数学分析课件2

数学分析欢迎来到数学分析课程本课程是数学学科中的核心基础课程，将带领大家深入探索数学的精髓，从极限概念出发，逐步构建微积分的理论体系通过系统学习数列极限、函数极限、连续性、微分学、积分学和级数理论，培养逻辑思维和抽象思维能力本课程由张教授主讲，为2023年秋季学期数学系本科一年级必修课程我们将一同探索数学之美，理解微积分如何成为描述自然界变化规律的有力工具课程简介与目标数学分析的意义学习目标数学分析是研究函数、极限、微分、积分以及无穷级数的数学分掌握极限、连续、微分、积分及级数的基本概念和理论支，是现代数学的重要基础它为物理学、工程学、经济学等众培养严谨的数学思维和推理能力多学科提供了强大的理论支撑和分析工具能够应用数学分析方法解决实际问题通过数学分析，我们能够精确描述变化的过程，建立复杂现象的数学模型，揭示自然规律的内在联系为后续专业课程学习奠定坚实基础数学分析发展简史世纪17牛顿与莱布尼茨分别独立发明微积分，奠定了数学分析的基础牛顿的流数术关注物理应用，而莱布尼茨的符号系统对后续发展影响深远世纪18欧拉系统整理并扩展了微积分理论，引入了许多现代符号伯努利家族也对分析学贡献巨大，解决了许多重要问题世纪19柯西首次严格定义了极限概念，魏尔斯特拉斯发展了ε-δ语言，黎曼改进了积分理论，使数学分析走向严格化预备知识回顾实数系统数列与函数集合与逻辑实数集的基本性质（完备性、稠密性）数列的表示方法与通项公式集合的基本操作（并、交、补）有理数与无理数的区别函数的定义域、值域与图像逻辑推理与数学证明方法实数的代数运算与序关系初等函数的基本性质量词与命题的否定转换实数的完备性确界公理任何非空有上界的实数集都有上确界截断性原理任意非空实数集将实数轴分成两部分完备性柯西列必定收敛到实数实数系统的完备性是数学分析的基石与有理数不同，实数集没有空洞，任何收敛数列都能找到其极限值这一性质保证了连续函数的许多重要性质，如介值定理和最大值定理上确界（supremum）和下确界（infimum）的概念是描述实数集边界的精确工具例如，开区间0,1的上确界是1，下确界是0，尽管这些边界值不在集合中数列的极限定义语言描述收敛数列ε-N对于任意给定的ε0，存在正极限存在的数列称为收敛数整数N，使得当nN时，都有列直观理解数列的项无限|xₙ-a|ε这时称a为数列接近某个确定的实数值{xₙ}的极限，记作limn→∞xₙ=a发散数列不存在极限的数列称为发散数列，如{-1ⁿ}、{n}、{n²}等无界数列必定发散，但发散数列不一定无界数列极限的性质唯一性若数列收敛，其极限唯一有界性收敛数列必有界保号性若极限a0，则存在N使得nN时xₙ0夹逼原理若xₙ≤yₙ≤zₙ且lim xₙ=lim zₙ=a，则lim yₙ=a四则运算法则极限的加减乘除运算法则经典极限计算方法四则运算法则利用极限的加、减、乘、除和复合运算法则，将复杂极限转化为简单极限的组合夹逼准则找到适当的上下界数列，若它们收敛到相同极限，则原数列也收敛到该极限等价无穷小替换在乘积、商等运算中，可用等价无穷小量替换简化计算，如x→0时，sin x～x，ln1+x～x泰勒展开将函数展开为泰勒级数，取合适阶数进行近似计算常见特殊数列极限数列类型典型例子极限值计算技巧指数型1+1/nⁿe≈

2.71828利用e的定义调和数列直接判断1/n0幂指型取对数转换n^1/n1递推数列xₙ₊₁=fxₙ方程x=fx的分析递推公式解性质数列极限存在性的判别方法单调有界准则柯西收敛准则若数列单调递增且有上界（或单调递减数列收敛的充要条件是它为柯西数列且有下界），则数列必收敛子列收敛性区间套定理若数列的任意子列都有收敛的子列，且3长度趋于零的闭区间套必有唯一公共点子列极限相同，则原数列收敛函数极限定义定义几何解释左右极限ε-δ当x→x₀时，fx→A的严格定义对任意函数的图像最终完全进入以极限值为中心左极限limx→x₀⁻fx与右极限ε0，存在δ0，使得当0|x-x₀|δ时，的水平带内，无论x多么接近x₀limx→x₀⁺fx函数在x₀处极限存在的都有|fx-A|ε充要条件是左右极限存在且相等极限的运算法则极限互换条件复合函数极限积分和极限、求和与极限、导数与极限互换四则运算法则若lim gx=B，y=gx在x→a的邻域内有定的条件若lim fx=A，lim gx=B，则义（除a点外），且limy→B fy=A，则如一致收敛级数可与积分互换，利用控制收limx→a f[gx]=Alim[fx±gx]=A±B，lim[fx·gx]=A·B，敛定理可与求和互换lim[fx/gx]=A/B（B≠0）注意此法则需满足内层函数gx的极限B为fy的定义域内点无穷小与无穷大的定义无穷小量无穷小量阶无穷大量如果函数fx在x→x₀（或x→∞）时的极若lim[αx/βx]=0，则αx是比βx高如果函数fx满足对于任意给定的正数限为0，则称fx为当x→x₀（或x→∞）阶无穷小，记作αx=o[βx]M，存在δ0，当0|x-x₀|δ时，都有时的无穷小量|fx|M，则称fx为当x→x₀时的无穷若lim[αx/βx]=cc≠0，则αx与βx大量常见的无穷小量有x→0时的x,x²,sin为同阶无穷小x,1-cos x,ln1+x等重要性质函数fx为无穷大量的充要条若lim[αx/βx]=1，则αx与βx为等件是1/fx为无穷小量价无穷小，记作αx～βx常见极限类型及例题1零比零型极限形如lim[fx/gx]，其中lim fx=lim gx=0解决方法洛必达法则、泰勒展开、等价无穷小替换等2无穷比无穷型极限形如lim[fx/gx]，其中lim fx=lim gx=∞解决方法通分变形、提取最高次幂等3零乘无穷型极限形如lim[fx·gx]，其中lim fx=0，lim gx=∞解决方法变形为零比零或无穷比无穷型4幂指型极限形如lim[fx^gx]，常用方法取自然对数转化为其他类型连续函数的定义函数fx在点x₀处连续的定义limx→x₀fx=fx₀这意味着

1.fx在x₀处有定义（即fx₀存在）

2.limx→x₀fx存在

3.极限值等于函数值limx→x₀fx=fx₀从ε-δ语言描述对任意ε0，存在δ0，使得当|x-x₀|δ时，|fx-fx₀|ε几何上，函数曲线在x₀处不间断，可以一笔画出函数间断点分类可去间断点跳跃间断点无穷间断点函数极限存在但不等于函数左右极限都存在但不相等的函数在该点的极限为无穷大值，或函数在该点无定义但极点函数图像在此处有一个跳函数图像在此处趋于无穷限存在修改函数在该点的定跃例如fx=1/x²在x=0处为无义值为极限值后，函数变为连例如fx=floorx（取整函穷间断点续数）在每个整数点都有跳跃间例如fx=sin x/x在x=0处为断可去间断点，因为limx→0fx=1振荡间断点函数在该点附近无限振荡，极限不存在例如fx=sin1/x在x=0处为振荡间断点连续函数的重要性质有界性定理最大值最小值定理在闭区间[a,b]上连续的函数在该在闭区间[a,b]上连续的函数在该区间上有界区间上必能取得最大值和最小值证明思路利用区间套和单调序列的性质，证明函数最大值和最应用工程优化、经济模型等众小值的存在性多领域的极值问题介值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，则对于介于fa与fb之间的任何值c，存在ξ∈a,b，使得fξ=c几何解释连续函数的图像是一条不间断的曲线，必定经过其上下端点之间的所有值闭区间连续函数3∞重要定理应用领域闭区间上连续函数的基本定理有界性、最值这些定理在数值分析、优化理论和方程求根中定理和介值定理的广泛应用1/n一致连续性闭区间上的连续函数必定一致连续，这比普通连续性更强魏尔斯特拉斯定理指出，闭区间上的连续函数必定有界且能取得其最大值和最小值这一性质是闭区间特有的，在开区间或半开区间上并不一定成立例如，函数fx=1/x在开区间0,1上连续但无界一致连续性是指对任意ε0，存在δ0，使得对区间上任意两点x₁,x₂，当|x₁-x₂|δ时，都有|fx₁-fx₂|ε普通连续性中的δ可能依赖于点x，而一致连续性中的δ只依赖于ε初等函数的连续性幂函数指数与对数函数三角函数fx=x^α在定义域内处处连续当α为有指数函数fx=a^xa0,a≠1在全实数轴上正弦函数sinx、余弦函数cosx在全实理数时，需注意定义域的限制，如x^1/2连续对数函数fx=log_axa0,a≠1在数轴上连续正切函数tanx在定义域内在x≥0上连续，x0时无定义定义域0,+∞上连续自然对数lnx和自（即x≠π/2+nπ，n为整数）处处连续反然指数e^x是最常用的特例三角函数在各自定义域内也都是连续的微分的基本定义导数定义fx₀=limh→0[fx₀+h-fx₀]/h几何意义曲线在该点的切线斜率物理意义表示瞬时变化率（如速度、加速度）导数是微积分的核心概念之一，它刻画了函数的瞬时变化率当我们关注函数fx在点x₀附近的变化情况时，通过极限limh→0[fx₀+h-fx₀]/h，得到了函数在该点的导数fx₀从几何角度看，导数表示函数图像在该点处的切线斜率切线方程可表示为y-fx₀=fx₀x-x₀在物理学中，导数有丰富的应用例如，位置函数st的导数表示速度vt，速度函数的导数表示加速度at在经济学中，边际成本是成本函数的导数可导函数与连续性可导必连续连续不一定可导若函数fx在点x₀处可导，则fx在点x₀处函数在某点连续不能保证在该点可导例必连续如，fx=|x|在x=0处连续但不可导几何理解经典反例3可导意味着曲线光滑，有唯一切线；不可导绝对值函数、折线函数等，在拐点处连续点可能存在尖点或转折但导数不存在微分运算法则基本法则公式适用条件和差法则[fx±gx]=fx±g f和g可导x乘法法则[fx·gx]=fx·gx f和g可导+fx·gx除法法则[fx/gx]=[fx·g f和g可导，gx≠0x-fx·gx]/[gx]²链式法则[fgx]=fgx·gx f和g可导反函数法则若y=fx且x=gy，f可导且fx≠0则gy=1/fx高阶导数定义与记号莱布尼茨公式对函数fx的导数fx再求导，得到二阶导数fx或用于计算乘积的高阶导数fg^n=∑k=0→n Cn,kf^2x依此类推，可定义n阶导数f^nx f^k g^n-k，其中Cn,k为二项式系数物理意义曲线性质二阶导数表示变化率的变化率例如，位置函数的二阶二阶导数的符号决定曲线的凹凸性fx0时，曲线向上导数表示加速度凸（凹函数）；fx0时，曲线向下凸（凸函数）隐函数与参数方程微分隐函数微分参数方程微分对于隐函数Fx,y=0，若Fx,y关于x,y有连续偏导数且若曲线由参数方程x=xt,y=yt给出，且xt≠0，则F_yx,y≠0，则dy/dx=dy/dt/dx/dt=yt/xtdy/dx=-F_xx,y/F_yx,y二阶导数公式d²y/dx²=d/dxdy/dx=[d²y/dt²·dx/dt-例如对于x²+y²=1，隐函数求导得到2x+2y·dy/dx=0，即dy/dt·d²x/dt²]/[dx/dt³]dy/dx=-x/y微分在实际中的应用物理学应用经济学应用工程优化问题速度与加速度物体边际分析成本函数通过求导并令导数等位置函数st的一阶Cx的导数是边际成于零，可以找到函数导数是速度vt，二本，表示多生产一单的极值点，用于解决阶导数是加速度位商品所增加的成最大化收益、最小化at牛顿运动定律本类似地，有边际成本等优化问题例中，F=ma可用二阶收益、边际效用等概如，确定最佳生产导数表示念量、最佳形状尺寸等生物学应用种群增长模型微分方程dP/dt=kP描述了种群按指数增长的情况更复杂的Logistic模型dP/dt=kP1-P/M考虑了环境容量限制罗尔定理与拉格朗日中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理若函数fx满足:若函数fx满足:

1.在闭区间[a,b]上连续

1.在闭区间[a,b]上连续

2.在开区间a,b内可导

2.在开区间a,b内可导

3.fa=fb则存在ξ∈a,b，使得fξ=[fb-fa]/b-a则存在ξ∈a,b，使得fξ=0几何意义曲线上存在一点，其切线平行于连接曲线两端点的割线几何意义若曲线两端点高度相同，则曲线上至少有一点的切线与x轴平行罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例柯西中值定理定理陈述1若函数fx和gx满足三个条件，则存在ξ∈a,b，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ条件函数在[a,b]上连续，在a,b内可导，且gx≠0，ga≠gb与拉格朗日定理的关系取gx=x时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式它不直接比较函数值与自变量的变化，而是考察两个函数值变化之间的比例关系在实际应用中，当需要处理函数商的极限问题时，柯西中值定理尤为有用例如，在证明洛必达法则时，柯西中值定理提供了关键的理论支持从几何角度理解，如果将fx和gx视为空间曲线的坐标函数，柯西中值定理描述了这条空间曲线上某点的切线方向泰勒公式泰勒展开式fx=fa+fax-a+fax-a²/2!+...+f^nax-a^n/n!+R_nx拉格朗日余项R_nx=f^n+1ξx-a^n+1/n+1!，其中ξ介于a与x之间皮亚诺余项R_nx=ox-a^n，表示高阶无穷小麦克劳林公式4当a=0时的特例fx=f0+f0x+f0x²/2!+...。