[数学]《几何图形的全等与相似》课件

几何图形的全等与相似几何图形的全等与相似是数学中的重要概念，它们描述了图形之间的基本关系全等图形具有完全相同的形状和大小，而相似图形则具有相同的形状但大小可能不同这些概念不仅是几何学的基础，也是解决实际问题的重要工具课程目标1理解全等和相似的概念区别2掌握三角形全等的判定方法掌握两个概念的本质差异，明确它们在几何学中的不学习、、、、等五种主要的全等判SSS SASASA AASHL同作用和意义定方法3掌握三角形相似的判定方法学会运用全等和相似解决几何问题学习、、等相似三角形的判定条件AA SSSSAS全等的概念定义特征核心性质全等是指两个图形能够完全重合的几何关系这意味着两个全等图形具有以下重要性质对应边完全相等，对应角完全图形的形状和大小都完全相同，一个图形可以通过平移、旋相等，对应的高、中线、角平分线等也都相等转或反射变换完全覆盖另一个图形这种完全一致性使得全等成为几何证明中最强有力的工具之在数学中，我们用符号≅来表示全等关系例如，一，我们可以通过建立全等关系来证明各种几何性质△≅△表示三角形与三角形全等ABC DEF ABC DEF相等与全等的区别相等的概念全等的概念相等主要用于数值的比较，如全等用于描述几何图形之间的长度、面积、体积等量的比完全重合关系，它不仅要求图较它描述的是数量关系，表形的各个对应部分在数值上相示两个数值在大小上完全一等，还要求整体形状完全一致例如，，致全等是几何关系，强调图AB=5cm，则形的整体性CD=5cm AB=CD本质区别相等是一维的数量概念，而全等是多维的几何概念相等只关注数值，全等则关注图形的完整性在解题时，我们需要根据问题的性质选择合适的概念相似的概念形状相同对应角相等对应边成比例相似图形具有相似图形的所完全相同的形有对应角都完相似图形的对状，但大小可全相等，这保应边长度成固能不同这意证了图形形状定比例，这个味着图形可以的一致性比例称为相似通过缩放变换比相互转化缩放变换用符号∽表示相似关系，相似图形可通过中心缩放变换相互转化全等与相似的联系全等是相似的特例全等必定相似当相似比为时，相似图形就变成了所有全等的图形都是相似的，因为它1:1全等图形，这说明全等是相似概念的们不仅形状相同，大小也相同，相似特殊情况比为1都保持角度不变相似未必全等无论是全等变换还是相似变换，都保相似的图形不一定全等，只有当相似持图形中所有角的大小不变，这是它比为时，相似图形才是全等图形1们的共同特征三角形全等的判定方法531判定方法基本类型特殊情况三角形全等有五种基本判定方法包括边边判定和角边判定直角三角形有专门的HL判定法三角形全等的判定是几何学中的重要内容，这些判定方法为我们提供了证明两个三角形全等的有效途径掌握这些方法不仅能帮助我们解决具体的几何问题，还能培养逻辑思维能力在应用这些判定方法时，我们需要注意条件的充分性和必要性，确保所给条件足以判定三角形全等同时，还要注意对应关系的正确建立三角形全等判定法SSS边边边原理如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等这是最基础的全等判定公理判定条件在△与△中，若，，，则可ABC DEFAB=DE BC=EF AC=DF得出△≅△的结论ABC DEF公理性质判定法具有公理性质，不需要进一步证明，是其他几SSS何定理的重要基础三角形全等判定法SAS理解夹角概念夹角是指两条边之间的角度在判定法中，这个角必须是两条SAS相等边的夹角，而不能是任意角应用判定条件当两个三角形有两边及其夹角分别相等时，就可以判定这两个三角形全等例如，∠∠，，则AB=DE B=E BC=EF△≅△ABC DEF注意事项使用判定法时，必须确保角是两条相等边的夹角如果SAS角不是夹角，则不能使用此判定法三角形全等判定法ASA第一个角确定第一个对应相等的角夹边两角之间的夹边相等第二个角确定第二个对应相等的角判定法的核心是角边角的结构当两个三角形有两个角及其夹边分别相ASA等时，这两个三角形全等例如，在△与△中，如果∠∠，ABC DEFA=D，∠∠，则△≅△AB=DE B=E ABC DEF这个判定法在实际应用中非常有用，特别是在已知三角形的两个角和一边的情况下需要注意的是，边必须是两个角的夹边三角形全等判定法AAS逻辑推导基于的变形推导ASA两角相等两个对应角分别相等一边相等其中一条对应边相等判定法是判定法的变形当两个三角形有两个角和其中一角的对边分别相等时，这两个三角形全等由于三角形内角和为AAS ASA，如果两个角相等，第三个角也必然相等180°例如，在△与△中，如果∠∠，∠∠，，则△≅△这里是∠的对边，是∠的对边ABC DEFA=D B=E AC=DF ABC DEF ACA DFD三角形全等判定法HL直角三角形专用仅适用于直角三角形的特殊判定法斜边相等两个直角三角形的斜边长度相等一直角边相等其中一条直角边长度相等HL判定法专门用于直角三角形当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等时，这两个直角三角形全等这个判定法利用了直角三角形的特殊性质例如，如果△ABC与△DEF都是直角三角形，且斜边AB=DE，直角边AC=DF，则△ABC≅△DEF这种判定法在解决与直角三角形相关的问题时特别有用全等三角形的性质对应边相等对应角相等1全等三角形的三对对应边分别相等全等三角形的三对对应角分别相等面积相等对应高相等全等三角形的面积完全相等全等三角形的对应高线长度相等对应角平分线相等对应中线相等全等三角形的对应角平分线长度相等全等三角形的对应中线长度相等全等判定的应用举例证明线段相等证明角相等求解未知量通过建立全等三角利用全等三角形对当建立了三角形全形关系，利用对应应角相等的性质，等关系后，可以利边相等的性质来证可以有效地证明两用对应元素相等来明两条线段相等个角相等，为进一求解未知的边长或这是几何证明中最步的几何推理提供角度大小常用的方法之一条件证明四边形性质在证明平行四边形、菱形、矩形等特殊四边形性质时，全等三角形是重要的工具案例分析使用全等证明等边三角形的三条高相等在等边三角形中，分别作三条高、、由于ABC ADBE CF三边相等，可以证明三个小三角形分别全等，从而得出三条高相等三角形中线性质证明三角形中线上任一点到三顶点距离平方和最小这需要建立适当的全等关系和运用代数方法菱形对角线性质证明菱形对角线互相平分通过证明相邻的三角形全等，可以得出对角线交点将每条对角线平分三角形相似的判定方法判定法判定法AA SSS两角对应相等的三角形相似三边对应成比例的三角形相这是最常用的相似判定方法，似这个方法需要已知三角形因为角的条件相对容易获得的所有边长，通过计算边长比由于三角形内角和为，两例来判定相似关系180°角相等就能确定第三角也相等判定法SAS两边对应成比例且夹角相等的三角形相似这个方法结合了边的比例关系和角的相等关系，是边角结合的判定方法三角形相似判定法AA1确定第一对相等角找到两个三角形中的第一对对应相等角这可能是已知条件，也可能需要通过其他几何关系推导得出2确定第二对相等角找到两个三角形中的第二对对应相等角有了两对相等角，就可以应用判定法AA推论第三角相等由于三角形内角和为，当两个角对应相等时，第三个180°角也必然相等，从而确定三角形相似三角形相似判定法SSS测量或确定三边长度首先需要知道两个三角形的所有边长这些边长可能是直接给出的，也可能需要通过计算或测量得到计算边长比例计算第一个三角形与第二个三角形对应边的比值，得到三个比例关系需要注意正确识别对应边验证比例相等如果三个边长比例都相等，即，则可以AB/DE=BC/EF=AC/DF判定△∽△ABCDEF三角形相似判定法SAS验证判定成立确认条件满足后得出相似结论夹角相等2两条对应边的夹角相等两边成比例两条对应边的长度成比例相似判定法要求两个三角形有两边对应成比例且夹角相等例如，在△与△中，如果且∠∠，则SAS ABCDEFAB/DE=AC/DF A=D△∽△ABCDEF这个判定法的关键是确保角是两条成比例边的夹角如果角不是夹角，则不能使用判定法这与全等三角形的判定法有相似的SAS SAS结构相似三角形的性质对应角相等相似三角形的所有对应角都相等，这保证了图形形状的一致性对应边成比例相似三角形的对应边长度成固定比例，这个比例称为相似比对应高成比例相似三角形的对应高线长度也成比例，比例关系与边长相同面积比等于相似比的平方如果相似比为，则面积比为，这是相似图形的重要性质k k²相似的应用比例线段平行线截比例线段三角形中位线定理当几条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例这个三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半这个定定理是相似理论在直线关系中的重要应用理可以通过相似三角形来证明利用这个性质，我们可以在不直接测量的情况下，通过已知中位线定理在解决三角形分割、测量等实际问题中有广泛应线段的长度来求出未知线段的长度用，是几何学中的重要定理平行线截比例线段定理设置平行线截两条直线对应线段成比例三条或多条平行线平行线与两条直线相交所得线段长度成比例这个定理表明，如果有三条或更多平行线截两条直线，那么在一条直线上所截得的各线段与在另一条直线上所截得的对应线段成比例推论如果D是三角形ABC中AB边上一点，且DE∥BC（E在AC上），则AD:DB=AE:EC这个推论在解决三角形比例分割问题时非常有用三角形中位线定理确定中点平行关系找到三角形两边的中点，连接这两个中位线平行于三角形的第三边，这是中点形成中位线2定理的重要结论相似证明长度关系可以通过构造相似三角形来证明这个中位线的长度等于第三边长度的一半定理角平分线定理角平分线的定义1从三角形一个顶点向对边作的平分该角的直线对边分割角平分线将对边分成两段比例关系分割比等于两邻边的比三角形内角平分线定理指出三角形的内角平分线将对边分成与两邻边成比例的线段具体地说，如果∠BAC的平分线AD交BC于点D，则BD:DC=AB:AC这个定理在解决与角平分线相关的问题时非常有用，特别是在求解线段比例和证明某些几何关系时定理的证明可以通过构造平行线和利用相似三角形来完成相似在测量中的应用测量高度测量距离测量宽度利用影子法测量建筑利用测角法测量不可测量河流、峡谷等障物或树木的高度通直接到达的两点间距碍物的宽度通过在过测量参照物和目标离通过在合适位置河岸设置观测点，构物的影子长度，以及设置观测点，测量角造相似三角形，利用参照物的实际高度，度，建立相似三角形比例关系求出河宽运用相似三角形的比关系来计算距离例关系计算出目标物的高度相似在实际生活中的应用地图制作与比例尺地图是实际地形的相似缩小图比例尺表示地图上的距离与实际距离的比例关系通过相似原理，我们可以根据地图距离计算实际距离，或者根据实际距离在地图上确定位置建筑模型设计建筑师制作的建筑模型与实际建筑物是相似图形模型按一定比例缩小，保持所有角度不变，各部分比例协调这样可以直观地展示设计效果照相机成像原理照相机拍摄的照片与实际物体形成相似图形焦距、物距和像距之间存在确定的比例关系，这就是相似三角形在光学中的应用放大镜原理放大镜将物体放大，放大后的像与原物体相似放大倍数就是相似比，通过控制放大镜与物体的距离来调节放大倍数全等变换与相似变换全等变换特点相似变换特点全等变换保持图形的形状和大小完全不变经过全等变换相似变换保持图形的形状不变，但大小可能改变经过相似后，图形的所有对应边长度相等，所有对应角度相等，面积变换后，图形的所有对应角度相等，对应边长度成比例，面也保持不变积按相似比的平方缩放全等变换包括平移、旋转、反射等基本变换类型，以及这些相似变换主要是缩放变换，可以是放大也可以是缩小这种基本变换的组合这些变换在几何证明和问题解决中起着重变换在设计、制图和建模中有广泛应用要作用全等变换的类型轴对称旋转图形关于某一直线进行反点对称图形绕某一固定点转动一射，对称轴是关键要素定角度，需要确定旋转中图形关于某一点进行180°心和旋转角度旋转，也称为中心对称平移滑动对称图形沿直线方向移动一定平移和轴对称的复合变换，距离，方向和距离由平移先反射再平移或先平移再向量确定反射相似变换的类型中心扩大以某一点为中心，将图形按固定比例放大当比例大于1时为放大，小于1时为缩小整体缩放保持图形形状不变，按比例调整所有尺寸这是最常见的相似变换类型定向相似变换保持图形方向的相似变换，包括缩放、平移和旋转的组合反向相似变换改变图形方向的相似变换，包括缩放和反射的组合几何画板中的全等与相似绘制基本图形使用几何画板的基本工具绘制三角形、四边形等几何图形构造全等图形利用变换工具制作全等图形，演示平移、旋转、反射等变换构造相似图形使用缩放工具按比例制作相似图形，观察相似性质动态演示通过拖动和动画功能，动态展示全等与相似的变化过程几何画板构造相似三角形绘制基本三角形ABC首先在几何画板中绘制一个基本三角形作为原图形可以任意选择ABC三角形的形状和大小，这将作为构造相似三角形的基础构造比例点和缩放中心在适当位置设置一个缩放中心点，然后设定相似比例可以通过移O动滑块或输入数值来调整相似比，为后续的缩放变换做准备执行缩放变换选择原三角形，以点为中心，按设定的比例进行缩放变换，ABC O得到相似三角形可以验证对应角相等和对应边成比例ABC动态观察变化通过拖动原三角形的顶点或调整相似比，可以动态观察相似三角形的变化，加深对相似性质的理解手拉手模型解题方法模型特征中考几何的经典模型旋转变换结合旋转和对称变换全等应用主要用于全等三角形证明手拉手模型是初中几何中的重要解题模型，特别在中考中经常出现这个模型的特点是两个图形通过某个公共点连接，形状类似两人手拉手的姿态解决这类问题的关键是识别旋转变换和对称关系，通过构造合适的全等三角形或相似三角形来建立几何关系这种方法需要较强的空间想象能力和变换思维全等在证明中的应用间接证明法角的大小关系当直接证明两线段相等比利用全等三角形对应角相较困难时，可以通过构造等的性质，可以证明角的全等三角形，利用对应边相等关系，进而推导出角相等的性质来间接证明的大小比较点的特殊位置通过建立全等关系，可以证明某些点具有特殊的几何位置，如中点、重心、垂心等相似在证明中的应用证明勾股定理利用直角三角形中的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小三角形，建立比例关系来证明勾股定理这是勾股定理的经典证明方法之一平行线分割定理证明平行线按比例分割三角形两边的定理通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质来完成证明平行线斜率在解析几何中，可以利用相似三角形来证明平行线具有相同斜率的性质，这是解析几何的重要基础用相似证明勾股定理作直角三角形的高在直角三角形ABC中（∠C=90°），从直角顶点C向斜边AB作高CD，垂足为D识别相似三角形观察发现△ABC∽△ACD∽△CBD，这三个三角形都是相似的直角三角形建立比例关系根据相似三角形对应边成比例，可以得到AC²=AD·AB，BC²=BD·AB推导勾股定理将上述两式相加AC²+BC²=AD·AB+BD·AB=AD+BD·AB=AB²，即a²+b²=c²相似在解题中的策略识别相似图形建立对应关系观察题目中的几何图形，寻找可能存确定相似图形后，正确建立对应顶在相似关系的三角形或其他图形，注点、对应边、对应角的关系，这是解意平行线、公共角等特征题的关键步骤结合其他几何性质利用比例关系求解将相似性质与其他几何定理相结合，根据相似图形对应边成比例的性质，如平行线性质、角平分线定理等，完建立方程或比例式来求解未知量善解题过程全等在解题中的策略寻找全等三角形仔细观察图形，寻找可能全等的三角形对，注意公共边、公共角等条件确定对应关系建立正确的顶点对应关系，确保对应边和对应角的匹配利用对应元素相等运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质求解结合其他几何性质将全等性质与其他定理相结合，构建完整的解题思路常见的易错点判定条件混淆容易将全等判定条件与相似判定条件混淆，特别是在边角关系的应用上例如，误将SAS相似条件当作SAS全等条件使用，忽略了比例关系的要求相似比与面积比关系经常混淆相似比与面积比的关系如果相似比为k，那么面积比为k²，而不是k这是一个非常重要的性质，在计算中容易出错对应关系确定错误在建立全等或相似关系时，对应关系的确定出现错误必须确保对应顶点、对应边、对应角的关系正确，否则会导致整个解题过程错误判定条件充分性使用不充分的条件进行判定，例如用SSA条件判定三角形全等，或者在相似判定中条件不够充分需要严格按照判定定理的要求证明策略与技巧辅助线的添加技巧学会恰当地添加辅助线，如作高、中线、角平分线、平行线等，为构造全等或相似三角形创造条件间接证明法应用当直接证明困难时，可以通过反证法或者构造中间图形的方法来间接达到证明目的综合运用全等与相似在复杂问题中，往往需要同时运用全等和相似的性质，形成完整的证明链条转化思想应用将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，这是数学解题的重要思想方法全等与相似的综合应用解决复杂几何问题坐标几何中的应用在处理复杂的几何综合题时，全等与相似往往需要结合使在坐标平面中，全等与相似的概念同样适用可以通过计算用通过建立多个全等或相似关系，可以解决看似困难的几边长和角度来判定图形的全等或相似关系何问题结合解析几何的方法，可以用代数运算来处理几何问题，这这类问题通常涉及多个几何图形的组合，需要学生具备较强为解决复杂问题提供了新的途径的空间想象能力和逻辑推理能力案例分析中考题型直接应用型直接给出条件，要求判定全等或相似辅助线构造型需要添加辅助线才能解决的问题综合应用型全等与相似综合运用的复杂题目手拉手模型型运用旋转变换的经典模型题中考中的全等与相似题目通常分为以上几种类型直接应用型题目考查基本概念和判定方法的掌握；辅助线构造型题目考查学生的分析能力和空间想象力；综合应用型题目考查知识的综合运用能力；手拉手模型型题目考查变换思维和创新能力全等与相似在四边形中的应用平行四边形性质证明利用全等三角形证明平行四边形对边相等、对角相等的性质通过对角线将平行四边形分成两个全等三角形来证明梯形性质证明在等腰梯形中，可以利用全等三角形证明两腰相等、底角相等等性质相似三角形在梯形中位线定理的证明中也有重要作用特殊四边形判定通过构造全等三角形，可以判定四边形是否为矩形、菱形、正方形等特殊四边形，这是几何证明中的重要方法全等与相似在圆中的应用圆的性质应用结合圆的基本性质切线与弦性质利用全等证明切线性质圆内接四边形运用相似处理内接图形在圆的几何中，全等与相似有着广泛的应用圆内接四边形的性质可以通过相似三角形来证明，特别是托勒密定理的证明就运用了相似的思想切线与弦构成的角等于弦所对圆周角的性质，也可以通过构造全等或相似三角形来证明这些应用体现了全等与相似概念在圆几何中的重要地位相似多边形的性质对应角相等相似多边形的所有对应角都相等，这保证了多边形形状的一致性对应边成比例相似多边形的所有对应边都成相同的比例，这个比例就是相似比周长比等于相似比相似多边形的周长之比等于它们的相似比，这是相似图形的重要性质面积比等于相似比的平方相似多边形的面积之比等于相似比的平方，这是面积变化的规律全等与相似的扩展空间几何三维图形的全等与相似在三维空间中，全等与相似的概念得到了扩展两个立体图形全等意味着它们可以通过空间中的刚体运动完全重合多面体的相似性质相似的多面体具有相同的形状但大小可能不同棱柱、棱锥、球等几何体都可以建立相似关系，对应面积成比例的平方体积比例关系相似立体图形的体积之比等于相似比的立方这个性质在解决空间几何问题时非常重要，特别是在计算体积时数学建模中的应用比例尺模型构建实际问题解决在实际应用中，我们经常需要建立按比例缩放的模型无论相似原理在解决实际测量问题中发挥重要作用例如，利用是建筑设计、工程制图还是科学实验，都需要运用相似的原相似三角形测量建筑物高度、河流宽度等不便直接测量的理来确保模型与实物的比例关系正确量这种建模方法不仅节约了材料和空间，还能够在小尺度上研在定位、天文观测、地图制作等领域，相似变换和比例GPS究大尺度的问题，为实际工程提供重要参考关系都是基础工具，帮助我们将复杂的实际问题转化为可以计算的数学问题。