，任意虚位移下外力所做的虚功等于内力所做的虚功这一原理可表述为∑Fiδri=∫σδεdV，其中δri和δε分别为虚位移和虚应变虚力原理则指出，对于满足几何协调条件的系统，任意虚力下，实际位移对虚力所做的虚功等于实际应变对虚应力所做的虚功这两个原理互为对偶，分别适用于求解不同类型的问题最小势能原理指出，在所有满足几何约束条件的可能平衡状态中，使系统总势能达到最小值的状态是真实的平衡状态这一原理为变分法在结构分析中的应用提供了理论基础，被广泛用于有限元分析等数值计算方法中第十一章动载荷冲击载荷短时间内突然施加的力周期性载荷随时间周期性变化的力振动载荷引起结构振动的激励力惯性力加速运动产生的附加力动载荷是指幅值、方向或作用点随时间变化的载荷，与静载荷相比，它会产生更复杂的应力和变形效应动载荷作用下，结构除了静变形外，还会产生加速度和惯性力，导致内力和应力动态变化动载荷的影响可以通过动力系数（动态响应与静态响应之比）来评估冲击载荷是一种常见的动载荷，如落锤冲击、爆炸等冲击载荷下的最大动态应力可表示为σd=Kdσs，其中Kd为动力系数，σs为相同大小静载荷下的应力对于简单系统，如弹性杆受轴向冲击，动力系数可通过能量法求解Kd=1+√1+2h/δs，其中h为落体高度，δs为静变形周期性载荷会引起结构共振，特别是当载荷频率接近结构固有频率时共振会导致变形和应力急剧增大，可能引发灾难性后果因此，在设计中必须避免共振，或采取适当的阻尼措施减小共振影响第十二章疲劳强度疲劳破坏特点疲劳破坏过程疲劳试验方法疲劳破坏是指材料在循环载荷作用下，即使应力水疲劳破坏过程包括裂纹萌生、裂纹扩展和最终断裂疲劳性能通常通过标准试验测定，包括旋转弯曲疲平远低于静载强度极限，经过足够多的循环次数后三个阶段裂纹通常起源于表面缺陷、应力集中部劳试验、轴向疲劳试验等试验结果以S-N曲线仍会发生的破坏现象疲劳破坏通常没有明显的宏位或材料内部的缺陷处裂纹扩展阶段占据了疲劳（应力-循环次数曲线）表示，反映应力水平与疲劳观塑性变形，呈现脆性断裂特征，具有突发性和危寿命的大部分，最终当剩余截面无法承受载荷时发寿命的关系对于大多数铁基合金，存在疲劳极险性生突然断裂限，低于此值的应力不会导致疲劳破坏疲劳强度受多种因素影响，包括材料性质、表面状态、尺寸效应、应力集中、环境条件等应力循环特征也很重要，通常用最大应力σmax、最小应力σmin、应力幅σa、平均应力σm和应力比R等参数描述不同应力比下的疲劳极限可通过Goodman线、Soderberg线或Gerber抛物线等经验关系表示疲劳强度计算疲劳载荷谱分析实际工程中，结构往往承受复杂的变幅循环载荷，需要首先对载荷历程进行统计分析，提取载荷谱常用的方法包括雨流法、池塘计数法等，将不规则载荷转化为等效的简单循环载荷组合不同幅值和频率的载荷对疲劳损伤的贡献不同，需要综合考虑累积损伤理论Miner线性累积损伤理论是最常用的疲劳寿命预测方法，它假设在每个应力水平下的损伤与循环次数成正比，且不同应力水平下的损伤可以线性叠加累积损伤D=∑ni/Ni，当D达到1时，预测发生疲劳破坏其中ni为实际循环次数，Ni为该应力水平下的疲劳寿命安全系数确定疲劳强度计算中的安全系数需要考虑材料性能离散性、载荷不确定性、计算模型误差等因素对于重要结构，通常采用较高的安全系数（如2-3）；对于可靠性要求极高的航空航天结构，可能需要4-5的安全系数；而对于一般工程结构，

1.5-2的安全系数通常是合适的现代疲劳分析方法包括应力寿命法（S-N法）、应变寿命法（ε-N法）和断裂力学方法S-N法简单实用，适用于高周疲劳分析；ε-N法考虑了局部塑性变形，适用于低周疲劳；断裂力学方法则关注裂纹扩展规律，适用于带裂纹构件的剩余寿命评估总结与展望1主要内容回顾本课程系统介绍了材料力学的基本理论和方法，包括轴向拉压、扭转、弯曲等基本变形，以及应力应变分析、强度理论、压杆稳定、动载荷和疲劳等高级话题这些知识构成了工程结构分析与设计的理论基础2工程应用联系材料力学理论广泛应用于土木、机械、航空航天等工程领域从摩天大楼到微机电系统，从桥梁到航天器，材料力学原理无处不在掌握这些基本原理，能够帮助工程师设计出安全、经济、高效的结构和机械系统3学科发展趋势随着新材料（如复合材料、智能材料）的发展和计算机技术的进步，材料力学学科不断拓展多尺度分析方法将宏观力学行为与微观结构联系起来；非线性力学、断裂力学等分支学科深入发展；计算力学与实验力学相结合，为解决复杂工程问题提供新途径材料力学是连接基础理论与工程应用的桥梁，它不仅教会我们是什么，更重要的是理解为什么和怎么做通过本课程的学习，学生应当建立起系统的力学思维方式，培养分析和解决实际工程问题的能力展望未来，随着计算机辅助分析技术的发展，有限元分析、边界元方法等数值模拟手段将更加普及，使复杂问题的求解变得更加高效同时，实验技术的进步也为材料力学理论的验证和发展提供了新的手段学科交叉融合将产生新的研究领域，如生物力学、纳米力学等，为材料力学注入新的活力。