《应力与变形》课件

应力与变形欢迎学习《应力与变形》课程本课程将深入探讨基本变形杆件的应力和变形分析方法，这是工程结构设计的理论基础，也是材料力学的核心内容通过系统学习，您将掌握如何分析和计算各种工程构件在外力作用下的内力分布和变形特征，为结构设计、强度校核和安全评估奠定坚实的理论基础本课程既有严谨的理论推导，也有丰富的工程应用实例，将帮助您建立起完整的力学分析思维体系课程内容概览变形固体基本假设探讨材料力学研究的基本假设，包括连续性、均匀性和各向同性等，为后续理论分析奠定基础应力与应变基本概念介绍应力、应变的物理意义和数学表达，分析各种应力状态及其工程意义各种基本变形类型分析详细讲解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲等基本变形类型的应力分布和变形计算组合变形的应力应变分析研究斜弯曲、偏心拉压、弯扭组合等复杂变形的理论与计算方法能量法与稳定性问题学习能量法原理及其在位移计算中的应用，探讨压杆稳定性和动载荷作用下的构件强度第一章绪论材料力学的研究对象探讨外力作用下变形体的内力分布规律和变形特性，解决工程结构的安全性问题应力与变形的基本概念引入应力、应变等基本物理量，建立描述材料力学行为的理论基础工程应用领域介绍材料力学在土木、机械、航空航天等领域的广泛应用及其重要性本课程学习目标掌握构件强度、刚度和稳定性分析方法，培养工程问题的力学分析能力材料力学的任务研究外力作用下构件的分析构件的强度、刚度内力与变形和稳定性分析构件在各种载荷作用确保工程结构在使用过程下的内力分布规律，建立中不会因为材料强度不足应力、应变与外载荷之间而破坏，不会因为刚度不的定量关系，为工程设计足而产生过大变形，不会提供理论依据因为失稳而突然倒塌弹性变形与塑性变形研究材料在外力作用下的弹性变形（外力解除后能恢复原状）和塑性变形（外力解除后不能完全恢复）的特性及其工程意义基本假设材料的连续性假设材料的均匀性假设尽管材料在微观上由分子、原子等离散单元组成，但在宏观尺度假设材料在宏观上各点的物理力学性质相同，即材料的性质与取样下，我们假设材料是连续分布的，没有空隙，物理力学性质在空间点的位置无关，这使得我们可以用统一的参数描述整个材料上是连续变化的材料的各向同性假设小变形假设假设材料的物理力学性质与方向无关，即在任何方向上测得的弹性假设构件的变形很小，不影响力的平衡条件和几何关系，使我们可模量、强度等性质都相同，这简化了分析过程以在变形前的构件上建立平衡方程，简化计算第二章变形固体基本假设弹性体与塑性体的区别弹性体在外力移除后能完全恢复原形，而塑连续介质假设性体则会保留一部分永久变形从宏观角度考虑，忽略微观结构的不连续材料力学主要研究线弹性体，即满足胡克定应力-应变关系的基本模型性，将物质视为无限可分，其物理力学性质律的材料在空间上连续分布的介质建立材料变形行为的数学模型，如线弹性模型、弹塑性模型等此假设使我们可以用连续函数描述应力和应变场，简化数学处理这些模型是进行力学分析的理论基础变形固体的连续性假设宏观连续性与微观结构连续假设的适用范围离散介质与连续介质的区别尽管从微观角度来看，所有材料都是当研究对象的特征尺寸远大于材料微离散介质需要考虑单元间的相互作由原子、分子等离散单元组成的，中观结构尺寸时（通常至少大100倍），用，其力学行为由单元的运动和相互间存在各种缺陷和空隙，但从宏观工连续性假设是合理的对于普通工程作用决定，计算复杂但更接近微观真程尺度考虑，这些不连续性可以忽略结构，这一假设通常成立实情况不计但对于微纳米结构或含有大量裂纹的连续介质则用连续函数描述物理量的连续性假设使我们可以引入应力、应材料，连续性假设可能不再适用，需分布，数学处理更为简便，适合大多变等连续场量，大大简化了力学问题要采用分子动力学或离散元等方法数工程问题的数学处理变形固体的均匀性假设工程材料的均匀性非均匀材料的处理均匀性与尺度效应方法均匀性假设认为材料材料的均匀性是相对在宏观上各点的物理对于复合材料、梯度的，与观察尺度有力学性质相同，即材材料等非均匀材料，关在足够小的尺度料的弹性模量、密可采用等效均匀化方上，所有材料都是非度、强度等物理量与法，或引入材料特性均匀的工程中的均空间位置无关这一的空间分布函数，建匀性假设基于宏观尺假设使我们可以用统立更复杂的数学模型度的观察结果一的材料参数进行计来描述其力学行为算变形固体的各向同性假设各向同性与各向异性材料各向同性材料的力学性质与方向无关，在任何方向上测得的弹性模量、强度等参数相同工程中常见各向异性材料木材、纤维增强复合材料、单晶材料等在不同方向上表现出不同的力学性质各向异性材料的处理原则通过引入张量描述或选择主方向建立特殊坐标系处理各向异性问题在工程实践中，钢铁、铝合金等金属材料经过适当加工后通常可视为各向同性材料而木材、纤维增强复合材料等则呈现明显的各向异性特征，需要在不同方向上分别确定材料参数对于各向异性材料，力学分析更为复杂，需要采用更一般的本构关系和更多的材料参数来描述其力学行为第三章应力基本概念应力的物理意义物体内部各点的受力状态，反映内力的传递和分布情况应力的数学表达采用应力张量描述空间任意点任意方向上的应力状态应力张量及其分解将应力张量分解为球张量静水压力和偏张量剪切效应应力是材料力学的核心概念，它描述了物体内部各点的受力状态通过应力分析，我们可以确定构件中的危险点和危险截面，为结构设计提供依据应力的研究需要结合张量理论和连续介质力学，建立严格的数学模型来描述三维应力状态及其变换规律应力的定义σ=F/Aσ应力计算公式法向应力应力定义为单位面积上的内力，反映内力传垂直于截面的应力分量，可为拉应力正值或递的强度，单位为帕斯卡Pa或牛顿/平方米压应力负值N/m²τ切向应力平行于截面的应力分量，导致材料发生剪切变形应力是在物体内部虚拟截面上的内力与该截面面积之比，反映了内力在截面上的分布密度对于给定截面，其上的应力一般不均匀分布，我们常研究截面上某点的应力状态应力作为一个基本物理量，其本质是单位面积上的内力，是力的密度，反映了物体内部各点局部的受力状态应力状态分析三维应力状态物体内部一般点同时受到三个法向应力和三个切向应力作用，用九个应力分量完全描述，是最一般的应力状态•常见于空间结构、厚壁容器等中的应力分析•需要考虑三个主方向上的主应力平面应力状态当一个方向上的应力可以忽略不计时，应力状态简化为平面问题，用四个应力分量描述•常见于薄板、薄壳结构中•简化为二维问题处理一维应力状态只有一个方向上存在应力，是最简单的应力状态•拉伸或压缩杆件中的应力状态•计算最为简单直接主应力与主应力方向主应力的物理意义主应力的计算方法主应力是指特定方向上的法求解特征方程三次代数方向应力达到极值，且该方向程可得三个主应力值；通过上不存在切应力主应力方特征向量确定主应力方向向互相垂直，构成主应力坐也可通过莫尔圆图解法直观标系主应力是评价材料强地确定平面应力状态的主应度的重要指标，多轴应力状力和主方向计算结果可用态下的强度理论常基于主应于强度校核和变形分析力建立最大剪应力的确定最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差值的一半，其作用平面与主应力平面成45°角最大剪应力是评价材料剪切强度和分析塑性变形的重要参数，在强度理论中有重要应用应力分析的数学表达应力张量二阶对称张量，九个分量表示空间任意点应力状态应力分量变换坐标系旋转时应力分量按张量变换规则转换应力不变量与坐标选择无关的量，由应力张量的特征值决定莫尔圆应用直观表示平面应力状态，帮助确定主应力和极值剪应力应力张量是描述应力状态的数学工具，它是一个二阶对称张量，在三维空间中有六个独立分量应力张量的主值就是三个主应力，主方向就是主应力方向应力不变量是应力张量在任何坐标系中保持不变的量，与坐标系的选择无关，是材料内在的力学特性莫尔圆是表示平面应力状态的图解方法，通过圆图可以直观地确定不同方向上的法向应力和切向应力，以及主应力值和主应力方向莫尔圆在工程应用中非常实用，便于快速判断危险点和危险方向第四章应变基本概念应变的物理意义描述物体变形程度的物理量，表示相对位移应变的数学表达用应变张量描述任意点周围微元体的变形状态应变张量及其分解3分解为体积应变体积变化和偏应变形状变化应变是描述物体变形状态的基本物理量，它反映了物体在外力作用下各点位移的相对变化与应力类似，应变也是一个二阶张量，在三维空间中有六个独立分量应变张量可以分解为体积应变表征体积变化和偏应变表征形状变化两部分应变分析是变形分析的基础，通过应变与位移的关系，我们可以建立结构变形的基本方程，为位移计算提供依据应变与应力通过本构关系联系起来，共同构成材料力学的基本框架应变的定义2变形与位移的关系线应变与剪应变位移是物体各点的绝对运动线应变表示线元长度的相对ε量，而应变则描述相邻点间变化，即单位长度上的伸长相对位移的变化率刚体运或缩短量；剪应变表示原本γ动只产生位移而不产生应互相垂直的两条线元之间角变，只有当物体发生变形时度的变化，衡量形状的扭曲才产生应变应变是变形的程度这两种基本应变完全定量度量，反映了物体内部描述了物体的变形状态结构的变化体积应变的计算体积应变表示单位体积的相对变化量，等于三个主方向线应变之和θ在小变形假设下对于各向同性材料，体积应变与平均正应力静水压力成正比，反映了材料的体积压缩性应变状态分析三维应变状态平面应变状态平面应力状态下的应变物体内部任一点的完整应变状态，由当一个方向上的应变为零时，形成平平面应力导致的应变状态，其中垂直三个正应变和三个剪应变分量组成面应变状态此时变形仅发生在一个于平面的正应变不为零，但由其他两三维应变状态是最一般的情况，适用平面内，但应力仍是三维的个方向的应变通过泊松比决定于空间应变问题的分析典型工程实例长坝体的横截面变典型工程实例薄板、薄壳结构的变典型工程实例三向受力的厚壁压力形、长轴承的径向变形、土壤地基在形、飞机蒙皮、压力容器壁等容器、复杂形状铸件的冷却收缩、地条形基础下的变形等下隧道周围岩体的变形等主应变与主应变方向主应变的物理意义主应变的计算方法主应变是特定方向上的线应变极值，通过求解应变张量的特征方程可得主该方向上不存在剪应变主应变方向应变值，特征向量确定主应变方向与主应力方向一般不重合除非材料是这与主应力的求解方法相似各向同性的最大剪应变应变不变量及其应用最大主应变与最小主应变差值的一应变张量的三个不变量与坐标系选择半，对材料的塑性变形和屈服行为有无关，它们与体积应变和形状变化有重要影响关，可用于建立本构方程应变分析的数学表达应变张量的表示应变分量与坐标变换应变张量是描述变形的二阶对称张当坐标系旋转时，应变分量按张量量，在三维空间中有六个独立分变换规则转换这一特性使我们可量其主对角线元素表示三个主方以在任意坐标系中表示应变状态，向上的线应变，非主对角线元素与并找到主应变值和主应变方向剪应变相关应变张量的不变量在坐标变换下保应变张量与位移梯度张量的对称部持不变，是材料变形的内在特性分有关，反映了连续变形的本质特征真应变与工程应变的区别工程应变以初始长度为参考，计算简单但只适用于小变形；真应变考虑变形过程中长度的连续变化，更准确地描述大变形问题两者在小变形下近似相等，但在大变形问题中差异显著，需要注意区分第五章应力应变关系-胡克定律弹性常数与材料特广义胡克定律性描述线弹性材料中应扩展到三维应力状态力与应变的线性关弹性模量、泊松比、的本构关系，描述了系，是最基本的本构剪切模量和体积模量任意方向上应力与应方程σ=E·ε，其中E是描述材料弹性特性变的关系对于各向为弹性模量，反映了的基本参数，它们之同性材料，通过两个材料抵抗弹性变形的间存在确定的数学关独立弹性常数即可完能力系，对于各向同性材全确定料只需两个独立常数线弹性材料的应力应变关系-E弹性模量弹性模量杨氏模量表示材料抵抗弹性变形的能力，单位为帕斯卡Pa值越大，表示材料越刚硬，在相同应力下变形越小钢的弹性模量约为210GPa，铝约为70GPaμ泊松比泊松比表示材料在轴向拉伸或压缩时，横向变形与轴向变形之比的绝对值反映了材料在单向受力时横向收缩或膨胀的特性大多数工程材料的泊松比在

0.25-

0.35之间G剪切模量剪切模量描述材料抵抗剪切变形的能力，反映了切应力与剪应变之间的比例关系与弹性模量和泊松比有关G=E/[21+μ]值越大，材料抵抗形变变化的能力越强K体积模量体积模量表示材料抵抗体积变化的能力，反映了静水压力与体积应变的比例关系与弹性模量和泊松比有关K=E/[31-2μ]值越大，材料越难被压缩广义胡克定律三维应力状态下的应力-应变关主量形式的广义胡克定律系在主应力坐标系中，应力与应变的关广义胡克定律描述了三维应力状态下系最为简单，只有法向分量，没有切2的应力与应变之间的线性关系，是多向分量维应力分析的基础偏量形式的广义胡克定律应变分量表示应力的形式4将应力和应变分解为体积变化静水压应力作为因变量由应变表示，常用于3力部分和形状变化偏应力部分两部位移法求解结构问题分广义胡克定律是线弹性材料在三维应力状态下的本构方程，它将各方向的应力与各方向的应变联系起来对于各向同性材料，只需要两个独立的弹性常数就可以完全描述其弹性行为这一定律是弹性力学的基石，为结构分析提供了必要的关系式弹性常数间的关系材料的力学性能拉伸与压缩试验标准化的材料性能测试方法，通过专用试验机对标准试样施加逐渐增大的拉力或压力，测量相应的变形，获得应力-应变曲线•确定材料的弹性模量、屈服强度和抗拉强度•评估材料的塑性和韧性应力-应变曲线分析应力-应变曲线全面反映了材料的力学行为，包括弹性阶段、屈服现象、强化阶段和断裂过程•弹性段线性关系，遵循胡克定律•屈服点开始产生显著塑性变形的应力值•强化段应力继续增加但增长率下降•断裂点材料完全失效的应力和应变值材料的强度指标用于评价材料抵抗破坏能力的参数，是材料选择和结构设计的重要依据•屈服强度材料开始产生永久变形的应力•抗拉强度材料能够承受的最大应力•疲劳强度材料在循环载荷下的长期强度第六章轴向拉伸与压缩杆件轴向拉伸与压缩的特点轴向拉伸和压缩是最基本的变形形式，特点是内力为轴向力，截面上产生均匀分布的正应力，杆件各横截面保持平面且垂直于轴线，变形表现为长度的改变和横向尺寸的相应变化正应力与应变计算正应力σ=N/A，其中N为轴力，A为横截面面积；轴向应变ε=σ/E=N/EA，其中E为弹性模量横向应变εt=-με，其中μ为泊松比，表示由于泊松效应导致的横向收缩或膨胀变形与位移分析杆件轴向总伸长量Δl=∫N/EAdx，对于截面积和材料均匀的杆件，简化为Δl=Nl/EA对于变截面或复杂载荷，需分段计算并叠加变形与载荷、长度成正比，与截面积、弹性模量成反比强度设计方法基于最大正应力理论，要求最大正应力不超过材料的许用应力σmax=Nmax/A≤[σ]设计时，可根据载荷确定所需最小截面积Amin=Nmax/[σ]，或根据截面积确定允许承载的最大轴力轴向拉伸与压缩的应力分布截面上的正应力分布应力计算公式轴向拉伸或压缩杆件的截面对于变截面杆件，应力在不同上，正应力均匀分布，大小为位置有所不同，应根据局部截轴力除以截面积σ=N/A当面积计算σx=Nx/Ax截面尺寸相对于长度较小且轴若轴力沿长度变化，如自重或力作用在截面重心时，可认为分布力的作用，还需考虑轴力应力分布是均匀的如果存在Nx的变化规律应力随截面偏心，则会产生附加的弯曲应积的减小而增大，截面积最小力处往往是危险截面允许应力法与安全系数工程设计中采用安全系数n，使最大工作应力不超过材料强度指标的一定比例[σ]=σs/n或[σ]=σb/n其中[σ]为允许应力，σs为屈服强度，σb为抗拉强度，n为安全系数安全系数的选取考虑材料特性、载荷性质、使用条件和失效后果等因素轴向拉伸与压缩的变形分析杆件变形计算对于截面均匀、材料均匀的杆件，轴向变形量Δl=Nl/EA，表示杆件在轴力作用下的伸长或缩短量对于变截面或材料不均匀的杆件，需要分段积分Δl=∫[Nxdx]/[ExAx]对于分段均匀杆件，可以分段计算后叠加静不定问题的分析方法当约束条件多于平衡方程时，形成静不定问题解决方法是结合平衡条件、变形协调条件和物理方程通常步骤为确定静不定度，选取多余约束作为未知量，建立变形协调方程，联立平衡方程求解静不定结构的应力分布与材料特性和构件几何尺寸有关温度应力与变形温度变化导致杆件自由膨胀或收缩的应变εT=αΔT，其中α为线膨胀系数，ΔT为温度变化量如果约束了这种自由变形，就会产生温度应力σT=EαΔT在静不定结构中，温度变化可能导致显著的内力重分布，需要特别考虑应变能与互等定理轴向拉伸或压缩杆件的应变能U=∫[N²xdx]/[2ExAx]，对于均匀杆件简化为U=N²l/2EA应变能是评估结构储能能力的指标，也是能量法计算变形的基础互等定理表述了不同载荷作用下的位移关系，为复杂结构分析提供了有力工具第七章扭转圆轴扭转的特点扭转应力与应变分析扭转角计算扭转是轴类零件的主要受力圆轴扭转的切应力分布规律圆轴的单位长度扭转角θ=形式，特点是截面内产生切为τ=Tρ/Jp，其中T为扭矩，T/GJp，其中G为剪切模应力，应力大小与到轴心距ρ为点到轴心的距离，Jp为截量总扭转角φ=离成正比，应力方向垂直于面极惯性矩最大切应力发∫[Txdx]/[GxJpx]，对于半径方向圆形截面的扭转生在表面，τmax=TR/Jp均匀轴简化为φ=Tl/GJp问题解决简单，非圆截面则扭转应变与扭矩、距离成正扭转角反映了轴的刚度特较为复杂比，与极惯性矩、剪切模量性，是传动系统设计的重要成反比参数扭转强度与刚度设计扭转强度设计基于最大切应力不超过许用值τmax=TR/Jp≤[τ]刚度设计基于最大扭转角不超过允许值φmax≤[φ]根据两种条件分别计算所需的最小轴径，取较大值作为设计结果圆轴扭转的应力分析切应力分布规律应力大小随距轴心距离线性增加，方向垂直于半径纯剪切应力状态2轴表面元素处于平面纯剪切状态，主应力角度为45°扭转强度计算基于最大切应力理论，验算τmax=TR/Jp≤[τ]圆轴扭转时，任意截面上的切应力τ分布呈线性规律，与到轴心的距离ρ成正比τ=Tρ/Jp，其中T为扭矩，Jp为截面极惯性矩对于实心圆轴Jp=πd⁴/32最大切应力发生在轴的表面τmax=TR/Jp，这是强度校核的基础轴表面元素处于平面纯剪切应力状态，主应力为等大反号的拉应力和压应力，方向与轴线成45°角这就解释了圆轴扭断时常见的45°螺旋形断裂面对于空心圆轴，内表面和外表面都存在最大切应力，但由于外径大于内径，通常外表面为危险位置圆轴扭转的变形分析扭转角的计算复合截面轴的扭转静不定扭转问题圆轴在扭矩作用下，会产生角位移，对于由不同材料或不同截面组成的复当轴受到多于两个力偶作用或有多余我们称之为扭转角对于均质均截面合轴，可以应用串联原理计算总扭转的支撑约束时，形成静不定问题解的圆轴，扭转角φ=Tl/GJp，其中T为角当各段都承受相同扭矩时，总扭决方法是结合平衡条件、变形协调条扭矩，l为轴长，G为剪切模量，Jp为转角为各段扭转角之和φ=Σφi=件和物理方程通常步骤为确定静极惯性矩T·Σ[li/GiJpi]不定度，选取多余的内力或支反力作为未知量，建立变形协调方程，联立对于变截面或非均质轴，需要分段积复合截面轴的应力分析需要考虑各段求解分φ=∫[Txdx]/[GxJpx]扭转角的几何参数和材料特性，危险截面可的大小直接反映了轴的扭转刚度，是能出现在截面突变处或材料强度较低静不定扭转结构的扭矩分布与轴的几传动系统设计的重要参数的部位何尺寸和材料特性有关，不仅取决于外载荷第八章弯曲梁的弯曲变形特点截面保持平面但转动，产生挠度和转角弯曲正应力计算应力分布呈线性，中性层应力为零剪应力分布规律3横梁截面上的剪应力呈抛物线分布梁的挠度与转角通过微分方程或能量法求解梁的变形量弯曲是最常见的变形形式之一，特别是在梁结构中弯曲变形的特点是梁的中性轴无应变层产生挠曲，截面转动但保持平面弯曲分为纯弯曲仅有弯矩和横力弯曲同时存在弯矩和剪力两种基本情况在弯曲变形中，截面上的正应力分布呈线性规律，中性层应力为零，远离中性层应力增大；而剪应力则呈抛物线分布，在中性层达到最大值弯曲变形的分析包括应力分析和变形分析两个方面，前者关注结构的强度，后者关注结构的刚度纯弯曲的应力分析弯曲正应力分布规律中性层的位置纯弯曲梁截面上的正应力呈线性对于均质材料的梁，中性轴通过分布，满足公式σ=My/Iz，其截面形心；对于复合材料或变截中M为弯矩，y为点到中性轴的面梁，中性轴位置需要根据应变距离，Iz为截面对中性轴的惯性协调条件和内力平衡条件确定矩中性轴上的应力为零，远离中性轴是截面上应力为零的位中性轴应力增大，上、下表面处置，也是应力从拉伸转变为压缩达到最大值但符号相反，分别为的分界线正确确定中性层位置拉应力和压应力是计算弯曲应力的关键步骤惯性矩的计算截面惯性矩Iz=∫y²dA，表示截面各点面积对中性轴的二次矩，是衡量截面抵抗弯曲能力的几何特性常见截面的惯性矩有公式可查，复杂截面可分解为基本图形求和，或通过平行轴定理转换计算惯性矩越大，在相同弯矩下产生的应力越小横力弯曲的应力分析横力弯曲是指梁同时承受弯矩和剪力的情况，这时截面上除了正应力外，还存在剪应力剪应力的计算公式为τ=VQy/Izb，其中V为剪力，Qy为从考虑点到边缘的截面部分对中性轴的静矩，Iz为截面惯性矩，b为考虑点处的截面宽度对于矩形截面，剪应力呈抛物线分布，中性轴处达到最大值τmax=3V/2A，为平均剪应力的

1.5倍对于工字形、T形等非实心截面，剪应力主要集中在腹板部分，翼缘的剪应力很小剪力中心是截面上一个特殊点，外力通过该点作用时不会产生扭转效应，对非对称截面的分析尤为重要梁的挠度与转角挠曲线微分方程积分法求挠度与转角叠加法求复杂梁的变形梁的挠曲线方程是描述变形后中性轴通过对挠曲线微分方程进行积分，结对于复杂载荷作用下的梁，可以采用形状的数学表达式在小变形假设合边界条件，可以求解梁的挠度和转叠加法求解将复杂载荷分解为几种下，挠曲线的微分方程为EIzw″=角通常需要进行四次积分，每次积基本载荷，分别求解各基本载荷下的Mx，其中w表示挠度，Mx表示弯矩分产生一个积分常数，总共需要确定挠度和转角，然后将结果叠加这种函数，EIz为弯曲刚度由于弯矩与剪四个积分常数，这需要边界条件的配方法基于线性叠加原理，适用于小变力、分布载荷之间存在关系M′=Q，合常见的边界条件包括固定端的挠形范围内的弹性问题常见基本载荷Q′=q，因此挠曲线方程还可以写成度和转角为零，简支端的挠度为零且的挠度和转角有标准公式可查EIzw⁴=qx弯矩为零等第九章组合变形组合变形的应力叠加斜弯曲多种基本变形同时作用时，总应力可以通弯矩作用面不含截面主轴时产生的复杂弯过线性叠加原理计算，即σtotal=σaxial+曲形式，需要将弯矩分解为两个主轴方向σbending+σtorsion这一原理基于小变的分量进行分析形假设和线弹性条件偏心拉压弯扭组合变形轴向力作用点不在截面形心时，除了产生同时受到弯曲和扭转作用的构件，截面上轴向应力外，还会产生附加弯曲应力，两4存在正应力和剪应力，需要采用强度理论者叠加形成不均匀分布的正应力进行综合评价组合变形的应力分析应力叠加原理危险点的确定等效应力的计算在线弹性范围内，当构件同时受到多组合变形中，不同基本变形的最大应当构件处于复杂应力状态时，需要将种基本变形如拉压、弯曲、扭转的作力可能出现在不同位置，因此确定构多向应力换算为等效单向应力以便与用时，任一点的应力状态可以通过各件的真正危险点需要综合考虑通常材料的强度指标比较常用的等效应基本变形单独作用时产生的应力进行需要在几个可能的危险位置分别计算力计算方法有最大主应力理论、最大代数叠加这一原理大大简化了组合应力状态，然后比较确定真正的危险剪应力理论和畸变能理论von Mises准变形问题的分析对于正应力和切应点危险点常出现在载荷作用点、截则等其中von Mises等效应力广泛应力，分别进行独立叠加，然后综合评面突变处或截面尺寸最小处附近用于工程分析σvon=√[σ₁²+σ₂²+价应力状态σ₃²-σ₁σ₂-σ₂σ₃-σ₃σ₁]斜弯曲与偏心拉压斜弯曲的应力计算偏心拉压的特点核心区概念斜弯曲是指弯矩作用面不包含截面主当轴向力作用点不在截面形心时，除核心区是指截面上的一个区域，当轴轴的弯曲形式处理方法是将弯矩M了产生均匀的轴向应力外，还会产生向压力作用点位于该区域内时，截面分解为两个主轴方向的分量My和Mz，附加的弯曲应力总应力为σ=N/A上不会出现拉应力核心区的边界对分别计算各自产生的正应力，然后叠±Mey/Iz±Mez/Iy，其中Me=N·e为偏应于中性轴恰好通过截面边缘的情加σ=Mzy/Iz+Myz/Iy心距产生的弯矩况斜弯曲中，中性轴不再垂直于弯矩作偏心拉压的应力分布不均匀，可能在核心区的概念在压缩构件设计中非常用面，而是与主惯性轴和弯矩分量有截面的某些区域产生与主荷载方向相重要，特别是对于抗拉强度低的材料关最大正应力通常出现在离中性轴反的应力，如偏心拉伸产生局部压应如混凝土通过确保压力作用在核心最远的点，需要通过计算确定力，偏心压缩产生局部拉应力这种区内，可以避免产生有害的拉应力，情况需要特别注意，因为对于混凝土提高结构的安全性等材料，抗拉能力和抗压能力差异很大弯扭组合变形常见弯扭构件传动轴、曲轴和开口截面薄壁梁等典型弯扭构件弯扭组合应力计算2正应力由弯曲产生，切应力由扭转和剪力共同贡献危险点确定方法通过计算等效应力确定多轴应力状态的危险位置弯扭组合变形是指构件同时承受弯曲和扭转作用的复杂受力状态在这种情况下，截面上同时存在由弯曲产生的正应力和由扭转产生的切应力σ，形成二维应力状态应力分析需要考虑正应力和切应力的分布规律及其共同作用τ对于圆轴，正应力σ=M/W=32M/πd³，切应力τ=T/2Wp=16T/πd³，其中M为弯矩，T为扭矩，d为轴径危险点通常位于表面，具体位置需通过计算确定采用第四强度理论von Mises准则计算等效应力σeq=√σ²+3τ²≤[σ]，作为强度校核的依据弯扭组合构件的设计需同时考虑强度和刚度两个方面第十章能量法变形能与互等定理外力在变形过程中所做的功，即系统储存的弹性能量，是计算变形的基础卡氏定理描述载荷与位移间相互关系的基本定理，是能量法的理论基础最小势能原理系统的平衡状态对应于总势能取最小值的构型单位载荷法求解位移的实用方法，基于互等定理简化计算过程弹性系统的变形能U₁U₂轴向拉压的变形能扭转的变形能轴向拉压变形能U₁=∫[N²xdx]/[2EAx]，对于均匀杆件简化为U₁=N²l/2EA变形能扭转变形能U₂=∫[T²xdx]/[2GJpx]，对于均匀圆轴简化为U₂=T²l/2GJp变形能与扭与轴力平方成正比，与截面积和弹性模量成反比矩平方成正比，与极惯性矩和剪切模量成反比U₃U₄弯曲的变形能剪切的变形能弯曲变形能U₃=∫[M²xdx]/[2EIx]，是弯矩平方与弯曲刚度比值的积分对于复杂载剪切变形能U₄=∫[βQ²xdx]/[2GAx]，其中β为截面形状系数在大多数情况下，剪切荷，需要先确定弯矩函数Mx，然后进行积分计算变形能远小于弯曲变形能，可以忽略不计，但对于短粗梁应予以考虑互等定理与卡氏定理互等定理的物理意义互等定理麦克斯韦定理表述为在弹性体上，由力P₁引起的在力P₂作用点处的位移方向上的分量，等于由力P₂引起的在力P₁作用点处的位移在力P₁方向上的分量即δ₁₂=δ₂₁这一定理反映了弹性系统响应的对称性，是结构分析中的重要原理，为能量法和单位载荷法提供了理论基础卡氏定理及其应用卡氏定理Castigliano定理表述为对于弹性体系，当外力缓慢增加到最终值时，某一外力作用点处沿该外力方向的位移，等于系统总应变能对该外力的偏导数即δᵢ=∂U/∂Pᵢ这一定理将位移计算转化为对应变能的微分运算，简化了复杂结构的位移分析，特别适用于静定和超静定结构的变形计算虚功原理虚功原理虚位移原理表述为如果一个处于平衡状态的系统受到与平衡力系相容的虚位移，则外力所做的虚功等于内力所做的虚功这一原理是分析复杂结构的有力工具虚功原理可以用来推导能量法的各种公式，建立有限元方法的理论基础，也是结构动力学分析的重要方法能量法解题步骤能量法的一般解题步骤包括确定系统的内力如N、M、T等并表示为外力的函数；计算系统的总应变能U；根据卡氏定理计算所需位移δᵢ=∂U/∂Pᵢ，或者对于超静定问题，利用∂U/∂X=0解出多余约束能量法特别适合求解复杂结构的位移和超静定问题，能有效处理传统力法难以解决的问题单位载荷法单位载荷法的基本原理位移计算公式单位载荷法是基于互等定理和卡氏定对于一般弹性系统，某点某方向的位理发展起来的一种求解位移的实用方移可以表示为δ=∫[N·n/EA]dx+法其核心思想是在待求位移点上施∫[M·m/EI]dx+∫[T·t/GJ]dx，其加一个单位虚载荷，然后计算实际载2中N、M、T为实际载荷产生的内力，荷和单位虚载荷共同作用下的应变n、m、t为单位虚载荷产生的内力能多种载荷作用下的叠加单位载荷法的应用实例当系统受到多个载荷作用时，可以分单位载荷法广泛应用于各种结构的位别计算每个载荷产生的位移，然后进移计算，如梁的挠度和转角、框架结行代数叠加这一方法基于线性叠加构的节点位移、桁架的节点位移等原理，适用于小变形范围内的弹性问它也是有限元位移法的理论基础题第十一章压杆稳定压杆失稳的特点临界力的计算各种边界条件的影响压杆是受压构件，当轴向压力超过某临界力是导致压杆失稳的最小轴向压压杆的边界条件对其稳定性有显著影一临界值时，原来的平衡状态变为不力，是评价压杆稳定性的关键参数响，通过计算长度系数μ来考虑对于稳定，杆件突然发生侧向弯曲变形，欧拉公式给出了理想弹性压杆的临界不同的支撑条件，μ值分别为两端铰这种现象称为失稳或屈曲力Pcr=π²EI/μl²，其中μ为计算长支μ=1，一端固定一端自由μ=2，一度系数，与支撑条件有关端固定一端铰支μ=

0.7，两端固定μ=失稳是一种突发性破坏形式，与材料

0.5强度破坏不同，它发生时构件内部应欧拉公式适用于细长杆件，对于中粗力可能远未达到材料强度极限，但结杆件，需要考虑材料的非线性特性，边界条件影响压杆的弯曲模态和临界构已经丧失了承载能力压杆失稳的采用切线模量理论或经验公式计算临载荷，合理的约束可以显著提高压杆危险性在于其突发性和灾难性后果界应力压杆的关键几何参数是长细的稳定承载力实际工程中，完全固比λ=l/i，其中i为最小回转半径定或完全铰支很难实现，通常采用介于理想状态之间的估计值压杆的临界力压杆稳定的工程应用压杆的有效长度实际工程中，压杆的端部约束条件常介于理想状态之间，需要合理估计有效长度系数μ框架结构中的柱子，其μ值受到梁柱刚度比的影响；连续多跨结构中的压杆，需要考虑相邻跨的影响；复杂结构中的压杆，可能需要通过结构整体分析确定有效长度偏心压缩的影响实际压杆常存在荷载偏心或初始弯曲等不完美因素，使问题变为偏心压缩偏心压缩下，杆件从加载开始就产生弯曲，不存在突然失稳的现象，但当压力接近临界值时，变形会迅速增大设计中通常采用放大系数法或直接进行偏心压缩强度校核初始缺陷的影响实际压杆不可避免地存在初始弯曲、材料不均匀、载荷偏心等初始缺陷，这些因素会降低压杆的承载能力设计规范通常通过降低允许应力或引入附加偏心来考虑这些影响精确分析需要采用非线性有限元方法，考虑几何非线性和材料非线性压杆的稳定设计压杆的稳定设计基于稳定安全系数ns=Pcr/P≥[ns]或临界应力不超过允许值σcr/ns≤[σ]提高压杆稳定性的措施包括减小计算长度通过合理布置支撑；选择合理的截面形式增大回转半径；对称布置材料增大弱轴惯性矩；采用高强度材料仅对中粗杆有效第十二章动力载荷动力载荷是指随时间变化的载荷，包括冲击载荷、周期性动载荷等与静载荷相比，动载荷作用下结构的响应更为复杂，需要考虑惯性力和阻尼的影响动力载荷通常会导致应力放大，甚至在长期作用下引发疲劳破坏动力载荷分析的基本方法包括等效静载荷法采用冲击系数或动力系数将动力问题转化为静力问题；动力学分析法建立动力方程求解结构的动态响应；能量法基于能量守恒原理分析冲击效应动载荷下的设计原则是确保结构有足够的强度、刚度和疲劳寿命冲击载荷下的应力分析冲击系数动应力计算方法冲击载荷下的强度设计冲击系数Kd定义为动态应力与等效动态应力可通过静态应力乘以冲击冲击载荷下的强度设计基于最大动静态应力之比，表示动力效应的放系数得到σd=Kd·σs对于弹性应力不超过材料的动态许用应力大程度冲击系数的大小与冲击速系统，位移放大系数与应力放大系σd,max≤[σd]动态许用应力通常度、结构刚度和质量分布有关对数相同冲击作用下，不仅要考虑高于静态许用应力，因为在高应变于简单系统，可通过能量法推导冲最大应力，还需关注应力的时程变率下，材料的屈服强度会提高设击系数的理论公式；复杂系统则需化，因为结构可能在振动过程中经计时应考虑材料的冲击韧性，避免依靠试验数据或数值分析历多次应力峰值脆性材料在冲击下发生脆断减震措施减小冲击效应的工程措施包括增加系统阻尼如使用阻尼器、摩擦装置；合理设计质量和刚度分布；使用缓冲材料如橡胶垫、液压缓冲器；优化结构细节，避免应力集中；选用高冲击韧性的材料这些措施可有效降低冲击载荷对结构的危害疲劳强度分析疲劳破坏特点1应力循环作用下，远低于静载强度的应力也能导致断裂疲劳极限材料可无限次承受而不破坏的最大应力幅值耐久极限材料在规定循环次数下能承受的最大应力幅值疲劳破坏是在循环载荷作用下，经过大量重复应力循环后发生的一种失效形式即使应力峰值远低于材料的静态强度，也可能导致结构最终断裂疲劳破坏的特点是破坏没有明显预警；断裂从表面微观裂纹开始；断口呈现特征性的贝壳纹；断裂过程分为裂纹萌生、扩展和最终断裂三个阶段疲劳强度分析基于S-N曲线应力-循环次数曲线，通过试验确定不同应力水平下的疲劳寿命钢铁材料通常存在疲劳极限，即低于某一应力水平时理论上可无限循环不破坏；而非铁金属如铝合金则无明显疲劳极限，改用耐久极限如10⁷次循环下的强度表征实际构件的疲劳强度受多种因素影响，包括表面质量、尺寸效应、应力集中、环境条件等实验技术与应用应力应变测量技术光弹性实验方法有限元分析简介电阻应变片是最常用的应变测量工具，光弹性法利用透明模型在偏振光下产生有限元方法将连续体离散为有限个单基于电阻随变形变化的原理它具有灵的干涉条纹，直观显示应力分布这种元，通过数值计算模拟结构在各种载荷敏度高、尺寸小、干扰少的优点，可用方法特别适合研究应力集中、接触应力下的响应现代CAE软件使复杂问题的于复杂应力状态的实测现代测量还利等复杂问题，可以获得整个模型的应力分析变得高效，能够处理非线性材料、用光纤光栅、数字图像相关等新技术，分布云图，为理论分析提供验证大变形、动态响应等复杂工程问题实现全场无接触测量总结与展望应力与变形分析的重要性理论与实践的结合应力与变形分析是确保工程结构安材料力学理论必须与工程实践紧密结全、可靠、经济运行的基础掌握这合，通过实验验证、工程应用和失效1一理论体系，对于解决实际工程问分析不断完善理论指导实践，实践题、优化结构设计、预防结构失效具丰富理论，两者相辅相成有重要意义计算机辅助分析的发展趋势新材料、新结构的挑战数值计算方法和高性能计算技术的进复合材料、纳米材料、智能材料等新步，使得复杂结构的精确分析成为可型材料的出现，以及大跨度、超高能人工智能、大数据等技术正在与层、深海等极端结构的发展，对传统传统力学分析方法融合，开创材料力材料力学提出了新的挑战，需要发展学应用的新领域新的理论和方法。