《第讲关系代数》课件

第讲关系代数X关系代数是关系数据库理论的核心基础，它为数据库查询操作提供了严格的数学基础在现代数据库管理系统中，关系代数的运算规则直接影响着查SQL询语句的设计与优化本课程将系统介绍关系代数的基本概念、运算类型以及实际应用，帮助学生建立完整的数据库查询理论体系关系模型基础关系基本概念关系模式与实例关系是一个二维表格，由行和关系模式是关系的结构描述，列组成每一行称为元组定义了关系的名称、属性集合（），表示一个实体的及其约束条件关系实例则是tuple数据记录；每一列称为属性某个时刻关系中实际存储的数（），表示实体的据同一个关系模式可以有多attribute某个特征关系中的每个属性个不同的关系实例，实例会随都有特定的数据类型和取值范着数据的增删改而动态变化围，称为域（）domain典型数据库示例关系代数定义运算对象运算类别关系代数是一种过程化的查询语言，它以关系为运算对象，通过关系代数运算分为两大类集合运算和纯关系运算集合运算包一系列关系运算符来操作和处理关系数据运算的输入是一个或括并、交、差、笛卡尔积等，这些运算直接来源于数学集合论，多个关系，输出结果仍然是一个关系，这种特性称为运算的封闭用于处理关系之间的集合操作性纯关系运算是专门针对关系数据库设计的运算，包括选择、投关系代数为数据库查询提供了理论基础，每个运算符都有明确的影、连接、除法和更名等这些运算充分利用了关系的结构特语义定义和数学表示方法通过组合不同的运算符，可以构造出点，能够实现精确的数据筛选和组合操作复杂的查询表达式来满足各种数据检索需求关系代数的两类运算集合运算并运算（∪）合并两个关系的所有元组，自动去除重复记录交运算（）找出两个关系共同拥有的元组差运算（）从第一个关系∩−中去除在第二个关系中出现的元组笛卡尔积（×）将两个关系的所有元组进行交叉组合纯关系运算投影运算（）选择关系中的指定属性列，相当于垂直切分表格选Π择运算（）根据指定条件筛选符合要求的元组，相当于水平切分表σ格连接运算（⋈）根据共同属性将两个关系组合成一个新关系高级运算除法运算（÷）用于查询满足对于所有条件的记录，常用于复杂的关系查询更名运算（）为关系或属性重新命名，解决属性名冲突ρ问题这些运算为构建复杂查询表达式提供了强大的工具运算闭包性多级嵌套组合意义由于封闭性的存在，可以构建任意封闭性使得关系代数具有很强的表复杂的查询表达式例如条件达能力，任何复杂的查询都可以通σ属性⋈，这样的表达式过基本运算的组合来实现这为数ΠR S运算封闭性理论完备性可以无限嵌套下去，为复杂查询提据库查询优化器提供了重要的理论关系代数运算具有封闭性，即运算供了理论支持基础关系代数的封闭性保证了其理论完的结果仍然是一个关系这意味着备性，使得它可以作为其他查询语可以将一个运算的结果作为另一个言（如）的理论基础和语义标SQL运算的输入，从而实现运算的组合准现代数据库系统的查询优化都和嵌套基于关系代数的变换规则集合运算并（∪）运算定义适用条件并运算将两个关系的所有元组合参与并运算的两个关系必须是并并为一个新关系，记作∪结相容的，即它们的属性数目相R S果关系包含中的所有元组和中同，对应属性的域也相同只有R S的所有元组，但重复的元组只保满足这个条件的关系才能进行并留一份这体现了关系模型中元运算，否则运算在语义上没有意组的唯一性原则义运算结果并运算的结果关系∪的属性结构与和相同，元组数量不超过R S R S当和没有公共元组时，∪；当和完全相同|R|+|S|R S|R S|=|R|+|S|R S时，∪|R S|=|R|=|S|集合运算交（）∩运算规则交运算找出两个关系中共同拥有的元组，记作结果关系R∩S只包含既属于又属于的元组这种运算常用于查找同时满足R S多个条件的记录兼容性要求与并运算相同，参与交运算的关系也必须满足并相容条件两个关系的属性数目和对应域必须完全一致，这样的交运算才有实际意义与并的关系交运算与并运算存在对偶关系根据德摩根定律，R∩S=R-这种关系在查询优化中具有重要意义，R-S=S-S-R可以选择计算代价更小的等价表达式集合运算差（）−运算语法差运算从第一个关系中删除在第二个关系中出现的元组，记作结R−S果关系包含属于但不属于的所有元组差运算不满足交换律，即R SR−S≠S−R实际举例学生关系包含所有学生信息，选课关系包含已选课学生信息R S的结果就是尚未选课的学生信息这种查询在学生管理系统中非R−S常常见集合理论差异关系代数中的差运算与纯数学集合论中的差运算基本一致，但需要考虑关系的结构特点参与运算的关系必须并相容，且结果关系保持原有的属性结构和约束条件集合运算笛卡尔积（×）组合原理属性合并实际意义表格举例笛卡尔积运算将两个关系结果关系的属性是和笛卡尔积通常产生大量冗学生表（行）×课程表R S2和的每个元组进行交所有属性的并集如果余数据，很少单独使用（行）选课可能性表R SR3=叉组合，生成所有可能的有个属性，有个属它主要作为连接运算的基（行）每行表示一个p Sq6元组对如果有个元性，则×有个属础，通过后续的选择运算学生与一门课程的组合，R mR Sp+q组，有个元组，则性当和有同名属性来筛选有意义的元组组但并非所有组合都有实际S nR S×包含×个元组时，需要通过前缀区分合意义，需要进一步筛选R Sm n投影运算（）Π属性筛选从关系中选择指定的属性列垂直切分相当于对表格进行垂直方向的切分操作关系基础保持原关系的行结构，只改变列结构投影运算记作，其中是要保留的属性列表运算结果是一个新关系，只包含指定的属性列，同时自动去ΠA1,A2,...,AkR A1,A2,...,Ak除重复的元组例如，从学生关系中投影出姓名和专业两列姓名专业学生Π,投影运算在数据库查询中应用广泛，它可以有效减少查询结果的数据量，提高查询效率当用户只关心部分属性信息时，投影运算能够精确提取所需数据，避免传输和处理不必要的信息选择运算（）σ条件筛选根据指定条件筛选符合要求的元组水平切分对表格进行水平方向的切分操作逻辑表达使用逻辑表达式定义筛选条件选择运算记作，其中是选择条件，可以是简单的比较表达式，也可以是用逻辑连接符连接的复合条件常用的比较操作符包括、σFR F=、、、、等，逻辑连接符包括、、等≠≤≥AND OR NOT典型的选择语句如年龄学生，表示选择年龄大于岁的所有学生记录复合条件如专业计算机年龄学生，可以实σ2020σ=AND25现多条件的精确筛选选择运算是数据库查询中最基础也是最常用的操作之一连接运算（⋈）关系组合连接条件将两个或多个关系根据共同属性组合成通过指定的连接条件确定哪些元组可以新关系，实现跨表数据整合组合在一起信息扩展数据融合通过连接获得比单个关系更丰富的信息消除冗余属性，形成统一的数据视图内容连接运算是关系代数中最重要的运算之一，它解决了关系数据库中数据分散存储的问题通过连接，可以将存储在不同表中的相关数据组合起来，形成完整的信息视图自然连接12属性匹配等值连接自动识别两个关系中的同名属性作为连接条件对所有同名属性都要求取值相等3冗余消除结果中自动去除重复的连接属性列自然连接记作⋈，它是最常用的连接类型运算过程首先执行笛卡尔积×，然后选择所有R SR S同名属性取值相等的元组，最后投影去除重复的属性列例如，学生⋈选课，会自动以学号作为连接条件与普通连接相比，自然连接的优势在于简化了连接条件的指定，系统自动处理属性匹配但这也要求参与连接的关系具有良好的设计，同名属性必须表示相同的语义概念，否则可能产生错误的连接结果等值连接与连接θ等值连接连接条件为相等比较的连接运算，记作⋈，明确指定连接属性R A=B S连接θ连接条件为任意比较操作符的连接，如⋈θR A灵活性对比连接提供更大的灵活性，可以处理复杂的连接条件和跨域比较θ等值连接是连接的特殊情况，当为等号时即为等值连接连接的一般形式为θθθ⋈，其中是的属性，是的属性，可以是任意比较操作符这种连接方R AθB SA RB Sθ式可以处理更复杂的关联关系与自然连接的主要区别在于连接需要明确指定连接条件和参与连接的属性，不会自θ动消除重复属性列这使得连接在处理复杂查询时更加精确可控，但也增加了表达式θ的复杂度除法运算（÷）多对多查询典型应用场景运算机制除法运算专门用于处理对于所有类型的最经典的应用是查询选修了所有必修课程除法运算÷的结果包含中那些与中R SR S查询问题当需要查找与某个集合中所有的学生设学生选课关系为学号课程所有元组都能匹配的元组投影运算过程SC,元素都有关系的实体时，除法运算提供了号，必修课程关系为课程号，则相对复杂，需要检查中每个可能的结果CR简洁的表达方式÷得到选修了所有必修课程的学生学元组是否与中所有元组都存在对应关系SC CS号更名运算（）ρ基本运算组合与表达查询构建策略运算串联方法复杂查询的构建遵循分解原基本运算可以通过嵌套、并列则，将复杂需求分解为多个基等方式进行串联嵌套方式如本运算的组合首先明确查询条件属性条件σ1Πσ目标，然后选择合适的运算序⋈，并列方式如2R S列，最后验证表达式的正确性⋈∪⋈选择合适R ST U和效率的串联方式直接影响查询效率表达式优化利用关系代数的等价变换规律可以优化查询表达式例如，将选择运算尽早执行可以减少中间结果的大小，投影运算的提前执行可以减少属性数量，从而提高整体查询性能运算的并相容性定义条件类型要求说明属性数目两个关系的属性数目必须n=m相等属性域对应位置属性的域必须相domAi=domBi同属性语义语义一致对应属性应表示相同的现实概念数据类型类型匹配对应属性的数据类型必须兼容并相容性是集合运算（并、交、差）的前提条件两个关系和RA1,A2,...,An是并相容的，当且仅当且对于所有（），都有SB1,B2,...,Bm n=m i1≤i≤ndomAi=domBi这个约束确保了集合运算的语义正确性如果两个关系的结构不同，它们的元组就无法进行有意义的比较和合并例如，学生关系（学号，姓名）和课程关系（课程号，课程名）就不是并相容的，无法直接进行并运算运算相容性实例考虑学生关系学号姓名年龄和教师关系工号姓名职称，这两个关系都有个属性，但它们不是并相容的虽然Student,,Teacher,,3属性数目相同，但第一个属性的域不同（学号工号），第三个属性的域也不同（年龄职称）vs vs要解决不兼容问题，可以通过投影运算选择相容的属性子集例如，姓名和姓名是并相容的，可以进行并运ΠStudentΠTeacher算得到所有人员的姓名列表这种方法在实际应用中经常用于数据整合和统计分析基本运算表达通用性运算完备性相互表达五个基本运算（选择、投影、并、差、其他运算如交、连接、除法都可以用基笛卡尔积）构成了关系代数的完备集合本运算组合表达理论基础组合灵活性为数据库查询语言和优化器提供坚实的基本运算可以任意组合，形成复杂的查数学基础询表达式关系代数的通用性体现在其表达能力的完备性上例如，交运算可以表达为，连接运算可以表达为⋈连接条R∩S=R-R-SR S=σ件×这种可表达性为查询优化提供了多种等价变换的可能性RS教材例题讲解并运算问题描述现有计算机班学生关系学号姓名专业和计算机班学生关系1CS1,,2学号姓名专业，要求生成两班学生的总名单这是并运算的典型CS2,,应用场景运算表达式总名单∪由于两个关系具有相同的属性结构，满足=CS1CS2并相容条件，可以直接进行并运算结果关系包含两班所有学生的信息，重复的学生记录会被自动去除结果分析如果有名学生，有名学生，但有名学生在两班CS130CS2282都有记录（如转班学生），则最终结果包含名学生的记录并56运算的去重特性确保了每个学生只出现一次教材例题讲解差运算查询目标查询尚未选修数据库原理课程的学生信息这类查询需要从全体学生中排除已选课的学生，是差运算的经典应用表达式构建设学生关系为学号姓名专业，选课关系为学号课程号成Student,,SC,,绩首先需要找出选修数据库原理的学生学号课程号Πσ=DB001SC差运算执行然后执行差运算学号学号课程号ΠStudent-Πσ=DB001SC注意这里需要投影保证并相容性，因为和的属性结构不同Student SC完整结果最后通过连接获得完整信息⋈学号学号StudentΠStudent-Πσ课程号这样就得到了所有未选课学生的详细信息=DB001SC教材例题讲解交运算问题设定查询既选修了高等数学又选修了线性代数的学生学号这种既又的查询模式是交运算的典型应用场景......分别筛选首先分别找出选修两门课程的学生学号课程号S1=Πσ，学号课程号=MATH001SC S2=Πσ这两个结果都是学号的集合=MATH002SC求交集执行交运算结果是同时选修两门数学课程的学生S1∩S2学号集合交运算确保只有在两个集合中都出现的学号才会包含在最终结果中教材例题讲解笛卡尔积业务场景笛卡尔积运算产品关系产品号产品×生成Product,Product Supplier15名价格有种产品，供应商关行记录（×），每行包含一,553系供应商号供应商名个产品与一个供应商的组合结Supplier,,地址有个供应商要生成所有果关系有个属性产品号、产36可能的供应关系组合品名、价格、供应商号、供应商名、地址结果特点笛卡尔积产生了所有理论上可能的产品供应商组合，但实际业务中并非-所有组合都有意义通常需要后续的选择运算来筛选出真实的供应关系投影选择联合练习/精确查询投影和选择的组合实现精确的数据提取条件筛选先用选择运算筛选符合条件的记录属性选择再用投影运算选择需要的属性列数据基础基于完整的关系数据进行操作综合案例查询年龄在岁之间的计算机专业学生的姓名和学号表达式为姓名学号专业计算机年龄年龄20-25Π,σ=AND=20AND=25Student这种查询模式在实际应用中非常常见，体现了关系代数运算的组合威力通过选择运算实现行级过滤，通过投影运算实现列级筛选，两者结合可以实现任意精度的数据提取运算顺序的选择会影响执行效率，通常建议先执行选择运算以减少中间结果的大小连接运算综合应用学生基础信息学号姓名专业年龄提供学生的基本信息Student,,,选课关系桥梁学号课程号成绩建立学生与课程的多对多关系SC,,课程详细信息课程号课程名学分教师提供课程的完整描述Course,,,三表连接的典型查询查询所有学生的选课详细信息，包括学生姓名、课程名称和成绩表达式为姓名课程名成绩⋈⋈Π,,Student SCCourse这种多表连接是数据库查询中的核心操作，它将分散在不同表中的相关数据整合成完整的信息视图连接的顺序和方式会显著影响查询性能，数据库优化器会根据数据分布和索引情况选择最优的执行计划在实际设计中，合理的外键约束能够保证连接操作的数据完整性自然连接实际操作属性识别元组匹配系统自动识别和关系中的共同属找出和中学号相等的所有元组对Student SCStudent SC性学号作为连接条件进行组合属性合并结果输出将匹配的元组合并，去除重复的学号列，形得到包含学生信息和选课信息的整合关系成新的关系自然连接⋈的操作流程清晰明确首先识别共同属性学号，然后执行等值连接学号学号，最后在结果中只保留一个Student SCStudent.=SC.学号列这种操作的优势在于简化了连接条件的表达，系统自动处理属性匹配和冗余消除但要求数据库设计遵循良好的命名规范，确保同名属性确实表示相同的概念，否则可能产生意外的连接结果连接灵活扩展θ大于连接范围连接不等连接⋈年龄平均年龄⋈学分⋈部门学生部门StudentCourse=3AND Teacher≠，查询年龄高于学分，，查询跨部门的师Statistics=5Requirement Student平均水平的学生信息这种查询学分在指定范围内的课生关系这种连接在分析数连接可以实现动态的比较查程连接支持复合条件，据关联性时特别有用，可以θ询，根据统计数据进行筛提供更精确的数据筛选能发现非直接的关系模式选力时间连接⋈订单日期发货日Order期，查询发货Shipment延迟的订单连接在处理θ时间序列数据时表现出强大的灵活性除法运算经典例题一数据准备选课关系学号课程号记录所有学生的选课情况，必修课程关系SC,课程号列出所有必修课程问题要求找出选修了所有必修课程Required的学生除法运算表达式为学号课程号÷课程号除法运算会检查Π,SCΠRequired中每个学号，判断该学号是否与中的所有课程号都有对应记SC Required录验证过程对于每个候选学号，系统验证是否存在中该学号与中每门课程SC Required的组合记录只有完全满足条件的学号才会出现在最终结果中结果解释运算结果是满足条件的学号集合这些学生已完成所有必修课程的学习，可以进行后续的学位评定或课程安排除法运算经典例题二35最少课程数指定课程组查询至少选修门课程的学生学号查询选修了指定门核心课程的学生35100%完成度要求必须选修课程组中的每一门课程设核心课程关系为课程号，包含门核心课程查询选修了所有核心课程的学生Core5SC÷操作步骤包括首先确定核心课程集合，然后在选课关系中查找与每门核心课程都Core有选修记录的学生除法运算的本质是全称量词查询，它回答对于所有都满足类型的问题在实际应用中，......这类查询经常出现在学位要求检查、资格认证、完整性验证等场景中运算的复杂度较高，需要进行大量的存在性检查更名运算实际需求重名问题当两个关系具有相同属性名但语义不同时，如年龄和Student.学时，直接连接会产生语义混淆更名运算可以消除这Course.种歧义自连接需求查询同一门课程的不同选课记录时，需要将关系与自身连SC接必须使用更名运算创建别名⋈，ρSC1SCρSC2SC避免属性名冲突数据整合来自不同系统的数据在整合时常常存在属性命名不一致的问题更名运算可以统一属性名称，为后续的数据处理创造条件综合案例一学生成绩库问题分析查询选修了所有课程的学生姓名和学号这是一个典型的除法运算应用，需要结合投影、连接等多种运算来构建完整的查询表达式运算拆分首先获取所有课程课程号然后找出选AllCourses=ΠCourse修所有课程的学生学号课程号÷QualifiedStudents=Π,SCAllCourses信息整合最后连接学生信息获取完整结果学号姓名⋈Π,Student这样就得到了满足条件的学生的详细信QualifiedStudents息综合案例二多表联合查询关系代数表达与映射SQL关系代数表达式对应语句SQL姓名成绩成绩⋈⋈姓名成绩Π,σ=85Student SCCourse SELECTS.,SC.FROM StudentS,SC,Course C这是一个典型的关系代数表达式，使用了连接、选择和投影三种学号学号WHERE S.=SC.基本运算表达式从内到外逐层构建，体现了关系代数的组合特课程号课程号AND SC.=C.性成绩AND SC.=85语句使用声明式的表达方式，直接描述查询结果的要求，而SQL不指定具体的执行步骤常见错误与理解误区运算类型混用投影遗漏问题选择条件错误最常见的错误是将集合运算用于不在复杂查询中忘记进行必要的投影选择运算中的逻辑条件表达错误，相容的关系，如尝试对和操作，导致结果包含不需要的属如、、的使用不当，Student ANDORNOT进行并运算必须确保参与性特别是在连接操作后，如果不或者比较操作符的误用这类错误Course集合运算的关系满足并相容条件，进行投影，结果关系可能包含大量会导致查询结果不准确，需要仔细即属性数目相同且对应属性域一冗余信息，影响查询效率和结果的检查条件的逻辑正确性致可读性实验操作演示实验环境提供了直观的关系代数操作界面，学生可以输入标准的关系代数表达式，系统会自动解析并执行查询界面显示每一步运算的中间结果，帮助学生理解复杂查询的执行过程典型练习包括基本选择和投影操作、多表连接查询、集合运算应用、除法运算实践等系统提供丰富的示例数据集，涵盖学生管理、图书馆、销售等多个应用领域，让学生在实际场景中掌握关系代数的应用技巧校园选课系统经典应用余量统计先修课程检查统计各课程的剩余容量，为选课决策提供依据验证学生是否满足课程的先修课程要求课程安排查询毕业要求核查查询特定时间段的课程安排，避免时间检查学生已修课程是否满足毕业学分要冲突求3选课系统的多场景组合查询展现了关系代数的实用价值例如，查询某学生可选的所有课程需要排除时间冲突的课程、已满员的课程、缺少先修条件的课程等复合查询表达式这种复杂的业务逻辑通过关系代数的组合AvailableCourses=AllCourses-TimeConflictCourses-FullCourses-PrerequisiteFailedCourses运算得到了清晰的表达。