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一、课程目标解读选修系列4-5专题不等式选讲，容包括不等式的根本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大〔小〕值、数学归纳法与不等式通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是根本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力
二、教材容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材容仍以初中知识为起点，在容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题容分为四讲，构造如以下列图所示第一讲是不等式和绝对值不等式〃，为了保持专题容的完整性，教材回忆了已学过的不等式6个根本性质，从“数与运算〃的思想出发，强调了比较大小的根本方法回忆了二元根本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式对于绝对值不等式，借助几何意义，从”运算〃角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究第二讲是“证明不等式的根本方法〃，教材通过一些简单问题，回忆介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的容这些方法大多在选修2-2”推理与证明〃已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比方舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用根本不等式进展放缩等〔见分节教学设计〕本讲容也是本专题的一个根底容第三讲是“柯西不等式和排序不等式〃这两个不等式也是本专题实质上的新增容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工比方课本P41页，习题
3.2第四题排序不等式只作了解，建议在教师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的叮果究——猜想——证明——应用〃的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识第四讲是“数学归纳法证明不等式〃,数学归纳法在选修2-2中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解”归纳递推〃的证明同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用
三、教学目标要求
1.不等式的根本性质掌握不等式的根本性质，会应用根本性质进展简单的不等式变形
2.含有绝对值的不等式理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式
3.不等式的证明通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法教学札记根据定理1,有a+b卜上月|a+b—,就是,|a+4+||4所以,8+可|一|4定理〔绝对值三角形不等式〕如果a b是实数，那么Jl+i lli±b|b|+bl5注当a,b为复数或向量时结论也成立.推论1|a+a+―|W田+川+—+|a推论2如果a、b、c是实数，那么a-bc+a|—b*4cl,当且仅当a—bb^c^O时,等号成立.思考如何利用数轴给出推论2的几何解释〔设A,B,C为数轴上的3个点，分别表示数a,b,c,那么线段AB WAC+CB.当且仅当C在A,B之间时，等号成立这就是上面的例3特别的，取c=0〔即C为原点〕，就得到例2的后半局部〕
三、典型例题C.x-a|-,|y-b求证|x+y-a+b|c.证明|x+y-a+b|=|x-a+y-b||x-a|+|y-Q〔1〕由⑴,⑵得|x+y—a+可c例
2、求证|2x_3y|a・・⑵•|x_a|+|y_4g+=c由例1及上式，|2x-3y||2ij+|3y|C L^—=azJ J注意在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写但这种写法，只能用于不等号方向一羊的不等式例3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次，要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处”解如果生活区建于公路路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为Sxkm那么Sx=2|x-10|+|x-20|1020
四、课堂练习
1.课本P习题
1.2第1题求证20⑴|a+b+221al；2|a+斗・|a・b2»
2.课本P习题
1.2第3题求证191|x-a|+|x信|a-b|；2|x-a|-|x-b Wa・b
3.〔1〕、|A-p求证|A-B-a-b|cc c〔2〕、|x-a|-|y-1|求证:12x-3y-2a+3b|co
五、课堂小结
1.实数a的绝对值的意义a0a；=0=0定义Il|a-a a0a⑵同的几何意义
2.定理〔绝对值三角形不等式〕如果a,b是实数，那么上户叫W川+回注意取等的条件
六、课后作业课本匕第2,4,5题9七.教学后记课题第05课时绝对值不等式的解法教学目标1理解并掌握a和|x|a型不等式的解法2充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进展推理和证明教学重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用教学难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件教学过程
一、复习引入在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些根本知识有了一定的了解请同学们回忆一下绝对值的意义在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值即〔X,如果x0如果M x=07,如果XV在此根底上，本节讨论含有绝对值的不等式
二、新课学习关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类一类是解不等式，另一类是证明不等式下面分别就这两类问题展开探讨
1、解在绝对值符号含有未知数的不等式〔也称绝对值不等式〕，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式主要的依据是绝对值的几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种根本的类型第一种类型设a为正数根据绝对值的意义，不等式Ma的解集是{x I-aXa},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间〔一a,a],如下列图-a图IT a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解第二种类型设a为正数根据绝对值的意义，不等式上|a的解集是{X IXa或X-a},它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间-8,-a,a,8的并集如图1-2所示—a a图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解
3、|ax+t|c^ax+l|c型不等式的解法|ax+bc^-cax+b c|ax+qax+b-cs^ax+bc
4、|x-a|+|x-t|w c制x-冏+12c型不等式的解法〔三种思路〕
三、典型例题例
1、解不等式px-1|x+2例
2、解不等式pxT|2-X方法1分类讨论方法2依题意，原不等式等价于3x—12—x或3x—1X—2,然后去解例
3、解不等式布+1+^x—2|5O例
4、解不等式k-2|+|x-1户5解此题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义原不等式即数轴上的点x到1,2的距离的和大于等于5因为1,2的距离为1,所以x在2的右边，与2的距离大于等于2〔=〔5—1〕+2；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2o这就是说，X4或X-
1.例
5、不等式|x-1|+|x+p a,对一切实数x都成立，数a的取值围
四、课堂练习解以下不等式
1、2|2x-1|
1.
2、4j-3x^
103.0-2x恪x+
4.
4、|x+1|2-X.5X2-2x-4|16X2-1X+
2.A、7|x|+|x-2|
48.|x-11+^+3|
6.
9.|x|+|x+1|
210、||x|-|x-4||
2.
五、课后作业课本20第
6、
7、
8、9题
六、教学后记第二讲证明不等式的根本方法课题第01课时不等式的证明方法之一比较法教学目标能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式教学重、难点能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式教学过程、新课学习:要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质:ab今a-b0a=b今a-b=Oab今a-b0
二、典型例题例
1、设a,b都是正数，且a Wb,求证as+baa2b+ab2o例
2、假设实数X w1,求证31+X2+X41+X+X
22.证明采用差值比较法31+X2+X4-1+X+侬2=3+3x2+3X4-1-X2-X4-2x-2X2-2x3二2X4-X3-x+1=2x-12X2+x+1+二・=2x—l2[x+—-12413・・・X H1,从而x-120,且X+_2+0,24・・・2X-12[X+J+0,・・•31+X2+X41+X+X
22.讨论假设题设中去掉X/1这一限制条件，要求证的结论如何变换？例
3、ab eR+,求证aabbabba.此题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进展证明1差值比较法注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a2b
0.*/a-b0:aabb-abba=abbbaa-b-,从而原不等式得证ba-b02〕商值比较法设a2b0,-\.a-h X=--b1,故原不等式得证h abb b例
4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果m W n,问甲、乙两人谁先到达指定地点分析设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t,t要答复题目中的问题，只要比较t t的大小就可以了o51212解设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为…t tS S2S Sm+n-------------t,t根据题意有+m+T n=S,—H—二t,可得t二---------------------------------------，t——「222m2〃2m+n2mn122S Sm+n S[4mn-m+n2]从而，m+n,2Sm-n22mn2m+nmn2m+nmn其中S,m,n都是正数，且m Wn于是t-t0,即tt1212从而知甲比乙首先到达指定地点讨论如果m=n,甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习
1.比较下面各题中两个代数式值的大小〔1〕X2与X2—X+1；〔2〕X2+X+1与X+
12.2a
2.awl.求证[1J a22a-1;⑵vL1+a23,假设a bc0,求证aabbecabc.3
四、课时小结比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法用比较法证明不等式的步骤是作差〔或作商〕、变形、判断符号”变形〃是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是”变形〃的常用方法
五、课后作业课本23页第
1、
2、
3、4题
六、教学后记课题第02课时不等式的证明方法之二综合法与分析法教学目标
1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种根本方法分析法和综合法
2、了解分析法和综合法的思考过程教学重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程教学难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法教学过程
一、引入综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的根本方法由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于比照研究两种思路方法的特点所谓综合法，即从条件出发，根据不等式的性质或的不等式，逐步推导出要证的不等式而分析法，那么是由结果开场，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在中前一种是”由因及果〃，后一种是”执果索因〃打一个比方三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法〃；而三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法〃
二、典型例题例
1、a,b,c0,且不全相等求证ab2+o+bC2++c灾+b6abc分析用综合法例
2、设a0,b0,求证asa2b+ate.证法一分析法要证a3+b3a2b+ate成立.只需证a+ba2-ab+te2aba+b成立，又因a+b0,只需证a2—ab+b22ab成立，又需证a2-2ab+b2之0成立，即需证a-b20成立.而a-b20显然成立,由此命题得证证法二综合法a-b20—a2-2ab+b NO—a2-ab+也ab注意到a0,b0,即a+b0,由上式即得a+ba2-ab+b2aba+b,从而a3+ba2b+ab2成立议一议根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？,,a+m a例
3、a,b,m都是正数，并且ab.求证---------------------一证法一要证〔1〕，只需证ba+mab+m〔2〕要证〔2〕,只需证bmam〔3〕要证〔3〕,只需证ba〔4〕〔4〕成立，所以〔1〕成立上面的证明用的是分析法下面的证法二采用综合法证法二因为ba,m是正数，所以bmam两边同时加上ab得ba+mab+m两边同时除以正数bb+m得〔1〕例
4、证明通过水管放水，当流速一样时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大分析当水的流速一样时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小设截面的周长为L,那么周长为L的圆的半径为;，截面积为兀，；周长为L的正方形为，截面积o所以此题只需证明兀的水管的截面面积为o只需证明:71Tll_2为了证明上式成立，只需证明一1_2一4T121641O因此，只需证明4TI两边同乘以正数，得:n4TIfLV上式显然成立，所以兀证明设截面的周长为L,那么截面是圆的水管的截面面积为截面是正方形这就证明了通过水管放水，当流速一样时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大例
5、证明a2+tt+C2ab+bc+cao因为a2+b22abb2+C22bcC2+a22ca所以三式相加得2a2+b2+C22ab+be+ca〔5〕两边同时除以2即得〔1〕证法二az+b2+c2-ab+be+ca=—a—b2+一8-c2+—C-Q22,799Av JJ所以〔1〕成立例
6、证明m+b2C2+d2ac+bd
2.〔1〕证明〔1〕今m+mC2+d2-ac+bd220〔2〕今a2c2+tec2+d2+ted2-a2c2+2abcd+b2d220〔3〕今b2c2+%d2-2abcd0〔4〕今be-ad20〔5〕〔5〕显然成立因此〔1〕成立例
7、a,b,c都是正数，求证a3+b3+C33abc,并指出等号在什么时候成立？分析此题可以考虑利用因式分解公式as+te+C3-3abc=a+b+ca2+b+02-ab-be-ca着手1正明as+bs+C3-3abc=a+b+ca2+m+C2-ab-be-ca二—〃+力+C[〃一力2+S-C2+c-a2].2由于a,b,c都是正数，所以a+b+c
0.而a-b2+b-c2+c-a20,可知a3+b+C3-3abc0即a3+b3+C323abc〔等号在a二b二c时成立〕探究如果将不等式a3+b3+C33abc中的a3,b3,C3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3,会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式1+a+b1+b+c1+c+a27,其中a,b,c是互不相等的正数，且abc=
1.
三、课堂小结解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上〔或减去〕一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以〔或除以〕一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧教学札记
四、课堂练习
1、x0,求证x+
122.x
1142、x0,y0,x Wy,求证一+-------------------------x yx+y
3、ab0,求证-bVa-Jb.
4、a0,b
0.求证:〔1〕a+ba-i+b-i
24.〔2〕a+ba2+bas+b3Sa^bs.4abcd.
5、a,b,c,d都是正数求证:
6、a,b,c都是互不相等的正数，求证a+b+cab+be+ca9abc.
五、课后作业课本25页第
1、
2、
3、4题
六、教学后记课题第03课时不等式的证明方法之三反证法教学目标通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的根本步骤，会用反证法证明简单的命题教学重点体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题教学难点会用反证法证明简单的命题教学过程一\引入前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地到达目的其中，反证法是间接证明的一种根本方法反证法在于说明假设肯定命题的条件而否认其结论，就会导致矛盾具体地说，反证法不直接证明命题”假设p那么q〃，而是先肯定命题的条件P,并否认命题的结论q,然后
4.几个著名的不等式1认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进展简单的证明与求最值2理解掌握两个或三个正数的算术一几何平均不等式并应用3了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式
5.利用不等式求最大〔小〕值会用两个或三个正数的算术一几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值
6.数学归纳法与不等式了解数学归纳法的原理及其使用围；会用数学归纳法证明简单的不等式会用数学归纳法证明贝努利不等式
四、教学重点难点
1、本专题的教学重点不等式根本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；
2、本专题的教学难点三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等
五、教学总体建议
1、回忆并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有第
一、初中课标要求的不等式与不等式组1根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的根本性质⑵解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集⑶根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第
二、高中必修5不等式容1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景⑵一元二次不等式⑶二元一次不等式组与简单线性规划问题⑷根本不等式及其应用〔求最值〕第
三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等容回忆并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，到达复习稳固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系
2、控制难度不拓展在解绝对值不等式的教学中，要控制难度含未知数的绝对值不超过两个；绝对值的关于未知数的函数主要限于一次函数解含有绝对值的不等式的最根本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中
3、重视不等式的应用不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开场所作的假定不正确，于是原证不等式成立
二、典型例题例
1、ab0,求证石〔n£N且n1］例L设a3+也=2,求证a+b
2.证明假设a+b2,那么有a2-b,从而aa8-12b+6b2-ba,as+b36te-12b+8=6b-12+
2.因为6b-12+22，所以a3+b32,这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以,原不等式a+b42成立例
2、设二次函数fx=X2+px+q，求证〃⑴卜化|⑶|中至少有一个不小于g.证明假设,⑴『尸2”3都小于］那么|f⑴|+小⑵|+|f⑶|
2.⑴另一方面，由绝对值不等式的性质，有⑴|+中F2|+|f3||f1-2f2f3|=|1+p+q-24+2p+q+9+3p+q|=2+〔1〕、〔2〕两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确注意诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进展议一议一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与公理、定义、定理或条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例
3、设0a,b,c1,求证1-ab,1-bc,1-ca,不可能同时大于!4证设1-ab,1-bc［，1-ca-,444那目乘abQ-ab・l-bcl-ca
①642_14同理1-bb-1-ccJ#44以上三式相乘1-aa・l-bb-l-c工与
①矛盾.••原式成立64例
4、a+b+c0ab+be+ca0,abc0,京正:a,b c0,z证设a0,,.abc0,/.be0又由a+b+c0,月陷b+c=—a0/.ab+be+ca=ab+c+be0与题设矛盾又隹殳设a=0,刃陷与abc0矛盾，，必有a0同理可证b0,c0
三、课堂练习L利用反证法证明假设a,b,»11都是正数，并且ab,那么刊士工土b+m b
2、设0a,b,c2,求证2TC,2—a,2-cb,不可能同时大于
13、假设x,y0,且x+y2,那么虫和W中至少有T小于2x y提示反设—^2,-^2/X,y0,可得x+y2与x+y2矛盾x y
四、课时小结利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开场所作的假定不正确，于是原证不等式成立
五、课后作业课本29页第
1、4题
六、教学后记课题第04课时不等式的证明方法之四放缩法教学目标
1.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式
2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧教学重、难点
1.掌握证明不等式的两种放缩技巧
2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的度〃教学过程
一、引入所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大〔或缩小〕，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛下面我们通过一些简单例证体会这种方法的根本思教学札记想
二、典型例题111例
1、假设n+…+—
2.是自然数，求证--------+-------+-----2232ri21证明1k212kk-1k-1111111T-F—+十—一+——+---------+n-
1.n
1222320211.
22.3=2-
12.n1注意实际上，我们在证明一11+一12+—+…+—2的过程中，已经得到一个更强22的结论」1八1+一122——,这恰恰在一定程度上表达了放缩法的根本思想320222例
2、求证1c4c111x21x2x3o+,+1x2x x-xn3-3的自然数〕证明由----------------------------------------------------=-----------是大于2・・・Ix2x3x x41*2*
3、假设a,b,c,deR,求证1c+d+b d+a+c+1正，己m二*/a,b,c,d£R+d+a+cc-+c+d+a+b d+a+b+ca+b+c+d a b m+a+b+c+aa+b a+b+c d・・・即原式成立+=21m2c+d d+c例
4、当n2时,求证log n—1lognn+11n证:Vn2A log n-10,log n+10〃log-1+10g+l41logH2-12皿____________2・・・n2时，log n-1logn+11n n
三、课堂练习
1、设n为大于1的自然数，求证一！一+—!—+——+■■■+—-.n+1n+2n+32n
22、设n为自然数，求证2-12-12-0・・・2-2n
11.n n n n n!
四、课时小结常用的两种放缩技巧对于分子分母均取正值的分式，〔I〕如果分子不变，分母缩小〔分母仍为正数〕，那么分式的值放大;〔II〕如果分子不变，分母放大，那么分式的值缩小
五、课后作业课本29页第
2、3题第三讲柯西不等式与排序不等式课题第01课时二维形式的柯西不等式〔一〕教学目标认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点理解几何意义.教学过程
一、复习准备
1.提问二元均值不等式有哪几种形式？答案a+b a0,b0及几种变式.
22.练习a、b、c、d为实数，求证@+b2C2+d22ac+bd2证法〔比较法〕@+tec2+cb-ac+bd2=….二ad-bc20
二、讲授新课1,柯西不等式
①提出定理1假设a、b、c、d为实数，那么@+b2Q+d22ac+bd
2.T即二维形式的柯西不等式T什么时候取等号？
②讨论二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二〔综合法〕a2+mc2+cb=a2C2+d2+mC2+md2=ac+bd2+ad-bc2ac+bd
2.〔要点展开t配方〕证法三〔向量法〕设向量m=a,b,n=c,d,那么|m,|n|=C2+cb.|=Va2t■r——♦■t■r9tm•n=ac+bd,且m.n二|m||n|cosm,n,那么|m.n区证法四〔函数法〕设fx=a2+b2X2—2ac+bdx+C2+,那么f x=ax-c2+bx-d220恒成立.「・A=[-2ac+bd]2-4a2+teC2+8WO,即
③讨论二维形式的柯西不等式的一些变式？变式\-a2+b-vc2+cb|ac+bd|或+b-vC2+cb|ac|+|bd|或+cbac+bd.Va2+08
④提出定理2设oc；B是两个向量，那么区||0|.即柯西不等式的向量形式〔由向量法提出〕T讨论上面时候等号成立？〔0是零向量，或者cxB共线〕
⑤练习a、b、c、d为实数，求证\22+b2+Jc2+j a-c2+b-d
2.证法〔分析法〕平方T应用柯西不等式T讨论其几何意义？〔构造三角形〕
2.教学三角不等式
①出示定理设那么3x,y,x,y GR,Vx2+y2+Jx2+y2NVx-x2+y-y
2.112211221212分析其几何意义T如何利用柯西不等式证明T变式假设X,y,x,y,x,y GR,那么结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？112233
三、应用举例例1a,b为实数，求证a4+b4a2+b2a^+b2说明在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算以，经典不等式是数学研究的有力工具例题2求函数y=5jjhf+师=^的最大值分析利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两局部的和，假设能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值〔|ac+bd区、/a2+
5.+T〕11V v解函数的定义域为【1,5],且y0y=5xj x-1+x J5-x教学札记，二V X/7+V=27x4=63+12|25^x2当且仅当、Q xyGW=5时，等号成立，即*二号时，函数取最大值
6、§/9课堂练习:
1.证明xz+yA a4+b22x+by
222.求函数y=3\.x—5+4v16—x的最大值.例
3.设a,b是正实数，a+b=1,求证］+1之4a b一分析注意到—十—=a+b—+—1有了a+/一+—就可以用柯西不等式了°a ha ha h
四、稳固练习
1.练习试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2.x+2y=1,求X2+y2的最小值.
五、课堂小结二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式〔两点、三点〕
六、布置作业P37页，4,5,7,8,9
七、教学后记课题第02课时二维形式的柯西不等式〔二〕教学目标会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点利用二维柯西不等式解决问题.教学难点如何变形，套用不等式的形式.教学过程
一、复习引入
1.提问二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案a2+bc2+ac+bd2；vx2+y24-^x2+y2v x-x2+y-y
2112212122.讨论如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.如何利用二维柯西不等式求函数y=也一x的最大值”要点利用变式|ac+bd区、匕2+也.+d.
二、讲授新课
1.最大〔小〕值
①出例如1:求函数y=3乂=T+”一2X的最大值分析如何变形？T构造柯西不等式的形式T板演一变式y=V3x-1+J10二2xt推广y=abx+c+dxe——fx,a,b,c,d,e,f GR
②练习3x+2y=1,求X2+y的最小值.2解答要点〔凑配法〕X2+V2=—.V+\232+2—2—
3.1+2v2=一131313讨论其它方法〔数形结合法〕
2.不等式的证明
①出例如2假设x,y@R,x+y=2,求证1+
12.+x y分析如何变形后利用柯西不等式？〔注意比照T构造〕讨论其它证法〔利用根本不等式〕
②练习a、b^R,求证似+b^_+14,+a b
三、应用举例例1名,都是实数，求证La+a+・・・+a2Wa2+a2+・・・+a217n n…,a12n12n分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式例2a,b,c,d是不全相等的实数，证明a2+b2+C2+chab+be+cd+da分析上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进展证明例
3、已知x+2y+3z=1,求X2+y2+Z2的最小值.分析由x+2y+3z=1以及X2+y2+Z2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造〔I2+22+32〕作为一个因式而解决问题
四、稳固练习
1.练习教材P
8、9题37149练习
1.设x,y,z为正实数，且x+y+z=1,求一+一+一的最小值x yz
2.a+b+c+d=1,求az+bz+cz+ch的最小值
3.a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9,求＜3a++Jc的最大值选做
4.a,b,c为正实数，且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值〔08广一模〕
1115.a,b,c为正实数，且a+2b+c=1,求一+一+一的最小值〔08二模〕a bc
6.x+y+z=2§,那么m=X2+2yz+z2的最小值是.08调研
五、布置作业教材P
1、
6、7题37o b
①x,y,a,b GR,且_+_=1,那么x+y的最小值.+x yah要点x+y=—+—x+y=….t其它证法x y
②假设x,y,zwR,且x+y+z=1,求X2+y2+的最小值.〔要点利用三维柯西不等式〕变式假设x,y,zwR,且x+y+z=1,求+jp+我的最大值.+
六、课堂小结比较柯西不等式的形式，将•目标式进展变形，注意凑配、构造等技巧.
七、教学后记课题第03课时一般形式的柯西不等式教学目标教学札记
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式教学难点应用一般形式柯西不等式证明不等式教学过程
一、复习引入定理1〔柯西不等式的代数形式〕设a,b,c,d均为实数，那么a2+teC2+d2ac+bd2,其中等号当且仅当ad=be时成立定理2〔柯西不等式的向量形式〕设a,B为平面上的两个向量，那么|.|0七|a.B其中等号当且仅当两个向量方向一样或相反〔即两个向量共线〕时成立定理3〔三角形不等式〕设x,y,x,y,x,y为任意实数，那么112233
二、VX-X2+y-y2+V x-X2+y-V2V x-X2+y-V2121223231313讲授新课类似的，从空间向量的几何背景业能得到|a.BlW|a||B|.将空间向量的坐标代入，可得到a2+a2+a2b2+b2+b2Nab+a b+a b2当且仅当a,B时，123123112233即3=0,或存在一个实薮k,使得a=kb i=1,2,3时，等号成立.i i这就是三维形式的柯西不等式.比照二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理4〔一般形式的柯西不等式〕设n为大于1的自然数，a,b〔i=i,2,…，n]I I为任意实数，那么后吟a2+a2+—aJbN+bs_d—-ab12n12n1122n n即2工82之2〃8”，其中等号当且仅当2•二2•二a ai i ii时成立〔当a二时,a=f ii=1i=1i=112n约定b=0,i=1,2,…，n］i证明构造二次函数fx=a x—b2+a x-b2+■■■+a x-b21122n n即构造了一个二次函数/（其）=（E2）X
2.2（工b）x+Zb教学札记由于对任意实数x,fx0恒成立，那么其△W0,即A=4Eab2-4EI2工8240，i I//i=1i=1i=1即^ab2Z4£/,iiI ii=1i=1i=1等号当且仅当ax-b=a x-b=■=a x-b=0,1122n n即等号当且仅当J二1二…二年时成立〔当a=0时，约定b=0,i=1,2,…，n〕|乙j/jI Io777，如果a〔1W iWn〕全为o,结论显然成立i
三、应用举例例3a,a,…,a都是实数，求证-g+a+・・,+a）24a2+a2+・・・+a212n12-12nn分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式例4a,b,c,d是不全相等的实数，证明a2+b2+C2+dab+be+cd+da分析上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进展证明例
5、已知x+2y+3z=1,求Z2的最小值.X2+y2+分析由x+2y+3z=1以及X2+y2+Z2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造〔12+22+32〕作为一个因式而解决问题
四、稳固练习练习
1.设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求［+£+9的最小值a+b+c+d-1,求az+bz+cz+dz的最小值
3.a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9,求3五~+面+,6的最大值选做
4.a,b,c为正实数，且a2+2bz+3c2=6,求a+b+c的最小值〔08广一^莫〕b,c为正实数，且a+2b+c=1,求一+一十一的最小值〔08二模〕a bc
6.x+y+z=2那么m=X2+2y2+z2的最小值是.（08调研）
五、课堂小结重点掌握三维柯西不等式的运用
六、布置作业P41习题
3.22,3,4,5题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求
4、重视展现著名不等式的背景几个重要不等式大都有明确的几何背景教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等容，可指导学生阅读了解相关背景知识第一讲不等式和绝对值不等式课题第01课时不等式的根本性质教学目标
1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的根底
2.掌握不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式教学重点应用不等式的根本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法教学难点灵活应用不等式的根本性质教学过程
一、引入不等关系是自然界中存在着的根本数学关系”列子•汤问”中脍炙人口的“两小儿辩日〃“远者小而近者大〃、“近者热而远者凉，就从侧面说明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？〃、”用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？〃等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用本专题将介绍一些重要的不等式〔含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等〕和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状构造，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等那么是局部的、相对的还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用生活中为什么糖水加糖甜更甜呢”转化为数学问题a克糖水中含有b克糖ab0,假设再加mm0克糖，那么糖水更甜了，为什么”b b+m b+m b分析起初的糖水浓度为_，参加m克糖后的糖水浓度为------------------------------只要证--------------_即a a+m a+m a可怎么证呢”
二、不等式的根本性质L实数的运算性质与大小顺序的关系数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知今a-b0今a-b=0a-b0今得出结论要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可
七、教学后记:=aaabbb课题第04课时排序不等式教学目标
1.了解排序不等式的根本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;2,体会运用经典不等式的一般思想方法.教学重点应用排序不等式证明不等式教学难点排序不等式的证明思路教学过程
一、复习准备
1.提问前面所学习的一些经典不等式？〔柯西不等式、三角不等式〕
2.举例说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课
1.教学排序不等式
①看书P~P.4144如如图，设上AOB=a,自点O沿OA边依次取n个点A,A，…，A12n OB边依次取取n个点B,B,在OA边取某个点A与OB边12n i某个点B连接，得到AAOB,这样一一搭配，一共可得到j i jn个三角形显然，不同的搭配方法，得到的AAOBi j不同，问0A边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大〔或最小〕？设人=2,08=b i,j=1,2,...,n,由条件，得ijja a a-wa治YbySy—b123n-123n因为AAOB的面积是，而是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为i J代数问题设c,c的任何一个排列，那么S=ac+ac+…+ac12n12n1122n n何时取最大〔或最小〕值？我们把S=ac+ac+•••+ac叫做数组a,a,a与b,b,b的乱序和.1122n n12n12n其中，S=ab+ab+ab+…+ab称为序和.11n2n—13n-2n1s=ab+ab+ab+…+ab称为序和,这样的三个和大小关系如何”2112233n n设有两个有序实数组:aa••*a；bb••*b,c,c,••・c是b,b,••12n12n•b12n12n的任一排列，那么有ab+ab+•••-fab同序和2ac+ac+•••母c乱序和2ab+ab1122n n1122nn1n2n-1ib反序和当且仅当a=a=••或b=b=••*=b时，反序和等于同序和.12n12n〔要点理解其思想，记住其形式〕
三、应用举例例1设a,a,,a是n个互不一样的正整数，求证12n+.+皿•1+-+-+.+[a+^+*23n12232n2分析如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程设b,b,・・.,b是a,a,…,a的一个排列，且bb...b，那么bN1,b2,...,bn-12n12n12n12n又1」[._!,由排序不等式，得2232n2aaabb baH--7H_3+_+-TT2bH-------T H--3+“.H---FT N128IT132n2小结分析目标，构造有序排列.
四、稳固练习
1.练习教材P/A1题
402.a,b,c为正数，求证2a3+b3+C3N氏b+c+b2a+c+ca+b.解答要点由对称性,彳度设a4b4c,那么a wb2w C2,教学札记于是a2a+teb+c^cac+ba+ab,aza+txb+ac Nb+c+aa,两式相加即得.
五、课堂小结排序不等式的根本形式.
六、布置作业教材匕人
3、4题
七、教学后记第四讲数学归纳法证明不等式课题第01课时数学归纳法〔一〕教学目标
1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
2.进一步开展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程，体会类比的数学思想教学重点数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握教学难点数学归纳法中递推思想的理解教学过程
一、创设情境，引出课题〔1〕不完全归纳法今天早上，我曾疑惑，怎么一中〔永昌一中〕只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学于是得出结论学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？〔这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题〕〔2〕完全归纳法一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？〔将火柴盒翻开，取出剩下的火柴，逐一进展验证〕注对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法结论不完全归纳法T结论不可靠；完全归纳法T结论可靠教学札记问题以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？〔完全归纳法〕情境一〔播放多米诺骨牌视频〕问怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？
二、讲授新课探究一让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？条件一,第一^牌倒下；条件二任意相邻的两骨牌，前一倒下一定导致后一倒下探究二同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明4〜〜,nn+12n+1---------------------12+，++・・・+n2=q1---------^有些启发？6内―、口y cdnn+12n+1得出结论证明12+22++…+n2==---------------------1--------7的两个步骤6〔1〕证明当n=1时，命题成立；〔2〕假设当n=kk1,k e N*时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展〔1〕〔归纳奠基〕证明当n取第一个值nn£N时命题成立；00〔2〕〔归纳递推〕假设n=kk2n,k£N时命题成立，证明当n=k+1时，命题也0成立只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n开场的所有正整数n都成立0上述方法叫做数学归纳法
三、应用举例例1用数学归纳法证明1+3+5+…+2nT=n2证明〔1〕当n二1时，左边=1,右边=12=1,等式成立；〔2〕假设当n二k〔k21,k£N*〕时，1+3+5+…+2kT=k2,那么15+.2k-l+2k+l=[1+2k1-1]k1那么当n=k+1时也成立+3+++=k+122教学札记根据〔1〕和〔2〕，可知等式对任何n eN*都成立注
①对例1,首先说明在利用数学归纳法证题时，当n=k+1时的证明必须利用n=k的归纳假设，例2用数学归纳法证明求证ri3+5nn WN*能被6整除.［证明］:
10.当n=1时，13+5义仁6能被6整除，命题正确；2o.假设n=k时命题正确，即k3+5k能被6整除，••・当n=k+1时，k+13+5k+1=k3+3k+3k+1+5k+5=k+5k23+3kk+1+6,•・•两个连续的整数的乘积kk+1是偶数，:3kk+1能被6整除，:ks+5k+3kk+1+6能被6整除，即当n=k+1时命题也正确，由1o,2o知命题时n£N*都正确.即当n=k+1时，等式成立根据〔1〕和〔2〕，可知等式对任何n£N*都成立注上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步歌
四、稳固练习P50练习题第
1、2题
五、课堂小结问今天我们学习了一种很重要的数学证明方法，通过本节课的学习，你有哪些收获？〔学生总结，教师整理〕
1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法〃这样的方法等着我们去发现
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想递推思想；
3、数学归纳法一般步骤验证n=n口寸命题成假设「二邓之为卜£由时命题o3Z成立，证明当n=k+1时命题也成V命题对从n0开场所有的正整数n都成立
4、应用数学归纳法要注意以下几点1第一步是根底，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；2第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法;3n是使命题成立的最小正整数，n不一定取1,也可取其它一些正整数；o o4第二步的证明必须利用归纳假设，否那么不能称作数学归纳法
六、布置作业P50练习题第
1、
2、3题
七、教学后记课题第02课时数学归纳法〔二〕教学目标
1.掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.
2.对数学归纳法的认识不断深化.
3.掌握数学归纳法的应用教学重点解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤教学难点数学归纳法证题有效性的理解教学过程
一、复习回忆数学归纳法两大步〔i〕归纳奠基证明当n取第一个值n时命题成立；o〔ii〕归纳递推假设n二k〔k2”，k£N*〕时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n开场的所有正整数n都成立._______________________________________________________________0_____________________________________________________________练习教学札记1fn=1+3+5+---+2n—1,G N*,猜想fn的表达式，并给出证明？n过程试值f1=1,f2=4,•••,t猜想f n=n2T用数学归纳法证明.
2.练习是否存在常数a、b、c使得等式1x3+2x4+3x5++nn+2=J nari2+bn+c6对一切自然数n都成立，试证明你的结论.
二、讲授新课
1.教学数学归纳法的应用…
4.1I I I1III------------------------------------例1求z正1——++…+=++・・+—jie N”〃2342n-l2n+1n+22n分析第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键在假设n=k的式子上，如何同补？证明〔略〕小结证n=k+1时，需从假设出发，比照目标，分析等式两边同增的项，朝目标进展变形.例2求证n为奇数时，Xn+yn能被x+y整除.分析要，去〔凑酉己〕•狭一•狭Xk+2+yk+2=X2•Xk+y2・M=X2Xk+yk+y2X2二X2xk+yk+yk y2—X2=X2xk+yk+yk•y+x y—x.证明〔略〕例3平面有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成千n=n+2个局部.ri2—分析要点n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成f k个局部，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面局部一分为二，故共增加了2k个平面局部.因此，千k+1二千k+2k=kz—k+2+2k=k+12-k+1+
2.证明〔略〕
三、稳固练习〔1〕求证1+1铝/…1+1〔n£N*〕.32n-1〔2〕用数学归纳法证明〔I〕297能被264整除；72rl-42n—〔II〕an+i+a+13-1能被a+1整除〔其中n,a为正整数〕a2+教学札记〔3〕是否存在正整数m,使得千〔n〕二〔2n+7〕•3n+9对任意正整数n都能被m整除”假设存在，求出最大的m值，并证明你的结论；假设不存在，请说明理由.〔4〕教材
1、
2、5题50
四、课堂小结两个步骤与一个结论，”递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉〃；从n二k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
五、布置作业教材
4、
5、6题.50
六、教学后记课题第03课时用数学归纳法证明不等式〔一〕教学目标
1、了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，
2、理解数学归纳法的操作步骤，
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点理解经典不等式的证明思路.教学过程
一、复习准备
1.求证——+------+・・・+-----------------------=---------------.n wN•・・1-3352n-lX2n+l22n+l---------
2.求证1+-+―+1+・・・+.23421
二、讲授新课
1、用数学归纳法证明不等式的方法作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法教学札记
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为P〔n〕.〔1〕证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P〔n〕正确；〔2〕假设n二k〔k£N且k，”〕时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P〔k〕正确推出P〔k+1〕正确，根据〔1〕，〔2〕，就可以判定命题P[nJ对于从n0开场的所有自然数n都正确.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点〔1〕在从1到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端〔一般是左端〕项数的变化，也就是要认清不等式的构造特征；〔2〕瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进展放缩、分析；〔3〕活用起点的位置；〔4〕有的试题需要先作等价变换
三、应用举例例1比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析试值n=1,2,3,4,5,61猜想结论一用数学归纳法证明t要点k+12=k2+2k+1k2+2k+kk2+3kk2+也….证明〔略〕小结反思试值一猜想一证明稳固练习1:数列｛a｝的各项为正数S为前n项和，且S=—a+—,归纳出a的公式n2n ann口n并证明你的结论.解题要点提示试值『1,2,3,4,T猜想aT数学归纳法证明n例2证明不等式|sinnQ|n|sin0|n GN*.要点|sink+101=|sink©cos©+coskO sin0||sink©cos01+|cosk0sin01|sink01+|sin0|k|sin0|+|sin01=k+1|sin0|证明〔略〕例3证明贝努利不等式.1+xn1+nx x-1,x/0,nGN,n1分析贝努力不等式中涉及到两个字母，x表示大于7且不等于0的任意实数，n是大于1的自然数，用数学归纳法只能对n进展归纳稳固练习2:试证明不管正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,n£N*且a、b、c互不相等时，均有an+2bn.解答要点:当a、b、c为等比数列时，设a二c=bq q0且q=#
1..3+二・・・.当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c,那么需证“十.+.nn2且n€N・.=-ak-FCka+c——•――=——*!.
42223.小结反思应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧凑配、放缩.
四、稳固练习
1.用数学归纳法证明i+—二i+—二….i+—!—=tan2\cos20cos40cos29tanO2门£|\1,11之2证明2」+_1_+・・・+,
1.2n+1n+2
五、课堂小结:布置作业:教材
3、
5、8题.P53
七、教学后记
2、不等式的根本性质:
①、如果ab,那么ba,如果b〈a,那么ab对称性o
②、如果ab,且bc,那么ac,即ab,bc—ac
③、如果ab,那么a+cb+c,即ab-a+cb+c推论如果ab,且cd,那么a+cb+d.即ab,cd-a+cb+d.
④、如果ab,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acbc.
⑤、如果ab0,那么anbneN,且n1n
⑥、如果ab0,那么nxarivb neN,且n1
三、典型例题例
1、比较x+3x+7和x+4x+6的大小分析通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系例
2、ab,cd,求证a—c b—d.例
3、ab0,cd0,求证:怛
四、课堂练习:2:ab0,c〈d〈O,求证---------------------a-c b-d1x3,比较X3+11x与6x2+6的大小
五、课后作业课本P0第
1、
2、
3、4题9
六、教学后记课题第02课时根本不等式教学目标
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题教学重点均值不等式定理的证明及应用教学难点等号成立的条件及解题中的转化技巧教学过程
一、知识学习定理1:如果a、b£R,那么az+b222ab〔当且仅当a=b时取”=〃号〕证明az+b2-2ab=〔a—b〕2当a=/=b时，〔a—b〕20,当a=b时，〔a—b〕2=0所以，〔a-b〕220即32+6222ab由上面的结论，我们又可得到教学札记a+b f—定理2〔根本不等式〕如果a,b是正数，那么—山卜当且仅当a=b时取=号〕证明〔\/a〕2+〔7%〕222yab.,.a+b^2A/ab,即~~a+b显然，当且仅当a=b时，=\，aba+b_说明1〕我们称1一为a,b的算术平均数，称,ab为a,b的几何平均数，因而，此定理又可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.a+b,2〕az+b222ab和丁必/ab成立的条件是不同的前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数.3〕”当且仅当〃的含义是充要条件.4〕几何意义.
二、例题讲解例1x,y都是正数,求证:〔1〕如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2#；1〔2〕如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值S2x+y证明因为x,y都是正数，所以—x+y〔1〕积xy为定值P时，有；-Ax+y^2/p上式当x=y时，取=号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2yA.S1〔2〕和x+y为定值S时，有，xy书，xy可S21上式当x二y时取=号，因此，当x二y时，积xy有最大值［S
2.说明此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件i〕函数式中各项必须都是正数；ii）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；iii〕等号成立条件必须存在例2:a、b、c、d都是正数，求证〔ab+cd〕〔ac+bd〕N4abecI分析此题要求学生注意与均值不等式定理的”形〃上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明由a、b、c、d都是正数，得_______________________ab+cd ac+bd〔ab+cd〕〔ac+bd〕2abecI•cd0,~^yjac•bd0,即〔ab+cd〕〔ac+bd〕24abed例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800ms,深为3m,如果池底每1m的造价为150元，2池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为I元，根据题意，得1600I1600I=240000+720[x-K-JJ-〕2240000+720X
2、/乂•—=240000+720X2X40=2976001600当x=——,即x=40时，I有最小值297600x因此，当水池的底面是边长为40nl的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
三、课堂练习课本P练习1,2,3,
4.91
四、课堂小结通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件
五、课后作业课本匕°习题
1.1第5,6,7题
六、教学后记课题第03课时三个正数的算术-几何平均不等式教学目标
1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；
2.了解根本不等式的推广形式教学重点三个正数的算术-几何平均不等式教学难点利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程
一、知识学习2+b+C定理3如果a,b,c£R,那么--------------------------Njabc当且仅当a=b=c时，等号成立+3a+a+***+A-------------------推广—i2aeJaa…a当且仅当a=a=■■•=a时，等号成立n v12n12n语言表述n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数思考类比根本不等式，是否存在如果a,b,c£R,那么a3+b3+c323abe〔当且仅当4-a二b二c时，等号成立〕呢？试证明
二、例题分析例1求函数v=2w+-.r0的最小值x、-3111123/-r u解一v=2x2+—=2x-+—+—231/2x2•一•一二3勺5v=3^4X X X VXXmmC3c L3Ake3g.解・・晨二；v.二2yl3g=2g4=2x2+—2J2,X2•—=2v nA当2x2=—即x=-------------时A x2上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？1-------------变式训练1若a,b GR且ab,求a+-的最小值+a—bb由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要例2:如以下列图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小一样的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值.由例题，我们应该更牢记一二三,三者缺一不可另外，由不等号的方向也可以知道积定,和定.
三、稳固练习1,函数v=3x+±（x°）的最小值是（）X2A.6B.6VE C.9D.12,I6---------------
2.函数V=4x2H的最小值是（）X2+
123.函数y=X4（2-X2）（xJ2）的最大值是〔〕1632A.O B.1C.—D.一
27274.（2009自选）正数X,y,z满足X+y+Z=1,求4x+4y+4Z2的最小值5〔2008,,21〕设a,b,c为正实数，求证1」1,L+abc2J3a3ba C3
四、课堂小结通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件
五、课后作业Pl习题
1.1第11,12,13题
六、教学后记课题第04课时绝对值三角不等式教学目标1了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进展简单的应用2充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进展推理和证明教学重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用教学难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件教学过程
一、复习引入关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类一类是解不等式，另一类是证明不等式本节课探讨不等式证明这类问题
1.请同学们回忆一下绝对值的意义如果x,x0如果|x=0,x=0o如果-X,x0几何意义在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值
2.证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质〔i〕|a|2a,当且仅当a20时等号成立，*—a-当且仅当aw0时等号成立⑵|a|=\；a2,|a|.|b|=|a.b|,⑷百=,SvO那么国+p|:|a+b|^|—|tf=|a+tj
二、讲解新课探究丹之间的什么关系？T一~j|a|Ja+H,|a—b同+结论|a+b|W|b|〔当且仅当abNO时，等号成立.〕a,b是实数，试证明h+b|W Rl+bl〔当且仅当abNO时，等号成立.〕方法一证明1o.当abeO时，2o.当ab0时，ab=|ab|,ab=|ab|,|a+b|=J a+b2=7a2+;|a+b|=Ja+b[=\a2+2ab+b22ab+b2=.i a|2-2|ab|+|x=/|a|2+2|a||b|+|b|2v;a2b|2-l l+2|a||b|+|b|2=v=/l aI+I b|2x/|aT+|b|2=l aI+I b|v=l a|+|b|综合1o,2o知定理成立.方法二分析法，两边平方〔略〕定理1如果a,b是实辛卜数，那么辛+b|W p|〔当且仅当abNO时，等号成立.〕T T假设把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？log z-llog n+I nn。
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