[工学]信号与系统课件

信号与系统信号与系统是电子工程和通信工程领域的核心基础课程，为学生建立系统性的信号处理理论基础本课程将深入探讨信号的数学描述、系统的特性分析以及信号在系统中的传输和变换过程课程内容框架信号基础信号的定义、分类、数学表示和基本运算，包括连续信号和离散信号的特性分析系统理论系统的概念、分类和特性，重点关注线性时不变系统的分析方法和应用分析工具三大变换理论拉普拉斯变换、傅里叶变换和变换的应用与实现Z工程应用信号处理、滤波器设计、通信系统和控制系统中的实际应用案例信号的定义与分类概述连续时间信号离散时间信号在连续时间范围内定义的信号，用表示这类信号在任意时只在离散时间点上定义的信号，用表示这类信号通常来xt x[n]刻都有确定的值，如正弦波、指数信号等连续信号在模拟电源于连续信号的采样过程，或者本身就是数字系统产生的序路和系统中广泛存在，是传统电子工程的重要研究对象列离散信号是数字信号处理和计算机系统的基础信号的基本数学性质幅度特性频率特性相位特性描述信号强度大小的参数，表示信号变化快慢的参数，描述信号在时间轴上的相对决定信号的功率和能量特性与信号的周期成反比关系位置，影响信号的时间延迟带宽特性信号占据的频率范围，决定信号传输所需的频谱资源信号的基本表示方法1单位冲激函数是信号分析的基础函数，具有筛选特性和卷积运算的核心作用δt2单位阶跃函数用于描述开关信号和系统的启动过程，是构造其他信号的基本单元ut3正弦信号是周期信号的典型代表，在频域分析中具有基础地位sinωt+φ指数信号包含增长和衰减两种形式，是拉普拉斯变换的基础函数e^at信号的特征表示工具时域表示描述信号随时间的变化规律频域变换通过傅里叶分析揭示频率成分频谱分析获得信号的频率分布特性混合表示时频域联合分析信号特征时域与频域的混合表示是现代信号分析的重要方法时域表示直观地显示信号随时间的变化，便于理解信号的瞬时特性；频域表示则揭示信号的频率成分，有助于分析信号的频谱特性和设计合适的滤波器傅里叶分析是连接时域和频域的桥梁，它将时域信号分解为不同频率的正弦波分量频谱分析不仅能够显示信号包含哪些频率成分，还能显示各频率成分的相对强度，这对于信号识别、噪声分析和系统设计都具有重要价值常见信号举例方波信号是数字电路中最常见的信号之一，具有陡峭的上升和下降沿，包含丰富的高频成分三角波信号的频谱特性相比方波更为平缓，在信号发生器和测试设备中广泛应用指数信号包括增长型和衰减型两种形式，在控制系统的瞬态响应分析中占据重要地位噪声信号虽然看似随机，但其统计特性可以用概率密度函数和功率谱密度来描述，在通信系统和信号检测中是不可忽视的因素这些典型信号的深入理解为后续的系统分析和设计提供了重要基础信号的运算及性质时间平移时间折叠信号在时间轴上的移动，产生延迟或超信号的时间反转操作，在卷积运算中起前效应关键作用幅度缩放时间压扩改变信号的幅度大小，影响信号的能量改变信号的时间尺度，影响信号的频率和功率特性线性性质是信号与系统分析的基础，它包括齐次性和可加性两个方面齐次性表示输入信号乘以常数，输出也相应地乘以同样的常数；可加性表示多个输入信号的线性组合对应输出信号的相同线性组合时不变性是另一个重要概念，它意味着系统的特性不随时间变化如果输入信号的时间平移只会导致输出信号相同的时间平移，而不改变信号的波形，则系统具有时不变性这些性质的理解对于后续的系统分析和设计至关重要系统的基本概念信号变换将输入信号按照特定规律转换为输出信号1信号加工2对信号进行滤波、放大、调制等处理物理实现3通过电路、算法或机械装置实现功能系统是对信号进行加工和变换的物理装置或数学模型从输入输出的角度看，系统接收一个或多个输入信号，经过内部处理后产生相应的输出信号这种变换过程体现了系统的功能和特性系统可以是简单的电阻器、电容器，也可以是复杂的通信系统、控制系统或信号处理器无论系统的复杂程度如何，都可以用统一的数学框架来描述和分析系统分析的核心是建立输入信号与输出信号之间的数学关系，从而预测系统的行为和性能系统的分类线性与非线性时变与时不变线性系统满足叠加原理，输入信号的线性组合对应输出信号的时不变系统的参数不随时间变化，具有稳定的传输特性时变相同线性组合非线性系统则不满足这一特性，会产生谐波失系统的参数会随时间改变，分析较为复杂真和互调失真等现象大多数实际系统在一定条件下可以近似为时不变系统处理线性系统是分析的重点，因为它们具有良好的数学性质和分析方法因果性是系统的重要特性，因果系统的输出只依赖于当前和过去的输入，不依赖于未来的输入这是物理可实现系统的基本要求稳定性则描述系统对有界输入产生有界输出的能力，是系统设计中必须考虑的关键因素不稳定的系统可能导致输出无限增长，在实际应用中是不可接受的连续与离散系统举例电路系统RC典型的连续时间系统，通过微分方程描述，具有低通滤波特性差分方程系统离散时间系统的数学描述，通过递推关系处理数字信号采样器系统将连续信号转换为离散信号的重要接口系统电路是最基本的连续时间线性系统，其传递函数为，表现为一RC Hs=1/RCs+1阶低通滤波器特性电路的时间常数决定了系统的响应速度和截止频率这τ=RC种简单电路在模拟电子学中有广泛应用离散系统通常由差分方程描述，如采样器是连接连续和离y[n]=ay[n-1]+bx[n]散系统的桥梁，它按照一定的采样频率将连续信号转换为离散序列采样过程必须满足奈奎斯特采样定理，才能保证信号信息的完整性系统三大分析方法时域分析法直接在时间域求解微分方程或差分方程，通过卷积运算分析系统响应方法直观，但计算复杂频域分析法利用傅里叶变换将时域问题转换到频域求解，特别适合分析系统的频率响应特性复频域分析法采用拉普拉斯变换或变换，将微分方程转化为代数方程，大大简化计算过Z程三种分析方法各有特点和适用范围时域分析最为直观，能够清楚地看到系统响应随时间的变化过程，但对于复杂系统计算量较大频域分析善于处理周期信号和频率选择性问题，在滤波器设计中应用广泛复频域分析是最强大的工具，它不仅包含了时域和频域的信息，还能方便地分析系统的稳定性、瞬态响应和稳态响应通过选择合适的分析方法，可以大大提高问题求解的效率和准确性线性时不变（）系统LTI叠加原理时不变性多个输入信号的线性组合产生相应输出的线系统参数不随时间变化，延迟输入产生相同性组合延迟的输出可加性齐次性多个输入信号之和的响应等于各输入响应之输入信号放大倍，输出信号也放大倍k k和线性时不变系统是信号与系统理论的核心研究对象，因为它们具有优良的数学性质和完整的分析理论系统的最重要特性是可以用冲激响应完LTI全表征，这为系统分析提供了统一的框架判断系统线性的关键是验证叠加原理是否成立时不变性的判别则需要检验输入信号的时移是否只导致输出信号相同的时移这些性质的验证通常通过具体的数学证明或反例来完成理解系统的基本性质对于掌握后续的所有分析方法都至关重要LTI系统的冲激响应LTI冲激响应定义系统对单位冲激信号的响应，完全表征系统特性δt ht LTI卷积积分任意输入的响应，建立输入输出关系xt yt=xt*ht系统函数冲激响应的拉普拉斯变换，频域系统表征Hs冲激响应是系统最重要的特征函数，它包含了系统的全部信息一旦知道了系htLTI统的冲激响应，就可以通过卷积运算求出系统对任意输入信号的响应这是系统理LTI论的核心思想连续系统的冲激响应用表示，离散系统的冲激响应用表示冲激响应的物理ht h[n]意义是系统的记忆，它描述了系统如何将过去的输入信息综合起来产生当前的输出通过分析冲激响应的特性，可以判断系统的稳定性、因果性等重要性质连续系统的卷积积分3∞基本步骤积分范围折叠、平移、相乘、积分从负无穷到正无穷1核心公式yt=∫xτht-τdτ卷积积分的数学表达式为，它描述了系统输入与输出之间的关yt=∫_{-∞}^{∞}xτht-τdτLTI系卷积运算的物理意义可以理解为系统对输入信号的加权求和过程，权重函数就是冲激响应卷积运算的图解方法包括四个基本步骤首先将关于轴折叠得到；然后平移得到hττh-τ；接着求与的乘积；最后对乘积函数在轴上积分这种图解方法有助于理解ht-τxτht-ττ卷积的物理过程和计算技巧典型案例如矩形脉冲与指数函数的卷积，可以直观地演示整个计算过程离散系统的卷积求和1离散卷积公式2有限长序列卷积3卷积性质应用当输入序列长度为，冲激响应长交换律、结合律、分配律在离散系y[n]=Σ_{k=-∞}^{∞}x[k]h[n-N，求和代替积分运算度为时，输出长度为统分析中的重要作用k]M N+M-1离散系统的卷积求和是连续卷积积分的离散化版本，运算规则基本相同但计算更为简便对于有限长序列，卷积求和变成有限项的加法运算，可以直接编程计算或手工完成卷积的重要性质包括交换律，结合律₁₂₁₂，以及分配律x[n]*h[n]=h[n]*x[n]x[n]*h[n]*h[n]=x[n]*h[n]*h[n]₁₂₁₂这些性质在系统级联、并联分析中具有重要应用，能够简化复杂系统的分析过x[n]*h[n]+h[n]=x[n]*h[n]+x[n]*h[n]程卷积的计算技巧图解法表格法对称性利用通过图形化步骤直将离散序列排列成利用函数的奇偶性观地完成卷积运表格形式，系统化和对称性简化计算算，适合简单函数地进行卷积计算过程变换域方法在频域或复频域进行相乘运算，然后反变换得到结果卷积计算的图解法特别适用于分段函数的情况通过画出和的图形，可以清楚xτht-τ地看到它们相乘后的非零区间，从而确定积分的有效范围这种方法直观易懂，是初学者掌握卷积概念的重要工具对于复杂的卷积运算，可以利用函数的特殊性质来简化计算例如，如果其中一个函数具有时移不变性，可以先计算基本情况再应用时移性质利用拉普拉斯变换或傅里叶变换将卷积转化为简单的乘法运算，然后通过反变换得到最终结果，是处理复杂卷积问题的有效方法系统级联、并联、反馈联接级联连接并联连接系统串行连接，总传递函数为各系统传递函数的乘系统并行连接，总传递函数为各系统传递函数的和积混合连接反馈连接多种连接方式的组合，构成复杂的系统网络输出信号部分返回输入端，形成闭环控制系统系统的级联连接中，前一个系统的输出作为后一个系统的输入对于系统，级联的总冲激响应等于各子系统冲激响应的卷积，而传递函数则等于各子系统LTI传递函数的乘积₁₂H_totals=H sH s...H sₙ并联连接的系统同时接收相同的输入信号，输出为各子系统输出的和其等效传递函数为₁₂反馈连接是控制系统的基H_totals=H s+H s+...+Hsₙ础，负反馈可以改善系统的稳定性和精度，其闭环传递函数为，其中为前向传递函数，为反馈传递函数H_cls=Gs/1+GsHs GsHs时域分析的实际应用滤波器设计利用时域冲激响应设计各种类型的数字和模拟滤波器2电路行为分析通过时域响应分析电路的瞬态和稳态特性控制系统设计基于时域响应指标优化控制器参数在滤波器实现中，时域分析帮助我们理解滤波器的冲激响应特性有限冲激响应（）FIR滤波器的设计直接基于所需的冲激响应，而无限冲激响应（）滤波器则需要考虑稳IIR定性问题时域分析可以直观地显示滤波器对不同输入信号的处理效果电路行为分析中，时域方法特别适合分析电路的开关瞬态过程、启动特性和故障响应通过观察电路在时域中的响应曲线，可以评估电路的性能指标，如上升时间、超调量、稳定时间等这些指标对于电路设计和优化具有重要的指导意义，特别是在高速数字电路和模拟电路设计中拉普拉斯变换基础变换定义₀，将时域函数变换到复频域Fs=∫^∞fte^-stdt收敛域使拉普拉斯积分收敛的复变量的取值范围，决定变换的有效性s基本性质线性性、时移性、频移性、微分性质等数学特性复频域意义，实部表示衰减，虚部表示频率s=σ+jωσω拉普拉斯变换是分析线性时不变系统最强有力的数学工具复变量中，实部表示信号的s=σ+jωσ增长或衰减特性，虚部表示振荡频率当时，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换，这说明傅ωσ=0里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况收敛域的概念至关重要，它决定了拉普拉斯变换的存在性和唯一性不同的原函数可能具有相同的拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同理解收敛域的概念有助于正确选择反变换的结果，特别是在处理不稳定系统和双边拉普拉斯变换时拉普拉斯变换表及常见信号时域函数拉普拉斯变换收敛域ft Fs全平面δt1sut1/s Res0e^-atut1/s+a Res-asinωtutω/s²+ω²Res0cosωtut s/s²+ω²Res0t^n utn!/s^n+1Res0拉普拉斯变换表是工程计算的重要工具，包含了最常用信号的变换对单位冲激函数的变换为，这体现了它在系统分析中的基础地位单位阶跃函数的变换为，是积分运算在复频δt1ut1/s域的体现指数函数的变换是系统分析的基础，其中参数决定了收敛域的边界正弦和余弦函数的变换显示了它们在复频域中的频率特性这些基本变换对通过线性组合可以处理更复e^-atut1/s+a a杂的信号，是拉普拉斯变换应用的基础拉普拉斯变换的唯一性与初值终值定理唯一性定理给定收敛域，拉普拉斯变换与原函数一一对应初值定理⁺，求函数初始值f0=lim[s→∞]sFs终值定理，求函数稳态值f∞=lim[s→0]sFs唯一性定理保证了拉普拉斯变换的理论基础，即在指定的收敛域内，拉普拉斯变换与其原函数之间存在一一对应关系这意味着如果两个函数具有相同的拉普拉斯变换和相同的收敛域，那么这两个函数在连续点上必定相等初值定理和终值定理是分析系统瞬态和稳态响应的重要工具初值定理⁺可以直接从拉普拉斯变换求得函数的初始值，无f0=lim[s→∞]sFs需进行反变换终值定理则可以求得函数的稳态值，但需要注意其适用条件的极点必须位于平面的左半平面这f∞=lim[s→0]sFs sFss两个定理在控制系统分析中应用广泛，可以快速评估系统的动态性能拉氏变换求系统函数微分方程变换将时域微分方程转换为域代数方程s传递函数定义，输出与输入的拉氏变换比值Hs=Ys/Xs有理函数形式，分子分母多项式表示Hs=Ns/Ds系统结构分析极点零点分布决定系统的动态特性系统函数是系统在复频域的完整描述，它等于系统冲激响应的拉普拉斯变换对于由微Hs LTIht分方程描述的系统，可以直接对微分方程进行拉普拉斯变换，利用微分性质将微分运算转化为的多s项式运算，从而得到代数方程系统函数通常表示为两个多项式的比值，其中为分子多项式，为分母多项式Hs=Ns/Ds NsDs分子多项式的根称为系统的零点，分母多项式的根称为系统的极点零点和极点的分布完全决定了系统的动态特性，包括稳定性、频率响应和瞬态响应等重要性质拉氏域中系统分析极点分析零点作用极点位置决定系统的自然频率和阻尼特性零点影响系统的幅频特性和相频特性响应特性稳定性判据极点零点配置决定系统的动态响应所有极点位于左半平面时系统稳定s极点是系统分析的关键要素，它们决定了系统响应的基本模式实数极点对应指数衰减或增长响应，复数极点成对出现，对应衰减或增长的振荡响应极点距虚轴的距离决定了响应的衰减速度，极点的虚部决定了振荡频率系统稳定性的充要条件是所有极点都位于平面的左半平面（实部小于零）位于虚轴上的极点使系统处于临界稳定状态，位于右半平面的极点则导致系s统不稳定零点虽然不影响稳定性，但会显著影响系统的频率响应特性，特别是在零点频率附近会产生陷波或峰值效应反拉普拉斯变换方法部分分式展开法查表法留数定理法将有理函数分解为简单分式的和，然后逐项进利用标准拉普拉斯变换表查找对应的时域函数利用复变函数理论中的留数定理进行反变换行反变换适用于分母为实数极点或复数极点需要将复杂函数化简为表中的标准形式适用于复杂函数的精确计算的情况•围道积分•单极点展开•标准形式匹配•留数计算•重极点处理•性质定理应用•极点分类处理•复数极点配对•线性组合处理部分分式展开是最常用的反拉普拉斯变换方法对于系统函数，首先确保分子次数低于分母次数，然后将其展开为₁₁₂Hs=Ns/Ds A/s-p+A/s-₂的形式，其中为极点，为留数p+...pᵢAᵢ傅里叶变换基础傅里叶级数周期信号分解为谐波分量的无穷级数表示傅里叶变换非周期信号的频域表示，周期趋于无穷的极限情况频谱分析揭示信号的频率成分和幅度分布特性傅里叶变换是信号处理的基础理论，它将时域信号变换为频域函数变换公xt Xjω式为，反变换为Xjω=∫_{-∞}^{∞}xte^{-jωt}dt xt=1/2π∫_{-这一对变换建立了时域和频域之间的桥梁∞}^{∞}Xjωe^{jωt}dω周期信号可以用傅里叶级数表示为基频及其谐波的线性组合，每个谐波都是正弦或余弦函数当周期趋于无穷时，离散的谐波频率变为连续的频率，傅里叶级数就演变为傅里叶变换这种演变过程体现了周期信号与非周期信号分析方法的统一性，为信号的频域分析提供了完整的理论框架傅里叶变换性质线性性质时移性质尺度变换₁₂₀ax t+bx t↔xt-t↔xat↔₁₂₀，，时aX jω+bX jXjωe^{-jωt}1/|a|Xjω/a，满足叠加原理时域延迟对应频域相域压缩对应频域扩展ω位线性变化卷积性质₁₂x t*x t↔₁₂，X jωX jω时域卷积对应频域相乘傅里叶变换的性质是频域分析的重要工具线性性质使得复杂信号可以分解为简单信号的线性组合来处理时移性质表明时域的延迟只会在频域产生线性相位变化，而不改变幅度谱，这在通信系统的延迟分析中非常重要尺度变换性质揭示了时域和频域的互逆关系时域信号压缩会导致频域信号扩展，反之亦然这一性质在信号处理中具有重要应用，如时域采样与频域周期化的关系卷积性质是最重要的性质之一，它将复杂的时域卷积运算转化为简单的频域乘法运算，大大简化了系统的LTI分析过程傅里叶变换典型信号时域信号频域变换频谱特点全频段均匀分布δt1直流分量12πδω冲激反比函数utπδω+1/jω+低通特性e^{-at}ut1/a+jω₀₀₀双边频谱cosωtπ[δω-ω+δω+ω]函数频谱rectt/T T·sincωT/2sinc单位冲激函数的傅里叶变换为常数，表明冲激信号包含所有频率成分且幅度相等，这正是其在系统测试中作为理想激励信号的原因常数的变换为，表明直流信号只在零频处有δt112πδω非零值指数衰减信号的频谱为，显示出低通滤波特性，衰减常数越大，频带越窄矩形脉冲的频谱为函数，体现了时域有限与频域无限的对偶关系余弦信号的双边频谱说e^{-at}ut1/a+jωa sinc明了实信号频谱的共轭对称性，这些典型变换对是分析复杂信号的基础傅里叶变换在系统频域分析的应用系统传递函数将拉普拉斯域的在处求值得到，建立频域系统描述传递函数完全表征Hs s=jωHjω系统的频率响应特性LTI幅频响应分析描述系统对不同频率信号的放大或衰减特性通过幅频响应可以设计各种类|Hjω|型的滤波器和均衡器相频响应分析∠描述系统对不同频率信号的相位变化相频响应影响信号的时域波形和Hjω群延迟特性系统的频率响应是系统传递函数在虚轴上的取值，它完整地描述了系统对正弦信HjωHs号的稳态响应当输入为时，输出的稳态响应为∠，幅度被cosωt|Hjω|cosωt+Hjω修改为倍，相位被偏移∠|Hjω|Hjω频域分析的优势在于能够直观地显示系统的滤波特性低通滤波器在低频段具有较大的幅频响应，高频段响应很小；带通滤波器只在特定频段有较大响应通过分析幅频和相频响应，可以快速判断系统的类型、性能指标和设计缺陷，为系统优化提供重要依据时域与频域的对应关系时移定理频移定理时域信号的延迟对应频域的线性相位变化，不影响幅度谱这频域的频移对应时域的复指数调制，这是各种调制技术的理论一性质在通信系统的延迟补偿中具有重要应用基础，如幅度调制和频率调制数学表达₀₀数学表达₀₀xt-t↔Xjωe^{-jωt}xte^{jωt}↔Xjω-ω调制定理是频移定理的重要应用，它描述了调制过程的频域效应当载波₀与基带信号相乘时，基带信号的频谱会被搬移cosωt xt到载波频率₀附近，形成上边带和下边带这一过程是现代通信系统的基础ω对偶性定理揭示了时域和频域的深层对称关系如果的傅里叶变换为，那么的傅里叶变换为这种对偶性不xt XjωXjt2πx-jω仅具有数学美感，更在滤波器设计、窗函数分析等领域有重要应用，帮助我们从不同角度理解和解决问题滤波器的频率响应理想滤波器具有矩形频响的理想特性1过渡带设计2实际滤波器的渐变特性物理可实现性3因果性和稳定性约束条件理想滤波器具有完美的频率选择性在通带内幅频响应为常数，在阻带内响应为零，过渡带宽度为零然而，理想滤波器在时域具有无限长的冲激响应，且是非因果的，因此在物理上不可实现实际滤波器必须在频域选择性和时域因果性之间折衷常见的实际滤波器包括巴特沃斯滤波器（最大平坦响应）、切比雪夫滤波器（等波纹响应）和椭圆滤波器（最优逼近）每种滤波器都有其特定的应用场合和性能特点通带波纹、阻带衰减和过渡带宽度是评价滤波器性能的重要指标。