《数字信号处理》课件

数字信号处理什么是数字信号处理（）DSP信号分析信号变换对信号进行时域和频域特征提通过数学变换改变信号形式，取，识别信号模式和规律如傅里叶变换、小波变换等数字化处理将连续模拟信号转换为离散数字信号，便于计算机处理信号的基本分类按时间特性分类按幅度特性分类连续信号在时间轴上连续定义，如语音波形离散信号只在特定模拟信号幅度连续变化，数字信号幅度只能取离散值典型例子时间点有定义，如采样后的数字序列包括音频信号、视频信号、传感器输出等•连续时间信号•模拟信号（连续幅度）•离散时间信号•数字信号（量化幅度）周期信号与非周期信号•随机信号与确定信号•数字信号处理的优势高稳定性可重复性易于存储不受温度、老化影响，相同输入产生完全相同数字信号便于存储和传参数恒定可靠输出输编程灵活算法可软件实现，易于修改和升级数字信号处理相比模拟处理具有显著优势数字系统的参数稳定性高，不会因器件老化或环境变化而漂移处理结果具有完美的可重复性，同样输入必然产生相同输出数字信号便于存储、传输和复制，不会产生累积误差最重要的是，数字处理算法可通过软件实现，具有极大的灵活性和可扩展性发展简史DSP1年代1960数字信号处理理论奠定，算法诞生FFT2年代1970专用芯片出现，推出DSP TITMS320103年代1980-90芯片性能大幅提升，广泛商业化应用DSP4年至今2000多核、加速器、边缘计算兴起DSP AI数字信号处理起源于年代的数字滤波理论研究年和提出19601965Cooley Tukey快速傅里叶变换算法，极大推动了发展年代德州仪器等公司开始生产专DSP1970用芯片，标志着从理论走向实用随着半导体技术进步，芯片性能不断DSP DSPDSP提升，应用领域不断扩展信号与系统的基本术语时域与频域因果系统时域描述信号随时间变化特性，系统输出只依赖于当前和过去的频域描述信号的频率成分构成输入，不依赖未来输入所有物通过傅里叶变换可实现两域间转理可实现系统都是因果的换线性时不变系统满足叠加性和齐次性的线性系统，且系统参数不随时间变化，是理DSP论分析的重要基础离散时间信号的数学表示单位脉冲序列当，否则为δ[n]=1n=00单位阶跃序列当，否则为u[n]=1n≥00正弦序列x[n]=A*cosωn+φ指数序列x[n]=a^n离散时间信号用序列表示，其中为整数时间索引常用的基本序列包括单位脉冲、x[n]n阶跃、正弦、指数等这些基本序列是构成复杂信号的基础，通过线性组合可以表示任意信号离散时间系统的描述系统函数1Hz=Yz/Xz差分方程2描述输入输出关系冲激响应3完全表征系统h[n]LTI离散时间系统可用差分方程、冲激响应或系统函数等多种方式描述差分方程直接反映输入输出的数学关系，是系统实现的基础冲激响应完全表征线性时不变系统特性系统函数是冲激响应的变换，便于分析系统的频率特性和稳定性h[n]Hz z线性时不变（）系统特性LTI齐次性时不变性T[ax]=aT[x]T[x[n-n0]]=y[n-n0]叠加性卷积性质T[x1+x2]=T[x1]+T[x2]y[n]=x[n]*h[n]系统是数字信号处理中最重要的系统类型线性意味着系统满足叠加性和齐次性，时不变性表示系统参数不随时间变化系统的输LTI LTI出可表示为输入与冲激响应的卷积，这一性质为系统分析和设计提供了强有力的数学工具信号的时域分析加窗操作信号折叠操作将信号与窗函数相乘，用于信号截断和频谱分信号移位操作表示信号关于纵轴的镜像，折叠操析，常用窗函数有矩形窗、汉宁窗等x[-n]x[n]表示信号向右移位个单位，移作在卷积运算中起重要作用x[n-n0]x[n]n0位不改变信号波形，只改变时间位置代码示例MATLAB n=0:10;x=cos2*pi*

0.1*n;x_shifted=[zeros1,3x];x_folded=fliplrx;window=hannlengthx;x_windowed=x.*window;卷积与相关卷积运算相关运算卷积是系统的基本运算，描述了输入信号通过系统产生输出相关函数衡量两个信号的相似程度，自相关反映信号自身的周期LTI的过程数学表达式为性，互相关用于信号检测和时延估计y[n]=Σx[k]h[n-k]卷积运算满足交换律、结合律和分配律，具有重要的物理意义，相关运算在雷达、声纳、通信同步等领域应用广泛，是信号检测广泛应用于滤波、信号合成等领域和参数估计的重要工具离散系统的结构类型直接型结构直接实现差分方程，结构简单级联型结构多个子系统串联，便于设计并联型结构多个子系统并联，提高处理速度数字系统的实现结构直接影响计算复杂度、数值精度和硬件成本直接型结构按差分方程直接实现，程序简单但对系数敏感级联型将高阶系统分解为多个低阶子系统串联，降低了系数量化误差并联型结构可实现并行处理，提高运算速度，常用于实时系统选择合适的结构形式是系统设计的重要环节DSP信号采样定理2fs fs/

20.5奈奎斯特频率折叠频率归一化频率采样频率必须大于信号最高频率的两倍采样频率的一半，是无失真采样的上限频率与采样频率的比值，便于分析采样定理是数字信号处理的理论基础，由奈奎斯特提出当采样频率大于信号最高频率的两倍时，可以从采样信号无失真地恢复原fs fmax始连续信号若违反采样定理，高频成分会折叠到低频段，产生混叠失真实际应用中需要使用抗混叠滤波器预处理信号，确保满足采样条件采样与保持电路信号输入采样瞬间连续模拟信号进入采样电路在采样时刻快速捕获信号值转换保持阶段A/D将保持的模拟值转换为数字码在采样间隔内保持信号值不变采样保持电路是连接模拟世界和数字世界的关键器件电路由采样开关、保持电容和缓冲放大器组成现代数据采集卡如、NI DAQ评估板等都集成了高性能采样保持电路，采样速率可达数百，精度达位，广泛应用于示波器、频谱分析仪等测量仪ADI MSPS16-24器信号恢复与重建数字序列离散的数字信号样本脉冲串通过转换为脉冲序列DAC低通滤波理想重建滤波器平滑信号连续信号恢复原始模拟信号信号重建是采样的逆过程，将离散数字信号恢复为连续模拟信号理论上需要理想低通滤波器，截止频率为实际中使用零阶保持器（）fs/2ZOH和模拟重建滤波器现代芯片如、等集成了内插滤波器，可有效减少重建误差，输出高质量的模拟信号DAC AD9736LTC2000量化与编码原理幅度量化将连续幅度值映射到有限个离散电平量化噪声量化误差引入的噪声，功率为Δ²/12二进制编码将量化电平用二进制数字表示格式PCM脉冲编码调制，数字音频标准格式量化是将连续幅度的采样值映射到有限个离散电平的过程量化位数决定了动态范围和精度，位量化可表示个电平量化噪声是不可避免的，其功率与量化阶距的平n2^n方成正比均匀量化适用于大多数信号，非均匀量化（如律、律）用于语音信号，μA可改善小信号的量化性能编码实用举例PCM实现代码音质参数Python CD音频采用采样率，import numpyas np;CD

44.1kHz位量化，立体声格式每秒import scipy.io.wavfile as16数据量为wav;fs=44100;t=××np.linspace0,1,fs;signal44100162=

1.41Mbp，一张可存储约分钟音=np.sin2*np.pi*440*t;s CD74频quantized=np.roundsignal*

32767.astypenp.int16高清音频格式位或位格式提供更高音质，主要用于专业录音24/96kHz24/192kHz和高端音响设备，文件大小相应增加变换定义与性质z收敛域因果序列反因果序列ROC变换收敛的复平面区域，在某个圆外，包含无穷在某个圆内，包含原点z ROC ROC决定了变换的有效性远点双边序列为环形区域，不包含原ROC点和无穷远变换是分析离散时间信号和系统的重要工具，类似于连续时间的拉普拉斯变换变换将z z时域的卷积运算转换为域的乘法运算，极大简化了系统分析收敛域的确定至关重z ROC要，它决定了变换的唯一性和逆变换的存在性z变换的常用运算z性质时域域z线性ax[n]+by[n]aXz+bYz时移₀₀x[n-n]z^-n Xz域微分z nx[n]-zdXz/dz卷积x[n]*h[n]XzHz初值定理x

[0]limz→∞Xz终值定理limn→∞x[n]limz→1z-1Xz变换的重要性质使系统分析变得简洁高效时移性质将时域延迟转换为域的乘z z法因子，是分析因果系统的基础卷积定理将复杂的时域卷积转化为简单的域z乘法，这是数字滤波器分析的核心域微分性质用于分析包含项的序列，初值z n和终值定理便于求解系统的瞬态和稳态响应变换反变换z查表法直接查找变换表，适用于简单的标准形式z部分分式展开将有理函数分解为简单分式之和长除法适用于分子阶次大于等于分母阶次的情况围线积分法利用复变函数的留数定理求解例题求的反变换首先判断，对于因果序列为Xz=z/z-

0.5ROCROC|z|

0.5使用部分分式展开，则查表得Xz/z=1/z-

0.5Xz=z/z-

0.5x[n]=，其中为单位阶跃序列验证将结果代入变换定义式，确认正确

0.5^n u[n]u[n]z性域系统描述z传递函数零点分析使的值Hz=Yz/Xz Hz=0z•系统的域表示•影响系统增益z•反映频率响应特性•决定阻带特性稳定性判据极点分析所有极点在单位圆内使的值Hz=∞z•稳定条件•决定系统稳定性BIBO•实际系统设计要求•影响瞬态响应域系统函数是数字滤波器设计和分析的核心工具零极点分布直接决定了系统的频率响应特性零点产生陷波效应，极点产生谐振峰z值系统稳定的充要条件是所有极点位于单位圆内部，这确保了有界输入产生有界输出（稳定）BIBO离散傅里叶变换（）定义DFT周期性扩展频率分辨率假设信号是周期为的周期频率分辨率，其中为DFT NΔf=fs/N fs序列，这种周期化可能引入不连采样频率，为点数增加N DFT续性，导致频谱泄漏现象可提高频率分辨率但增加计算N量频谱泄漏当信号频率不是的整数倍时，能量会泄漏到相邻频率箱，可通过加fs/N窗函数改善性质与运算DFT性质时域频域线性ax[n]+by[n]aX[k]+bY[k]时移x[n-mmod N]X[k]e^-j2πkm/N频移x[n]e^j2πln/N X[k-lmod N]圆周卷积⊛x[n]y[n]X[k]Y[k]定理ParsevalΣ|x[n]|²1/NΣ|X[k]|²的圆周卷积性质是其最重要的应用基础与连续傅里叶变换不同，DFT DFT处理的是有限长序列，因此卷积运算是圆周的利用实现快速卷积运DFT算将时域卷积转换为频域乘法，再通过返回时域，当序列较长时比直IDFT接卷积更高效快速傅里叶变换（）原理FFT分治策略1将点分解为两个点N DFTN/2DFT蝶形运算2基础计算单元，减少乘法次数位倒序3输入数据重新排列，便于原位计算复杂度降低4从降至ON²ONlogN是世纪最重要的算法之一，将计算复杂度从降低到基通过分治思想，递归地将点分解为更小的FFT20DFT ON²ONlogN-2FFT NDFT蝶形运算是的核心计算单元，每个蝶形单元包含一个复数乘法和两个复数加法现代处理器和芯片都集成了硬件加速器DFT FFTDSP FFT工程实现FFT实现应用MATLAB Pythonfs=8000;t=0:1/fs:1-1/fs;x=sin2*pi*1000*t+import numpyas np;from scipy.fft importfft;import

0.5*sin2*pi*2000*t;X=fftx;f=0:lengthX-matplotlib.pyplot asplt;x=np.sin2*np.pi*1000*t;X1*fs/lengthX;plotf,absX;=fftx;plt.plotnp.absX的函数采用高度优化的库，支持任意长度的的和提供了完整的工具包，支MATLAB fft FFTW Pythonnumpy.fft scipy.fftFFT，自动选择最优算法持多维、实数等高级功能FFT FFT FFT音频频谱分析是的典型应用通过可以实时分析音频信号的频率成分，广泛应用于音响均衡器、频谱分析仪、音乐软件等FFTFFT实际应用中需要考虑窗函数选择、重叠处理、零填充等技术细节以获得最佳分析效果连续信号的离散傅里叶变换（）DTFT连续频率域的频率变量是连续的，范围为到，提供了完整的频率信息与DTFTω02π的离散频率不同DFT周期性特点是以为周期的周期函数，这反映了离散时间信号频谱的固有周DTFT2π期性特征分辨率限制实际应用中只能计算有限个频率点的值，频率分辨率受到信号DTFT长度和计算资源的限制信号的频谱分析频谱分析仪声音频谱图像频谱硬件设备，实时显示信号语音信号包含基频和谐波二维频谱反映图像纹理和频率成分成分边缘信息通信频谱调制信号的频谱分析用于信号识别频谱分析是信号处理的重要手段，通过观察信号在频域的特性来理解信号的本质语音信号的频谱包含基频（声调）和共振峰（音色），音乐信号包含丰富的谐波结构图像的二维频谱分析可以提取纹理特征，低频成分对应图像的整体亮度变化，高频成分对应边缘和细节信息现代频谱分析仪如罗德施瓦茨、安捷伦产品可达到毫赫兹级别的分辨率数字滤波器的原理IIR1递归结构输出不仅依赖当前和过去输入，还依赖过去的输出值2无限长响应理论上冲激响应持续无限长时间，实际会衰减3高效实现相同性能下所需阶数比滤波器低FIR4稳定性问题极点必须在单位圆内才能保证系统稳定滤波器的最大优势是用较低的阶数实现急剧的频率响应常用的设计方法包括脉冲IIR响应不变法、双线性变换法等，这些方法将经典模拟滤波器（如巴特沃斯、切比雪夫、椭圆滤波器）转换为数字形式由于存在反馈环路，滤波器可能出现极限环振荡等IIR非线性现象，需要仔细考虑量化效应典型结构案例IIR直接型结构直接型结构I II严格按照差分方程实现，包含前向和反馈两个部分，结构清晰但通过重新排列运算顺序，减少了所需的延迟单元数量，是最节省需要较多存储单元存储空间的结构形式差分方程零极点分布零点在∠处产生陷波，极点在单位圆内产生y[n]=Σb[k]x[n-k]-Σa[k]y[n-k]z=rθ峰值响应级联型结构将高阶滤波器分解为多个二阶节的级联，每个二阶节可独立设计和调试这种结构降低了系数量化敏感性，提高了数值IIR稳定性并联型结构则将系统函数进行部分分式展开，各支路可并行计算，适合高速实时处理应用数字滤波器原理FIR线性相位有限长响应相位响应为频率的线性函数，无相位失冲激响应在有限时间内衰减为零真对称系数本质稳定线性相位要求系数具有对称或反对称性无反馈结构，系统天然稳定滤波器的最大优势是线性相位特性，确保不同频率成分经过滤波器后的相对时间关系保持不变，这对音频处理、生物医学信号处理FIR等应用至关重要滤波器本质稳定，不会产生极限环振荡但实现相同的频率选择性需要比滤波器更高的阶数，计算复杂度相FIR IIR对较高滤波器设计方法FIR窗函数法对理想滤波器冲激响应加窗截断•矩形窗简单但有吉布斯现象•汉宁窗良好的频率特性•凯泽窗可调参数，灵活性高频率采样法在频域指定期望响应，通过得到时域系数IDFT适用于具有特殊频率响应要求的滤波器设计最优化设计算法，切比雪夫等纹波最优逼近Parks-McClellan在通带和阻带获得等纹波误差，实现最优性能信号处理工具箱提供了完整的滤波器设计功能图形界面可视化设计滤波MATLAB FIRfdatool器，函数实现窗函数法设计，函数实现最优等纹波设计设计时需要权衡滤波器阶fir1firpm数、过渡带宽度、纹波大小等参数，根据具体应用需求选择合适的设计方法滤波器典型应用举例工频噪声消除音频均衡处理生物医学信号电力系统的或干扰是电子设备音响系统中的图形均衡器使用多个带通滤心电图信号需要去除基线漂移（高通50Hz60Hz ECG常见问题使用陷波滤波器可以精确去除波器分别调节不同频段的增益典型的滤波）和高频噪声（低通滤波

100.5Hz工频噪声，同时保持有用信号不受影响段均衡器覆盖到频段，每段），同时保持心电波形的完整性31Hz16kHz100Hz设计时需要考虑电网频率的微小波动提供±的增益调节范围滤波器的线性相位特性对波形保持至关重12dB要数字滤波器性能指标±

0.1dB-40dB通带纹波阻带衰减通带内允许的最大增益变化阻带内要求的最小衰减量100Hz64过渡带宽滤波器阶数通带边缘到阻带边缘的频率间隔实现指定性能所需的系统阶数数字滤波器的性能指标直接影响滤波效果和实现复杂度通带纹波决定了信号的保真度，音频应用通常要求小于阻带衰减影响干扰抑制能力，通信系统可能需要以

0.1dB60dB上的衰减过渡带越窄，所需滤波器阶数越高设计时需要在性能指标和实现复杂度之间寻找平衡点滤波器的实现与优化定点实现浮点实现使用整数运算，节省硬件资源和精度高，动态范围大，编程简功耗需要仔细设计数值格式，单适用于高性能处理器和DSP避免溢出和量化噪声嵌入式系通用处理器但功耗较高，硬件统和实现常用定点算法成本相对较大FPGA并行处理多核和可实现滤波器的并行计算，大幅提高处理速度适用于DSP GPU实时音视频处理、雷达信号处理等高吞吐量应用自适应滤波器简介参考输入包含噪声和有用信号的混合输入自适应滤波滤波器系数根据误差信号自动调节误差计算期望信号与滤波器输出的差值系数更新算法LMS wn+1=wn+μenxn自适应滤波器能够根据输入信号特性自动调整参数，适用于信号统计特性未知或时变的场景算法是最常用的自适应算法，具有计算简单、收LMS敛稳定的优点典型应用包括回声消除、噪声抑制、信道均衡等现代助听器、降噪耳机大量使用自适应滤波技术信号压缩与编码差分编码DPCM编码相邻样本间的差值而非绝对值，利用信号的相关性减少冗余自适应差分ADPCM量化器和预测器参数自适应调整，进一步提高压缩效率音频压缩MP3基于人耳听觉掩蔽效应的感知编码，压缩比达而听觉质量损失很小10:1图像压缩JPEG变换量化熵编码的组合，典型压缩比，广泛应用于数字摄影DCT++20:1现代多媒体通信依赖高效的信号压缩技术利用心理声学模型，去除人耳无法感知的MP3音频成分压缩通过将图像从空域转换到频域，对不同频率成分采用不同的量JPEG DCT化精度新兴的深度学习压缩方法如神经网络图像压缩正在挑战传统算法的性能极限在通信系统应用DSP数字调制、、调制的实现PSK QAMOFDM DSP信道编码卷积码、码、码纠错Turbo LDPC均衡处理自适应均衡器克服码间干扰同步恢复载波同步、时钟同步、帧同步现代通信系统几乎完全依赖技术实现基站使用高性能处理器实现复杂DSP4G/5G DSP的调制解调软件无线电（）平台如允许用软件定义射频处理MIMO-OFDM SDRUSRP功能，极大提高了系统的灵活性技术使得通信系统能够实现接近香农极限的频谱效DSP率。