《高等数学》课件

高等数学欢迎来到高等数学课程！本课程将系统介绍微积分、微分方程、多元函数以及向量分析等核心内容高等数学是大学理工科学习的基础，也是解决实际问题的有力工具本课程教学内容涵盖函数与极限、导数与微分、积分学、微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、重积分及曲线曲面积分等多个章节我们将通过概念讲解、例题分析和应用实例，帮助你掌握这门优美而实用的学科高等数学的应用范围极广，从物理、工程到经济、生物，都能看到它的身影希望这门课程能激发你对数学的热爱，培养你的逻辑思维和解决问题的能力让我们一起踏上这段数学之旅！第一章函数与极限基本概念映射的概念常见函数类型映射是数学中最基本的概念之一，它描述了两个集合之间元素的常见的初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等对应关系若集合中的每个元素，在集合中都有唯一确定的幂函数形如，指数函数形如且，对数函X xY y=x^n y=a^xa0a≠1元素与之对应，则称这种对应为从到的映射，记为数形如且y X Y f:X→Y y=log_axa0a≠1三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数y=sinx y=cosx函数是映射的特例，即从数集到数集的映射函数关系可表等这些函数在物理、工程等领域有广泛应用，是高XYy=tanx示为，其中∈称为自变量，∈称为因变量，称为等数学的重要基础y=fx xX yY X定义域，称为值域Y函数的性质有界性单调性函数在区间上有上界，是指存在常数若对区间上任意两点，则称函数fx II x1fx2，使得对任意∈，都有函数在区间上是严格单调递减的M x I fx≤M fx I在区间上有下界，是指存在常数，fx Im单调函数具有良好的性质，例如单调函数使得对任意∈，都有xIfx≥m在其定义域内最多只有一个反函数在后如果函数既有上界又有下界，则称函数在续微分学中，我们可以通过导数来判断函该区间上有界；否则称为无界函数例如，数的单调性在区间上，函数有界，而[-1,1]y=sinx函数在区间上无上界y=1/x0,1周期性与奇偶性若存在正数，使得对任意∈定义域，都有，则称为周期函数，为周期T x fx+T=fx fxT三角函数是典型的周期函数，如和的周期为sinx cosx2π若对任意∈定义域，都有，则称为偶函数；若，则称为奇函x f-x=fx fx f-x=-fx fx数是偶函数，是奇函数奇偶性对于函数积分等运算有重要意义cosx sinx函数的表示方法解析式表示法最常见的函数表示方法，通过数学公式直接给出自变量与因变量之间的关系例如，表示线性函数，表示正弦函数解析式是最精确的表示方法，便于进行y=2x+3y=sinx函数运算与分析图像表示法将函数关系用坐标系中的曲线直观显示图像表示法形象直观，能够清晰展示函数的整体性质，如单调区间、极值点、奇偶性等然而，通过图像无法得到精确的函数值，只能大致估计表格表示法通过列表给出自变量取不同值时对应的函数值表格表示法适用于实验数据整理或复杂函数的近似表示在实际应用中，表格数据往往需要进行插值或拟合处理分段函数与复合函数分段函数在不同区间有不同的解析式，如绝对值函数复合函数是将一个函数的输出|x|作为另一个函数的输入，形如这些特殊函数形式在工程和物理建模中有广泛应用fgx极限的概念数列极限若存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，都有AεN nN|an-，则称数列收敛于，记作数列极限描述了数列项随着下A|ε{an}A limn→∞an=A标无限增大时的趋势函数极限若存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当时，都有Aεδ0|x-x0|δ，则称当时，函数的极限为，记作函数极|fx-A|εx→x0fx A limx→x0fx=A限描述了函数值当自变量无限接近某一点时的行为几何解释从几何角度看，函数在处的极限，表示当点沿着曲线移y=fx x→x0A Px,fx y=fx动，无限接近时，点的纵坐标无限接近于这种解释帮助我们直观理解极限的x x0P A本质实际应用意义极限概念是微积分的基石，通过极限我们可以处理变化率、曲线的切线、面积和体积等问题在物理学中，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数，这些都基于极限的思想极限的性质与运算法则有限个极限的四则运算若，，则lim fx=A lim gx=B±±±•lim[fx gx]=lim fxlim gx=A B•lim[fx·gx]=lim fx·lim gx=A·B（）•lim[fx/gx]=lim fx/lim gx=A/B B≠0复合函数的极限运算若，且函数在点连续，则这一法则在复合函数极限计算中非常有用，但要注意前提条件lim gx=B fB limfgx=flim gx=fB夹逼原理若存在函数，当时，，则夹逼原理是处理复杂极限的有力工具，特别是在证明重要极限时经常使用gx≤fx≤hx x→x0lim gx=lim hx=Alim fx=A典型极限例题计算解析利用夹逼原理，可以证明这个极限值为这是一个在微积分中经常使用的重要极限类似地，，这些结果在导数计算中经limx→0sin x/x1limx→01-cos x/x²=1/2常出现无穷小与无穷大无穷小的比较无穷小的定义设和是当时的两个无穷αxβx x→x0若，则称为当limx→x0fx=0fx小量，且若βx≠0时的无穷小量无穷小是极限理x→x0，则称是limx→x0αx/βx=0αx论中的重要概念，它不是一个具体的数比高阶的无穷小，记作βx值，而是描述一个变量趋近于零的过程；若该极限为非零常数，αx=oβx k则称与是同阶无穷小αxβx无穷大的定义无穷小与无穷大的关系若对于任意给定的正数，总存在，Mδ0若是当时的无穷大量，则使得当时，都有，fx x→x00|x-x0|δ|fx|M是当时的无穷小量，反之则称为当时的无穷大量，记作1/fx x→x0fx x→x0亦然这一重要关系帮助我们将无穷大无穷大描述函数值limx→x0fx=∞极限转化为无穷小极限，简化计算过程增长超过任何界限的情况极限存在准则与重要极限极限存在的必要条件若极限存在，则左极限等于右极限limx→x0fx有界单调数列极限定理有界单调数列必有极限夹逼准则被夹函数的极限由两侧函数的共同极限确定重要极限公式和limx→0sin x/x=1limx→∞1+1/x^x=e在极限理论中，极限存在的判断非常重要有界单调数列极限定理指出若数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列必有极限这一定理{an}为数列极限的存在性提供了强有力的判断工具德莫根定理（公式）虽主要应用于复数计算，但其在实数领域的形式对三角函数的极限计算非常有用重要极Demoivre cosθ+i·sinθ^n=cosnθ+i·sinnθ限公式如和是计算许多复杂极限问题的基础limx→0sin x/x=1limx→∞1+1/x^x=e函数的连续性连续性的定义函数在点连续，是指fx x0limx→x0fx=fx0连续函数的性质有界性、最大值最小值定理、介值定理连续函数举例基本初等函数在其定义域内都是连续的函数在点连续的完整定义包含三个条件函数在处有定义、函数在处有极限、极限值等于函数值这种三位一体的定义确保了函数图像在该点没fx x0x0x0有间断或跳跃连续函数具有许多重要性质闭区间上的连续函数必有界且能取到最大值和最小值（最值定理）；若函数在闭区间上连续，和异号，则在内[a,b]fa fba,b至少存在一点使得（零点定理）；闭区间上的连续函数能取到介于最大值和最小值之间的任何值（介值定理）ξfξ=0基本初等函数如多项式函数、有理函数、三角函数、指数函数、对数函数等在其定义域内都是连续的连续函数的四则运算和复合运算（在满足相应条件下）仍得到连续函数，这为研究复杂函数提供了便利间断点与可去间断第一类间断点函数在点的左极限和右极限都存在但不相等，或fx x0limx→x0-fx limx→x0+fx者两者之一与函数值不相等，则称为的第一类间断点第一类间断点包括可fx0x0fx去间断点和跳跃间断点可去间断点若左极限等于右极限但不等于函数值（或函数在该点无定义），则称该点为可去间断点可去间断点可通过重新定义该点的函数值使函数在该点连续例如，在fx=sin x/x处是可去间断点x=0跳跃间断点若左极限和右极限都存在但不相等，则称该点为跳跃间断点跳跃间断点在物理中常表示某种突变现象例如，单位阶跃函数在处是跳跃间断点Hx x=0第二类间断点若左极限或右极限至少有一个不存在（可能是无穷大），则称该点为第二类间断点无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点例如，在处是无穷间断点，fx=1/x x=0在处是振荡间断点fx=sin1/x x=0第一章习题课与归纳函数与极限章节的关键考点包括函数性质判断、极限计算、连续性分析和间断点判定在解答极限问题时，常用的方法有代入法（适用于连续函数的极限）、因式分解法（处理代数式的极限）、等价无穷小替换法（如当时，，，等）、洛必达法则（处理分x→0sinx~x tanx~x1-cosx~x²/2式型的或型极限）以及泰勒展开式0/0∞/∞常见错误包括忽略函数定义域的讨论、错误使用等价无穷小代换（未检查是否为同类问题）、不恰当应用洛必达法则（未验证条件是否满足）等在解题时，应首先判断极限类型，再选择合适的方法，避免机械套用公式本章内容是后续微积分学习的基础函数概念为我们研究变量之间的关系提供了数学模型，极限理论则使我们能够精确描述和处理变化过程中的瞬时状态，为导数、积分等概念的引入奠定了基础第二章导数与微分导数概念物理意义几何意义导数在物理中表示瞬时变化率导数表示函数图像在点例如，位移函数的导数是速度，fx0处切线的斜率这一速度函数的导数是加速度这一导数的定义x0,fx0微分的意义几何解释使我们能直观理解导数解释揭示了导数在自然科学中的函数y=fx在点x0处的导数定义概念，并将其应用于实际问题广泛应用微分dy=fxdx是函数增量的线为性主部，表示自变量有微小变化△△时函数值的近似变化量微分是fx0=lim x→0[fx0+x-△，表示函数在该点的牛顿和莱布尼茨建立微积分的重fx0]/x变化率这一定义来源于割线斜要工具率的极限4基本初等函数的导数函数导数公式常数函数C C=0幂函数x^n x^n=nx^n-1指数函数e^x e^x=e^x指数函数a^x a^x=a^x·ln a对数函数ln xln x=1/x对数函数log_a xlog_a x=1/x·ln a正弦函数sin x sin x=cos x余弦函数cos xcos x=-sin x正切函数tan xtan x=sec^2x=1/cos^2x基本初等函数的导数公式是微积分应用的基础这些公式大多可以通过导数定义直接证明例如，证明x^n=nx^n-，可使用二项式定理将△△展开，再取极限1[fx+x-fx]/x指数函数的导数仍是其本身，这一特性使其在微分方程中有广泛应用三角函数的导数之间存在密切关系，如e^xsin而，这反映了正弦与余弦函数的互补性质x=cos xcos x=-sin x熟练掌握这些基本导数公式，是高效求解复杂函数导数的前提在实际应用中，通常需要结合各种求导法则，如链式法则、乘积法则等，才能解决更复杂的问题求导法则链式法则商法则若，，且和y=fu u=gx fu乘积法则若函数和都可导，都存在，则复合函数和差法则u=ux v=vx gx若函数u=ux和v=vx都可导，且vx≠0，则它们的商的导数y=fgx的导数为若函数u=ux和v=vx都可导，则它们的乘积的导数为为，也可记作u/v=u·v-u·v/v^2dy/dx=fu·gx则它们的和与差的导数等于各u·v=u·v+u·v这一公式表这一公式可以通过乘积法则和链式法则是处fgx·gx自导数的和与差达了一个变另一个不变的原链式法则推导例如，计算理复合函数的关键工具例如，u±v=u±v这一法则可以则例如，计算fx=x·sin x的fx=tan x=sin x/cos x的计算y=sinx^2的导数，可得推广到有限项函数和的情况导数，可得fx=1·sin导数，可得fx=1/cos^2y=cosx^2·2x=2x·cosx^2例如，计算fx=x^2+sin x的x+x·cos x=sin x+x·cos x x=sec^2x导数，可得fx=2x+cos x隐函数与参数方程求导隐函数求导参数方程求导隐函数是由方程间接确定的函数关系，其中参数方程是用一个参数同时表示和的方程组Fx,y=0y=fx fxt x y x=xt,没有显式表示求解隐函数的导数，可对方程两边同时求导，再参数方程确定的函数的导数可以通过参数方程直y=yt y=fx解出接计算dy/dx dy/dx=dy/dt/dx/dt具体步骤如下求导步骤为将方程的两边同时对求导，注意是的函数分别计算和

1.Fx,y=0x y x

1.dx/dt dy/dt应用复合函数求导法则，将含的项用表示只要，就有

2.y dy/dx

2.dx/dt≠0dy/dx=dy/dt/dx/dt解出，即得隐函数的导数

3.dy/dx例如，对于参数方程，有x=t^2,y=t^3dx/dt=2t,，因此例如，对于方程，两边对求导得，dy/dt=3t^2dy/dx=3t^2/2t=3t/2=3√x/2x^2+y^2=1x2x+2y·dy/dx=0解得dy/dx=-x/y高阶导数高阶导数定义常用符号表示物理意义函数的导数高阶导数的表示方法多样，高阶导数在物理中有重要y=fx y=fx仍是的函数，如果可导，常见的有莱布尼茨符号应用例如，位移函数x y则其导数称为的二阶导数，、牛顿符号的一阶导数表示速度y d^ny/dx^n s=st记为或以此类推，或、拉格朗，二阶导数表示加y fx y^n f^nx v=st可定义阶导数或日符号或等速度，三阶导数表n y^n ynfnx a=st，表示对原函数连不同符号在不同场合各有示加加速度（加速度的变f^nx续求导次优势，但表达的含义相同化率），也称为急n j=st动度计算方法计算高阶导数可以逐次求导，也可利用特殊技巧如归纳法、泰勒展开等一些特殊函数如、y=e^ax、y=sinax+b的阶导数有y=cosax+b n简洁公式，可直接应用微分及其应用微分的定义微分的几何解释微分的应用函数在点处的微分记为或函数的图像在点处有切微分在工程和科学计算中有广泛应用，y=fx xdy y=fx Px,fx，定义为，其中为自线，当增加微小量时，函数值增加量主要包括dfx dy=fxdx dx x dx变量的微分（即增量△）微分表△可近似为切线上的对应增量x xdy y近似计算利用•示函数增量△的线性主部，当△充分这种近似在足够小时非y xdy=fxdx dx△△进行高精度近fx+x≈fx+fx x小时，有△常精确y≈dy似计算从几何上看，微分表示曲线在微分与导数关系密切但概念不同导数dy y=fx误差估计通过△△评估测•y≈fx x点处切线上对应于自变量增量是比值，而微分是乘积x,fx dx fx=dy/dx量误差传播的纵坐标增量微分概念由莱布尼茨提导数表示瞬时变化率，微dy=fxdx切线方程曲线在点处的切•x0,y0出，是微积分发展的重要里程碑分表示函数的近似增量线方程为y-y0=fx0x-x0法线方程垂直于切线的法线方程为•y-y0=-1/fx0x-x0第二章习题课3基本求导公式掌握幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数公式是求解复杂问题的基础4求导法则和差法则、乘积法则、商法则和链式法则是解决复合函数求导的关键工具2特殊函数求导隐函数和参数方程的求导方法需要特别熟练，是考试重点5应用问题切线方程、法线方程、微分近似计算和误差估计是导数的常见应用场景导数与微分习题课主要针对基础计算、特殊函数求导和应用问题三个方面计算题通常考查基本求导公式和求导法则的灵活运用，如复合函数、隐函数和参数方程的求导应用题则侧重于导数的几何意义和物理意义，如切线方程、运动问题等常见错误包括链式法则使用不当、隐函数求导时遗漏变量、高阶导数计算失误等解题技巧合理变形复杂函数（如取对数简化）、灵活运用基本公式、注意特殊点的讨论（如导数不存在的点）本章内容是后续学习微分中值定理、函数性质分析和微分方程的基础牢固掌握导数计算方法和微分应用，对理解和应用后续章节内容至关重要第三章中值定理与导数的应用罗尔定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且fx[a,b]a,b，则存在∈，使几何上，罗尔定理表明连fa=fbξa,b fξ=0接曲线两端点的割线为水平线时，曲线上至少有一点的切线也是水平的拉格朗日中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在fx[a,b]a,b∈，使几何上，这表明曲线上至少ξa,b fξ=fb-fa/b-a有一点的切线与割线平行物理与几何意义拉格朗日中值定理的物理意义是物体在时间段内的平均速度[a,b]等于它在某一时刻的瞬时速度几何上，它表明曲线上存在一点，ξ该点处的切线斜率等于两端点连线的斜率柯西中值定理与泰勒公式柯西中值定理泰勒公式若函数和在闭区间上连续，在开区间内可导，若函数在点的某个邻域内有阶导数，则对该邻域内的fx gx[a,b]a,b fx x0n+1且对任意∈，，则存在∈，使任意点，有x a,b gx≠0ξa,b x[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξfx=fx0+fx0x-x0+fx0x-x0²/2!+...+f^nx0x-x0^n/n!+R_nx柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式，当时，柯gx=x西中值定理即为拉格朗日中值定理其中称为余项，表示近似的误差R_nx泰勒公式的应用常用泰勒展开式泰勒公式是函数局部近似的强大工具，主要应用包括一些常用函数在处的麦克劳林展开式（泰勒公式特例）x=0函数值近似计算，如•e^

0.1≈1+

0.1+

0.1²/2=

1.105•e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...极限计算，特别是型和型不定式•0/0∞/∞•sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...误差分析与函数近似理论••cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-...物理和工程中的小扰动分析••ln1+x=x-x²/2+x³/3-...-1洛必达法则洛必达法则是处理不定式极限的有力工具若且（型不定式），或且（型不定式），则在一lim fx=0lim gx=00/0lim fx=∞limgx=∞∞/∞定条件下，这一法则由法国数学家洛必达提出，但证明归功于瑞士数学家伯努利lim fx/gx=limfx/gx洛必达法则使用时需注意几点必须先验证极限确实为不定式；分子分母的导数必须存在；导数之比的极限必须存在或为无穷大；可1234能需要多次应用法则；若导数之比仍为不定式，可反复使用该法则5例题求极限解析原式为型不定式应用洛必达法则，得仍为型不定式，再次应limx→0e^x-1-x/x^20/0limx→0e^x-1/2x0/0用洛必达法则，得另外，有些极限问题可用洛必达法则，但使用其他方法如泰勒公式更简便，应灵活选择limx→0e^x/2=1/2单调性与极值13导数与单调性极值的必要条件若函数在区间上可导且，则在上严格单若函数在点处取得极值，且存在，则必有fx Ifx0fx Ifx x0fx0调递增；若，则在上严格单调递减fx0fx Ifx0=02极值的充分条件若且在从负变正，则为极小值；fx0=0fx x0fx0若从正变负，则为极大值函数的单调性与极值研究在理论和应用中都极为重要通过分析函数的一阶导数，我们可以确定函数的单调区间而函数的极值点（局部最大值或最小值）是函数图像的重要特征点，其必要条件是导数为零或导数不存在求解极值的一般步骤是求函数的导数；解方程，并找出导数不存在的点，这些点是极值的候选1fx2fx=0点；通过导数符号的变化或二阶导数测试来确定每个候选点是极大值点、极小值点还是非极值点若，3fx0≠0则当时，为极大值点；当时，为极小值点fx00x0fx00x0在实际应用中，极值问题常见于最优化问题，如求最大利润、最小成本、最佳设计参数等这类问题通常需要先建立目标函数，然后应用导数工具求解极值而函数的单调性分析则有助于理解函数的整体变化趋势，对函数绘图和性质研究有重要意义函数的凹凸性与拐点凹凸性的定义若函数在区间上的图像位于其任意两点连线的下方，则称在上是凹的（也称上凸）；fx Ifx I若图像位于连线的上方，则称在上是凸的（也称下凸）凹凸性描述了曲线的弯曲方向fx I二阶导数与凹凸性若函数在区间上有二阶导数，则当时，在上是凹的（上凸）；当fx Ifx0fx I时，在上是凸的（下凸）二阶导数的符号为判断函数凹凸性提供了简便方fx0fxI法拐点的定义函数图像由凹变凸或由凸变凹的点称为拐点在拐点处，曲线的凹凸性发生变化若点是拐点，则是方程的根或不存在的点，且在处x0,fx0x0fx=0fx fx x0变号拐点的应用拐点在曲线绘制和应用问题中具有重要意义例如，在流行病学中，疫情曲线的拐点表示感染率开始下降的时刻；在经济学中，成本曲线的拐点表示边际成本开始增加的产量找拐点的步骤是求解，并检验在该点是否变号fx=0fx曲率与曲线的方程曲率的定义曲率计算公式曲线在点处的曲率定义为曲线在该点对于以表示的曲线，其曲率公式P ky=fx的弯曲程度的度量若将参数理解为时为对于参t k=|y|/[1+y²]^3/21间，为弧长，为切线的倾角，则数方程，表示的曲线，曲sφx=xt y=yt2曲率越大，曲线在该点弯率k=|dφ/ds|k=|xy-yx|/[x²+y²]^3/2曲得越厉害这些公式是通过微分几何推导得出的常见曲线曲率曲率半径圆的曲率为常数，其中为圆的曲线在点处的曲率半径定义为曲率的k=1/R RPρ4半径；直线的曲率为零；抛物线倒数几何上，曲率半径是与y=ax²ρ=1/k3在顶点处的曲率为曲率计算在曲线在点处具有二阶接触的圆的半径k=2|a|P道路设计、轨道规划、光学系统设计等曲率半径越大，曲线在该点越平缓领域有重要应用方程求近似解问题背景许多方程如无法用初等函数表示精确解，需要数值方法求近似解x³-2x-5=0牛顿迭代法原理利用函数图像的切线逐步逼近曲线与轴的交点x迭代公式推导3对方程，迭代公式为fx=0x=x-fx/fxₙ₊₁ₙₙₙ牛顿迭代法（也称牛顿拉夫森方法）是求解方程的有效数值方法其基本思想是选取一个初始值₀，作函数在点₀₀处的切线，切线-fx=0x y=fx x,fx与轴的交点作为下一个近似值₁重复这一过程，得到迭代序列，在一定条件下，该序列会收敛到方程的根x x{x}ₙ牛顿迭代法的优点是收敛速度快（二阶收敛），缺点是需要计算导数且对初值选择有一定要求使用时应注意初值₀要尽量靠近真实解；函数在迭代1x2区间应有连续导数；迭代过程中不应接近于零；需设定合适的终止条件，如或3fx4|x-x|ε|fx|εₙₙ₊₁ₙₙ例题用牛顿迭代法求方程的近似解解答令，则选取初值₀（因，，根在和之间），x³-x-1=0fx=x³-x-1fx=3x²-1x=1f1=-10f2=5012代入迭代公式，得₁×继续迭代，可得₂，₃，逐步逼近真实x=x-fx/fxx=1-1³-1-1/31²-1=1--1/2=

1.5x≈

1.347x≈

1.325ₙ₊₁ₙₙₙ解x≈

1.324第三章习题课1中值定理应用题2极值问题在区间上，函数满足，，且求函数的单调区间和极值[0,2]fx f0=3f2=7fx=x³-3x²+3x-1求证存在∈，使得fx≤3ξ0,2fξ=2解析由于fx=3x²-6x+3=3x²-2x+1=3x-1²解析由拉格朗日中值定理，存在∈，使得，所以，等号成立当且仅当因此，ξ0,2x-1²≥0fx≥0x=1函数在上单调递增，没有极值点fξ=f2-f0/2-0=7-3/2=2-∞,+∞3凹凸性与拐点4应用问题分析函数的凹凸性和拐点一个开口长方形容器的容积为立方厘米，求容器表fx=x⁴-4x³+6x²1000面积的最小值解析，fx=4x³-12x²+12x fx=12x²-当时，解析设长方体的底面长为，宽为，高为则有24x+12=12x²-2x+1=12x-1²≥0x=1x y z但不变号，所以函数在整个定义域上是凹的（上，容器表面积（没有顶面）f1=0xy·z=1000S=2xy+2xz+2yz凸），没有拐点利用约束条件消去，代入得z=1000/xy S令，，S=2xy+2000/y+2000/x∂S/∂x=0∂S/∂y=0解得，此时，为表面积的最小值x=y=10z=10S=600第四章不定积分不定积分的定义基本积分公式函数称为函数的原函数，如果对定义域内任意点都有常用的基本积分公式包括Fx fxx函数的所有原函数构成的集合称为的不定积分，Fx=fx fxfx•∫xⁿdx=x^n+1/n+1+C n≠-1记为，其中为任意常数∫fxdx=Fx+C C•∫dx/x=ln|x|+C不定积分是导数的逆运算，即求导的逆过程由于导函数的常数项•∫e^xdx=e^x+C导数为零，所以原函数总是包含一个任意常数几何上，不定积C分表示一族平行曲线，它们之间的差异仅在于纵向位置•∫a^xdx=a^x/lna+C a0,a≠1•∫sinxdx=-cosx+C•∫cosxdx=sinx+C•∫dx/cos²x=∫sec²xdx=tanx+C•∫dx/sin²x=∫csc²xdx=-cotx+C•∫dx/a²+x²=1/a·arctanx/a+C•∫dx/a²-x²=1/2a·ln|a+x/a-x|+C•∫dx/√a²-x²=arcsinx/a+C积分法则不定积分的基本法则包括线性法则，其中、为常数这表明积分运算对于函数的线性组合具有分配性质具体地说，∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+b∫gxdx a b积分运算可以分解为各项积分之和，并且常数因子可以提到积分号外面换元法是处理复合函数积分的重要技巧若令，则通过适当变量替换，可以将复杂积分转化为基本积分常用的换元有三u=gx∫fgx·gxdx=∫fudu角换元（适用于含±或的积分）、倒代换（适用于有理函数中分母次数高于分子时）和替换（适用于型积分）√a²x²√x²-a²u-fgx·gx分部积分法源于乘积求导法则，公式为适用情况包括积分中含有乘积形式的项，且其中一项是容易求导、另一项容易∫uxvxdx=uxvx-∫uxvxdx积分的函数，如、等在应用时，关键是选择合适的和，使得比原积分更容易计算∫xsinxdx∫x·lnxdx ux vx∫uxvxdx不定积分例题精讲有理函数积分求积分∫3x²-2x+4/x³-xdx解析先将分母因式分解然后进行部分分式展开x³-x=xx²-1=xx-1x+13x²-2x+4/x³-x=A/x+B/x-1+C/x+1解得，，，原积分等于A=2B=3C=-2∫2/x+3/x-1-2/x+1dx=2ln|x|+3ln|x-1|-2ln|x+1|+C三角函数积分求积分∫sin²xdx解析利用三角恒等式，得sin²x=1-cos2x/2∫sin²xdx=∫1-cos2x/2dx=x-sin2x/2/2+C=x/2-sin2x/4+C分部积分法求积分∫xlnxdx解析令，，则，应用分部积分公式u=lnx dv=xdx du=dx/xv=x²/2∫xlnxdx=x²lnx/2-∫x²/2xdx=x²lnx/2-∫x/2dx=x²lnx/2-x²/4+C=x²lnx-1/2/2+C换元法求积分∫cos3x+2dx解析令，则，原积分变为u=3x+2dx=du/3∫cos3x+2dx=∫cosu·1/3du=1/3∫cosudu=1/3sinu+C=1/3sin3x+2+C第五章定积分定积分的定义定积分的性质有界函数的积分存在性函数在闭区间上的定积分定义为定积分具有以下重要性质以下函数在闭区间上的定积分一定存fx[a,b][a,b]在线性性∫[a,b]fxdx=lim[n→∞]∑[i=1,n]fξ_iΔx_i•连续函数∫[a,b]αfx+βgxdx=α∫[a,b]fxdx+

1.其中区间被分成个小区间，是第[a,b]nΔx_iβ∫[a,b]gxdx有限个第一类间断点的分段连续函数

2.个小区间的长度，是第个小区间内的任iξ_i i积分区间可加性•单调函数意一点这一定义捕捉了无限分割、逐点

3.求值、求和取极限的过程，是黎曼积分的∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdx这些充分条件保证了积分的存在性，但不是核心思想不等式性质若在上，则•[a,b]fx≤gx必要条件一般来说，黎曼可积的条件是函∫[a,b]fxdx≤∫[a,b]gxdx数在积分区间上有界且不连续点集的测度为绝对值不等式•零|∫[a,b]fxdx|≤∫[a,b]|fx|dx积分中值定理若在上连续，•fx[a,b]则存在∈，使得ξ[a,b]∫[a,b]fxdx=fξb-a牛顿莱布尼茨公式-微积分基本定理连接微分学与积分学的桥梁1计算公式2，其中∫[a,b]fxdx=Fb-Fa Fx=fx证明思路利用积分上限为变量的定积分性质应用实例4大大简化了定积分的计算过程牛顿莱布尼茨公式（也称微积分基本定理）是微积分中最重要的定理之一，它建立了不定积分与定积分之间的联系该公式指出，若函数在闭区间上连续，是的-fx[a,b]Fx fx一个原函数，则通常将简记为或∫[a,b]fxdx=Fb-Fa Fb-Fa Fx|[a,b][Fx]_a^b这一公式的证明基于积分上限为变量的定积分的性质可以证明，即是的一个原函数因此，若是的任意一个原函数，则与Φx=∫[a,x]ftdtΦx=fxΦxfx Fx fxFxΦx只相差一个常数代入端点值可得Fx=Φx+C Fb-Fa=Φb-Φa=∫[a,b]ftdt牛顿莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数并计算端点值之差，极大地简化了定积分的求解过程这一公式同时揭示了积分与求导是互逆运算，体现了微积分的内在统一-性例如，计算，只需找出的原函数，然后计算∫[0,π/2]sinxdx sinx-cosx[-cosx]_0^π/2=-cosπ/2--cos0=0--1=1定积分计算方法变量替换法定积分中的换元法需要调整积分上下限若在中引入替换，其中，，且在上具有连续导数，则∫[a,b]fxdx x=φtφα=aφβ=bφt[α,β]典型应用如，令可转化为简单积分∫[a,b]fxdx=∫[α,β]fφt·φtdt∫[0,1]√1-x²dx x=sint分部积分法定积分的分部积分公式为此方法适用于被积函数为两函数乘积，且分别易于积分和求导的情况例如，∫[a,b]uxvxdx=[uxvx]_a^b-∫[a,b]uxvxdx可令，进行分部积分，得到简洁结果∫[0,1]xlnxdx u=lnx v=xdx对称性与周期性偶函数在对称区间上的积分；奇函数在对称区间上的积分周期函数的积分若，则∫[-a,a]fxdx=2∫[0,a]fxdx∫[-a,a]fxdx=0fx+T=fx这些性质可大大简化计算，如∫[a,a+nT]fxdx=n∫[a,a+T]fxdx∫[-π,π]sin²xdx=2∫[0,π]sin²xdx=π定积分在几何中的应用面积计算体积计算平面区域的面积是定积分最直观的应用曲线与旋转体的体积可通过定积分计算平面区域绕轴旋转形y=fxxx轴及直线、所围区域的面积为（当成的旋转体体积为；绕轴旋转时，体积x=a x=b S=∫[a,b]fxdx V=π∫[a,b]y²dx y时）对于曲线与所围区域，面积为为对于横截面面积已知的立体，其fx≥0y=fx y=gx V=2π∫[a,b]x·fxdx极坐标下，扇形区域面积为体积为，其中是位于处的横截面面S=∫[a,b]|fx-gx|dx V=∫[a,b]Axdx Axx积S=1/2∫[α,β]r²θdθ弧长计算表面积计算曲线在区间上的弧长为旋转曲面的面积也可通过定积分求得曲线在区间y=fx[a,b]y=fx对于参数方程，，上绕轴旋转形成的旋转面面积为L=∫[a,b]√1+fx²dx x=xt y=yt[a,b]x所确定的曲线，其弧长为绕轴旋转时，面积为α≤t≤βS=2π∫[a,b]y·√1+dy/dx²dx y极坐标下，曲线这些公式在工程设计L=∫[α,β]√dx/dt²+dy/dt²dt S=2π∫[a,b]x·√1+dy/dx²dx，的弧长为中非常有用r=rθα≤θ≤βL=∫[α,β]√r²+dr/dθ²dθ定积分在物理中的应用质量计算质心位置转动惯量对于密度不均匀的物体，其质量可物体质心的坐标可通过质量的一阶物体相对于轴的转动惯量是质量关通过定积分计算一维情况下，线矩确定一维情况下，密度为于该轴的二阶矩对于一维细杆，ρx密度为的细杆在区间上的的细杆的质心坐标为其相对于原点的转动惯量为ρx[a,b]质量为m=∫[a,b]ρxdx类似地，x̄=1/m∫[a,b]x·ρxdx，其中mI=∫[a,b]x²·ρxdx物体相对于不二维平面上密度为的薄片质为总质量二维和三维情况下有类同轴的转动惯量可通过平行轴定理ρx,y量为∬，三维空间中似公式，不同之处在于使用多重积或垂直轴定理转换，这在刚体力学m=ρx,ydA密度为的物体质量为分和考虑多个坐标分量中非常重要ρx,y,z∭m=ρx,y,zdV功与能量变力做功的计算是定积分的重要应用在一维情况下，力使物体Fx从点移动到点所做的功为a b在电学中，电W=∫[a,b]Fxdx容充电所需的能量为流体静E=1/2∫[0,Q]Vqdq力学中，液体压力引起的总力可通过积分计算第五章习题课第六章微分方程一阶可分离变量方程形如或（其中变量可分离）的微分方程称为可分dy/dx=gx·hy Mx,ydx+Nx,ydy=0离变量方程求解步骤将方程变形为，然后两边积分得hydy=gxdx这是最基本的一阶微分方程类型，如（指数增长模型）∫hydy=∫gxdx+C dy/dx=ky一阶齐次方程形如的微分方程称为一阶齐次方程求解时通常令，则，dy/dx=fy/x u=y/x y=ux，代入原方程可转化为变量可分离的方程齐次方程在经济学和工程学中dy=udx+xdu有广泛应用，如某些流体力学问题一阶线性方程形如的微分方程称为一阶线性方程标准求解方法是乘以积分因dy/dx+Pxy=Qx子，将方程转化为，然后两边积分线性方μx=e^∫Pxdx dμxy/dx=μxQx程在电路分析、混合问题和人口模型中常见伯努利方程形如（）的微分方程称为伯努利方程通过变量dy/dx+Pxy=Qxy^n n≠0,1替换，可将其转化为一阶线性方程伯努利方程在描述某些物理和生z=y^1-n物过程中非常有用，如物体冷却问题二阶微分方程简介二阶微分方程的一般形式二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶微分方程的一般形式为，形如（为常数）的方程形如的方程称为二阶常系Fx,y,y,y=0ay+by+cy=0a,b,c ay+by+cy=fx其中，二阶微分方称为二阶常系数线性齐次方程求解步骤数线性非齐次方程其通解为齐次方程的通y=dy/dx y=d²y/dx²程的阶由最高阶导数确定，在物理和工程应解加上非齐次方程的一个特解y=y_h+y_p用中尤为重要，如弹簧振动、电路分析等写出特征方程

1.ar²+br+c=0求特解主要方法有求特征方程的根₁和₂

2.r r二阶微分方程的通解通常包含两个任意常数，根据根的情况构造通解

3.常数变易法适用于任意•fx确定这些常数需要两个边界条件或初始条件若₁₂（两个不同实根），则根据方程系数的性质，二阶微分方程可分为•r≠r•待定系数法当fx为多项式、指数函₁₁₂₂数、正弦或余弦函数或它们的乘积时线性和非线性两大类，其中线性方程更易于y=C e^r x+C e^r x系统求解•若r₁=r₂（重根），则y=C₁+C₂xe^r₁x欧拉方程当时的特殊处理•fx=x^m若₁₂（共轭复根），•r=α+iβ,r=α-iβ例如，对于，特解形式可设为y-y=x则₁₂y=e^αxC cosβx+C sinβx，代入原方程确定系数y_p=Ax+B微分方程应用实例力学应用电路分析简谐振动是二阶微分方程的典型应用，方电路中，电流满足方程RLC i程形式为，其中为md²x/dt²+kx=0m，其Ld²i/dt²+Rdi/dt+1/Ci=Et质量，为弹簧常数解为k中为电感，为电阻，为电容，为L RC Et，为角频率x=Acosωt+φω=√k/m电动势该方程与简谐振动方程具有相同考虑阻尼和外力时，方程变为形式，反映了不同物理系统的数学一致性，描述md²x/dt²+cdx/dt+kx=Ft了更复杂的振动系统种群增长模型热传导问题马尔萨斯人口模型描述了无限dP/dt=kP物体冷却过程满足牛顿冷却定律，表达为资源下的指数增长，解为₀P=P e^kt₀，其中为物体温度，dT/dt=-kT-TT考虑资源限制的逻辑斯蒂模型₀为环境温度，为比例常数解为T k则更符合现实，其dP/dt=kP1-P/N₀₁₀，其中₁为T=T+T-T e^-kt T中为环境容纳量，其解为形曲线，反N S初始温度这是一阶线性微分方程的应用映了种群增长的自我调节性第七章空间解析几何与向量代数空间直角坐标系向量的基本概念向量的基本运算空间直角坐标系由三条互相垂直的坐标向量是具有大小和方向的量，可表示为向量加法轴构成，坐标轴的正方向符合右手法则有向线段若向量以点为起点，点为₁₂₁₂₁₂几何A Ba+b=x+x,y+y,z+z空间中任一点可用有序数组唯一终点，则记为向量向量可用三维坐上表现为三角形法则或平行四边形法则P x,y,z AB确定，其中、、分别是点到平面、标表示若₁₁₁，向量减法₁₂₁x yz Pyz Ax,y,za-b=x-x,y-平面和平面的有向距离₂₂₂，则₂₁₂₂₁₂xz xyBx,y,zAB=x-x,y-y,z-z向量的数乘当时，λa=λx,λy,λzλ0₁₂₁y,z-z向量的模表示向量的长度，与同向；当时，与反向；当|a|λa aλ0λa a两点间距离公式若₁₁₁₁、，其中单位时，为零向量向量的线性组合P x,y,z|a|=√x²+y²+z²a=x,y,zλ=0λa₂₂₂₂，则向量是模为的向量，可由非零向量归₁₁₂₂，其中为P x,y,z1a c=λa+λa+...+λaλᵢₙₙ₁₂₂₁₂一化得到零向量的模为，实数|P P|=√[x-x²+y-e_a=a/|a|0₁₂₁点到原点的距离称方向不确定y²+z-z²]两个向量平行的充要条件是存在非零实为该点的径距数，使得这一概念在空间直线λa=λb和平面方程中有重要应用空间直线与平面方程平面方程类型表达式含义一般式系数确定平面法向量Ax+By+Cz+D=0A,B,C点法式₀₀₀过点₀₀₀₀且法向量为x-x,y-y,z-z·n=0P x,y,zn的平面截距式分别为平面在三轴上的截距x/a+y/b+z/c=1a,b,c参数式₀₁₂过点₀且含有两个线性无关的方向r=r+sv+tv r向量₁₂v,v直线方程类型表达式含义参数式₀过点₀₀₀₀，方向向量x=x+st Px,y,z₀为的直线y=y+st s₀z=z+st标准式₀₀₀过点₀₀₀₀，方向数为x-x/m=y-y/n=z-z/p Px,y,z的直线m,n,p两平面交线₁₁₁₁两个平面的交线，方向向量为两平A x+B y+C z+D=0₂₂₂₂面法向量的叉积A x+B y+C z+D=0平面和直线是空间中最基本的几何对象平面可以由一个点和一个法向量唯一确定，或由不共线的三点确定直线可以由一个点和一个方向向量确定，或由两个不同点确定空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面有各种位置关系，如平行、垂直、相交等，这些关系可以通过相应的向量运算判断空间曲面与曲线空间曲面是满足方程的点集常见的基本曲面包括球面，方程为₀₀₀，表示以点₀₀₀为中心，半径为的球面；Fx,y,z=0x-x²+y-y²+z-z²=R²x,y,zR柱面，由一条直线（母线）沿着某条曲线（准线）平行移动而成，如圆柱面；锥面，由一条直线通过定点并沿着某条曲线移动而成，如圆锥面x²+y²=R²z²=x²+y²二次曲面是由二元二次方程表示的曲面，包括椭球面、抛物面、双曲面等通过坐标变换，二次曲面可以化为标准形式例如，椭球面的标准方程为Fx,y,z=0，其中、、为三个半轴长度x²/a²+y²/b²+z²/c²=1a bc空间曲线通常是两个曲面的交线，可以用参数方程表示，或用两个方程组，表示常见的空间曲线有螺旋线，其参数方程为，r=rt Fx,y,z=0Gx,y,z=0x=acost，，表示一个点沿着半径为的圆柱面螺旋上升，每转一圈上升高度为空间曲线的切线、法平面等概念在微分几何中有深入研究y=asint z=bt a2πb向量应用举例向量的点乘点乘（内积）定义₁₂₁₂₁₂，其中是两向量间的夹角点乘的几何a·b=|a||b|cosθ=xx+y y+z zθ意义是一个向量在另一个向量方向上的投影与后者模长的乘积点乘的应用包括计算向量间夹角，判断向量垂直（），计算向量在某方向的投影，计算功等cosθ=a·b/|a||b|a·b=0W=F·s向量的叉乘叉乘（外积）定义×是一个向量，其方向垂直于和所在平面，符合右手法则，大小为a ba b×代数表达式×₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂叉乘的|a b|=|a||b|sinθa b=yz-z y,z x-x z,x y-y x几何意义是以两向量为邻边的平行四边形面积叉乘的应用包括求垂直于两向量的方向，计算平行四边形面积，判断向量共线（×），计算力矩×等a b=0M=r F混合积与几何应用三向量的混合积定义为×，表示以三向量为棱的平行六面体的有向体积代数表达式为行列式ab·c₁₂₃₁₂₃₁₂₃混合积的应用包括计算平行六面体体积，判断三向量共|a aa;b bb;c cc|面（混合积为零），判断四点共面等实际问题解决向量方法常用于解决物理和几何问题例如，求由三点、、确定的平面方程可先求两边向量A BC AB和，然后计算法向量×，最后写出点法式方程又如判断两直线的位置关系若方向向量AC n=AB AC平行且两直线有公共点，则共线；若方向向量平行但没有公共点，则平行；若方向向量不平行且混合积为零，则相交；否则异面第八章多元函数微分法多元函数的基本概念极限与连续性偏导数多元函数是指因变量的值依赖于两个或多元函数的极限表示为二元函数对的偏导数定义为fx,y x更多自变量的函数二元函数表示为₀₀，表示当△△limx,y→x,y fx,y=A f_xx,y=lim x→0[fx+x,y-，几何上对应一个曲面三元及点沿任意路径无限接近点₀₀△，表示当保持不变，仅变z=fx,y x,y x,yfx,y]/xy x以上的函数则对应高维空间中的超曲面时，函数值无限接近于多元函化时函数值的变化率类似地定义对的fx,y Ay数极限的存在性比一元函数更复杂，需偏导数f_yx,y要考虑所有可能的接近路径多元函数的定义域是满足函数定义的所偏导数的几何解释₀₀表示曲f_xx,y有自变量取值的集合，通常是维空间多元函数在点₀₀连续，是指面在点₀₀₀₀处，n fx,y x,yz=fx,y x,y,fx,y的子集函数的值域是因变量所有可₀₀₀₀沿方向的切线斜率；₀₀表示Rⁿlimx,y→x,y fx,y=fx,yxf_yx,y能取值的集合例如，二元函数多元连续函数也具有有界性、最大值最沿方向的切线斜率偏导数计算时，将y的定义域是圆盘小值定理等性质连续性是后续讨论可其他变量视为常数，然后套用一元函数fx,y=√1-x²-y²，值域是微性的基础求导法则x²+y²≤1[0,1]方向导数与梯度方向导数的定义函数在点₀₀₀沿单位向量的方向导数，定义为fx,y Px,yl=cosα,sinα₀₀₀₀∂f/∂l=limt→0[fx+tcosα,y+tsinα-fx,y]/t它表示函数在点₀沿方向的变化率方向导数是偏导数的推广，当方向分别为轴和轴正方向时，方向导数即为偏导数P l l xy和f_xf_y梯度的定义函数在点₀₀₀的梯度定义为fx,y Px,y₀₀∇₀₀₀₀₀₀grad fx,y=fx,y=f_xx,y,f_yx,y它是一个向量，指向函数在该点增长最快的方向梯度的模∇表示最大方向导数值三元及更高维函数的梯度类似定义，|f|只是向量维数增加方向导数与梯度的关系函数在点₀沿单位向量的方向导数可以表示为梯度与方向的内积fx,y Pl∇∇∂f/∂l=f·l=|f|cosθ其中是梯度向量与方向的夹角这一关系表明当与梯度方向一致时，方向导数取最大值∇；当与梯度方向相反时，θll|f|l方向导数取最小值∇；当垂直于梯度时，方向导数为零-|f|l梯度的应用梯度有很多重要应用函数的等值线上任一点的梯度垂直于该点的等值线•fx,y fx,y=C梯度可用于确定函数的增减方向，在优化问题中常用梯度下降法求解极小值•物理中，温度场的梯度表示热流方向，势能场的梯度表示力的方向与大小•等势面（）上任一点的梯度垂直于该点的等势面，即为该点的法向量•fx,y,z=C多元复合函数与隐函数微分多元复合函数求导全微分当，而，时，复合函数关于的导函数的全微分定义为z=fx,y x=xt y=yt z=fxt,yt tz=fx,y数为dz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydydz/dt=∂z/∂x·dx/dt+∂z/∂y·dy/dt它表示自变量有微小变化时，函数值的近似变化量全微分可用于误这是一元链式法则的推广，表示复合函数的导数等于各中间变量偏导差分析和近似计算，如△△△z≈dz=∂z/∂xx+∂z/∂y y数与对应变量导数的乘积之和隐函数求导隐函数应用实例若确定为的隐函数，且，则对的导数为例如，对隐函数，求Fx,y=0yxF_y≠0yxx²+y²=1y解令，则，dy/dx=-F_x/F_y Fx,y=x²+y²-1F_x=2xF_y=2y这一结果可通过全微分推导类似地，方程由隐函数求导公式，dF=F_xdx+F_ydy=0y=-F_x/F_y=-2x/2y=-x/y确定为的隐函数时，有偏导数Fx,y,z=0z x,y几何上，这表示圆上点处切线的斜率隐函数求导在物x²+y²=1x,y，理和工程问题中有广泛应用，如求解约束条件下的相关变量变化率∂z/∂x=-F_x/F_z∂z/∂y=-F_y/F_z多元函数极值临界点的概念函数的偏导数同时为零的点，即满足₀₀且z=fx,y f_xx,y=0₀₀的点₀₀，称为临界点（驻点）临界点是多元函数f_yx,y=0x,y可能取得极值的候选点，但不是所有临界点都是极值点二元函数极值判定对临界点₀₀，设₀₀，x,yA=f_xxx,y₀₀₀₀，₀₀，判别式△B=f_xyx,y=f_yxx,yC=f_yyx,y=AC-B²则若△且，则₀₀为极大值点•0A0x,y条件极值与拉格朗日乘数法3若△且，则₀₀为极小值点•0A0x,y求函数z=fx,y在约束条件gx,y=0下的极值，可构造拉格朗日函数•若△0，则x₀,y₀为鞍点（非极值点）Lx,y,λ=fx,y-λgx,y，然后解方程组•若△=0，需进一步讨论•∂L/∂x=f_x-λg_x=0•∂L/∂y=f_y-λg_y=04实际优化问题•∂L/∂λ=-gx,y=0多元函数极值理论在经济学、工程学等领域有广泛应用例如，求生产函解得的点₀₀是条件极值的候选点拉格朗日乘数表示约束条件对x,yλ数在成本约束下的最大值，可用拉格朗日乘数法求解又fx,y px+qy=m目标函数的影响程度如，求三个正数在满足条件下使最大，这类问题在优化x,y,z x+y+z=a xyz设计中常见第九章重积分二重积分的定义二重积分是单变量定积分的推广，表示函数在平面区域上的累积效应1计算方法二重积分可转化为二次积分，即两个嵌套的单变量定积分坐标变换极坐标变换简化圆形区域积分，雅可比行列式表示微元变换应用示例4计算曲面面积、质量、质心、转动惯量等物理量二重积分∬表示函数在平面区域上的累积从几何角度看，当时，二重积分表示以为底，以为顶的立体体积计算二重积分的主要方法是将其转D fx,ydxdy fx,y D fx,y≥0D z=fx,y化为累次积分（迭代积分），即先对一个变量积分，再对另一个变量积分累次积分的顺序与区域形状有关对于直角坐标系下的型区域（由两条常数的直线和两个函数₁和₂所围区域），有∬₁₂xx=y=g xy=g xDfx,ydxdy=∫a^b[∫g x^g x类似地，对于型区域，则先对积分再对积分积分顺序的选择应根据积分难易程度和区域特点灵活决定fx,ydy]dx yxy三重积分∭是二重积分的自然推广，表示函数在空间区域中的累积计算方法同样是转化为累次积分，但有三层嵌套在特殊坐标系（如柱坐标、球坐标）下，适当V fx,y,zdxdydz fV的坐标变换可以大大简化计算例如，对于球形区域，采用球坐标变换后，积分微元变为，其中为径向距离，为天顶角，为方位角dxdydzρ²sinφdρdφdθρφθ第十章曲线积分与曲面积分23类型公式曲线积分分为第一类（对弧长的积分）和第二类（对坐标格林公式、斯托克斯公式和高斯公式建立了不同维度积分的积分），功能和计算方法不同间的联系1定义曲线积分表示函数沿曲线的累积，曲面积分表示函数在曲面上的累积曲线积分是定积分在曲线上的推广第一类曲线积分表示函数沿曲线的累积，其中为弧长微元，适∫_L fx,yds fx,y Lds用于计算质量、电荷等物理量计算时可将曲线参数化为，，则积分变为rt=xt,yt a≤t≤b∫_a^bfxt,yt·√[dx/dt²+dy/dt²]dt第二类曲线积分表示向量场沿曲线的线积分，物理意义是计算力沿路径做功当曲线∫_L Px,ydx+Qx,ydy F=P,Q LL为闭合曲线时，格林公式建立了第二类曲线积分与二重积分的联系∮∬_L Px,ydx+Qx,ydy=_D∂Q/∂x-，其中为所围区域这一公式可用于简化计算或判断积分与路径的关系∂P/∂ydxdy DL曲面积分类似地分为两类第一类曲面积分∬表示函数在曲面上的累积；第二类曲面积分∬_S fx,y,zdS_S表示向量场通过曲面的通量斯托克斯定理建立了曲线积分与曲面积分的联Px,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy系，而高斯定理（散度定理）则将曲面积分与三重积分联系起来这些定理体现了向量分析的统一性，是电磁学和流体力学的数学基础第十一章无穷级数数项级数形如的无限和，其中为常数关键问题是判断级数的收敛性和求和常用收敛判别法包括比较∑a_n a_n判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等幂级数形如₀的函数级数幂级数在其收敛区间内有良好性质，可以逐项求导、逐项积分泰勒级∑a_nx-x^n数是最重要的幂级数，表示解析函数的局部展开傅立叶级数用三角函数的和表示周期函数，形如₀傅立叶级数广泛应用于fx=a/2+∑a_n·cosnx+b_n·sinnx信号处理、偏微分方程求解等领域无穷级数是高等数学的重要内容，是分析许多复杂问题的强大工具数项级数的部分和序列，其中∑a_n{S_n}₁₂，若存在极限，则称级数收敛，为级数和；否则发散正项级数（所有项均为S_n=a+a+...+a_n limn→∞S_n=S S正数）的收敛性判断相对简单，常用比较判别法或积分判别法交错级数（正负项交替出现）可用莱布尼茨判别法若单调递减且趋于零，则级数收敛|a_n|幂级数₀是系数为常数、自变量为幂函数的级数每个幂级数都有其收敛半径，在₀外发散收∑a_nx-x^n R|x-x|R敛半径可通过公式计算（若极限存在）幂级数的重要性质是可以在收敛区间内逐项微R=1/limn→∞|a_n+1/a_n|分和积分，保持收敛半径不变这使得幂级数成为求解微分方程的有力工具傅立叶级数将周期函数表示为三角函数的无穷和，系数通过积分公式计算₍₋，a_n=1/π∫^p fx·cosnxdxₚ₎₍₋，其中为函数周期的一半傅立叶级数的核心思想是将复杂函数分解为简单频b_n=1/π∫^p fx·sinnxdx pₚ₎率成分的叠加，这一思想已扩展到傅立叶变换，成为现代信号处理的基础对于满足狄利克雷条件的函数，其傅立叶级数在连续点处收敛于函数值，在间断点处收敛于左右极限的平均值课程总结与复习建议知识结构梳理重点难点归纳学业规划与提升建议高等数学是一个有机整体，各章节之间有密切联系函数与极重点难点包括极限求解技巧、导数的几何和物理意义、定积高等数学学习是一个循序渐进的过程，建议（）打好基础，1限是基础，导数与积分是两大核心，微分方程、向量分析和级分的计算方法和应用、多元函数的偏导数与全微分、向量分析切勿囫囵吞枣；（）多做习题，提高解题能力；（）结合专23数是重要应用领域建议绘制知识地图，将公式、定理和应用中的场论和积分定理、微分方程的解法与应用这些内容不仅业，关注应用；（）善用资源，如教材、网络课程、学习小4场景关联起来，形成网状结构而非线性记忆理解概念的内涵是考试重点，也是后续专业课程的基础复习时应多做典型例组等对有志深造的学生，建议拓展阅读数学分析、实变函数、和外延，把握定理的条件和结论，掌握公式的适用范围和推导题，理解解题思路和方法，培养数学直觉和问题解决能力复变函数等进阶内容，为专业发展奠定坚实基础过程高等数学是大学理工科专业的基础课程，它不仅是一门学科，更是一种思维方式通过本课程的学习，你应该掌握了微积分的基本概念、理论和方法，培养了抽象思维、逻辑推理和空间想象能力，建立了用数学模型分析和解决实际问题的意识复习时应采取多层次、多角度的策略第一层次是概念和定理，理解其内涵和相互关系；第二层次是方法和技巧，掌握各类问题的解题思路；第三层次是应用和拓展，将数学知识与专业问题结合建议制定详细的复习计划，合理分配时间，重点攻克难点内容，并通过做题来检验学习效果数学是科学的语言，高等数学的学习并不止于课程结束希望你能将所学知识应用于专业学习和科研实践，不断拓展数学视野，提升解决复杂问题的能力记住，数学不仅是工具，也是一种文化和艺术，它能带给人思维的乐趣和创造的快乐祝愿大家在数学学习的道路上取得更大进步！。