[机械工程] 材料力学课件：应力与应变分析

材料力学应力与应变分析本课程为国际材料科学与工程学会认证的核心课程，是年春季学期机械2025工程系的重要基础课程材料力学作为机械工程的基石学科，研究材料在外力作用下的力学行为和变形规律课程概述应力应变基本概念及其物理意义深入理解应力与应变的定义、分类和物理意义，掌握各种应力状态的数学描述方法一维、二维和三维应力应变分析系统学习从简单到复杂的应力应变分析方法，包括主应力、应力张量等核心理论工程实例及应用案例分析通过典型工程案例，学习将理论知识应用于实际工程问题的解决方法现代测试技术与计算方法第一部分基础概念外力作用下材料的力学响应从宏观到微观的理解各类力学符号与记号当材料受到外力作用时，会产生内力来材料力学需要从宏观和微观两个层面来建立统一的符号体系对于材料力学分析抵抗外力的影响这种内力的强度就是理解宏观上关注整体结构的受力和变至关重要国际标准化组织制定了相关我们要研究的应力，而材料的变形程度形，微观上则要考虑材料内部的分子结标准，确保不同国家和地区的工程师能则用应变来描述构和晶体缺陷对力学性能的影响够准确理解和交流理解材料的力学响应是进行应力应变分现代材料科学正在向多尺度分析发展，正确使用力学符号不仅有助于理论分析的基础，需要掌握力、变形和材料性将原子级别的计算与宏观工程分析相结析，也是工程图纸和技术文档的基本要能之间的基本关系合求应力的基本定义应力的基本概念数学计算方法应力是材料内部抵抗外力作用的强度，反映了单位面积上内力的分布情况应力的计算方法为作用力除以受力面积，即σ=F/A这个简单的公式包含它是材料力学中最基本的概念之一，是连接外力和材料变形的桥梁了深刻的物理意义，体现了力的集中程度对材料性能的重要影响单位与量纲物理本质理解应力的国际单位是帕斯卡Pa，在工程实践中常用兆帕MPa或吉帕应力的本质是内力的分布密度，它描述了材料内部原子间相互作用力的宏GPa正确理解和使用应力单位对于工程计算和材料选择具有重要意义观表现深入理解这一点有助于从根本上把握材料的力学行为应力的分类按作用方向分类按性质分类按分布特征分类根据应力相对于截面的作用按照应力的性质可分为拉应根据应力在截面上的分布情方向，可以分为正应力和剪力、压应力和剪应力拉应况，可分为均匀应力和非均应力正应力垂直于截面，力使材料伸长，压应力使材匀应力均匀应力在整个截剪应力平行于截面这种分料压缩，剪应力使材料发生面上数值相同，非均匀应力类方法是应力分析的基础剪切变形则沿截面变化按时间特性分类按照应力随时间的变化特征，可分为静态应力和动态应力静态应力不随时间变化，动态应力则随时间变化，包括周期性和随机性变化正应力与剪应力正应力的定义正应力是垂直于截面的应力分量，用符号σ表示它反映了材料在该截面上受到的拉伸或压缩作用的强度剪应力的定义剪应力是平行于截面的应力分量，用符号τ表示它反映了材料在该截面上受到的剪切作用的强度正应力的变形效应正应力导致材料发生伸长或压缩变形，改变材料的长度尺寸这种变形在轴向受力构件中最为典型剪应力的变形效应剪应力导致材料发生剪切或扭转变形，改变材料的形状但不改变体积这种变形在扭转轴和剪切连接中常见应力状态分类三维应力状态最复杂的应力状态，需要考虑三个方向的应力分量二维应力状态平面应力问题，在工程中非常常见一维应力状态最简单的情况，如单向拉伸或压缩应力状态的分类是根据作用在材料上的应力分量数目来确定的一维应力状态只有一个主应力不为零，如单向拉伸或压缩；二维应力状态有两个主应力不为零，常见于薄板结构；三维应力状态三个主应力都不为零，是最一般的情况正确识别应力状态类型对于选择合适的分析方法和失效准则具有重要意义在实际工程中，大多数问题可以简化为一维或二维应力状态来处理，这大大简化了分析过程应变的基本定义变形量的量化应变是变形量与原始尺寸的比值，用来描述材料变形的程度它消除了尺寸因素的影响，使得不同大小的构件具有可比性应变的概念使我们能够用统一的标准来评价材料的变形能力应变的分类根据变形类型，应变可分为线应变、面应变和体应变线应变描述长度的变化，面应变描述面积的变化，体应变描述体积的变化这种分类体系有助于全面理解材料的变形行为无量纲特性应变是无量纲的物理量，这使得它具有普遍适用性无论材料的尺寸大小如何，相同的应变值代表相同的变形程度这一特性在材料性能对比和工程设计中具有重要价值应变的分类剪应变（角应变）体应变描述材料剪切变形时角度的变化描述材料体积的相对变化正应变（线应变）•用符号γ表示•用符号θ表示弹性应变与塑性应变•单位为弧度•与三个主应变相关描述材料在某方向上长度的相对变化•反映形状改变•反映体积变化根据可恢复性进行分类•拉伸应变为正值•弹性应变可恢复•压缩应变为负值•塑性应变不可恢复•用符号ε表示•对材料设计重要应力应变关系-胡克定律在弹性范围内，应力与应变成正比关系，这是材料力学的基本定律弹性模量杨氏模量是材料刚度的量度，反映材料抵抗弹性变形的能力E剪切模量剪切模量描述材料抵抗剪切变形的能力，与弹性模量密切相G关泊松比泊松比描述横向应变与纵向应变的比值，是重要的材料常数ν材料的力学性能参数200弹性模量GPa钢材的典型弹性模量值，反映材料抵抗弹性变形的能力250屈服强度MPa普通碳钢的屈服强度，材料开始产生塑性变形的临界应力400抗拉强度MPa材料能承受的最大拉应力，是材料强度的重要指标50断裂韧性MPa√m材料抵抗裂纹扩展的能力，对结构安全至关重要这些力学性能参数构成了材料选择和结构设计的基础数据弹性模量决定了结构的刚度，屈服强度和抗拉强度决定了承载能力，而断裂韧性则关系到结构的安全性和可靠性应力应变曲线-各类材料的应力应变特性-金属材料陶瓷材料聚合物材复合材料料具有明显的屈表现为脆性断具有明显的各服点和塑性变裂特征，几乎展现粘弹性行向异性特征，形阶段，屈服没有塑性变形为，应力应不同方向的力-后仍能承受较阶段具有高变关系与加载学性能差异很大载荷典型强度但韧性较速率和温度密大通过纤维的延性材料，差，在达到强切相关具有增强可以获得具有良好的塑度极限时突然大变形能力和优异的比强度性和韧性在断裂适用于良好的阻尼特和比刚度，是工程中应用最高温和耐腐蚀性，在轻量化现代高性能结为广泛应用设计中应用广构的重要材泛料第二部分应力分析应力状态数学描述应力分量与张量使用应力张量完整描述三维应力状态，理解应力张量的物理意义和数学性质，包含九个应力分量的数学表达掌握应力分量的坐标变换最大剪应力主应力与不变量计算最大剪应力的大小和方向，分析其确定主应力大小和方向，计算应力张量在材料失效中的作用的不变量和特征值应力张量应力张量是描述三维空间中应力状态的完整数学工具它包含九个应力分量，其中三个是正应力，六个是剪应力由于角动量平衡的要求，应力张量具有对称性，因此独立的应力分量只有六个应力张量的矩阵表示为对称矩阵，其对角元素为正应力，非对角元素为剪应力理解应力张量的数学性质对于进行复杂应力状态3×3的分析和计算至关重要平面应力状态问题简化1将三维问题简化为二维分析，适用于薄板结构工程应用在压力容器、板壳结构中广泛应用的分析方法应力计算确定平面内两个正应力和一个剪应力分量平面应力状态是工程中最常遇到的应力状态之一，特别适用于薄板、薄壳等结构的分析在这种状态下，垂直于板面的应力分量可以忽略不计，只需考虑板面内的应力分量平面应力分析大大简化了计算过程，同时保持了足够的精度这种简化在航空航天、船舶、桥梁等工程领域中得到了广泛应用，是结构设计和分析的重要方法主应力与主方向主应力定义在特定方向上只有正应力而没有剪应力的应力状态计算方法通过求解特征方程得到主应力的大小和方向特征值问题主应力是应力张量的特征值，主方向是对应的特征向量主方向确定通过特征向量确定主应力的作用方向，具有重要的工程意义最大剪应力计算公式最大剪应力等于最大主应力与最小主应力差值的一半，即τmax=σ1-这个公式简洁地表达了剪应力与主应力之间的关系σ3/2与主应力的关系最大剪应力的方向与主应力方向成角，这一几何关系在应力分析中具有重45°要意义理解这种关系有助于预测材料的失效模式失效分析中的重要性对于延性材料，剪切失效往往是主要的失效模式最大剪应力准则因此成为评估延性材料安全性的重要依据，在工程设计中广泛应用实际工程应用在轴的扭转、焊接接头、螺栓连接等工程问题中，最大剪应力分析是设计和安全评估的关键合理控制剪应力水平是保证结构安全的基本要求莫尔圆图形表示方法几何构建过程主应力确定莫尔圆是应力状态的几何表通过已知的应力分量，在莫尔圆与轴的交点直接给σ-σ示方法，以直观的图形方式坐标系中构建莫尔圆圆出主应力值，圆的最高点和τ展现复杂的应力关系圆上心位置和半径大小完全确定最低点分别对应最大和最小每一点都对应一个特定方向了该点的应力状态，是应力剪应力这种几何方法使复截面上的应力状态分析的有力工具杂计算变得简单直观任意方向应力通过莫尔圆可以快速确定任意方向截面上的正应力和剪应力这一功能在分析斜截面应力和优化设计中具有重要价值应力分析实例薄壁压力容器应力分弯曲梁中的应力分布轴向受力构件的应力复杂受力情况分析析梁在弯曲载荷作用下，横截在轴向拉伸或压缩载荷作用实际工程中的构件往往同时圆柱形压力容器在内压作用面上的正应力呈线性分布，下，构件横截面上的应力分承受多种载荷，如拉伸、弯下产生周向应力和轴向应最大应力出现在距中性轴最布通常是均匀的但在载荷曲、扭转的组合这种情况力周向应力，轴远的纤维处弯曲正应力公作用点附近和截面突变处，下需要运用叠加原理分别计σθ=pr/t向应力σz=pr/2t，其中p为式σ=My/I是梁设计的核心会出现应力集中现象算各种载荷产生的应力，然内压，为半径，为壁厚公式后进行合成r t圣维南原理指出，局部载荷这类分析在石油化工、航空理解弯曲应力分布规律对于的影响只在载荷作用点附近组合应力状态的分析是现代航天等领域应用广泛，是压梁的截面优化设计具有重要的有限区域内显著结构设计中的重要内容力容器设计的理论基础指导意义第三部分应变分析应变测量技术现代精密测量方法的应用应变张量理论三维应变状态的数学描述位移应变关系-3几何方程的建立和应用应变分析是材料力学的重要组成部分，涉及变形的测量、计算和分析现代应变分析结合了理论方法和实验技术，为工程设计提供了可靠的变形预测和安全评估手段从位移场到应变场的转换是连续介质力学的基础内容，而应变张量则提供了描述复杂变形状态的数学工具这些理论与实验测量技术的结合，构成了现代应变分析的完整体系应变张量张量数学描述应变张量是描述材料点周围变形状态的二阶张量，包含六个独立分量与应力张量类似，应变张量也具有对称性，这源于角变形的互易性应变张量的数学表达为，其中是位移分εij=1/2∂ui/∂xj+∂uj/∂xi ui量物理意义解释应变张量的对角分量表示线应变，反映材料在各坐标方向上的伸长或压缩非对角分量表示剪应变的一半，反映材料的角变形这种数学描述完整地刻画了材料点的变形状态工程应用价值应变张量理论是有限元分析、实验力学和结构优化的理论基础在复杂结构的变形分析中，应变张量提供了统一的数学框架，使得不同类型的变形问题可以用相同的理论方法处理位移应变关系-主应变与主方向主应变的概念主应变是材料点处最大和最小的正应变值，对应于没有剪应变的方向主应变分析有助于理解材料的变形模式和破坏机理特征值求解主应变是应变张量的特征值，通过求解特征方程detε-λI=0得到这与主应力的求解方法完全类似，体现了张量理论的统一性主方向确定主应变方向由相应的特征向量确定，这些方向相互正交在许多情况下，主应变方向与主应力方向一致，但在各向异性材料中可能不同工程应用意义主应变分析在材料成形、疲劳分析和断裂力学中具有重要应用了解主应变的大小和方向有助于优化材料的使用和预测其失效模式应变测量技术现代应变测量技术包括电阻应变片、光学测量方法和数字图像相关技术等电阻应变片是最常用的方法，基于电阻随变形变化的原理，具有精度高、响应快的特点光学测量方法如激光干涉仪和散斑干涉仪可以实现非接触测量，适用于高温、强磁场等特殊环境数字图像相关技术则能够测量全场应变分布，为复杂结构的变形分析提供了强有力的工具应变能应变能定义应变能密度材料变形时储存的弹性能量，反映材料单位体积材料储存的应变能，用于比较承受载荷的能力2不同材料的储能能力工程应用计算方法4在弹性设计、冲击吸收和断裂分析中具通过应力应变曲线下的面积计算，或使有重要作用用相应的积分公式第四部分应力应变关系-线弹性本构方程各向同性与各向异性温度效应非线性行为描述线弹性材料应力应变关各向同性材料在各个方向上温度变化会引起材料的热膨当应力超过一定限度时，材系的数学方程，是材料力学具有相同的力学性能，而各胀或收缩，同时也会影响材料的应力应变关系变为非线的核心内容对于各向同性向异性材料则具有方向相关料的弹性模量等力学性能性这包括几何非线性、材材料，只需要两个独立的材的性能复合材料、木材、热应力分析在高温结构设计料非线性等多种情况料常数即可完全描述其弹性单晶材料等都表现出明显的中至关重要非线性分析需要采用增量方行为各向异性特征热弹性本构方程将温度效应法或迭代方法，计算复杂度广义胡克定律建立了三维应各向异性材料的本构关系更纳入应力应变关系中，为热大大增加，但对于准确预测力状态下的应力应变关系，加复杂，需要更多的材料常环境下的结构分析提供了理材料行为是必要的为复杂结构分析提供了理论数来描述论依据基础广义胡克定律21刚度矩阵元素各向异性材料的完整弹性刚度矩阵包含21个独立常数2各向同性常数各向同性材料只需要两个独立的弹性常数即可完全描述9正交异性常数正交各向异性材料需要9个独立的弹性常数5横观同性常数横观同性材料需要5个独立的弹性常数来描述广义胡克定律是线弹性理论的核心，它建立了三维应力状态与应变状态之间的线性关系对于各向同性材料，这种关系可以用弹性模量E和泊松比ν两个常数完全描述各向异性材料各向异性本构关系各向异性材料的应力应变关系具有方向相关性，不同方向上的弹性模量、泊松比和剪切模量都不相同这种材料的本构方程需要用完整的弹性常数矩阵来描述，增加了分析的复杂性工程中的各向异性材料复合材料、木材、层状岩石、单晶金属等都是典型的各向异性材料这些材料在特定方向上具有优异的性能，通过合理的设计可以实现材料性能的最优化利用正交各向异性正交各向异性是各向异性的特殊情况，材料具有三个相互垂直的对称面这种对称性大大简化了分析过程，使得材料常数从21个减少到9个独立常数复合材料特性纤维增强复合材料是现代工程中最重要的各向异性材料通过控制纤维的取向和含量，可以设计出具有特定力学性能的材料，实现轻量化和高性能的完美结合温度对应力应变的影响-热应力产生机理当材料受到温度变化但变形受到约束时，就会产生热应力这种应力可能达到很高的数值，在结构设计中必须充分考虑线膨胀系数线膨胀系数描述材料随温度变化的膨胀特性不同材料的膨胀系数差α异很大，这在复合结构中可能导致界面应力问题热弹性本构方程热弹性本构方程将温度项引入应力应变关系中，表达为σ=Eε-这个方程考虑了温度变化对材料行为的影响αΔT4工程实例热应力在火力发电站、航空发动机、电子封装等高温应用中至关重要合理的热应力设计可以避免热疲劳和热冲击造成的失效非线性应力应变关系-材料非线性1当应力超过比例极限时，材料表现出非线性行为几何非线性大变形情况下几何方程变为非线性形式非线性本构模型采用多项式、指数或其他非线性函数描述材料行为非线性应力应变关系在现代材料科学中越来越重要随着新材料的发展和应用要求的提高，线性理论的局限性日益显现橡胶、生物材料、-高分子材料等都表现出明显的非线性特征非线性分析需要采用数值方法，如有限元法，通过增量迭代的方式求解虽然计算复杂，但能够更准确地预测材料的真实行为，对于高精度工程应用是必不可少的第五部分特殊应力状态薄壁结构应力压力容器应力弯曲构件应力薄壁结构在工程中应用压力容器的应力分析是梁的弯曲应力分析是结广泛，其应力分析有特工程中的经典问题，涉构力学的基础内容弯殊的理论和方法薄壁及周向应力、轴向应力曲正应力和剪应力的分假设使得复杂的三维问和径向应力的计算这布规律为梁的设计和优题简化为二维分析，大类分析在石化、核电等化提供了理论依据大降低了计算难度行业中具有重要的安全意义扭转构件应力轴的扭转应力分析在机械传动设计中至关重要扭转剪应力的分布和扭转角的计算是轴类零件设计的核心内容薄壁压力容器梁的弯曲应力应力分布规律弯曲正应力在横截面上呈线性分布，中性轴处应力为零，距中性轴越远应力越大弯曲应力公式弯曲正应力公式，其中为弯矩，为到中性轴距离，为截面σ=My/I My I惯性矩中性轴位置对于对称截面，中性轴通过截面形心；对于非对称截面，需要通过静矩计算确定非对称截面分析非对称截面的弯曲分析更加复杂，需要考虑弯曲中心和形心不重合的影响轴的扭转应力应力分布计算公式扭转剪应力沿半径线性分布，扭转剪应力公式τ=Tρ/Ip•轴心处应力为零•T为扭矩12•表面处应力最大•ρ为到轴心距离•分布呈直线型•Ip为极惯性矩扭转刚度极惯性矩抵抗扭转变形的能力截面几何性质的重要参数4•与材料剪切模量相关•圆截面Ip=πd⁴/32•与极惯性矩成正比•空心圆考虑内外径•影响扭转角大小•非圆截面需特殊计算组合应力状态拉伸与弯曲组合弯曲与扭转组合多轴应力分析方法实际工程案例当构件同时承受轴向拉力和传动轴既承受扭矩又承受弯复杂受力情况下的应力分析起重机吊臂、飞机机翼、桥弯矩时，横截面上的正应力矩是典型的弯扭组合受力情需要运用应力张量理论，通梁主梁等结构都会遇到复杂等于两种载荷单独作用时应况这种状态下需要计算主过主应力计算和等效应力评的组合应力状态正确的应力的代数和这种组合在偏应力或等效应力来评估轴的估来判断材料的安全状态力分析是保证这些结构安全心受压构件中很常见安全性运行的基础现代工程中多采用有限元方合成应力的计算需要考虑应弯扭组合应力分析是机械传法进行复杂应力状态的数值工程实践中还需要考虑动载力的叠加原理，同时要注意动设计中的重要内容，直接分析，可以处理任意复杂的荷、温度效应、材料老化等拉应力和压应力的符号约关系到传动系统的可靠性载荷组合因素的影响定。