《张志宏-高等数学》课件

张志宏《高等数学》课件PPT欢迎学习张志宏教授主讲的《高等数学》课程本课程是理工科学生的基础必修课，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力本课程适用于大学一年级理工科学生，通过系统学习函数、极限、微积分、级数等知识，为后续专业课程打下坚实基础教学目标是使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，能够运用数学知识解决工程技术中的实际问题张志宏教授拥有丰富的教学经验，曾获多项教学奖励，其授课深入浅出，善于用生动的例子阐述抽象的数学概念，深受学生喜爱课程内容结构第六章多元函数微分法多元函数、偏导数、多重积分第五章数项级数与函数项级数收敛性、幂级数、泰勒级数第四章定积分定义、性质、几何应用第三章不定积分积分方法、公式推导第二章导数与微分微分学基础、应用第一章函数与极限函数概念、极限理论本课程分为六大章节模块，由浅入深、循序渐进地介绍高等数学的核心内容课程难点主要集中在极限概念的理解、微分中值定理的应用、各类积分技巧的掌握以及多元函数及其应用等方面通过科学的课程设计，将抽象的数学理论与具体的应用实例相结合，帮助学生建立完整的数学知识体系，提高数学素养和解决问题的能力第一章函数与极限集合及其运算实数与数集介绍集合的基本概念和运算方法2系统讲解实数的性质与数集概念1函数概念与性质详细阐述函数的定义、性质及分类35连续性与间断点极限理论分析函数的连续性质和间断点类型4深入讲解数列极限和函数极限第一章是高等数学的基础，建立了数学分析的理论框架本章重点在于帮助学生建立函数与极限的基本概念，掌握极限的计算方法，理解函数连续性的判定条件，为后续学习微积分奠定基础学习本章内容时，应注重理论与实践相结合，通过大量习题巩固知识点，培养严谨的数学思维和解题能力特别要重视语言的理解和运用，这ε-δ是理解极限本质的关键实数与数集数系的扩充过程实数的基本性质数系的发展经历了从自然数到整数，再到有理数，最后到实数实数具有一系列重要性质，这些性质是高等数学研究的基础的扩充过程这一过程反映了人类认识数量关系的不断深入有序性任意两个实数可比较大小•自然数最基本的计数工具•N稠密性任意两个实数之间存在无穷多个实数•整数引入负数概念•Z完备性确保极限过程的有效性•有理数表示分数形式•Q阿基米德性质保证量的无限可分•实数包含无理数，填补数轴•R实数集的完备性是分析学的基础，它保证了收敛数列必有极限这一关键性质集合及其运算集合的基本概念常见数集集合运算集合是具有某种特定性质的事物的全体，用高等数学中经常涉及的数集包括基本运算包括大写字母、、等表示集合中的事物称A BC自然数集交集∈且∈•N={1,2,3,...}•A∩B={x|x Ax B}为元素，用小写字母、、等表示元素a bc整数集并集∪∈或∈•Z={...,-2,-1,0,1,2,...}•A B={x|x Ax B}与集合的关系用符号∈和∉表示有理数集∈差集∈且∉•Q={p/q|p,q Z,q≠0}•A\B={x|x Ax B}常见的表示方法有列举法和描述法实数集补集∈且∉•R=-∞,+∞•AC={x|x Ux A}列举法•A={a,b,c,...}描述法具有性质•B={x|x P}函数的基本概念映射的定义设、是两个非空集合，如果存在一个对应法则，使得对于每个∈，有唯一确定的元X Y f xX素∈与之对应，则称为从到的映射，记作y Yf X Yf:X→Y映射的三要素定义域、值域的子集、对应法则XYf映射的分类单射不同元素映射到不同值•满射值域等于•Y双射既是单射又是满射•函数是从实数集或其子集到实数集的映射常见基本函数常数函数•fx=C幂函数•fx=xα指数函数•fx=ax a0,a≠1对数函数•fx=logax a0,a≠1三角函数等•sin x,cos x,tan x反三角函数等•arcsin x,arccos x函数的性质与表示函数的主要性质函数的表示方法函数的基本性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性这些函数可以通过多种方式表示，包括解析式、表格、图像和计算性质对函数的研究和应用具有重要意义机程序等有界性在定义域内有上下界解析式表示是最常用的方法，例如•单调性递增或递减特性•显式表示•y=fx奇偶性±的特性•f-x=fx隐式表示•Fx,y=0周期性重复变化规律•参数表示•x=φt,y=ψt掌握这些性质有助于分析函数图像特征、求解函数值范围以及函数图像是函数的几何表示，通过描点法或利用性质特征进行简化计算过程绘制，能直观反映函数的整体特征初等函数与反函数指数函数与对数函数三角函数反函数指数函数与对数函数三角函数是周期函数的典型代表，包括正反函数的定义若函数为单射，则fx=axa0,a≠1y=fx互为反函数当时，指数弦函数、余弦函数、正切函数等正弦和可定义其反函数反函数与原函gx=logax a1x=f-1y函数单调递增；当余弦函数的周期为，值域为；数的图像关于直线对称反三角函数02π[-1,1]y=x正切函数的周期为，值域为如、和是三角π-∞,+∞arcsin xarccos xarctan x函数的反函数，在数值计算和物理应用中有重要作用函数的复合与分段复合函数的定义1设函数和的定义域分别为和，且⊂，则可定义复合函数y=fu u=gx DG gGD y=f[gx]复合函数的性质2复合函数的单调性、有界性等通常需要从原函数推导分段函数的表示3在不同区间用不同表达式定义的函数，如绝对值函数、取整函数等典型例题分析4复合函数定义域确定、分段函数连续性讨论等极限的概念数列极限函数极限数列极限是指数列的项无限接近于某一确定值的过程对于数函数极限分为自变量趋于有限值和趋于无穷两种情况以x→a列，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在为例，如果对于任意给定的正数，存在正数，当时，{an}Aεεδ0|x-a|δ正整数，当时，都有，则称为数列的极有，则称为函数当时的极限，记作N nN|an-A|εA{an}|fx-A|εA fx x→a限，记作limn→∞an=A limx→afx=A数列极限的典型例子包括自变量趋于无穷的极限类似定义函数极限的典型例子•limn→∞1/n=0•limx→0sin x/x=1•limn→∞1+1/nn=e•limx→∞1+1/xx=e•limn→∞q^n=0|q|1极限定理及运算法则四则运算法则夹逼定理无穷小与无穷大若，，则若存在，当时，有无穷小是极限为零的变量，无穷大是lim fx=A lim gx=B N0nN，且绝对值可以超过任何正数的变量两gn≤fn≤hn limgn=lim

①±±lim[fx gx]=lim fxlim，则者存在重要联系若是无穷大，则hn=A limfn=Aα±gx=A B是无穷小；反之，若是非零无穷1/αβ函数夹逼定理类似这是处理复杂极

②lim[fx·gx]=lim fx·lim小，则是无穷大1/β限问题的有力工具，如著名的极限gx=A·B的证明无穷小之间可比较高阶、同阶和等价limx→0sin x/x=1

③lim[fx/gx]=lim fx/lim关系，简化复杂极限计算gx=A/B B≠0无穷小与无穷大无穷小的定义如果函数当₀或时的极限为零，则称为当₀或时的无穷小简单地说，无穷小就是极限fx x→x x→∞fx x→x x→∞为零的变量无穷小具有以下性质有限个无穷小的和是无穷小•有界函数与无穷小的乘积是无穷小•无穷小的有限次方仍是无穷小•无穷大的定义如果函数当₀或时，的值可以超过任何给定的正数，则称为当₀或时的无穷大fx x→x x→∞|fx|fx x→x x→∞无穷大与无穷小互为倒数如果是无穷大，则是无穷小；如果是非零无穷小，则是无穷大这一性α1/αβ1/β质在极限计算中有重要应用等价无穷小如果，则称与是同一量级的无穷小，记作常用的等价无穷小关系有lim[fx/gx]=1fx gx fx~gx•sin x~x x→0•tan x~x x→0•1-cos x~x²/2x→0•ln1+x~x x→0•eˣ-1~x x→0利用等价无穷小替换可以简化极限计算过程函数连续性的判定连续的定义连续函数的性质连续性的判定方法函数在点₀连续，是指连续函数拥有多种良好性质，四则运算、复合函数连续性fx x₀₀这如在闭区间上的有界性、最定理是判定函数连续性的主limx→x fx=fx等价于三个条件

①在大值和最小值定理、介值定要工具基本初等函数在其fx₀有定义；理等这些性质在应用问题定义域上都是连续的，由它x

②₀存在；

③中有重要作用，如方程解的们通过连续运算构成的函数limx→x fx极限值等于函数值存在性证明也是连续的间断点分类函数的间断点可分为第一类（可去和跳跃）和第二类间断点判断间断点类型对理解函数行为至关重要，也是解决实际问题的基础间断点分析间断点是函数不连续的点，按照其性质可分为以下几类可去间断点跳跃间断点本性间断点函数在点₀的左右极限存在且相等，但不等于函数在点₀的左右极限都存在但不相等，这时函数在点₀的左极限或右极限至少有一个不存fx x fx xfx x₀或₀无定义通过重新定义函数值可以使函数图像在该点有跳跃，称为跳跃间断点在，称为本性间断点又可分为无穷间断点和振荡间fxfx函数在该点连续，因此称为可去间断点断点例如（取整函数）在每个整数点都是跳跃fx=[x]例如时，为可去间间断点，左右极限相差例如在处为无穷间断点；fx=x²-1/x-1,x≠1x=11fx=1/x x=0断点，因为左右极限均为在处为振荡间断点2fx=sin1/x x=0第二章导数与微分导数的定义与基本计算1导数的概念、几何意义和物理意义，以及基本求导法则和技巧高阶导数与微分2高阶导数的定义与计算，微分的概念及其应用微分中值定理3罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及其应用导数的应用4泰勒公式、洛必达法则以及函数的单调性、极值和凹凸性分析微分学是研究函数的局部变化率的学科，是高等数学的核心内容之一导数作为瞬时变化率的数学表达，在物理学、经济学等领域有广泛应用本章将系统讲解导数的定义、计算方法以及在解决实际问题中的应用导数定义与几何意义导数的定义几何意义函数在点₀处的导数定义为导数的几何意义是曲线在点₀₀处的切线斜率y=fx xy=fx x,fx₀₀₀切线方程可以表示为fx=limΔx→0[fx+Δx-fx]/Δx或写成₀₀₀y-fx=fx x-x₀₀₀导数为正值表示函数在该点处递增，导数为负值表示函数在该点处递减，导数为零表示函数在该点处的fx=limh→0[fx+h-fx]/h切线平行于轴x如果这个极限存在，则称函数在点₀处可导可导的充分必要条件是左导数等于右导数fx x法线是与切线垂直的直线，其斜率为₀（当₀时）-1/fxfx≠0导数也可表示为或dy/dx Dfx基本求导法则410+四则运算法则初等函数导数函数和、差、积、商的求导公式常见基本函数的导数公式5复合函数求导链式法则的基本应用形式函数导数公式（常数）c0⁻xⁿn·xⁿ¹sin x cos xcos x-sin xeˣeˣln x1/x±±ux vx ux vxux·vx uxvx+uxvxux/vx[uxvx-uxvx]/[vx]²求导是微积分的基本操作，掌握这些公式对解决科学和工程问题至关重要通过综合运用这些法则，可以计算复杂函数的导数练习时应注重公式的灵活应用，理解导数的物理意义复合函数与链式法则复合函数链式法则求导公式对于复合函数，其中且导数为y=f[gx]y=fu u=gx dy/dx=dy/du·du/dx{f[gx]}=f[gx]·gx链式法则推导常用复合函数求导实例解析设，，则根据导数定义复合函数求导的典型例子例题求函数的导数y=fu u=gx fx=sin²2x+1解令，，dy/dx=limΔx→0[fgx+Δx-•sin ax=a·cos axu=2x+1v=sin uy=v²fgx]/Δx•ln|gx|=gx/gx则fx=2·sin u·cos令，当时，，Δu=gx+Δx-gxΔx→0Δu→0•e^gx=gx·e^gx u·2=4·sin2x+1·cos2x+1=2·sin[22x+1]则•[gx]^n=n·[gx]^n-1·gx即dy/dx=limΔu→0[fgx+Δu-fx=2·sin4x+2fgx]/Δu·limΔx→0[gx+Δx-gx]/Δx=dy/du·du/dx隐函数与参数方程求导隐函数求导法参数方程求导对于由方程所确定的隐函数，求导步骤如下对于由参数方程，所确定的曲线，其导数为Fx,y=0y=yx x=φt y=ψt对方程两边关于求导（当时）

1.x dy/dx=dy/dt/dx/dt=ψt/φtφt≠0将视为的函数，应用复合函数求导法则

2.y x例如，对于参数方程，（圆的参数方程），求x=acost y=asint解出

3.ydy/dx例如，对于方程，求x²+y²=a²ydx/dt=-a·sint,dy/dt=a·cost2x+2y·y=0故dy/dx=a·cost/-a·sint=-cot t解得y=-x/y结合，，可得，与隐函数求导结果一x=acost y=asint y=-x/y致这一结果表明圆上任一点的切线斜率等于该点到原点的连线斜率的负倒数参数方程求导在研究曲线的切线、法线以及曲率等问题中有重要应用高阶导数高阶导数的定义1函数的导数的导数称为二阶导数，记作或或以此类推，fx fx fxf^2x d²y/dx²的阶导数记作或高阶导数表示函数变化率的变化程度fx n f^nx d^n y/dx^n高阶导数的计算方法2高阶导数的计算主要有两种方法逐次求导法和通项公式法对于某些特殊函数，如、、等，可以总结出高阶导数的通项公式，简化计算过程例如e^ax sinaxcosax，e^ax^n=a^n·e^ax sinax^n=a^n·sinax+nπ/2莱布尼茨公式3对于两个可导函数和的积，其阶导数可通过莱布尼茨公式计算ux vxn uv^n=至，其中是二项式系数这个公式在复杂函数求Σk=0n Cn,k u^k v^n-k Cn,k高阶导数时非常有用力学中的应用4高阶导数在物理学中有重要应用，特别是在力学领域如果表示物体的位移函数，s=ft则表示速度，表示加速度，表示加加速度（急动度）这些v=ds/dt a=d²s/dt²d³s/dt³物理量的变化规律可通过研究相应高阶导数获得微分及其应用微分的概念微分的应用函数在点处的微分定义为微分在误差分析和近似计算中有重要应用y=fx x函数值的近似计算₀₀₀dy=fxdx•fx+Δx≈fx+fxΔx误差估计•Δy≈fxΔx其中是自变量的增量，也称为的微分表示函数值的增dx x x dy相对误差量的近似值或线性主部•|Δy/y|≈|fx/fx|·|Δx/x|Δy微分与导数的关系导数是微分商，微分是导数与自变量增量例如，计算的近似值√26的乘积在几何上，表示曲线上点处的切线在dy y=fx x,fx√26=√25+1≈√25+1/2√25·1=5+1/10=

5.1自变量增加时的增量dx实际值为，近似效果良好

5.099微分形式不变性是微分的重要性质，即如果且，y=fu u=gx则在物理学和工程学中，微分方程是描述物理过程的基本工具，dy=fudu其理论基础就是微分学洛必达法则未定式的概念洛必达定理在求极限过程中，如果直接代入极限点得到形如洛必达法则是处理或型未定式的强大工具0/0∞/∞0/

0、∞/∞、0·∞、∞-∞、0⁰、∞⁰或1^∞的结果，定理内容称为未定式这些表达式的值不能直接确定，需要若函数和满足fx gx特殊处理，（或均为）•lim fx=0limgx=0∞型如•0/0limx→0sin x/x和在点₀的某领域内可导，且•fx gx x型如•∞/∞limx→∞x²+x/3x²-1gx≠0其他类型可通过适当变形转化为或•0/0∞/∞存在或为无穷大•lim[fx/gx]型则lim[fx/gx]=lim[fx/gx]如果导数的比仍为未定式，可重复应用洛必达法则使用注意事项应用洛必达法则应注意必须先验证是否为或型未定式•0/0∞/∞确保满足定理条件•洛必达法则不是唯一方法，有时其他方法更简便•重复应用时应检查每步是否仍满足条件•例如，为型，应用洛必达法则，得limx→0e^x-1/x0/0limx→0e^x=1微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数在闭区间上连续，在开如果函数在闭区间上连续，在开如果函数和在闭区间上连续，fx[a,b]fx[a,b]fx gx[a,b]区间内可导，且，则至少存区间内可导，则至少存在一点在开区间内可导，且，则至a,b fa=fb a,b a,b gx≠0在一点∈，使得几何上，∈，使得少存在一点∈，使得ξa,b fξ=0ξa,b fξ=[fb-fa]/b-aξa,b[fb-罗尔定理表明如果曲线的两个端点具有相几何上，这意味着在曲线上至少有一点的柯西中值fa]/[gb-ga]=fξ/gξ同的高度，则曲线上至少有一点的切线平切线平行于连接曲线两端点的直线拉格定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，行于轴朗日中值定理是罗尔定理的推广在证明洛必达法则和泰勒公式等方面有重x要应用泰勒公式和麦克劳林公式泰勒公式泰勒余项1函数在点₀的泰勒展开式₀₀拉格朗日余项₀，fx xfx=fx+fx x-R_nx=f^n+1ξx-x^n+1/n+1!₀₀₀₀₀其中介于₀与之间x+fx x-x²/2!+...+f^nx x-x^n/n!+R_nxξx x2麦克劳林公式应用4当₀时的特殊情况x=0函数近似计算、极限计算、不等式证明和误差估计等3fx=f0+f0x+f0x²/2!+...+f^n0x^n/n!+R_nx常见函数的麦克劳林展开式函数麦克劳林展开式e^x1+x+x²/2!+x³/3!+...+x^n/n!+...sin x x-x³/3!+x^5/5!-...+-1^n x^2n+1/2n+1!+...cos x1-x²/2!+x^4/4!-...+-1^n x^2n/2n!+...单调性与极值判别函数的单调性极值判别函数的单调性与导数的符号密切相关函数的极值点必须满足或不存在的条件（必要条fx fx=0fx件）若，则在该区间上单调递增•fx0fx判别极值的方法若，则在该区间上单调递减•fx0fx若，则需要进一步判断•fx=0一阶导数符号法如果在₀左侧为正，右侧为负，则

1.fx x₀为极大值点；如果在₀左侧为负，右侧为正，则xfx x判断函数单调性的步骤₀为极小值点x求出函数的导数

1.fx二阶导数判别法如果₀且₀，则₀为极大

2.fx=0fx0x求出导数的零点和不存在点值点；如果₀且₀，则₀为极小值点；如果

2.fx=0fx0x₀，则需要进一步判断确定导数的符号fx=

03.分析函数的单调区间

4.实际应用中，需要结合具体问题灵活选择判别方法曲线的凹凸性与拐点凹凸性定义当曲线上任意两点的连线位于曲线上方时，曲线在这段区间上为凹的（上凸）；当连线位于曲线下方时，曲线为凸的（下凸）数学表达如果对区间上任意两点₁和₂，有₁₂₁₂，则函数在该区间上是凸的；不等号反向则是凹的x xfx+x/2≤fx+fx/2fx二阶导数判别法凹凸性与二阶导数的符号有直接关系若，则曲线在该点处为凸的（上凸）•fx0若，则曲线在该点处为凹的（下凸）•fx0这一判别法基于曲线的几何性质与二阶导数的物理意义（即加速度）之间的关系拐点的确定拐点是曲线由凹变凸或由凸变凹的点，即凹凸性改变的点在拐点处，曲线的二阶导数等于零或不存在，且前后符号相反确定拐点的步骤求二阶导数

1.fx求二阶导数的零点或不存在点

2.判断二阶导数在这些点前后的符号变化

3.确定满足符号变化的点为拐点

4.拐点的实际意义在实际应用中，拐点常表示某种变化趋势的转折例如经济学中的成本曲线拐点表示边际成本的增减变化•人口增长曲线的拐点表示增长速率的变化•疫情传播曲线的拐点表示传播速度开始减缓的时刻•识别这些拐点有助于更好地理解和预测系统的行为最值与实际应用最值问题的基本方法数学建模中的最值问题求函数在区间上的最大值和最小在实际应用中，最值问题通常转化为数学fx[a,b]值的一般步骤模型，步骤包括求函数在区间内的驻点（的点）识别决策变量

1.fx=0•建立目标函数•求函数在区间内的不可导点

2.确定约束条件•计算函数在这些点以及区间端点上的

3.使用微积分方法求解•值例如，成本最小化、利润最大化等问题都比较所有这些值，得出最大值和最小

4.可以转化为最值问题值经济学中的极值案例经济学中的典型应用包括边际收益等于边际成本时，利润达到最大•生产函数的最优化问题•消费者效用最大化•成本最小化与资源优化配置•这些问题的求解都依赖于微分学中的最值理论第三章不定积分原函数与不定积分定义1原函数的概念、不定积分的基本性质和表示方法常用积分公式2基本初等函数的积分表和常见结论积分方法3换元积分法、分部积分法和有理函数积分等技巧特殊不定积分4三角函数有理式、无理函数等类型的积分技巧不定积分是微积分学的重要组成部分，与导数运算互为逆运算本章将系统介绍不定积分的基本概念、常用公式和主要求积方法，为学习定积分及其应用奠定基础学习不定积分需要掌握基本积分表和灵活运用各种积分技巧，通过大量练习提高解题能力不定积分在物理学、工程学和经济学等领域有广泛应用，如求位移、计算电流和分析成本函数等原函数与不定积分定义原函数的概念不定积分的定义与性质如果在区间上，函数的导数等于，即，则称函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记I Fx fx Fx=fx fxI fxI为在区间上的一个原函数作，其中是任意常数，称为积分常数Fx fxI∫fxdx=Fx+C C原函数的存在性不定积分的基本性质连续函数一定有原函数线性性质••∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+b∫gxdx有第一类间断点的函数在包含该点的区间上没有原函数不定积分与导数互为逆运算，••∫fxdx=fx有第二类间断点的函数可能在不包含该点的区间上有原函数∫fxdx=fx+C•求不定积分的基本步骤是寻找一个函数，使其导数等于被积函数，再加上任意常数实际计算中，常通过查表、变形、换元原函数的不唯一性如果是的一个原函数，则FxfxFx+C等方法进行（为任意常数）也是的原函数C fx常用积分公式类型积分公式基本幂函数∫xⁿdx=x^n+1/n+1+C n≠-1对数形式∫1/xdx=ln|x|+C指数函数∫e^x dx=e^x+C一般指数∫a^x dx=a^x/ln a+C a0,a≠1正弦函数∫sin x dx=-cos x+C余弦函数∫cos x dx=sin x+C正切函数∫tan x dx=-ln|cos x|+C反三角函数∫1/1+x²dx=arctan x+C平方根∫1/√1-x²dx=arcsin x+C换元积分法典型换元实例第二类换元法（代换法）有理分式的换元第一类换元法（凑微分法）通过引入新变量化简被积函数，将复杂积分，令，则∫dx/x²+a²x=a·tan tdx=a·sec²t将被积函数凑成某个函数的导数形式，适用转化为简单积分典型应用包括，原积分dt=∫a·sec²t于含有复合函数的积分基本思想是若三角代换适用于含有、•√a²-x²dt/a²·tan²t+a²=∫sec²t，则∫fudu=Fu+C或的积分√a²+x²√x²-a²dt/a·sec²t=1/a∫dt=1/a·t+C=1/∫fgxgxdx=Fgx+C无理代换处理某些含根式的积分a·arctanx/a+C•典型例子倒代换对于某些分式积分复杂三角函数的换元•，令，则•∫cos3x+2dx u=3x+2例如，令，则，可用公式∫dx/√1-x²x=sin t∫sin³x dxsin³x=3sin x-sin，原积分du=3dx=∫cos，原积分进行转化，或采用进dx=cos tdt=∫cos tdt/cos3x/4sin²x=1-cos²xu·du/3=1/3sin行处理t=∫dt=t+C=arcsin x+Cu+C=1/3，s令in3x+2，+则C，原•∫e^2xdx u=2x du=2dx积分=∫e^u·du/2=1/2e^u+C=1/2e^2x+C分部积分法公式推导应用策略常见类型分部积分法基于乘积的导数法分部积分法适用于被积函数是常见的需要使用分部积分法的则，两边积分两个不同类型函数的乘积形式积分类型uv=uv+uv得，整理选择和时的一般原则∫uv dx=uv-∫uv dxu v•∫x^n·e^x dx得∫uv dx=uv-∫uv dx或•∫x^n·sin ax dx分部积分公式优先选择对数、反三角•∫x^n·cos axdx函数、幂函数作为∫uxvxdx=uxvx-u•∫x^n·ln xdx∫uxvxdx优先选择指数、三角函•或•∫e^ax·sin bxdx数作为v∫e^ax·cos bxdx目标是使比原式•∫uv dx•∫arcsin xdx,∫arccos x更容易计算dx,∫arctan xdx物理问题的例题例如计算质心或转动惯量时常需要求解形如的积∫x·fxdx分；电磁学中计算电场或磁场时，也经常出现需要分部积分的表达式示例，取，∫x·e^xdxu=x，则，，得v=e^xu=1v=e^x∫x·e^xdx=x·e^x-∫1·e^xdx=x·e^x-e^x+C特殊不定积分例题有理函数积分三角函数积分有理函数的积分，其中三角函数积分的常用技巧Rx=Px/Qx和是多项式求解步骤Px Qx万能代换令，则•t=tanx/2sin若的次数的次数，先做多

1.Px≥Qx x=2t/1+t²,cos x=1-t²/1+t²,项式除法dx=2dt/1+t²将真分式部分分解为简单分式之和三角恒等变换如

2.•sin²x=1-cos（部分分式分解）等2x/2,cos²x=1+cos2x/2分别积分每个简单分式降幂公式对于高次幂如

3.•sin^n x,的处理cos^n x基本类型包括A/x-a,A/x-a^n,，其中不可分例如可通过恒等变换和Ax+B/x²+px+q x²+px+q∫sin³xcos²xdx解降幂公式处理分式积分常用技巧处理特殊分式的技巧凑完全平方将分母化为标准形式•有理化处理含根式的分式•递推公式对于形如的积分•∫Rx,√ax²+bx+cdx例如是一个标准的反三角函数积分，结果为∫dx/1+x²arctan x+C第四章定积分牛顿莱布尼茨公式-定积分的定义与性质定积分的计算公式和应用方法黎曼和与积分限、定积分的几何意义和基本性2质1几何应用3面积、体积、曲线长度、曲面面积的计算5广义积分与特殊函数4物理应用无穷限积分、瑕积分和常见特殊函数质心、压力、功、流体力等物理量的计算定积分是高等数学的核心内容之一，建立在极限理论基础上，具有丰富的几何和物理意义与不定积分不同，定积分是一个确定的数值，表示在给定区间上曲线与坐标轴围成的面积本章将系统介绍定积分的概念、性质和计算方法，以及在几何学、物理学、工程学等领域的广泛应用掌握定积分理论和技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义定积分定义与性质黎曼和与定积分定义定积分的性质定积分的严格定义基于黎曼和对于在闭区间上有界的函数定积分具有以下基本性质[a,b]，将区间分成个小区间，在每个小区间上取点，构造和式fx nξₖ线性性质

1.∫[a,b][α·fx+β·gx]dx=α·∫[a,b]fxdx+至S_n=Σk=1n fξΔxβ·∫[a,b]gxdxₖₖ区间可加性

2.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdx a当最大小区间长度趋于零时，如果的极限存在且与分法和取点方S_n不等式性质若，则式无关，则称此极限为函数在区间上的定积分，记作

3.fx≤gx∫[a,b]fxdx≤∫[a,b]gxdxfx[a,b]估值定理若，则

4.m≤fx≤M mb-a≤∫[a,b]fxdx≤Mb-a至∫[a,b]fxdx=limλ→0Σk=1nfξΔxₖₖ积分中值定理存在∈，使得

5.ξ[a,b]∫[a,b]fxdx=fξb-a其中是最大小区间长度λ此外，积分上下限交换会改变积分符号∫[a,b]fxdx=-∫[b,a]fxdx牛顿莱布尼茨公式—基本定积分公式公式证明变限积分应用与例题牛顿莱布尼茨公式（微牛顿莱布尼茨公式的证变限积分是指上限是变量的应用牛顿莱布尼茨公式———积分基本定理）如果函数明思路定义函数定积分计算定积分的步骤在上连续，是，则根据fx[a,b]FxΦx=∫[a,x]ftdtΦx=∫[a,x]ftdt求被积函数的原函数

1.的一个原函数，则，即是牛顿莱布尼茨公式的证fxΦx=fxΦxfx—Fx的一个原函数由于原函数明过程，变限积分是Φx∫[a,b]fxdx=Fb-Fa计算

2.Fb-Fa相差一个常数，所以的一个原函数，且fx通常记作[Fx]_a^b，因此这一性质在解例如Fx=Φx+CΦx=fx∫[0,π/2]sin xdx微分方程时有重要应用∫[a,b]fxdx=Φb-=[-cos x]_0^π/2=-Φa=Fb-Fa cosπ/2--cos0=0--1=1面积的计算曲边梯形面积公式曲边扇形与极坐标面积几何应用举例曲边梯形是指由轴、两条垂直于轴的直线、以及连续函数在极坐标系中，由曲线、两条射线、及原点所围成的图形称为x x x=a x=b r=rθθ=αθ=β的图像所围成的图形其面积为曲边扇形，其面积为y=fxfx≥0S=∫[a,b]fxdx S=1/2∫[α,β]r²θdθ当有正有负时，曲线与轴围成的面积为例如，计算半径为的圆的面积fx xRS=∫[a,b]|fx|dx S=1/2∫[0,2π]R²dθ=1/2R²·2π=πR²或者分段计算将区间分成和的部分，然后求fx≥0fx≤0S=∫[fx≥0]fxdx-∫[fx≤0]fxdx例题求由曲线与直线所围成的面积y=x²y=2x解首先求两条曲线的交点，解方程，得或x²=2xx=0x=2体积的计算旋转体体积计算截面法工程计算案例当曲线在区间上的图像绕如果已知立体图形在垂直于轴的平面上的截在工程应用中，经常需要计算各种非标准形状y=fxfx≥0[a,b]xx轴旋转一周所得到的旋转体的体积为面面积为，则该立体图形在区间上的部件的体积例如，可以使用定积分计算船体、Ax[a,b]体积为飞机机翼或复杂机械零件的体积V=π∫[a,b]f²xdx对于由方程描述的曲面与平面以V=∫[a,b]Axdx z=fx,y z=0同理，当曲线在区间上的x=gygy≥0[c,d]及四个平面、、、所围成的立x=a x=b y=c y=d图像绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为这种方法适用于各种形状复杂的立体图形，特y体图形，其体积可以通过二重积分计算别是那些不便于使用旋转体公式的情况V=∫[a,b]∫[c,d]fx,ydydxV=π∫[c,d]g²ydy弧长与曲边面积光滑曲线弧长公式曲边面积计算复合积分应用如果函数在区间上具有连续导数，则其当曲线在区间上的图像绕轴旋在实际应用中，常需要计算复杂曲线的弧长和曲面y=fx[a,b]y=fxfx≥0[a,b]x图像在该区间上的弧长为转一周所得到的旋转曲面的面积为面积，这可能涉及复合积分和特殊函数例如，计算椭圆的周长时，会遇到椭圆积分；计算L=∫[a,b]√1+[fx]²dx S=2π∫[a,b]fx√1+[fx]²dx悬链线的长度时，会用到双曲函数对于参数方程，，∈所表示的同理，当曲线在区间上的图像x=φt y=ψt t[α,β]x=gygy≥0[c,d]曲线，其弧长为绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为这些问题通常需要结合数值积分方法求解，在工程y设计、建筑学和制造业中有广泛应用L=∫[α,β]√[φt]²+[ψt]²dt S=2π∫[c,d]gy√1+[gy]²dy在极坐标中，曲线，∈的弧长为r=rθθ[α,β]L=∫[α,β]√r²+[rθ]²dθ定积分的其他应用静力学应用概率密度应用经典物理应用题定积分在静力学中有广泛应用，包括在概率论中，若是连续随机变量，其概率密度函数为定积分在物理学中的经典应用包括X，则fx•质心计算对于一维物体，其质心坐标为x̄=•功的计算W=∫F·ds，其中F是力，ds是位移元素，其中是线密度函数概率计算∫xρxdx/∫ρxdxρx•Pa≤X≤b=∫[a,b]fxdx电场电势，其中是电场强度，是位•V=∫E·dr Edr静矩和转动惯量静矩为，转动惯量为期望值移元素•M=∫xdm I=•EX=∫x·fxdx∫x²dm方差热量计算，其中是比热容，•VarX=∫x-EX²fxdx•Q=∫cT·dT cTdT液体压力作用在垂直平板上的液体压力为是温度变化•P=这些应用在统计分析、质量控制和风险评估中非常重要，其中是深度，是面积元素ρg∫ydA ydA流体力学流量计算，其中是流速，•Q=∫v·dA vdA是截面面积元素第五章数项级数与函数项级数数项级数基础概念级数的定义、部分和数列、收敛与发散的基本概念级数收敛性判别常用的收敛判别法及其应用条件函数项级数幂级数、傅里叶级数等函数项级数的基本性质级数的应用函数展开、近似计算和微分方程求解等级数理论是高等数学的重要组成部分，为我们提供了研究无限求和的工具，在物理学、工程学和计算数学中有广泛应用本章将详细介绍数项级数和函数项级数的理论基础、判别方法以及实际应用特别地，幂级数作为解析函数的重要表示形式，在函数逼近、微分方程求解和数值计算中发挥着关键作用通过学习级数理论，我们能够更深入地理解函数的性质，为后续更高阶数学课程奠定基础收敛与发散判别法判别法适用条件判别准则必要条件所有级数若收敛，则Σaₙlim aₙ=0比较判别法正项级数若，收敛，则收敛0≤aₙ≤bₙΣbₙΣaₙ比值判别法正项级数，收敛，发散lim aₙ₊₁/aₙ=ρρ1ρ1根值判别法正项级数，收敛，发散lim√ⁿaₙ=ρρ1ρ1积分判别法正项级数，单调与同敛散fxΣfn∫fxdx交错级数判别法交错级数若，，则收敛Σ-1ⁿaₙaₙ≥aₙ₊₁0lim aₙ=0绝对收敛任意级数若收敛，则绝对收敛Σ|aₙ|Σaₙ判别法选择原则常见例题及误区选择合适的判别法应考虑级数的特点常见误区•正项级数优先考虑比较判别法、比值判别法或根值判别法•误区一lim aₙ=0是级数收敛的充分条件（实际上只是必要条件）•含有阶乘的级数适合使用比值判别法•误区二比值判别法中ρ=1时可直接判断（实际上此时需用其他方法）含有幂次的级数适合使用根值判别法或积分判别法误区三交错级数收敛即绝对收敛（实际上可能条件收敛）•••交错级数优先考虑莱布尼茨判别法经典例题包括调和级数Σ1/n（发散）、p-级数Σ1/nᵖ（p1收敛，p≤1发散）等收敛性应用级数收敛性判断在以下方面有重要应用数值计算确定截断误差大小•微分方程解判断级数解的收敛性•函数逼近确定泰勒级数的收敛区间•物理模型分析无穷和的物理意义•幂级数与收敛半径幂级数结构幂级数是形如₀的级数，其中是常数系数，₀是展开中心最常见的形式是以为中心的幂级数幂级数是解析Σaₙx-xⁿaₙx0Σaₙxⁿ函数的重要表示形式，具有良好的性质，如在其收敛区间内可以逐项微分和积分收敛半径与收敛区间幂级数的收敛性由其收敛半径决定R当₀•|x-x|当₀时，级数发散•|x-x|R当₀时，需要单独讨论•|x-x|=R收敛半径可通过比值判别法或根值判别法确定或R=1/lim|aₙ₊₁/aₙ|R=1/lim|aₙ|^1/n幂级数的运算幂级数可以进行各种代数运算，如加减乘除，也可以进行微分和积分运算重要的是，这些运算不改变收敛半径特别地和差±±•ΣaₙxⁿΣbₙxⁿ=Σaₙbₙxⁿ乘积，其中•Σaₙxⁿ·Σbₙxⁿ=Σcₙxⁿcₙ=Σaₖbₙ₋ₖ微分⁻•d/dxΣaₙxⁿ=Σnaₙxⁿ¹积分⁺•∫Σaₙxⁿdx=C+Σaₙxⁿ¹/n+1收敛区间判定步骤判定幂级数收敛区间的完整步骤使用比值判别法或根值判别法计算收敛半径

1.R确定开区间₀₀内级数绝对收敛

2.x-R,x+R分别检验端点₀和₀处的收敛性

3.x-R x+R综合确定完整收敛区间

4.泰勒级数展开函数的泰勒级数常见函数的泰勒展开若函数在点₀的某个邻域内具有任意阶导数，则可以在该点展开为泰勒级数fx x函数麦克劳林展开收敛区间到₀₀fx=Σn=0∞f^nx/n!·x-x^ne^x1+x+x²/2!+x³/3!+...-∞,+∞当₀时，称为麦克劳林级数x=0sin xx-x³/3!+x⁵/5!-...-∞,+∞到fx=Σn=0∞f^n0/n!·x^n泰勒级数的收敛性与函数的解析性质密切相关若在点₀处解析，则其泰勒级数在某个邻域cosx1-x²/2!+x⁴/4!-...-∞,+∞fxx内收敛于本身fxln1+xx-x²/2+x³/3-...-1,1]1+x^α1+αx+αα-1x²/2!+...-1,1近似计算应用余项估计函数性质分析泰勒级数在近似计算中有广泛应用泰勒多项式截断的余项可以用多种形式表示，最常用的是拉通过泰勒级数可以分析函数的多种性质，如格朗日余项函数值近似截取有限项来近似计算函数值奇偶性通过系数的非零项判断••₀误差估计使用拉格朗日余项评估截断误差R_nx=f^n+1ξ/n+1!·x-x^n+1周期性通过展开式的结构确定••数值积分将被积函数展开后逐项积分其中介于₀与之间通过估计余项的大小，可以确定需要特殊值通过代入特定值计算•ξxx•保留的项数以达到所需精度极限计算将复杂函数展开后计算极限•泰勒级数还可用于研究函数的渐近行为和奇点性质例如，e^

0.1≈1+

0.1+

0.1²/2!+

0.1³/3!=，非常接近真值

1.

10521.1052第六章多元函数微分法多元函数定义二元函数示例三元函数应用多元函数是指因变量依赖于两个或更多个自变常见的二元函数包括三元函数虽然难以直接可视化，但在实际问题量的函数基本形式为（二元函数）中经常出现，例如z=fx,y（抛物面）•z=x²+y²或（三元函数）多元函数可通过w=fx,y,z空间温度分布（马鞍面）•T=fx,y,z•z=x²-y²三维图形、等高线图或向量场来可视化多元流体速度场（波浪面）•v=fx,y,z,t函数的定义域通常是中的子集，值域是•z=sinxcosyR^n R多因素生产函数的子集（高斯函数）•P=fL,K,R•z=e^-x²+y²三元函数可以通过截面、等值面或向量场来间这些函数在物理学、经济学等领域有广泛应用，接可视化，帮助我们理解高维数据的结构和变如描述温度分布、电位分布、成本函数等化规律偏导数与全微分偏导数概念偏导数表示多元函数沿坐标轴方向的变化率，保持其他变量不变对于，偏导数定义为z=fx,y∂z/∂x=limΔx→0[fx+Δx,y-fx,y]/Δx∂z/∂y=limΔy→0[fx,y+Δy-fx,y]/Δy偏导数物理含义偏导数在物理学中有重要意义温度场的偏导数表示温度梯度•电场中的偏导数表示电场强度分量•流体速度场的偏导数表示速度变化率•全微分表达式函数的全微分为z=fx,ydz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy它表示自变量的微小变化导致的函数值总变化高阶偏导数记号含义二阶偏导数对求两次偏导∂²z/∂x²x二阶偏导数对求两次偏导∂²z/∂y²y混合偏导数先对再对求偏导∂²z/∂x∂y y x混合偏导数先对再对求偏导∂²z/∂y∂xxy在良好条件下（函数二阶混合偏导数连续），混合偏导数与求导顺序无关，即全微分的概念可以推广到高阶微分和多元函∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x数，是研究函数局部性质的重要工具多元极值判别极值的必要条件二阶偏导判据对于函数，若在点₀₀取得极值，则必须满足对于二元函数在驻点₀₀处，定义判别式z=fx,y x,yfx,yx,y₀₀，₀₀∂z/∂x|x,y=0∂z/∂y|x,y=0Δ=fxx·fyy-fxy²即偏导数同时为零的点称为驻点或临界点这些点可能是极大值点、极小值点或鞍点（既非极大也非极其中分别是对应的二阶偏导数判别标准为fxx,fyy,fxy小的驻点）如果且，则为极大值点•Δ0fxx0求解多元函数极值的步骤如果且，则为极小值点•Δ0fxx

01.求偏导数并令其等于零•如果Δ0，则为鞍点

2.解方程组得到所有驻点•如果Δ=0，则需要进一步判断对每个驻点进行判别

3.几何上，判别式与函数在该点附近的曲面形状有关表示椭圆型，表示双曲型，ΔΔ0Δ0Δ=0表示抛物型条件极值与拉格朗日方法经济学应用物理学应用现实问题中，经常需要在某些约束条件下求极值，即条件极值问多元极值理论在经济学中有广泛应用，例如在物理学中，最小作用量原理、能量最小原理等都可以归结为条题拉格朗日乘数法是解决此类问题的有力工具件极值问题例如最大化效用函数，约束为预算方程•Ux,y px+qy=m对于在约束条件下求函数的极值，步骤如下光的最短路径问题（费马原理）gx,y=0fx,y最小化成本函数，约束为产量方程₀••CL,K QL,K=Q约束系统的平衡状态（最小势能原理）

1.构造拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y-λgx,y•最优投资组合理论中的风险-收益优化•热力学中的自由能最小化

2.求L对x,y,λ的偏导数并令其为零这些问题都可以通过拉格朗日乘数法高效解决•解方程组得到临界点这些问题的处理也依赖于多元函数极值理论

3.代入原函数比较函数值

4.多重积分及应用二重积分基本概念计算方法应用举例二重积分是单变量定积分的推广，表示为∬二重积分的主要计算方法是转化为累次积分（先一个多重积分在实际问题中有广泛应用D，其中是平面上的区域几何上，二变量后另一个变量）fx,ydxdy Dxy面积计算平面区域的面积为∬•D Ddxdy重积分可以解释为函数在区域上的体积如果fx,y D直角坐标系∬•D fx,ydxdy=体积计算立体图形的体积为∭•V Vdxdydz，则二重积分表示区域的面积fx,y=1D₁₂或∫a^b[∫g x^g xfx,ydy]dx•质心计算平面薄片的质心坐标为x̄,ȳ=∬D二重积分的性质与一元定积分类似，包括线性性质、₁₂∫c^d[∫h y^h yfx,ydx]dy∬∬xρx,ydxdy/Dρx,ydxdy,D可加性和不等式性质等极坐标系∬∬•D fx,ydxdy=D frcosθ,rsin∬yρx,ydxdy/Dρx,ydxdyθr drdθ转动惯量∬•I=Dρx,yx²+y²dxdy变量替换应用雅可比行列式进行变量变换•J物理场电场能量、热传导、流体流量等计算•积分顺序的选择应考虑积分区域的形状和被积函数的特性，以简化计算过程微分方程简介基本概念微分方程分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程按照未知函数的变常见的微分方程类型包括一阶常微分方程（可分离变量、线1量个数，可分为常微分方程和偏微分方程；按照导数的最高阶性等）、二阶常微分方程（线性、齐次、非齐次等）和偏微分数，可分为一阶、二阶及更高阶微分方程2方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等）求解方法解的类型求解微分方程的方法有解析法（分离变量法、常数变易法4微分方程的解可分为通解（含有任意常数的解）和特解（满足等）、数值法（欧拉法、龙格库塔法等）和级数解法（幂级数特定条件的解）初值问题是在给定初始条件下求特解的问题，法、傅里叶级数法等）选择方法应根据方程类型和实际需求3边值问题则是在给定边界条件下求解一阶微分方程举例物理应用工程与其他应用一阶微分方程的标准形式为，其中和微分方程在物理学中的应用极为广泛微分方程在其他领域也有重要应用y+Pxy=Qx Px是已知函数解决步骤Qx牛顿第二定律人口增长模型•md²x/dt²=Fx,v,t•dP/dt=kP计算积分因子

1.μx=e^∫Pxdx简谐振动化学反应动力学•d²x/dt²+ω²x=0•dC/dt=-kC^n两边乘以得到

2.μxd[μxy]/dx=μxQx热传导方程∇电路分析•∂u/∂t=k²u•Ldi/dt+Ri+q/C=Et等式两边积分得到

3.μxy=∫μxQxdx+C麦克斯韦方程组描述电磁场金融数学方程••Black-Scholes求解得到通解

4.y总结与复习第一章函数与极限1重点函数概念、极限定义与性质、连续性难点语言理解、复合函数极限、间断点分析ε-δ第二章导数与微分2重点导数定义与计算、微分中值定理、泰勒公式第

三、四章积分学难点隐函数求导、高阶导数、图像综合分析3重点不定积分技巧、定积分计算、几何应用难点复杂积分技巧、反常积分、物理应用第

五、六章级数与多元函数4重点级数收敛性、多元函数微分法、多重积分难点幂级数展开、条件极值、复杂区域积分高等数学是理工科学生的重要基础课程，通过系统学习六大章节内容，我们建立了从函数到极限，从导数到积分，从级数到多元函数的完整知识体系这些知识不仅具有理论价值，更在工程技术、物理学、经济学等领域有广泛应用在考试复习中，应注重基本概念的准确理解和计算技巧的熟练掌握常见的命题方向包括计算题（导数计算、积分技巧、极限求解）、证明题（定理证明与应用）、应用题（几何意义、物理应用）以及综合分析题（函数性质分析、曲线曲面研究）建议复习时采用理解记忆练习总结的方法，结合课本习题和历年考题，形成系统的知识网络，灵活应用于解决实际问题---。