《高中数学课件》高考《函数》复习课件

高中数学高考函数复习-本课件是专门为高三学生准备的高考函数复习资料，系统涵盖函数的所有重要知识点课件包含张精心设计的内容，从函数的基本概念到高考真题解50析，全面覆盖教学大纲与高考要求2024-2025通过深入浅出的讲解和丰富的例题分析，帮助学生建立完整的函数知识体系，掌握各类函数题型的解题方法与技巧，为高考取得理想成绩奠定坚实基础目录1函数概念与基本性质包括函数定义、表示方法、定义域与值域、单调性、奇偶性和周期性等核心内容2基本初等函数及其性质涵盖幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图像与性质分析3函数的图像与性质分析深入学习函数图像变换、复合函数、反函数和分段函数的特点与应用4函数应用与高考真题讲解结合实际应用和历年高考真题，提升解题能力和应试技巧第一部分函数概念与基本性质函数的定义与表示方法理解函数的本质是两个变量之间的对应关系，掌握函数的四种表示方法解析法、图像法、列表法和描述法函数的定义域与值域学会确定函数的定义域范围，掌握各种限制条件下的定义域求解，理解值域的概念和求解方法函数的单调性与最值掌握函数单调性的判断和证明，学会利用单调性求解函数的最大值和最小值函数的奇偶性与周期性理解奇函数和偶函数的特点，掌握周期函数的判断方法，利用这些性质简化函数分析函数的定义函数的基本概念函数的表达形式函数是两个变量之间的特定对应关系，其中一个变量的每个值都函数可以通过多种方式表达解析式是最常见的形式，如；y=fx唯一对应另一个变量的一个值在函数关系中，我们把输入的变图像法通过坐标系中的曲线直观展示函数关系；表格法列出自变量称为自变量，输出的变量称为因变量量和因变量的对应值；箭头图则清晰地表示映射关系函数的本质是映射关系，要求定义域中的每一个元素在值域中都有唯一确定的对应元素这种一一对应或多对一的关系构成了函理解不同表达方式之间的转换对于深入掌握函数概念具有重要意数的基础义，每种方式都有其独特的优势和适用场景函数的表示方法解析法图像法列表法描述法用数学表达式来在直角坐标系中用曲线用表格形式列出自变量用文字语言描述变量之y=fx表示函数，这是最常用表示函数关系，直观地和因变量的对应值，适间的对应关系，虽然不和最精确的表示方法，反映函数的性质和变化用于离散型函数或数据够精确，但在某些复杂能够清晰地描述变量之趋势，便于理解函数的有限的情况，便于查找情况下能够清楚地表达间的定量关系整体特征具体数值函数的含义函数的定义域理解定义域概念定义域是使函数有意义的自变量的取值范围分为自然定义域（由函数解析式决定）和题设定义域（由题目条件限制）准确确定定义域是解决函数问题的基础步骤识别限制条件常见的限制条件包括分式函数中分母不能为零，根式函数中被开方数必须非负，对数函数中真数必须为正数，三角函数中某些角度的限制等综合分析求解对于复杂函数，需要综合考虑所有限制条件，通过不等式组的求解来确定最终的定义域掌握这一技能对于后续的函数分析至关重要定义域题型解析分式函数定义域对于形如的分式函数，定义域为使的所有值fx=Px/Qx Qx≠0x需要解不等式，求出分母不为零的条件Qx≠0根式函数定义域对于形如的根式函数，定义域为使的所有值偶次fx=√Px Px≥0x根式要求被开方数非负，奇次根式无限制复合函数定义域设为复合函数，需要同时满足在其定义域内，且的值fgx gx gx域包含在的定义域内逐层分析是关键fu含参数定义域当函数中包含参数时，需要根据参数的不同取值分类讨论，确保在每种情况下函数都有意义分类讨论思想很重要函数的值域值域的基本概念单调函数值域值域是函数所有可能取到的因变量值的集合，对于在定义域上单调的函数，可以直接通过与定义域密切相关理解值域概念是分析函端点值或极限值确定值域范围，方法相对简数性质的重要基础单直接非单调函数值域值域与定义域关系对于非单调函数，需要找到函数的极值点，函数的值域由其定义域和对应法则共同决定，综合分析函数的最大值和最小值来确定值域改变定义域会直接影响值域的范围范围值域求解技巧构造法将变形为的形式，通过分析的定义域来确定的取值范y=fx x=gy x y围这种方法适用于可以解出的函数类型x配方法主要针对二次函数及类似形式，通过配方将函数化为顶点式，利用二次函数的图像特点确定值域范围导数法利用导数找到函数的极值点和单调区间，通过分析函数的极大值和极小值来确定函数的值域范围数形结合法通过绘制函数图象，直观地观察函数值的变化范围这种方法直观易懂，特别适用于复杂函数的值域判断函数的单调性单调性的定义常见函数的单调性单调递增对于定义域内任意₁线性函数当时单调递增，时单调递减；二次函x y=kx+b k0k0数在对称轴两侧单调性相反；指数函数当时递增，y=aˣa10函数可能在整个定义域上单调，也可能在某些区间内单调识别单调区间对于分析函数性质和解决实际问题都具有重要意义掌握基本函数的单调性规律，有助于快速判断复合函数和复杂函数的单调性，提高解题效率单调性证明方法定义法最基础的证明方法1导数法利用导数符号判断差值法构造差值分析符号换元法通过换元简化证明过程定义法是证明单调性的根本方法，通过比较₁与₂的大小关系来证明导数法更加简便，当时函数递增，时函数递减fxfxfx0fx0差值法通过构造₂₁来判断符号，换元法则可以将复杂函数转化为简单形式进行分析fx-fx函数的最值理解最值概念最大值是函数在定义域内的最大函数值，最小值是最小函数值寻找最值点通过导数法找极值点，结合端点值确定最值位置比较确定最值比较所有候选点的函数值，确定全局最大值和最小值函数最值问题是高考的重点内容对于闭区间上的连续函数，最值一定存在，可能在极值点处取得，也可能在端点处取得利用导数寻找极值点，再结合区间端点进行比较，是求解最值问题的标准方法在实际应用中，最值问题往往与优化问题相关联函数的奇偶性奇偶性定义判断方法奇函数满足，图像关于原点f-x=-fx首先检查定义域是否关于原点对称，然对称；偶函数满足，图像关f-x=fx后计算与或的关系f-x fx-fx于轴对称y图像特征复合函数奇偶性奇函数图像关于原点中心对称，偶函数奇函数与奇函数的复合仍为奇函数，偶图像关于轴轴对称，这是重要的几何y函数与任意函数的复合为偶函数特征函数的周期性2ππ正弦余弦周期正切函数周期三角函数和的基本周期函数的基本周期长度sin xcos xtan xT一般周期函数满足的最小正数fx+T=fx T周期函数是指存在非零常数，使得对定义域内任意都有成立的函数T xfx+T=fx最小的正周期称为基本周期周期性可以帮助我们简化函数分析，只需研究一个周期内的性质，就能了解整个函数的特征在解决三角函数问题时，周期性是非常重要的性质第二部分基本初等函数及其性质幂函数指数函数对数函数三角函数形如的形如的形如包括正弦、余y=x^a y=a^x函数，不同指函数，具有快的弦、正切函数，y=log_ax数决定了函速增长或衰减函数，是指数具有周期性特a数的不同性质的特点，在实函数的反函数，征，在物理和和图像特征，际问题中应用在数据处理和工程中应用广是函数学习的广泛科学计算中重泛基础内容要幂函数幂函数定义图像特征分析幂函数的一般形式为，当时，函数图像经过点y=x^a a0其中为常数指数的不同，在第一象限内；当a a1,1取值决定了函数的性质差异，时，函数图像在时递a0x0包括定义域、值域、单调性和减；当为分数时，需要特别a图像形状注意定义域的限制性质总结幂函数的定义域和值域随指数而变化，单调性也因的正负而不同a a掌握不同情况下的性质规律是学习的关键幂函数图像与性质指数范围定义域值域单调性奇偶性递增非奇非偶a1[0,+∞[0,+∞递增非奇非偶0[0,+∞[0,+∞递减非奇非偶a00,+∞0,+∞常函数非奇非偶a=00,+∞{1}特殊的幂函数包括（）、（）、（）、y=x a=1y=x²a=2y=1/x a=-1y=√x（）等这些函数在数学中都有重要地位，其性质和图像特征需要熟a=1/2练掌握在实际应用中，幂函数常用于描述物理量之间的幂律关系指数函数基本定义且y=a^x a0a≠1定义域值域定义域，值域R0,+∞单调性递增，a10特殊点过点，渐近线0,1y=0指数函数是增长最快的基本函数之一，在人口增长、复利计算、放射性衰变等实际问题中有广泛应用当底数时，函数呈现指数增长特征；当a10指数函数图像与性质底数的情况底数当底数这类函数常用于描述放射性物质衰a100变、药物在体内的浓度变化、物体温度的冷却过程当底数时，指数函数在整个定义域上单调递增函a1y=a^x R等衰减速度与底数的大小相关，越小衰减越快a a数图像从左下方逐渐上升，通过点，在轴上方无限延伸0,1x随着的增大，函数值增长越来越快，呈现指数增长的特征x这类函数在描述人口增长、细菌繁殖、复利计算等现象时非常有用函数的增长速度随着底数的增大而加快，越大增长越迅a a速对数函数对数函数定义对数函数的一般形式为，其中且，对数函数是y=log_ax a0a≠1x0指数函数的反函数，它们的图像关于直线对称对数的意义是的y=x a多少次幂等于x基本性质分析对数函数的定义域为，值域为所有对数函数都经过点0,+∞R，因为对任意合法底数都成立函数图像位于轴1,0log_a1=0a y右侧，永不与轴相交y单调性规律当底数时，对数函数单调递增；当a10对数函数图像与性质三角函数正弦函数余弦函数，定义域，值域，周期，定义域，值域，周y=sin xR[-1,1]y=cos xR[-1,1]，奇函数期，偶函数2π2π正切函数单位圆定义，定义域，值域，y=tan x x≠kπ+π/2R利用单位圆上点的坐标定义三角函数值周期，奇函数π三角函数是以角度（或弧度）为自变量的周期函数，具有重要的几何意义和物理背景它们可以通过单位圆上点的坐标来定义，也可以通过直角三角形中边长比值来定义三角函数的周期性使得它们在描述振动、波动等周期现象时特别有用正弦函数与余弦函数定义域与值域1两函数的定义域都是实数集，表示可以取任意实数值值域都是闭区间R[-，这意味着函数值被限制在到之间1,1]-112周期性特征两函数都具有周期性，基本周期都是这意味着函数图像每隔个单位就2π2π重复一次，体现了角度的周期性特点奇偶性差异3正弦函数是奇函数，满足，图像关于原点对称；余弦函数是sin-x=-sinx偶函数，满足，图像关于轴对称cos-x=cosx y4图像特点正弦函数图像起始于原点，先增后减；余弦函数图像起始于点，先减后0,1增两者图像形状相同但相位不同正切函数定义域特征值域与周期正切函数的定义域为正切函数的值域是整个实数集，x≠kπ+π/2R（∈），即在处没有上下界限制基本周期为，k Zx=π/2+kππ函数无定义，这些点对应着函数比正弦和余弦函数的周期短一半的垂直渐近线单调性与渐近线在每个连续区间内，正切函数都单调递增在处有垂直渐近x=π/2+kπ线，函数值趋向于正负无穷大第三部分函数的图像与性质分析函数图像变换复合函数反函数包括平移变换、伸由两个或多个函数与原函数互为逆运缩变换、对称变换组合而成的函数，算的函数，图像关等基本变换类型，具有特殊的性质和于直线对称y=x以及它们的复合应分析方法用分段函数在不同区间内由不同解析式定义的函数，需要分段分析其性质函数图像变换对称变换关于轴对称，关于轴对称y=f-x yy=-fx x伸缩变换纵向伸缩，横向伸缩y=kfx y=fkx平移变换±横向平移，±纵向平移y=fx ay=fx b函数图像变换是理解函数性质变化的重要工具平移变换改变函数图像的位置但不改变形状；伸缩变换改变图像的大小比例；对称变换改变图像的方向掌握这些基本变换规律，可以帮助我们快速理解复杂函数的图像特征，并预测函数性质的变化在实际应用中，这些变换往往组合使用基本图像变换示例通过具体例子理解变换规律到经历了右移单位和上移单位的平移变换；到经历了纵向伸长倍y=x²y=x-2²+121y=2^x y=2·2^x2的伸缩变换；₂到₂经历了关于轴的对称变换这些变换可以组合应用，形成更复杂的函数图像理解变换规律有y=log x y=log-x y助于快速绘制函数图像和分析函数性质复合函数复合函数定义设，，则称为和的复合函数复合函数体现了函数的嵌套关系，外层函数以内层函数的输出作为输入y=fu u=gx y=fgx fg定义域确定复合函数的定义域需要同时满足在的定义域内，且在的定义域内这是确定复合函数定义域的基本原则xgxgx fu性质分析方法复合函数的性质需要综合考虑内外两层函数的性质单调性、奇偶性、周期性等都有特定的判断规律和分析方法复合函数性质分析外层函数内层函数复合函数单调复合函数奇偶性性递增递增递增需具体分析递增递减递减需具体分析递减递增递减需具体分析递减递减递增需具体分析复合函数的单调性遵循同增异减规律当内外层函数单调性相同时，复合函数递增；当内外层函数单调性相反时，复合函数递减奇偶性的判断更复杂，需要具体分析与或的关系周期性的传递也需要特别fg-x fgx-fgx注意内外层函数周期的关系反函数反函数定义存在条件如果函数在定义域上一一对应，函数必须在其定义域上单调（严格单y=fx则存在反函数⁻，使得和的对调），才能保证一一对应关系，从而确x=f¹y x y应关系完全相反保反函数的存在性质关系图像特征原函数的定义域是反函数的值域，原函原函数与其反函数的图像关于直线y=x数的值域是反函数的定义域，单调性保对称，这是反函数的重要几何特征持一致常见反函数对应关系指数与对数函数幂函数与根式函数指数函数（且）与对数函数互为反函幂函数（）在定义域上与根式函数y=a^x a0a≠1y=log_ax y=x^n n0[0,+∞y=x^1/n数它们的图像关于直线对称，定义域和值域互换这是最互为反函数例如，（）与互为反函数y=xy=x²x≥0y=√x重要的反函数对应关系之一三角函数在限定定义域后也有反函数在y=sinx[-π/2,π/2]特别地，自然指数函数与自然对数函数，常用指上的反函数是，在上的反函数是y=e^xy=lnx y=arcsinx y=cosx[0,π]数函数与常用对数函数都是典型的反函数对y=10^xy=lgx y=arccosx分段函数分段函数定义在定义域的不同区间内由不同解析式定义的函数分段点连续性检查函数在分段点处的左右极限是否相等图像绘制方法分别绘制各段图像，注意端点的开闭情况分段函数是实际问题中常见的函数类型，能够准确描述在不同条件下有不同规律的现象分析分段函数时，需要分别研究各段的性质，然后综合考虑整个函数的特征特别要注意分段点处的连续性和可导性，这些往往是考查的重点绘制分段函数图像时，要仔细标注各段的端点情况分段函数的应用绝对值函数实际问题建模是最简单的分段函数，电费计算、出租车收费、个人y=|x|可以写成当时，当所得税计算等都是分段函数的x≥0y=x时这个函数在原实际应用这些问题中往往存x0y=-x点处连续但不可导，是分段函在不同的收费标准或税率档次，数的典型例子需要用分段函数来准确描述最值问题分析分段函数的最值可能出现在各段的端点、极值点或分段点处需要分别计算各段的最值，然后进行比较确定全局最值第四部分函数应用与高考真题讲解25%函数题占比在高考数学中的大致比重3-4主要题型数量选择题、填空题、解答题分布22-25分值范围函数相关题目的总分值80%综合性比例与其他知识点结合的题目比例函数是高考数学的核心内容，不仅单独出题，更多地与其他知识点结合形成综合性题目函数模型在实际问题中的应用、函数与方程不等式的结合、导数在函数分析中的运用，都是高考的重点内容掌握函数的基本理论和解题方法，对于整个高考数学成绩具有决定性影响函数模型的应用线性函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型适用于匀速增长的现象，如适用于有最值的问题，如抛适用于指数增长或衰减，如适用于增长速度递减的现象，匀速运动、固定费率等问题物运动、利润最大化等人口增长、放射性衰变如学习效率、声音强度实际问题的函数建模分析问题背景深入理解实际问题的具体情况，识别其中的变量关系和约束条件经济类问题常涉及成本、收益、利润等概念；几何类问题涉及长度、面积、体积的变化；物理类问题涉及时间、速度、加速度等物理量建立函数模型根据问题中变量之间的关系，选择合适的函数类型建立数学模型需要确定自变量和因变量，建立它们之间的函数关系式，并确定定义域的实际意义求解数学问题利用函数的性质和数学方法求解模型可能需要求最值、解方程、分析单调性等运用导数、不等式等工具进行分析计算验证解的合理性将数学解答转化为实际问题的答案，检验结果是否符合实际情况和题目要求特别注意定义域的限制和实际意义的合理性函数与方程图像法解方程单调性应用通过观察函数图像与轴的交利用函数的单调性可以判断方x零点与方程根点来确定方程的根，直观有效程根的个数和分布情况导数法求解函数的零点就是方程利用导数分析函数的极值点和y=fx的根，也是函数图像与单调区间，进而确定方程解的fx=0轴的交点横坐标性质x函数与不等式图像法解不等式将不等式转化为函数图像的位置关系问题例如，等价于函数fxgx的图像在图像的上方通过观察两个函数图像的交点和相y=fx y=gx对位置，可以直观地确定不等式的解集单调性法解不等式当函数具有单调性时，可以利用单调性来解不等式如果在某区fx间上单调递增，且，则可以推出这种方法特别适用于fafb ab复杂函数的不等式求解导数法分析不等式利用导数分析函数的单调性和极值，进而解决不等式问题通过构造辅助函数，利用导数判断函数的性质，是解决高阶不等式的重要方法导数在函数中的应用导数的几何意义单调性的判断导数₀表示函数在点₀处的切线斜率这个几何意义将当时，函数在该点处单调递增；当时，函数在该点处fxy=fx xfx0fx0抽象的导数概念与具体的几何图形联系起来，为理解导数提供了直单调递减利用导数符号的变化可以确定函数的单调区间观的基础极值的求解最值问题解决当₀且在₀两侧导数符号改变时，₀为极值点通过二阶在闭区间上，函数的最值要么在极值点处取得，要么在端点处取得fx=0xx导数可以进一步判断是极大值还是极小值通过比较所有候选点的函数值来确定最值二次函数真题解析解析式确定根据条件求解二次函数表达式1图像性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标最值问题求解在给定区间内的最大值最小值方程不等式应用零点分布、不等式解集问题二次函数是高考中最重要的函数类型之一，题目形式多样，涉及面广解析式的确定通常给出顶点、对称轴或特殊点等条件；图像性质分析要掌握配方法和判别式法；最值问题需要考虑定义域的限制；与一元二次方程和不等式的结合是常考点掌握二次函数的基本性质和解题技巧对提高成绩至关重要。