《材料力学课件 - 应力与应变分析》

材料力学课件应力与应变分析欢迎参加材料力学课程学习，本次课件将系统地讲解应力与应变分析的核心内容本课程旨在帮助学生理解材料在承受外力时产生的内部反应，掌握计算与分析方法，并能将理论知识应用于实际工程问题解决中通过本课程学习，你将能够理解应力应变的基本概念，掌握平面与三维状态下的应力分析方法，并熟悉主流的强度理论及应用实例这些知识构成了工程设计与分析的基础本课程内容适用于机械、土木、航空航天等工程专业的学生，同时也是高级材料研究与结构安全评估的重要基础内容大纲应力的基本概念探讨应力定义、分类及表示方法，解析一向、二向与三向应力状态的特点与计算方法应变的基本概念介绍应变的定义、类型与计算，分析应力应变关系及胡克定律在工程中的应用-二向与三向分析深入研究平面与三维应力状态，学习主应力、主平面确定及莫尔圆图解法强度理论与工程实例掌握各种强度理论的适用条件，通过实际工程案例学习应力分析的应用本课程将理论与实践相结合，通过公式推导、图表分析和案例解读，帮助学生建立完整的知识体系课程将包括课堂讲解、习题训练与互动讨论，确保学生能够灵活运用所学知识什么是应力？应力定义物体内部质点抵抗外力作用的内力强度数学表达单位面积上的内力σ=F/A测量单位帕斯卡，常用或Pa MPaGPa应力是材料力学的核心概念，它描述了材料内部受力后产生的力分布状态当外力作用于物体时，物体内部分子间的相互作用力会发生变化，这种变化通过应力这一物理量来表达从微观角度看，应力表现为原子或分子之间的相互作用力；从宏观角度看，应力是单位面积上的内力大小正确理解应力概念是分析材料行为和预测结构响应的基础应力的分类正应力（）剪应力（）Normal StressShear Stress垂直于截面的应力分量，用表示平行于截面的应力分量，用表示στ拉应力使材料拉长，符号为正使材料产生剪切变形••压应力使材料压缩，符号为负导致相邻材料层相对滑移••示例拉杆受拉、柱子受压、梁的弯曲示例铆钉连接、轴的扭转、流体中的摩擦在实际工程中，构件通常同时承受多种应力例如，一根受弯曲的梁，其截面上既有正应力也有剪应力；一个扭转的轴，其表面主要承受剪应力准确识别和计算这些应力是进行结构设计和安全评估的关键步骤局部应力状态应力点的概念截面方向因素应力是与物体内点相关的物理量，同一点处，不同方向的截面上应力任何一点周围都可以想象为一个无大小和方向各不相同，这种现象称穷小的单元体，其六个面上都有应为应力的方向性力分量内部应力复杂性构件内部的应力状态通常是复杂的，尤其在几何形状变化处或载荷作用点附近，应力分布更为复杂理解局部应力状态对于分析材料的强度和失效机理至关重要在实际工程中，构件的危险点往往出现在应力集中区域，例如截面突变处、孔洞边缘或载荷作用点附近通过建立合适的坐标系和选择适当的分析方法，我们可以找出构件中的最大应力值及其位置，并据此进行强度校核和结构优化设计应力的符号与表示方法正应力符号σsigma表示垂直于截面的应力分量剪应力符号τtau表示平行于截面的应力分量坐标下标表示如表示方向与作用面στx,xy应力的完整表示需要指明其大小、方向以及作用的截面在三维坐标系中，应力分量通常用两个下标表示第一个下标表示应力所在面的法线方向，第二个下标表示应力自身的方向例如，表示垂直于轴的平面上沿方向的剪应力分量在工程分析中，常用的应力分量包括（三个正应力分量）和τσσσττxy x y x,y,z xy,yz,（三个剪应力分量），它们共同构成了点的应力状态τzx应力状态的特征位置相关性方向多样性载荷依赖性构件内部不同位置的同一点上不同方向的应力状态直接依赖于应力状态各不相同，截面上，应力的大小外加载荷的大小、方通常形成一个连续的和方向各不相同这向以及作用点位置，应力场分布例如，种现象解释了材料在也与构件的几何形状弯曲梁中的应力从上不同方向上可能呈现和边界约束条件密切表面的压应力逐渐变不同的破坏模式相关为下表面的拉应力理解应力状态的这些特征对于工程设计至关重要例如，在设计一个承重梁时，需要考虑梁内部的应力分布，找出最大应力点并进行强度校核同样，在分析压力容器时，需要考虑容器壁上的环向应力和轴向应力，以及它们的组合效应应力分布举例轴向拉伸构件均匀截面的拉伸杆内部应力分布均匀，整个截面上应力大小相同但在截面变化处或载荷作用点附近，会出现应力集中现象弯曲梁构件纯弯曲梁的正应力沿高度方向线性分布，中性轴处应力为零，远离中性轴处应力最大梁的剪应力则沿截面高度呈抛物线分布扭转轴构件圆轴扭转时，剪应力沿半径方向线性增长，轴心处为零，表面处最大这解释了为何轴的扭转破坏通常始于表面这些经典应力分布案例帮助我们理解不同载荷作用下构件内部的应力状态在工程设计中，需要根据应力分布特点合理选择材料、确定构件尺寸并评估安全性静力学平衡条件力的平衡矩的平衡所有外力和内力在三个坐标轴方向的分量所有外力和内力关于任意点或轴的力矩之之和为零和为零应用基础平衡方程是解决结构和机械系统中力分析的理论基三维空间中共六个独立平衡方程础静力学平衡条件是应力分析的基本前提根据力学原理，当物体处于静止或匀速运动状态时，作用在物体上的全部力和力矩必须平衡这一原理在分析构件内部应力时至关重要通过应用静力学平衡条件，可以建立方程求解未知的反力、内力和应力分布例如，在分析悬臂梁时，通过建立力和力矩平衡方程，可以确定梁内任一截面的弯矩和剪力，进而计算应力分布二向应力状态简介20主要应力分量方向应力z二向应力状态包含σx、σy和τxy三个分量平面应力状态中σz=03工程应用领域薄板、壳体、膜结构等工程中常见二向应力状态是指物体内点的应力在某一坐标系中只存在于一个平面内的情况，通常是平xy面这种应力状态在工程中非常常见，尤其是在分析薄壁结构如压力容器壁、飞机蒙皮、桥梁板等时在二向应力状态下，应力张量简化为一个3×3矩阵，其中只有σx、σy和τxy三个非零分量理解二向应力状态对于简化复杂的三维问题、提高计算效率以及解决实际工程问题具有重要意义二向应力状态解析法主应力与主平面定义主应力定义主平面定义主应力是指通过适当选择坐标系，使得应力状态中剪应力分主平面是指剪应力为零的截面，在这些平面上只有正应力作量为零时对应的正应力主应力通常记为σ、σ（二维问用主平面与主应力方向垂直，通常有两组互相垂直的主平12题）或σ、σ、σ（三维问题）面（二维问题）123主应力代表了该点处可能出现的最大和最小正应力值，是评主平面的方向对理解材料的破坏机理非常重要，许多材料的估材料强度的重要参数裂纹扩展与主平面方向密切相关主应力和主平面的概念在材料力学中具有重要地位，它们简化了复杂的应力状态，提供了评估结构安全性的直接依据在工程分析中，通常需要将已知的应力状态转换为主应力状态，以便应用各种强度理论进行安全性评估主应力的数学求解特征方程推导从应力平衡方程出发，建立特征方程σσσσσστ²-x+y+x y-xy²=0这是一个关于σ的二次方程，其解即为主应力值求解主应力根据特征方程解出主应力表达式σσσσστ1,2=x+y/2±√[x-y²/4+xy²]其中σ为最大主应力，σ为最小主应力12实例演算例已知σ，σ，τ，求主应力x=80MPa y=20MPa xy=40MPa解σ或1,2=80+20/2±√[80-20²/4+40²]=50±50=100MPa0MPa主应力求解是应力分析中的关键步骤通过计算主应力，可以将复杂的应力状态简化，获得该点处可能的最大和最小正应力值，为后续的强度评估提供基础特别是在采用最大主应力理论或最大主应变理论进行强度校核时，必须首先计算主应力主平面求解与判定主平面方位角公式计算步骤结果验证对于二向应力状态，主平面的方位角α首先代入已知的σx、σy和τxy值计算验证方法将求得的α代入斜截面应力可通过以下公式求解，然后求得值注意方位角通常公式，检查在该角度下剪应力是否ααατtan2=2cτσσ有两个互相垂直的解，相差为零2xy/x-y90°主平面方位角的物理意义在于它确定了剪应力为零的截面方向在这些截面上，只有正应力作用，没有剪切作用主平面与主应力方向垂直，即第一主平面垂直于最大主应力方向，第二主平面垂直于最小主应力方向理解主平面方向对分析材料破坏机理很有帮助，例如脆性材料通常沿主平面产生断裂，而延性材料则往往在最大剪应力平面（与主平面成45°角）上发生屈服应变的基本概念定义计算公式应变是描述物体变形程度的物理量，表示线应变εΔ，表示长度变化与原长度=L/L单位长度上的伸长或缩短之比单位微观意义应变是无量纲量，通常以百分比表示，如反映材料内部原子间距离的相对变化或⁻微应变⁶

0.1%10应变是材料力学中与应力相对应的基本概念，它描述了材料在外力作用下的变形特性通过测量应变，可以间接获知材料内部的应力状态，这是应变测量技术的理论基础应变与材料的变形行为直接相关，对理解材料的弹性、塑性以及断裂特性具有重要意义在工程实践中，应变常常是直接测量的物理量，而应力则需要通过应变和材料本构关系间接计算应变的类型轴向应变（正应变）剪切应变轴向应变是指材料在某一方向上的伸长或缩短程度，用表剪切应变是指材料内部两个互相垂直方向间的角度变化，用ε示表示γ方向应变εγ•x=∂u/∂x x•xy=∂u/∂y+∂v/∂x方向应变εγ•y=∂v/∂y y•yz=∂v/∂z+∂w/∂y方向应变εγ•z=∂w/∂z z•zx=∂w/∂x+∂u/∂z其中是方向的位移分量剪切应变反映了材料内部微元体的形状扭曲u,v,w x,y,z在平面应变状态下，通常考虑、和三个应变分量这种情况常见于平面问题，如平板、薄壁容器等理解不同类型的εεγx y xy应变有助于分析材料在复杂载荷下的变形行为，也是建立应力应变关系的基础-应力应变关系图-胡克定律（线弹性）一维胡克定律适用范围σε，其中为弹性模量（杨氏模仅适用于弹性变形范围内，超过弹性极=E E量），单位为限后失效Pa这一简单关系表明在弹性范围内，应力大多数工程材料在小应变（通常与应变成正比）范围内符合胡克定律

0.2%扩展形式三维状态下需考虑泊松比ν和剪切模量G完整形式包含正应变和剪切应变的耦合关系胡克定律是材料力学中最基本的本构关系，由英国科学家罗伯特胡克于年首次提·1676出它描述了大多数工程材料在小变形范围内的应力应变关系，为结构分析和设计提供了-理论基础各种工程材料的弹性模量差异很大钢材约为，铝合金约为，混凝土约为E200GPa70GPa，聚合物可低至几个弹性模量越大，表示材料在相同应力下变形越小，即刚30GPa GPa度越大应变的测量与实验电阻应变计测量电路标准试验基于金属导体电阻随变形而变化的原理，应变测量通常采用惠斯通电桥电路，可有材料力学性能通常通过标准拉伸试验确通过测量电阻变化来确定应变大小现代效消除温度影响并放大微小信号现代应定，获取应力应变曲线、弹性模量、屈服-应变计主要为金属箔型，具有灵敏度高、变测量系统常配备数字采集设备，实现高强度等参数这些参数是工程设计的基础稳定性好的特点精度、多通道实时监测数据，广泛应用于各类结构计算应变测量技术在工程实践中具有广泛应用，从桥梁、大坝等大型结构的健康监测，到航空航天器件的应力分析，再到医疗器械的性能评估，都离不开精确的应变测量近年来，光纤传感、数字图像相关等新技术也被越来越多地应用于应变测量领域三向应力状态完整应力状态包含三个正应力和三个剪应力分量应力张量表达使用矩阵表示九个应力分量3×3对称性质由于矩平衡，τij=τji，实际独立分量为6个典型应用地下岩石、高压容器、复杂三维构件等三向应力状态是最一般的应力状态，描述空间中任一点处的完整应力分布与二向应力状态相比，三向应力状态更为复杂，需要考虑三个互相垂直方向上的正应力和三个剪应力分量三向应力分析在许多工程领域都有重要应用，如地下结构的岩土力学分析、高压容器设计、厚壁结构分析等理解三向应力状态对于正确预测材料在复杂载荷下的行为至关重要，特别是在分析材料的屈服和断裂时三轴应力场的表示单位体表示法坐标系选择使用一个立方体单位体，在其六个通常选择直角坐标系，应力x,y,z面上标示应力分量每个面上有一分量用两个下标表示，如σ表示xx个法向应力σ和两个切向应力面上方向的应力简写为σ，x xxτ，总共九个分量τ表示面上方向的应力xy xy变形关系完整的应力场描述还需考虑与应变场的关系，通过本构方程将二者联系起来，形成完整的应力应变分析体系-三轴应力场的表示方法提供了一种直观理解空间应力状态的方式在这种表示法中，一个无穷小立方体的六个面上分布着九个应力分量，它们共同描述了该点处的完整应力状态由于力矩平衡的要求，应力张量是对称的，即ττ，ττ，τxy=yx yz=zy zx=τ，因此实际上只有六个独立的应力分量xz这种表示方法是理解和分析三维应力问题的基础，在计算机辅助工程分析、有限元方法等现代分析工具中得到了广泛应用应力张量矩阵表示/应力张量是描述三维应力状态的数学工具，通常表示为一个的矩阵3×3σστττστττσ=[x xyxz;yx yyz;zx zyz]其中对角线元素为三个正应力分量，非对角线元素为剪应力分量由于矩平衡要求，，因此应σσσττττττττx,y,z xy,xz,yx,yz,zx,zy ij=ji力张量是对称的，实际上只有六个独立分量应力张量的特征值即为三个主应力，特征向量给出了主应力方向通过坐标变换，可以将应力张量转换为主轴系下的对角形式，σσσ1,2,3消除所有剪应力分量这种数学表达形式在理论分析和数值计算中都具有重要意义二向三向应力状态转换/确定原始应力状态明确现有坐标系下的应力分量，如二向状态下的σx,σy,τxy或三向状态下的六个独立分量建立转换矩阵根据新旧坐标系之间的关系，建立方向余弦矩阵，表示坐标轴之间的投影关系L执行张量变换应用张量变换公式σ=LσL^T，其中σ为新坐标系下的应力张量，L^T为L的转置矩阵简化为主应力形式当选择主应力方向作为新坐标轴时，转换后的应力张量为对角形式，所有剪应力分量为零应力状态的坐标转换是分析复杂应力问题的重要工具通过选择合适的坐标系，可以大大简化计算过程特别是当选择主应力方向作为坐标轴时，应力张量简化为对角形式，非常有利于应用各种强度理论进行评估在二维问题中，坐标转换可以通过平面旋转角θ来表示，相应的转换公式较为简单而在三维问题中，则需要使用方向余弦或欧拉角等描述空间旋转的数学工具应力分析的数学工具向量运算向量是描述方向与大小的数学工具，在应力分析中用于表示力、位移等物理量向量的点积、叉积等运算在确定力的分解和力矩计算中具有重要应用矩阵与张量矩阵运算是处理应力张量转换的基本工具特征值和特征向量的求解用于确定主应力和主方向，而矩阵乘法则用于坐标变换计算微积分应用偏微分方程是描述连续介质力学问题的基本数学工具应力平衡方程、变形协调方程等都以偏微分方程形式表达，需要运用微积分知识求解应力分析中的数学工具不仅是计算手段，更反映了物理现象的本质例如，应力张量作为二阶张量，其变换规律反映了应力状态与坐标系选择的关系；而主应力作为特征值，则反映了应力状态的本征特性，与坐标选择无关现代工程分析越来越依赖于数值方法和计算机技术，如有限元分析、边界元法等，这些方法本质上都是将连续的物理问题离散化，应用线性代数工具求解大规模方程组，因此掌握相关数学基础对理解和应用这些技术至关重要图解法莫尔圆——莫尔圆的基本概念莫尔圆的参数莫尔圆是表示二维应力状态的图解方法，由德国工程师奥对于已知的σσ和τ，莫尔圆具有以下特征x,yxy托莫尔于世纪末提出它将应力状态表示为平面上的στ·19-圆心坐标σσ•C x+y/2,0一个圆，通过几何关系直观地确定各方向上的应力分量圆半径σστ•R=√[x-y²/4+xy²]横轴表示正应力σ•与轴交点代表主应力和σσ•x12纵轴表示剪应力τ•最大纵坐标点代表最大剪应力τ•max圆上每一点代表一个特定方向上的应力状态•莫尔圆的最大优势在于其直观性，通过简单的几何作图即可确定任意方向上的应力分量，而无需繁琐的计算特别是在教学和初步分析中，莫尔圆提供了理解应力状态的有效工具需要注意的是，莫尔圆上的点与实际物理空间中的方向有特定的对应关系物理空间中旋转角度对应莫尔圆上的角度这θθ2一特性使得圆上相隔的点对应物理空间中相互垂直的方向180°莫尔圆的绘制与应用建立坐标系标记已知点在平面建立坐标系，横轴表示正应力στ-标记点和点στστA x,xy By,-xy，纵轴表示剪应力στ读取所需值绘制莫尔圆从圆上直接读取主应力、最大剪应力等以的中点为圆心，为半径绘制圆AB|AB|/2莫尔圆的应用非常广泛，包括直观求解主应力、及其方向；确定最大剪应力及其作用面；分析任意方向上的正应力σστ1122max3和剪应力；评估材料在不同强度理论下的安全性4例如，对于平面应力状态，，，通过莫尔圆可直接读出主应力，；最大剪应σστσσx=60MPa y=20MPa xy=30MPa1=80MPa2=0MPa力；第一主应力方向与轴夹角这些结果与解析计算完全一致，但过程更为直观ταmax=40MPa x=30°莫尔圆与主应力分析主应力确定主平面方向莫尔圆与轴的交点即为主应力从已知应力点如点到主应力σA值和，右侧交点为最大主点的连线与水平轴的夹角为，σσα122应力，左侧交点为最小主应力其中即为主平面方向与轴的夹σα1xσ角2工程应用实例以薄壁压力容器为例，通过莫尔圆分析可直观确定危险点处的主应力方向，指导结构优化和断裂预防莫尔圆分析在工程实践中有广泛应用，尤其适合现场快速评估和初步设计例如，在分析桥梁、压力容器或机械零件时，工程师可以通过简单的莫尔圆作图，快速判断结构中的危险点位置和可能的失效模式现代计算机辅助分析软件通常提供莫尔圆可视化功能，将复杂计算结果转换为直观图形，帮助工程师理解三维应力状态特别是在教学环节，莫尔圆提供了连接抽象理论和具体应用的有效桥梁，帮助学生建立应力分析的直观认识极大剪应力与极值问题极大剪应力计算公式1τσσmax=1-2/2=R极大剪应力方向与主应力方向成角45°工程安全意义许多金属材料沿最大剪应力面屈服极大剪应力在材料力学中具有特殊重要性，因为许多金属材料的屈服和塑性变形主要由剪应力控制根据最大剪应力理论准则，Tresca当材料中的最大剪应力达到材料的剪切屈服强度时，材料将开始屈服在莫尔圆上，极大剪应力对应圆的半径，其方向可以通过从圆心引垂线到圆周上确定这一性质使得莫尔圆成为分析材料屈服条件的有力工具在工程设计中，通常需要确保构件内的最大剪应力不超过允许值，以防止塑性变形和结构失效应变分析主应变——主应变定义主应变计算公式主应变是指特定方向上的应变，在该方对于平面应变状态，主应变可通过以下向上没有剪切应变类似于主应力概公式计算念，主应变也有三个互相垂直的主方ε1,2=εx+εy/2±√[εx-εy²/4+向γxy²/4]在二维问题中，存在两个主应变ε1和其中εx和εy是x、y方向的正应变，γxy是ε2，对应两个互相垂直的方向剪切应变主应变应用主应变在实验应力分析中尤为重要，因为应变是可直接测量的物理量通过测量主应变，可以间接计算主应力在光弹性实验和数字图像相关技术中，主应变方向对应干涉条纹的方向主应变与主应力的概念类似，但二者的方向在非等向材料中通常不一致在线弹性范围内，对于等向材料，主应变方向与主应力方向相同，这大大简化了分析过程然而，在塑性变形阶段或对于各向异性材料，需要建立更复杂的本构关系来连接应力和应变二向应变状态的莫尔圆与应力分析类似，二向应变状态也可以通过莫尔圆进行图解分析在应变莫尔圆中，横轴表示正应变，纵轴表示一半的剪切ε应变对于已知的、和，可以在平面上绘制莫尔圆，直观地确定主应变和最大剪切应变γεεγεγ/2xyxy-/2应变莫尔圆的基本参数包括圆心，半径圆与横轴的交点给出主应变和，最大εεεεγεεC x+y/2,0R=√[x-y²/4+xy/2²]12纵坐标点对应最大剪切应变物理空间中的角度在莫尔圆上对应，这与应力莫尔圆的规律一致γθθmax/2=R2平面应力与应变叠加问题分解将复杂载荷条件分解为多个简单载荷分别求解计算各简单载荷下的应力或应变分布结果叠加将各简单载荷产生的应力或应变代数叠加验证检查确保最终结果满足原始边界条件叠加原理是线性弹性力学中的重要工具，它指出在小变形和线性材料行为假设下，多个载荷作用下的总应力或应变等于各载荷单独作用时产生的应力或应变的代数和这一原理极大地简化了复杂问题的分析例如，对于同时受弯曲和轴向拉伸的梁，可以分别计算弯曲应力和轴向应力，然后将两者叠加得到总应力分布需要注意的是，叠加原理仅适用于线性问题，对于几何非线性大变形或材料非线性塑性变形问题，则不能直接应用典型平面应力问题薄壁圆筒桥梁板开孔薄板内压作用下的薄壁圆筒是经典的平面应力问桥面板在交通荷载下产生复杂的平面应力状带孔薄板在拉伸载荷下是应力集中研究的典型题其主应力包括环向应力σθ和轴向应态通过有限元分析可以获得应力分布，确定案例孔边缘处的应力集中系数可达到，=pr/t

3.0力σ，其中为内压，为半径，为壁危险点位置桥面板设计中需考虑正应力和剪意味着边缘处应力为远场应力的三倍这解释z=pr/2t pr t厚环向应力是最大主应力，这解释了为何压应力的共同作用，通常采用主应力或了为何结构中的孔洞和缺口常成为裂纹起源Von力容器常沿轴向开裂应力作为强度评估依据点Mises这些典型的平面应力问题在工程实践中具有广泛应用通过研究这些问题，可以掌握应力分析的基本方法，学会识别结构中的危险区域，并采取相应措施提高结构安全性，如增加局部加强、改变孔形状或优化结构布局等受扭构件的应力与破坏扭转应力分布破坏机理分析圆形截面轴在扭转时，产生纯剪应力状态，剪应力τ与距轴在纯剪应力状态下，主应力σ1=-σ2=τ，且方向与轴线成心距离成正比，其中为扭矩，为极惯性矩角对于脆性材料，断裂沿最大拉应力方向（与轴线成τr=Tr/Ip TIp±45°角的螺旋线）发展45°这意味着应力从轴心向外线性增加，外表面处达到最大值该应力分布特点解释了为何扭转破坏通常始于轴的表面而对于韧性材料，屈服开始于最大剪应力平面，即轴横截面或含轴线的纵截面这解释了不同材料在扭转下的不同破坏模式受扭构件的应力分析揭示了脆性材料与韧性材料在相同载荷下的不同破坏机理例如，石膏或铸铁等脆性材料在扭转试验中会产生与轴线成约角的螺旋形裂纹，而钢或铝等韧性材料则首先在表面产生沿轴向或周向的剪切屈服45°工程设计中需考虑材料特性并选择适当的强度理论对韧性材料，通常采用最大剪应力理论或理论；对脆性材料，Von Mises则宜采用最大主应力理论这确保了结构设计的安全可靠强度理论基础基本概念材料在何种条件下失效的判据理论分类基于应力、应变或能量的多种理论应用选择3根据材料特性和工况条件选择安全评估结构是否安全的定量判据强度理论是将材料在简单受力状态下的极限特性（如单轴拉伸屈服强度、极限强度）推广到复杂应力状态的理论判据它回答了一个核心问题在多轴应力状态下，如何判断材料是否会失效？按照物理基础，主要的强度理论可分为基于应力分量的理论（最大主应力理论、最大剪应力理论）、基于应变的理论（最大主应变理论）和基于能量的理论（最大应变能理论、畸变能理论）不同理论适用于不同类型的材料和破坏机制，选择合适的强度理论是工程设计的关键一步最大主应力理论理论原理数学表达当最大主应力达到材料在单轴拉伸三维应力状态下，判据形式为试验中的极限强度时，材料将发生σσσσ或σmax1,2,3≤[]max|1|,破坏对于脆性材料，通常采用抗σσσ其中σ为材料的|2|,|3|≤[][]拉强度作为判据；对于韧性材料，允许应力，常取为极限强度除以安则可用屈服强度全系数适用材料主要适用于脆性材料，如铸铁、混凝土、石材、陶瓷等这些材料在拉伸状态下容易沿垂直于最大拉应力的平面断裂最大主应力理论是最早提出的强度理论之一，由法国学者兰克提出，也称为兰Rankine克理论或第一强度理论这一理论的物理基础是脆性材料在拉伸状态下沿垂直于最大主应力的平面产生断裂，这与实际观察到的许多脆性断裂现象相符最大主应力理论的优点是概念简单明确，易于应用；缺点是忽略了其他主应力的影响，在预测压应力主导的失效或剪切失效时精度不高在工程应用中，该理论主要用于脆性材料的安全设计，特别是当拉应力为主要危险因素时最大剪应力理论基本原理判据公式当最大剪应力达到材料在简单剪切试验中的剪τσστσmax=1-3/2≤[]=[s]/2切屈服强度时，材料将开始屈服几何表达4适用材料主应力空间中为六棱柱形安全区主要适用于延性金属如钢、铝合金等最大剪应力理论也称为准则或第三强度理论由法国学者于年提出其物理基础是金属材料的塑性变形主要由剪切应力引起，金属在微TrescaTresca1864观上沿最大剪应力方向发生滑移，形成塑性变形准则在工程设计中得到广泛应用，特别是在金属结构设计中对于平面应力状态，该理论的安全区域在主应力平面上表现为六边形，相比Tresca von理论的椭圆略为保守该理论的优点是计算简单，物理意义明确；缺点是对多轴应力状态下的屈服预测精度不如理论Mises von Mises最大应变能理论理论基础应变能是指外力对物体所做的功，储存为弹性变形能最大应变能理论也称为第四强度理论认为，当单位体积应变能达到材料在单轴拉伸试验中的临界值时，材料将失效数学表达对于线弹性材料，单位体积应变能U可表示为U=1/2E[σ1²+σ2²+σ3²-2νσ1σ2+σ2σ3+σ3σ1]最大应变能判据为U≤σs²/2E，其中σs为材料的屈服强度特殊形式当只考虑形状改变的应变能畸变能时，该理论演变为von Mises理论，判据变为√[σ1-σ2²+σ2-σ3²+σ3-σ1²]/√2≤σs，这在工程中使用更为广泛应用范围适用于多轴应力状态下的韧性材料，特别是形式，对金属材料的屈服预测von Mises非常准确在复杂载荷下的结构分析和设计中，该理论得到了广泛应用应变能理论提供了一种从能量角度理解材料失效的视角，将复杂的应力状态统一为单一的能量指标尤其是其特殊形式理论，已成为工程实践中评估金属结构安全性的标准方法—von Mises强度理论对比与选用强度理论适用材料优点缺点最大主应力理论脆性材料玻璃、概念简单，计算方忽略其他主应力影陶瓷便响最大剪应力理论部分韧性金属物理意义明确精度不如von理论Mises理论大多数金属材料预测精度高计算相对复杂von Mises莫尔库仑理论岩土材料考虑压力影响需更多材料参数-选择合适的强度理论对工程设计至关重要一般原则是，对于脆性材料如铸铁、混凝土、陶瓷等，宜采用最大主应力理论；对于韧性金属材料，通常采用理论或最大剪应力理von Mises论；对于压力敏感的材料如岩石、混凝土，则需考虑如莫尔库仑理论等更复杂的判据-在实际工程中，还需考虑载荷性质（静载、动载）、环境条件（温度、腐蚀）等因素对于重要结构，往往需要采用多种强度理论进行交叉验证，确保设计安全可靠现代计算机辅助工程分析软件通常提供多种强度理论选项，使工程师能够灵活选择最适合特定设计情境的理论强度计算基本流程外力分析确定构件所受外部载荷的大小、方向和分布，包括集中力、分布力、力矩等考虑实际使用条件、环境因素和可能的极端工况内力计算通过静力平衡条件，计算构件内部各截面上的内力（轴力、剪力、弯矩、扭矩）分布复杂结构可能需要应用结构力学方法或数值分析技术应力分析根据内力和截面几何特性，计算构件内部的应力分布确定应力集中区域，识别可能的危险点，并分析主应力状态强度校核根据材料特性选择适当的强度理论，评估构件在各危险点的安全裕度确保计算应力不超过材料的许用应力强度计算是工程设计的核心环节，其目的是确保构件在预期使用条件下具有足够的安全裕度根据结构类型和设计要求，可能需要考虑不同的失效模式，如静强度失效、疲劳破坏、刚度不足、失稳等现代工程设计通常采用计算机辅助技术，特别是有限元分析方法，来处理复杂的应力分析问题无论采FEA用何种计算工具，理解强度计算的基本原理和流程对于正确解释结果和做出合理设计决策都至关重要实际构件强度计算案例

（一）12确定载荷和支撑计算内力分布确定梁的几何尺寸、支撑方式和施加的载荷应用平衡方程求解截面剪力和弯矩34计算正应力分布计算剪应力分布使用弯曲应力公式:σ=My/I使用剪应力公式:τ=VQ/Ib以一个简支梁为例假设梁长L=2m，截面为矩形，高h=100mm，宽b=50mm，材料为Q235钢，屈服强度σs=235MPa梁中点受集中力F=10kN计算步骤如下首先计算最大弯矩Mmax=FL/4=10×2/4=5kN·m；然后计算截面惯性矩I=bh³/12=50×100³/12=

4.17×10⁶mm⁴；最后计算最大正应力σmax=Mmaxh/2I=5×10⁶×100/2/

4.17×10⁶=60MPa对于主应力分析，需要考虑弯曲正应力σ和剪应力τ的组合效应在梁的中性轴处，正应力为零但剪应力最大，主应力计算为σ1,2=±τ，方向与轴线成±45°角而在梁的上下表面，剪应力为零，主应力即为弯曲正应力通过这种分析，可以确定梁的危险点和可能的失效模式实际构件强度计算案例

（二）以桁架节点或薄壳构件为例，这类结构的应力分析通常更为复杂，需要考虑多向应力的组合效应以一个典型的桁架节点为例，多根杆件在此处连接，各杆件传递的轴力在节点处形成复杂的应力状态对于这类问题，通常采用有限元分析方法首先建立几何模型和材料属性；然后施加边界条件和载荷；接着进行网格划分和求解；最后后处理分析结果现代软件可以直观地显示主应力分布和方向，通过应力云图可以清晰识别应力集中区域例如，在桁架节点处，可能观察到应CAE力集中现象，主应力方向往往沿着载荷传递路径分布对于薄壳结构，如压力容器或飞机蒙皮，应力分析需考虑膜应力和弯曲应力的共同作用通过主应力分析，可以确定结构中的高应力区域，并根据材料特性选择合适的强度理论进行安全评估工程常见失效模式屈服失效脆性断裂疲劳破坏当构件中的应力超过材料的屈服极脆性材料在达到极限强度时突然断构件在循环载荷作用下，即使应力限时，材料开始产生塑性变形，失裂，几乎没有塑性变形这种失效低于静态屈服强度也可能发生破去原有的弹性功能这种失效常见模式危险性高，因为没有明显预坏疲劳裂纹通常从表面缺陷或应于韧性金属材料，如钢或铝合金警常见于铸铁、陶瓷、低温下的力集中处萌生，逐渐扩展直至最终屈服失效通常不会立即导致灾难性某些金属等材料脆性断裂往往沿断裂这是工程实践中最常见的失后果，但会影响构件精度和使用性最大主应力方向的垂直面扩展效模式之一，估计约占机械失效的能80%过度变形即使未达到材料强度极限，构件也可能因过度变形而失去功能例如，精密机械中零部件的过度挠曲可能导致装配间隙变化，影响整个系统功能这种失效通常以刚度不足为特征不同失效模式对应不同的分析方法和设计准则对于屈服失效，通常采用最大剪应力理论或理论进vonMises行分析；对于脆性断裂，则采用最大主应力理论；对于疲劳破坏，需进行应力集中分析和寿命预测；对于过度变形，则需进行刚度分析和变形控制材料选择与安全系数应力集中与局部失效应力集中现象防止措施应力集中是指在几何形状突变处（如孔洞、缺口、截面变化处）减轻应力集中的常用设计措施包括或载荷作用点附近，应力值显著高于名义应力的现象应力集中避免几何形状的急剧变化•系数定义为最大应力与名义应力之比Kt在截面变化处设置过渡圆角•圆孔板在拉伸时，孔边缘处•Kt=3对孔洞和缺口进行局部补强•锐角缺口可导致•Kt10优化载荷传递路径•过渡圆角可显著降低值•Kt采用应力消除热处理•使用预应力技术创造有利应力分布•应力集中是许多局部失效的主要原因，特别是在疲劳载荷作用下尤为危险历史上多起重大工程事故都与应力集中有关，如世纪2040年代美国自由轮船断裂事故，就是由方形舱口角落处的应力集中引发裂纹扩展导致的现代工程设计中，通过有限元分析和实验应力分析技术可以准确识别和评估应力集中，采取针对性的改进措施对于重要结构，还可进行断裂力学分析，即使存在缺陷也能确保结构在预期使用寿命内不发生危险性断裂应力与应变的数值计算结果解释软件应用正确解释有限元结果需要扎实的理论基分析流程商业有限元软件如ANSYS、ABAQUS、础和工程判断力应关注网格收敛性、有限元方法基础典型的有限元分析流程包括预处理NASTRAN等提供了强大的功能和用户边界条件合理性、材料模型适用性等，有限元法FEM是求解复杂应力问题的强（几何建模、材料定义、网格划分、边友好的界面，使工程师能够分析各种复确保计算结果可靠大工具，其基本思想是将连续体离散为界条件施加）；求解（线性或非线性求杂应力问题，如非线性分析、接触分有限数量的单元，通过建立每个单元的解器计算）；后处理（结果可视化、数析、动力学分析等刚度矩阵和载荷向量，组装成整体方程据提取、安全评估）组求解位移，进而计算应力和应变有限元分析已成为现代工程设计不可或缺的工具，它能处理各种复杂的应力应变问题，提供传统解析方法难以获得的详细信息特别是对于复杂几何形状、非线性材料行为或复杂边界条件的问题，有限元方法展现出明显优势结构优化设计基础尺寸优化调整构件的几何尺寸（如厚度、截面积等）以满足强度和刚度要求，同时最小化质量或成本这是最基本的优化形式，适用于参数化设计形状优化通过改变构件的几何轮廓或边界形状，优化应力分布，减轻应力集中，提高结构效率形状优化常用于减轻应力集中或改善流场特性拓扑优化在给定的设计空间内，确定最优的材料分布，即决定空间中每个点是否应该放置材料这是最灵活的优化形式，能产生创新的、非直观的设计多目标优化同时考虑多个设计目标（如减重、提高强度、降低成本等），寻找帕累托最优解集现实工程问题通常涉及多个相互冲突的目标结构优化设计是将力学分析与数学优化方法相结合，系统性地改进结构性能的过程通过明确定义设计变量、目标函数和约束条件，应用各种优化算法（如梯度法、遗传算法、粒子群算法等）可以获得满足工程要求的最优或近似最优设计在应变能分析的基础上，可以实现能量分布均匀化设计，即使结构中各处的应变能密度尽可能均匀，避免局部过载或材料浪费这种方法在轻量化设计中特别有效，已在航空航天、汽车工业等领域得到广泛应用典型习题解析

（一）12题目描述求主应力平面应力状态下，某点处σx=80MPa，σy=20MPa，τxy=40MPa求1主应力大小及方应用主应力公式σ1,2=σx+σy/2±√[σx-σy²/4+τxy²]向；最大剪应力及其作用面方向2代入数值σ1,2=80+20/2±√[80-20²/4+40²]=50±50=100MPa或0MPa34求主方向求最大剪应力应用主方向公式tan2α=2τxy/σx-σy最大剪应力τmax=σ1-σ2/2=100-0/2=50MPa代入数值tan2α=2×40/80-20=80/60=4/3，得2α=

53.1°，α=

26.6°最大剪应力面方向与主应力方向成45°角，即与x轴夹角为

26.6°±45°解析要点1注意区分最大主应力和最小主应力，对应σ1=100MPa和σ2=0MPa；2主方向计算中，需根据τxy和σx-σy的符号确定2α的象限，本题中两者均为正，故2α在第一象限；3验证方法代入α=

26.6°到应力转换公式，检查得到的正应力是否为主应力，剪应力是否为零典型习题解析

（二）题目描述某点的应力状态为σx=60MPa（拉伸），σy=-20MPa（压缩），τxy=30MPa使用莫尔圆法确定主应力值；最大剪应力；在与轴成的平面上的正应力和剪应力123x30°绘制莫尔圆在σ-τ坐标系中标出点A60,30和点B-20,-30，连接AB并取中点C作为圆心，半径为|CA|圆心坐标，半径C20,0R=√[60-20²+30²]=√[1600+900]=√2500=50确定主应力和最大剪应力莫尔圆与σ轴的交点即为主应力σ1=20+50=70MPa，σ2=20-50=-30MPa最大剪应力为莫尔圆半径τmax=50MPa计算特定方向的应力物理空间中30°对应莫尔圆上的2θ=60°角度从点A出发，顺时针旋转60°到达点D，读取点坐标即为所求应力D通过几何关系或应力转换公式计算得σ30°≈10MPa，τ30°≈48MPa莫尔圆作图法的优势在于其直观性，通过简单的几何操作即可获得复杂应力状态下的各种信息在实际应用中，需注意物理空间角度θ与莫尔圆上角度2θ的对应关系，以及剪应力符号的判定规则本章小结与复习指引1基本概念应力与应变的定义、分类与物理意义胡克定律与应力应变关系-主应力与主应变的概念分析方法二向与三向应力分析技术莫尔圆图解法与应用范围应力状态转换的数学方法3强度理论各种强度理论的基本原理适用材料与应用条件安全系数选择依据4工程应用实际构件的应力计算方法失效分析与预防策略优化设计的基本思路复习本章内容时，建议首先牢固掌握基本概念和理论，如应力、应变的定义及分类，胡克定律，主应力计算等其次，熟练掌握分析方法，特别是应力分析的解析法和图解法，能够处理二向应力问题最后，理解各种强度理论的适用条件，学会在工程实际中选择合适的理论进行强度校核重点难点包括应力状态的张量表示及转换，莫尔圆的绘制与应用，以及复杂应力状态下的强度计算建议通过多做习题，结合实例分析，加深对理论与方法的理解与应用能力课堂互动与思考题工程实例分析某压力容器在内压作用下，壁厚为半径的，试分析容器壁上的应力状态，并确定可能的失效1/20模式讨论如何优化设计以提高安全性理论应用探讨不同强度理论对同一问题可能给出不同的安全评估结果请选择一个具体工程案例，比较各种强度理论的预测结果，并讨论如何选择最合适的理论创新思考当前材料力学理论在新材料（如复合材料、纳米材料）应用中面临哪些挑战？传统应力应变分析方法需要哪些改进或扩展？4实践应用请设计一个简单的实验来验证应力集中现象，并思考如何通过设计改变减轻应力集中效应这些思考题旨在促进对课程内容的深入理解和实际应用能力的培养学生可以通过小组讨论、文献查阅或简单的实验来探索这些问题，并在下次课程中分享见解和结论欢迎同学们就课程内容提出疑问和见解常见问题包括不同应力状态下如何选择合适的强度理论？有限元分析结果如何与传统解析法结果对比验证？实际工程中如何确定合理的安全系数？教师将在课后答疑时间或通过在线平台回答这些问题，帮助同学们更好地掌握应力与应变分析的核心知识。