《若干初等函数类》课件

若干初等函数类本课程将为您详细梳理高中和大学阶段最常见的初等函数类型我们将从基本概念出发，深入探讨每类函数的定义、重要性质、图像特征以及实际应用初等函数的基本概念初等函数定义基本分类运算规则初等函数是由常数和基本初等函数经过初等函数主要包括常数函数、幂函数、有限次四则运算和有限次函数复合步骤指数函数、对数函数、三角函数和反三所构成的函数这些函数具有解析表达角函数这六类基本初等函数通过运算式，是数学分析的重要研究对象和复合可以产生更复杂的函数形式初等函数分类总览代数函数超越函数包括常数函数、幂函数、一次函主要包括指数函数、对数函数、数、二次函数、分式函数等这三角函数和反三角函数这些函类函数的表达式由多项式或多项数超越了代数运算的范畴，具有式的商构成，是最基础的函数类更加丰富的性质和应用型特殊函数常数函数基本定义图像特征常数函数的一般形式为常数函数的图像是一条平行于fx=，其中是常数这是最简轴的水平直线，直线与轴的c cx y单的函数类型，函数值不随自交点坐标为这条直线0,c变量的变化而改变延伸到整个坐标平面基本性质幂函数介绍基本形式幂函数的一般形式为，其中是实数根据的不同取值，fx=x^ααα幂函数呈现出不同的性质和图像特征指数分类可以是正整数、负整数、正分数、负分数或无理数不同类型的值αα决定了函数的定义域、值域和图像形状重要特点所有幂函数都经过点，这是幂函数的一个重要特征函数的其他1,1性质如单调性、奇偶性等都与指数密切相关α幂函数的基本性质值域确定定义域分析根据的正负性和函数的单调性确定值域范α当时，定义域通常为或α00,+∞R12围奇偶性判断单调性分析43当为奇数时函数为奇函数，为偶数时为αα在定义域内根据的符号判断函数的增减性α偶函数幂函数典型图像y=xα=1y=x³α=3过原点的直线，斜率为，奇函数，在上单调递增三次函数曲线，奇函数，在上单调递增图像经过原1R R这是最基本的幂函数，图像为度角的直线点，具有点对称性，变化率逐渐增大451234y=x²α=2y=√xα=1/2开口向上的抛物线，偶函数，在-∞,0递减，在0,+∞开口向右的半抛物线，定义域为[0,+∞，值域为递增顶点在原点，对称轴为y轴[0,+∞，在定义域内单调递增一次函数函数形式一次函数的标准形式为，其中称为斜率，称为轴y=kx+b k b y截距这是最简单的非常数函数斜率含义斜率表示直线的倾斜程度，时函数递增，时函数递k k0k0减，越大倾斜程度越大|k|截距意义轴截距表示直线与轴的交点纵坐标，轴截距为，表示y by x-b/k直线与轴的交点横坐标x一次函数图像与性质图像特征一次函数的图像是一条直线，直线在坐标平面内无限延伸斜率决定了直线的倾斜方向和程度，截距决定了直线的位置坐标轴交点与轴交点为，与轴交点为这两个交点完全确定了一y0,b x-b/k,0次函数的图像和性质单调性质当时函数在整个定义域上单调递增，当时函数在整个定k0R k0义域上单调递减函数既不是奇函数也不是偶函数R二次函数标准形式1，y=ax²+bx+c a≠0顶点坐标2-b/2a,4ac-b²/4a开口方向3向上，向下a0a0二次函数是二次多项式函数，其图像为抛物线参数控制开口方向和开口大小，参数和影响抛物线的位置顶点是抛物线的最高点a bc或最低点，也是函数的极值点二次函数图像与对称性抛物线形状1型或倒型曲线U U对称轴2x=-b/2a判别式影响3决定与轴交点个数Δ=b²-4ac x二次函数具有轴对称性，对称轴方程为判别式的值决定了抛物线与轴的交点情况时有两个不同交点，时有一x=-b/2aΔxΔ0Δ=0个交点，时无交点Δ0分式函数基本形式定义域限制1是最简单的分式函数，定义域为分母不能为零，需要排除使分母为零的y=1/x x2-∞,0∪0,+∞值奇偶性分析4渐近线性质3是奇函数，关于原点对称通常存在垂直渐近线和水平渐近线y=1/x分式函数图像与性质22分支数量渐近线的图像由两个分支组成轴和轴都是渐近线y=1/x x y4象限分布图像分布在第一和第三象限分式函数的图像是双曲线，由两个分支组成函数在和上y=1/x-∞,00,+∞都单调递减当趋向于时函数值趋向无穷，当趋向无穷时函数值趋向于x0x0指数函数定义标准形式定义域特征指数函数的一般形式为指数函数的定义域为全体实数y=，其中底数且指，这意味着对于任意实数a^x a0a≠1R数可以是任意实数，这使得，都有意义这是指数x x a^x指数函数具有广泛的应用价函数的重要特征之一值值域范围指数函数的值域为，函数值永远为正无论取什么值，都0,+∞x a^x不可能等于或负数0指数函数性质性质类型情况a10单调性在上单调递增在上单调递减R R过定点0,10,1渐近线轴（）轴（）x y=0x y=0奇偶性非奇非偶非奇非偶指数函数具有重要的性质所有指数函数都经过点，这是因为对任意底数都成立函数的单调性完全由底数的大小决定0,1a^0=1a a指数函数图像a1的情况0当0函数下降速度随x增大而减缓，逐渐趋于平缓当x→-∞时，y→+∞；当x→+∞时，y→0当底数时，指数函数在整个定义域上单调递增图像a1y=a^x从左下方逐渐上升，经过点，向右上方无限延伸0,1函数增长速度随增大而加快，呈现爆炸式增长特征当x x→-∞时，；当时，y→0x→+∞y→+∞对数函数定义基本定义对数函数的形式为，其中且，对数函y=log_a xa0a≠1x0数是指数函数的反函数反函数关系如果，那么对数函数与指数函数互为反函y=a^x x=log_a y数，它们的图像关于直线对称y=x定义域限制对数函数的定义域为，真数必须为正数这是对数函数0,+∞x与指数函数的重要区别对数函数性质单调性分析当时，对数函数在上单调递增；当a10,+∞0无界性特征对数函数的值域为，函数在定义域内无界当时函数-∞,+∞x→0^+值趋向负无穷，当时函数值趋向正无穷x→+∞过定点性质所有对数函数都经过点，这是因为对任意底数都成1,0log_a1=0a立这个性质在解题中经常用到对数函数图像a1时的图像0当0当底数时，对数函数图像从a1左下方开始，经过点向右上1,0方延伸图像在轴左侧无定y义，与轴不相交函数在整个y定义域上单调递增，增长速度逐渐减缓渐近线特征对数函数以轴（）为垂直渐近线当趋近于时，函数值趋向无穷y x=0x0大这个特征使得对数函数在描述某些物理现象时非常有用三角函数初步正弦函数余弦函数，描述角的正弦值变化，描述角的余弦值变化y=sin xy=cos x12周期性质43正切函数三角函数都具有周期性特征，描述角的正切值变化y=tan x三角函数是描述周期现象的重要工具，在物理学、工程学等领域有广泛应用它们与单位圆上的点坐标密切相关，体现了几何与代数的完美结合正弦函数定义与图像1函数定义正弦函数表示角的正弦值定义域为，值域为y=sin x x R[-函数具有周期性，最小正周期为1,1]2π2图像特征正弦函数的图像是光滑的波浪曲线，称为正弦曲线图像关于原点对称，经过点、、等关键点0,0π/2,1π,03重要性质正弦函数是奇函数，即函数在sin-x=-sin x[2kπ-π/2,上单调递增，在上单调递减2kπ+π/2][2kπ+π/2,2kπ+3π/2]余弦函数定义与图像基本定义余弦函数表示角的余弦值定义域为，值域为，最小正y=cos x x R[-1,1]周期为函数图像为余弦曲线2π与正弦关系余弦函数与正弦函数有密切关系这意味着余cos x=sinx+π/2弦曲线是正弦曲线向左平移个单位得到的π/2对称性质余弦函数是偶函数，即图像关于轴对称，经过cos-x=cos xy点、、等关键点0,1π/2,0π,-1正切函数定义及图像函数定义1y=tan x=sin x/cos x定义域限制2，∈x≠π/2+kπk Z周期与渐近线3周期，垂直渐近线πx=π/2+kπ正切函数的图像由无穷多条分离的曲线分支组成，每条分支都在相邻的两条垂直渐近线之间函数在每个连续区间内都单调递增，值域为-∞,+∞三角函数的周期与对称性反三角函数反正切函数1，值域y=arctan x-π/2,π/2反余弦函数2，定义域，值域y=arccos x[-1,1][0,π]反正弦函数3，定义域，值域y=arcsin x[-1,1][-π/2,π/2]反三角函数是三角函数在限定区间内的反函数由于三角函数具有周期性，必须限制其定义域才能得到单值的反函数这些函数在解三角方程和积分计算中具有重要应用反函数与函数的关系几何关系代数关系1函数与其反函数的图像关于直线对如果，则，即y=xy=fx x=f^-1y ff^-2称，这是反函数的重要几何特征且1x=x f^-1fx=x单调性保持定义域值域4严格单调函数才有反函数，且反函数保原函数的定义域等于反函数的值域，原3持相同的单调性函数的值域等于反函数的定义域绝对值函数函数定义奇偶性质绝对值函数的标准形式为绝对值函数是偶函数，满足y=根据绝对值的定义，当函数图像关于轴|x||−x|=|x|yx≥0时y=x，当x0时y=-x这对称，这个性质在解绝对值方是一个分段函数的典型例子程和不等式时经常用到分段表达可以写成分段函数形式（当时）和（当时）在y=x x≥0y=-x x0处函数连续但不可导x=0绝对值函数图像图像形状绝对值函数的图像呈现型，顶点在原点左半部分是V0,0斜率为的直线，右半部分是斜率为的直线-11对称特征图像关于轴完全对称，体现了函数的偶函数性质轴两侧的y y图像形状完全相同，只是方向相反关键性质函数在上单调递减，在上单调递增最小值为，-∞,00,+∞0值域为在处连续但不可导[0,+∞x=0分段函数介绍基本概念经典例子实际应用分段函数是在定义域的除了绝对值函数，符号分段函数广泛应用于描不同子集上由不同表达函数也是重要的述税率计算、邮费标sgnx式定义的函数它能够分段函数当时值准、电费阶梯定价等实x0描述在不同条件下具有为，时值为，际问题，能够准确反映1x=00x0不同规律的复杂现象时值为分段计费的特点-1分段函数的图像绘制1区间划分首先确定各个分段的区间边界，明确每个区间内的函数表达式注意边界点的函数值归属问题2分段绘制在每个区间内按照相应的表达式绘制图像，注意区间的开闭性开区间端点用空心圆表示，闭区间端点用实心点表示3连续性分析检查分段点处的连续性如果左极限、右极限和函数值都相等，则函数在该点连续；否则存在间断点符号函数与阶梯函数符号函数阶梯函数符号函数的定义为当时，当时取整函数表示不超过的最大整数，也称为阶梯函数图像呈sgnx x0sgnx=1x=0[x]x，当时图像由三个水平线段组成阶梯状，每个单位区间内函数值为常数sgnx=0x0sgnx=-1符号函数在处不连续，但在其他点都连续它常用于表示量阶梯函数在每个整数点处不连续，具有跳跃间断点这种函数在x=0的正负性，在控制理论中有重要应用数论和离散数学中经常出现初等函数的运算加减函数加法函数减法两个函数和的和为两个函数的差为fx gx f-gx=fx-新函数的减法不满足交换律，即f+gx=fx+gx gx f-g定义域是原函数定义域的交集≠g-f函数减法的几何意义是对函数加法满足交换律和结合律应点纵坐标的差性质变化函数加减运算后，原函数的某些性质可能改变例如，两个奇函数相加仍为奇函数，两个偶函数相加仍为偶函数，但奇函数与偶函数相加一般既不是奇函数也不是偶函数初等函数的运算乘除典型误区函数除法常见错误包括忽略定义域的变化，特别是函数乘法函数除法定义为f/gx=fx/gx，前提除法运算中分母为零的情况还要注意奇两个函数的乘积为f·gx=fx·gx乘是gx≠0新函数的定义域需要排除使分偶性的判断奇函数与奇函数相乘得偶函法运算满足交换律、结合律和分配律函母为零的点，这是函数除法的重要限制数，偶函数与偶函数相乘得偶函数数乘法的定义域是原函数定义域的交集初等函数的复合复合定义1复合函数∘f gx=fgx定义域确定2需要满足在的定义域内gxf运算顺序3先计算内层函数，再计算外层函数gxf复合函数是函数运算中最重要的概念之一复合运算不满足交换律，即∘∘复合函数的定义域是使得有意义且在的f g≠g fgx gxf定义域内的所有值的集合x复合函数图像特征映射思想图像变换复合函数体现了映射的映射思想，先1x复合函数的图像可以通过对基本函数进通过映射到，再通过映射到g gxf2行平移、伸缩、翻折等变换得到fgx实例分析性质传递4如fx=sin2x+π/3可以看作y=sinu和3复合函数的性质与组成函数的性质密切u=2x+π/3的复合相关，但不是简单的叠加关系初等函数的奇偶性汇总函数类型奇函数偶函数既不是奇函数也不是偶函数幂函数y=x,y=x³,y=x²,y=x⁴,y=x^1/2y=x^-1y=|x|三角函数y=sin x,y=tan y=cos xy=sinx+a,xa≠0指数对数无无y=aˣ,y=log_ax奇偶性是函数的重要性质奇函数满足，图像关于原点对称；偶函f-x=-fx数满足，图像关于轴对称判断奇偶性时要注意定义域必须关于原f-x=fx y点对称初等函数的单调性汇总初等函数的有界性和周期性有界函数三角函数、在整个定义域上有界，值域为绝对值函数sin xcos x[-1,1]在定义域上无上界但有下界y=|x|0无界函数指数函数、对数函数、幂函数（）、正切函数都是无界函数这些α0函数的值可以任意大或任意小周期函数正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π常数函数也可以看作周期函数，任意正数都是它的周期非周期函数指数函数、对数函数、幂函数、一次函数、二次函数都不具有周期性，它们的函数值不会重复出现初等函数的连续性与间断点1连续函数多项式函数、指数函数、对数函数（在其定义域内）、三角函数都是连续函数这些函数的图像没有断点或跳跃2间断点类型分式函数在处有无穷间断点正切函数在处有无穷间断y=1/xx=0x=π/2+kπ点这些都是第二类间断点3分段函数间断分段函数在分段点处可能不连续绝对值函数在处连续，但符号函y=|x|x=0数在处有跳跃间断点sgnx x=04可去间断点某些函数通过重新定义函数值可以消除间断点，这种间断点称为可去间断点，属于第一类间断点实际应用经济学中的幂函数-

0.

520.3需求弹性生产函数资本指数典型的需求函数指数，表示需求对价格变化柯布道格拉斯生产函数中劳动力的典型指生产函数中资本要素的常见指数值-不敏感数在经济学中，幂函数广泛应用于需求分析和生产建模需求函数中，通常为负数，反映了需求与价格的反向关系生产函数Q=aP^ββY=描述了资本和劳动对产出的影响，其中和反映了各要素的边际产出弹性AK^αL^βK LYαβ应用遗传学中的指数函数1人口增长模型在理想条件下，生物种群按指数规律增长，其Nt=N₀e^rt中为增长率，为初始种群数量这个模型假设资源无限、环r N₀境稳定2基因频率变化在某些遗传条件下，有利基因的频率会按指数规律增长选择压力越大，指数增长越明显，这解释了进化过程中的快速适应现象3放射性衰变生物体内放射性同位素的衰变遵循指数衰减规律Nt=N₀e^-，常用于碳十四年代测定和医学示踪λt应用物理中三角函数简谐振动交流电波动现象弹簧振子的位移交流电的电压和电流都声波、光波等都可以用xt=，其中按正弦规律变化三角函数描述A·sinωt+φA ut=y=为振幅，ω为角频率，φU₀·sinωt，it=A·sinkx-ωt其中k为初相位这是物理学I₀·sinωt-φ三角函为波数，ω为角频率，中最基本的周期运动模数完美描述了电能的周体现了波的传播特性型期性传输初等函数的图像变换复合变换1y=afbx+c+d水平变换2水平伸缩与平移y=fbx+c垂直变换3垂直伸缩与平移y=afx+d基本变换4平移、伸缩、翻折是基础变换类型函数图像变换遵循一定规律表示向右平移个单位，向上平移个单位；中为纵向拉伸，y=fx-h+k hk y=afx a10常见函数模型分析线性模型非线性模型当数据点大致呈直线分布时，选择一次函数进行拟当数据呈现曲线特征时，需要选择合适的非线性函数二次函数y=kx+b合这是最简单也是最常用的模型，适用于变量间存在正比例或适合抛物线型数据，指数函数适合增长型数据，对数函数适合饱反比例关系的情况和型数据线性回归分析可以确定最佳的和值，使得拟合误差最小相关人口增长常用模型，这个模型结kblogistic Pt=K/1+ae^-rt系数接近时说明线性关系显著合了指数增长和饱和限制，更贴近实际情况r±1可导性与初等函数导数（总览）可导条件12连续性关系函数在某点可导的充要条件是左导数和右导可导必连续，但连续不一定可导数都存在且相等基本初等函数几何意义除个别点外，基本初等函数都可导43导数表示切线斜率，反映函数变化率导数是微积分的核心概念，描述了函数的瞬时变化率基本初等函数在其定义域内几乎处处可导，只有在某些特殊点（如绝对值函数在原点）不可导可导性为进一步研究函数性质提供了重要工具各类函数典型导数表函数类型原函数导数适用条件幂函数为实数x^n nx^n-1n指数函数定义域e^x e^x R对数函数ln x1/xx0三角函数定义域sin xcos xR三角函数定义域cos x-sin xR这些基本导数公式是微分学的基础结合求导法则（如乘积法则、商规则、链式法则），可以求出任意初等函数的导数掌握这些公式对于解决实际问题具有重要意义。