《初中数学课件》：《分数的加减法》复习课件

初中数学课件分数的加减法复习分数的加减法是初中数学的重要基础内容，掌握好这部分知识对后续的数学学习至关重要本课件将系统回顾分数加减法的各个知识点，通过丰富的例题和练习帮助同学们巩固和提高我们将从基础概念开始，逐步深入到复杂的应用问题，确保每位同学都能熟练掌握分数的加减运算技能课程目标掌握分数加减法的基本概念理解分数的意义，明确分数加减法的运算规则和基本原理熟练运用同分母和异分母分数的加减法能够准确计算同分母分数和异分母分数的加减运算理解并应用分数加减法的性质掌握交换律、结合律等运算性质，提高计算效率能够解决实际问题中的分数加减应用将分数加减法知识运用到生活实际问题的解决中本节内容第一部分分数基础知识回顾复习分数的基本概念、性质和分类，为后续学习奠定基础第二部分同分母分数加减法学习和练习同分母分数的加减运算规则和方法第三部分异分母分数加减法掌握通分方法，学会异分母分数的加减运算第四部分分数加减法的性质理解和应用分数加减法的运算性质第五部分分数加减法的应用运用分数加减法解决实际生活中的数学问题分数的基本概念分数的意义分数表示部分与整体的关系，是把单位平均分成若干份，表示这样一份或几份1的数它反映了部分占整体的比例关系分数的组成分数由分子和分母组成，分子表示所取的份数，分母表示把单位平均分成的份1数，中间用分数线分隔分数的读法分数的读法是分母分之分子，例如读作二分之一，读作五分之三1/23/5分数的分类根据分子与分母的大小关系，分数可以分为真分数、假分数和带分数三种类型真分数与假分数真分数假分数带分数真分数是分子小于分母的分数，其值小假分数是分子大于或等于分母的分数，带分数由整数部分和真分数部分组成，于真分数表示不足一个整体的部分，其值大于或等于假分数可以表示为是假分数的另一种表示形式，更直观地11是最常见的分数形式带分数的形式显示了数的大小例如等都是真分数例如等都是假分数例如又又等带分数与1/2,3/5,7/85/3,7/2,9/423/5,11/4在数轴上，真分数位于和之间假分数可以转换为带分数，如假分数可以相互转换，便于不同情况下015/3=1又的计算需要2/3分数的基本性质分数的基本性质分数的分子和分母同时乘以或除以相同的非零数，分数的大小不变这是分数约分和通分的理论基础约分的概念约分是把分数化简成最简分数的过程，即把分子和分母同时除以它们的最大公因数，使分数达到最简形式通分的概念通分是把异分母分数化成同分母分数的过程，通常是把各分数化成分母为各分母最小公倍数的分数约分约分的定义约分是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，得到一个与原分数相等但更简洁的分数约分的目的是得到最简分数约分的方法常用的约分方法有短除法和质因数分解法短除法适用于较小的数，质因数分解法适用于较大的数，两种方法都能有效找到最大公因数最简分数最简分数是指分子和分母只有公因数的分数，即分子和分母互1质的分数所有分数最终都应约分为最简分数形式通分找最小公倍数计算扩大倍数通分的第一步是找出各分母的最小公倍用最小公倍数分别除以各个分母，得到数，这个数将成为通分后的公分母每个分数需要扩大的倍数验证结果转换分数检查通分后的分数是否正确，确保各分将每个分数的分子和分母同时乘以相应数的分母相同且与原分数大小相等的扩大倍数，得到同分母分数同分母分数加减法计算规则数学公式注意事项同分母分数相加减时，用数学符号表示为计算完成后要检查结分母保持不变，只需±果是否为最简分数，a/c b/c=将分子进行相加或相±，其中为共如果不是最简分数，a b/c c减，这是最基础的分同的分母，和为各需要进行约分操作a b数运算规则自的分子同分母分数加法示例1/52/5第一个分数第二个分数分子为，分母为分子为，分母为15253/5计算结果1/5+2/5=3/5同分母分数加法的关键是理解分母不变的原则当两个分数的分母相同时，我们只需要将分子相加，分母保持不变例如，分母都是，所以结果的分母1/5+2/55仍然是，分子是，因此答案是这种计算方式体现了分数表示部分与51+2=33/5整体关系的本质同分母分数减法示例减法规则分母不变，分子相减计算过程4/5-1/5=4-1/5最终结果=3/5同分母分数减法遵循与加法相同的原则，分母保持不变，只对分子进行减法运算在计算时，分母都是保持不变，4/5-1/55分子进行的计算，所以结果是需要注意的是，减法运算中被减数必须大于减数，这样才能保证结果为正数4-1=33/5同分母分数加减混合运算原题2/11+5/11-3/11=分子运算2+5-3/11最终答案4/11在同分母分数的混合运算中，我们依然遵循分母不变的原则，只需对分子进行加减运算计算时，分母2/11+5/11-3/11都是，所以分母保持不变，分子部分计算，因此最终结果是这种混合运算要注意运算顺序，按照从左到右的112+5-3=44/11顺序依次计算同分母分数加减法练习练习25/6-1/6=分母相同为•6练习1分子相减•5-1=43/8+1/8=答案•4/6=2/3分母相同为•8练习3分子相加•3+1=4答案2/7+3/7-1/7=•4/8=1/2分母相同为•7分子运算•2+3-1=4答案•4/7异分母分数加减法观察分母通分转换按规则计算约分简化识别不同的分母转换为同分母分数用同分母方法计算将结果化为最简分数异分母分数加减法是分数运算的重点和难点，需要先将异分母分数通过通分转换为同分母分数，然后按照同分母分数加减法的规则进行计算关键在于找到各分母的最小公倍数，这样既能保证计算正确，又能使运算过程相对简洁异分母分数加减法的步骤第一步求分母的最小公倍数找出所有分母的最小公倍数，这将作为通分后的公分母，是整个计算过程的基础第二步通分转换为同分母分数利用分数的基本性质，将各个分数转换为以最小公倍数为分母的同分母分数第三步按同分母分数加减法计算3分母不变，对分子进行相应的加法或减法运算，得出初步结果第四步约分（如需要）检查计算结果是否为最简分数，如果不是，则需要进行约分操作最小公倍数求法方法一分解质因数法方法二短除法方法三直接列举法将每个数分解为质因数的乘积，然后取用质数依次去除各个数字，直到商互质分别列出各数的倍数，找出最小的公倍各质因数的最高次幂相乘这种方法适为止，然后将所有除数和最终的商相乘数这种方法适用于较小数字的情况，用于所有情况，特别是较大数字的最小这种方法直观易懂，计算过程清晰直观但计算量大公倍数求解例如求和的最小公倍数，的倍数696例如求和的最小公倍数时，短除法的优点是步骤明确，不容易出错，；的倍数12186,12,18,

24...9×，×，所以最小公特别适合初学者使用，最小公倍数是12=2²318=23²9,18,

27...18倍数×=2²3²=36最小公倍数示例题目分析质因数分解3计算最小公倍数求和的最小公倍数，我们使×，×，最小公倍数××121812=2²318=23²=2²3²=49用分解质因数的方法来解决这个问将两个数分别分解为质因数的乘积，取各质因数的最高次幂=36题形式通过质因数分解法求最小公倍数是最可靠的方法在这个例子中，和都含有质因数和，但它们的次幂不同我们需要取每个121823质因数的最高次幂，即和，然后相乘得到这种方法确保了结果的准确性，并且适用于任何正整数2²3²36异分母分数加法示例原题计算的值首先观察分母和，它们不相同，所以这是异1/2+1/323分母分数加法，需要先通分找最小公倍数分母和的最小公倍数是因为和都是质数，它们互质，所以23623最小公倍数就是×23=6通分计算，将原分数转换为同分母分数，然后1/2=3/61/3=2/6计算3/6+2/6=5/6异分母分数加法练习练习题目分析过程计算过程计算求最小公倍数通分后计算2/5+1/3=观察分母和的倍数•53•55,10,15,

20...•2/5=6/15判断异分母分数的倍数••33,6,9,12,

15...•1/3=5/15需要通分处理最小公倍数••15•6/15+5/15=11/15异分母分数减法示例原题分析找公倍数，分母不同需要通分和的最小公倍数是3/4-1/64612计算结果通分转换4，9/12-2/12=7/123/4=9/121/6=2/12异分母分数减法的步骤与加法完全相同，关键在于通分在这个例子中，我们需要找到和的最小公倍数通过分解质因数46，×，所以最小公倍数×通分后，变成，变成，然后按同分母分数减法计算，得到4=2²6=23=2²3=123/49/121/62/127/12异分母分数减法练习练习题目计算5/6-2/9=分母和•69类型异分母分数减法•求最小公倍数分析和的最小公倍数69ו6=23•9=3²最小公倍数ו=23²=18通分计算转换并计算最终结果•5/6=15/18•2/9=4/18•15/18-4/18=11/18异分母分数加减混合运算最终结果=1同分母计算24/6+3/6-1/6=6/6通分转换2/3=4/6,1/2=3/6,1/6=1/6找公倍数分母的最小公倍数是3,2,66原题2/3+1/2-1/6=异分母分数的混合运算需要特别注意运算顺序和通分过程在这个例子中，我们有三个不同的分母、、首先找到它们的最小公倍数是，然后将所有分数都3266通分为以为分母的分数，最后按照从左到右的顺序进行加减运算6带分数的加减法方法一转化为假分数方法二分别计算将带分数转换为假分数后进行运算，这种方法统一了运算形式，将整数部分和分数部分分别进行加减运算，这种方法计算过程避免了分别处理整数部分和分数部分的复杂性直观，便于理解每个部分的变化转换公式又×转换后按照普通分数加减先计算整数部分的加减，再计算分数部分的加减如果分数部a b/c=a c+b/c法进行计算，最后将结果转换回带分数形式分出现假分数，需要进位到整数部分带分数加法示例原题又又21/3+11/4=方法一转换假分数又又21/3=7/3,11/4=5/43方法二分别计算整数部分，分数部分2+1=31/3+1/4=7/124最终结果又37/12带分数减法示例题目分析计算又又观察题目特点被减数的分数部分小于减数32/5-13/8的分数部分，需要借位处理处理策略由于，需要从整数部分借将又转换为又2/53/8132/52又，然后进行减法运算5+2/5=27/5计算过程整数部分，分数部分通分后计算2-1=17/5-3/8又，所以结果是又56/40-15/40=41/40=11/4021/40带分数加减混合运算原题又又又23/7+12/5-31/10=转换假分数又又又23/7=17/7,12/5=7/5,31/10=31/10找最小公倍数分母、、的最小公倍数是751070通分计算170/70+98/70-217/70=51/70带分数的混合运算通常建议先转换为假分数进行计算，这样可以避免多次借位的复杂操作在本例中，转换后通分计算得到，由于，结果是真分数，已经51/705170是最简形式分数加减法的性质交换律a/b+c/d=c/d+a/b加法交换律两个分数相加，交换位置后结果不变•适用于所有分数加法运算•可以简化复杂运算过程•结合律a/b+c/d+e/f=a/b+c/d+e/f三个或更多分数相加时可以任意组合•有助于寻找计算技巧•提高运算效率•加法单位元任何分数加上，结果不变0可以表示为或任何分子为的分数•00/10减法中减去结果也不变•0是分数运算的基本性质•分数加减法中的整数运算整数的分数表示2运算示例任何整数都可以表示为分母5+1/3=5/1+1/3=为的分数，如，15=5/115/3+1/3=16/3=这样就可以与其他分数进行又51/3统一运算应用技巧在实际计算中，可以先计算分数部分，再与整数部分合并，这样往往更加简便分数与小数的转换有限小数转分数根据小数位数确定分母•

0.3=3/10分数转小数•

0.25=25/100=1/4用分子除以分母•

0.125=125/1000=1/8•1/2=

0.5循环小数转分数•1/4=

0.25设循环小数为，列方程求解x•3/8=

0.375•

0.

333...=1/3•

0.

666...=2/3•

0.

142857...=1/7分数加减法的应用技巧技巧一先通分再计算技巧二寻找巧妙的分组对于多个异分母分数的运算，先找到所有分母的最小公倍数利用加法交换律和结合律，将进行统一通分，然后一次性完容易计算的分数组合在一起，成所有加减运算，避免重复通如凑整数或使用互为倒数的性分质，简化计算过程技巧三利用整数部分简化计算对于带分数运算，可以先处理整数部分，再处理分数部分，或者寻找能够约简的部分，减少计算量分数加减法在实际问题中的应用部分与整体问题涉及物品分配、工作进度、时间分配等问题，需要用分数表示各部分占总体的比例关系比较问题比较不同数量的大小关系，通过通分将异分母分数转换为同分母分数进行比较行程问题涉及路程、时间、速度的分数表示，需要运用分数加减法计算总路程或剩余路程应用问题示例1问题描述小明完成作业的，小红完成了，请问谁完成的作业更多？需要2/53/8通过分数大小比较来解决问题解题思路要比较和的大小，需要先通分找到和的最小公倍数是2/53/858，将两个分数都转换为以为分母的分数4040计算过程，因为，所2/5=16/403/8=15/4016/4015/40以，小明完成的作业更多2/53/8应用问题示例2还剩5/12最终剩余货物第二天运走×1/42/3=1/62剩下货物的1/4第一天后剩余2/31-1/3=2/3原问题第一天运走，第二天运走剩下的1/31/4这是一个典型的连续分数运算问题第一天运走总货物的，剩余第二天运走剩余货物的，即总货物的×1/32/31/42/31/4=1/6所以两天总共运走，还剩但要注意第二天是运走剩下的，所以计算过程需要分步进行1/3+1/6=3/6=1/21-1/2=1/21/4应用问题示例3问题分析一根绳子长度未知，第一次用去，第二次用去，1/41/3还剩几分之几？计算已用部分两次共用去1/4+1/3=3/12+4/12=7/12计算剩余部分剩余部分1-7/12=12/12-7/12=5/12这个问题考查的是部分与整体的关系把整根绳子看作单位，第一次1和第二次分别用去总长度的和要求剩余部分，需要先计算总共1/41/3用去的部分，然后用减去已用部分通分计算，所以11/4+1/3=7/12剩余5/12常见错误分析错误类型一直接相加分子分错误类型二通分错误错误类型三约分不到位母错误示例错误示例计算结果为，但没有约1/2+1/3=3/6+3/66/8错误示例分为1/2+1/3=2/53/4错误原因在通分过程中计算错误，没错误原因没有理解分数的意义，错误有正确计算分子的变化正确的通分应错误原因没有养成约分的习惯，或者地将分子与分子相加、分母与分母相加该是，不会判断分数是否为最简分数应该检1/2=3/61/3=2/6这违反了分数运算的基本原则查分子分母是否还有公因数错误示例与纠正错误示例1/2+1/3=2/52找最小公倍数和的最小公倍数是2363正确通分，1/2=3/61/3=2/6正确计算3/6+2/6=5/6这个错误非常典型，反映了学生对分数概念理解不深分数表示的是部分与整体的关系，表示二分之一，表示三分之一，它们不能简单地合并为1/21/32/5正确的方法是先通分，找到公分母，然后将转换为，转换为，61/23/61/32/6最后计算3/6+2/6=5/6分数加减题型变式已知和差求分数逆向思维题型已知两个分数的和或差•求和差的值已知其中一个分数•最基本的题型求另一个分数的值•直接计算两个或多个分数的和或•已知一个分数和结果求另一个差分数可能涉及同分母或异分母分数•方程思想的应用结果需要化为最简分数•3设未知数列方程•运用分数加减法解方程•检验答案的合理性•综合练习题1题目计算2/3+1/4-1/6这是一个三个异分母分数的混合运算，需要先找到三个分母的最小公倍数，然后通分计算找最小公倍数分母、、的最小公倍数是34612通过分解质因数，，×，所以最小公倍数3=34=2²6=23×=2²3=12通分并计算，，2/3=8/121/4=3/121/6=2/128/12+3/12-2/12=8+3-2/12=9/12=3/4综合练习题21原题2转换为假分数计算又又又，又12/5+31/312/5=7/531/3又，又-23/10=10/323/10=23/103通分计算最小公倍数为3042/30+100/30-69/30=73/30=又213/30带分数的混合运算建议先转换为假分数进行计算转换公式为整数部分×分母分子，然后除以原分母本题中需要找到、、的最小公倍+5310数，通分后进行计算，最后将假分数转换回带分数形式30综合练习题3最终结果1319/60通分计算230/60+40/60+45/60+48/60统一分母3最小公倍数为60原题41/2+2/3+3/4+4/5这是一个四个异分母分数连加的题目，需要找到、、、的最小公倍数通过分解质因数，，，，所以最小公倍23452=23=34=2²5=5数××通分后计算，结果是假分数，可以转换为带分数又=2²35=6030/60+40/60+45/60+48/60=163/60243/60综合练习题4题目分析第一个数比第二个数多，第二个数是第三个数的，第三个1/53/4数是，求第一个数12逐步求解第二个数×=123/4=9第一个数×=9+91/5=9+9/5=45/5+9/5=54/5最终答案第一个数又=54/5=104/5这是一个复合的分数应用题，需要从已知条件出发，逐步推算首先根据第二个数是第三个数的求出第二个数，然后根据第一个数比第二个数多求出第一3/41/5个数关键是理解多的含义，即第一个数等于第二个数加上第二个数的1/51/5小组活动分数接龙游戏规则活动目标每位同学依次提供一个分数，通过游戏形式练习分数加减法下一位同学对前面的结果加上的心算能力，培养数感，提高或减去自己的分数，继续传递对分数运算的熟练程度和反应给下一位同学速度注意事项鼓励学生选择容易计算的分数，如分母较小的分数，避免过于复杂的计算影响游戏进度。