《高等数学函数概念》课件

高等数学函数概念函数概念是高等数学的核心基础，贯穿微积分、线性代数等各个分支本课件将从函数的基本定义出发，系统介绍函数的各种表示方法、基本性质以及在数学分析中的重要地位通过本课程的学习，学生将掌握函数的本质内涵，理解定义域、值域、对应法则等关键概念，为后续的极限、连续、导数等内容奠定坚实基础函数不仅是数学理论的抽象工具，更是连接数学与现实世界的重要桥梁什么是函数数学分析的基础对象历史发展脉络函数是数学分析中最基本的研函数概念经历了从几何图形到究对象，描述两个数集之间的代数表达式，再到现代集合论特殊对应关系它将一个变量定义的演变过程莱布尼茨首的每个值唯一对应到另一个变次使用函数一词，欧拉确立量的值，为数学建模提供强大了现代函数符号体系工具现实应用背景函数广泛应用于物理学、工程学、经济学等各个领域，用于描述变量间的依赖关系从简单的线性关系到复杂的非线性模型，函数为科学研究提供数学语言函数的定义集合论角度的严格定义三个基本要素设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应法则，使对函数由三个要素完全确定定义域、值域和对应法则定义域是A B f于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和自变量的取值集合，值域是因变量的取值集合，对应法则规定了A xB fx它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数自变量与因变量之间的具体关系f A→B A B记作，∈其中叫做自变量，的取值范围叫做函数只有当这三个要素完全相同时，两个函数才被认为是同一个函数y=fx x A x x A的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合缺少任何一个要素，函数都不能被完整定义，这体现了函数定义x y∈叫做函数的值域的严格性和完整性要求{fx|xA}函数定义的举例二次函数y=x²定义域实数集（所有实数）R值域（非负实数集）[0,+∞对应法则每个实数对应它的平方值x正弦函数y=sin x定义域实数集R值域（闭区间）[-1,1]周期性，具有周期重复特性T=2π函数性质分析二次函数具有最值（最小值），图像为开口向上的抛物线0正弦函数具有周期性和有界性，图像呈波浪形函数的两要素定义域的重要性对应法则的唯一性定义域决定了函数的存在范围，对应法则规定了自变量与因变量必须明确给出或能够确定对于之间的具体关系，是函数的核心有理函数，需要排除分母为零的关键原则是每一个自变量只对点；对于根式函数，需要保证被应一个因变量，这保证了函数开方数非负；对于对数函数，需关系的确定性和唯一性要保证真数为正单值对应的严格要求函数要求每个定义域内的值都有唯一的值与之对应，但允许不同的值x y x对应相同的值这种单值对应关系区分了函数与一般的二元关系，体现y了函数概念的精确性常见的函数表示法解析法（表达式法）用数学表达式表示函数关系，如这是最常用的表示方法，y=x²+2x+1便于进行代数运算和理论分析，但某些复杂函数难以用简单表达式表示列表法（表格法）用表格形式列出自变量与因变量的对应关系适用于定义域为有限集合的函数，或者通过实验测量得到的离散数据，直观明了但不够简洁图像法在坐标系中用图形表示函数关系能够直观地反映函数的整体性质和变化趋势，便于观察函数的单调性、周期性、对称性等重要特征解析法实例剖析函数表达式y=2x+1这是一个一次函数，其中是斜率，是轴截距表达式简洁21y明了，完全确定了函数关系解析法的优点表达简洁，便于计算；易于进行代数运算；可以精确描述函数在任意点的值；便于研究函数的理论性质解析法的局限性某些函数无法用初等函数表达式表示；复杂的分段函数表达繁琐；实际测量数据难以找到精确的解析表达式列表法、图像法实例列表法实例图像法的应用考虑函数在定义域上的取值图像法能够直观展示函数的整体行为对于连续函数，图像是一fx=x²{-2,-1,0,1,2}条平滑的曲线；对于离散函数，图像是一系列孤立的点x-2-1012通过图像可以快速判断函数的单调性、周期性、对称性等性质，这在函数分析中具有重要意义图像法是连接抽象数学概念与直fx41014观理解的重要桥梁列表法适合处理离散数据，在统计学和实验科学中应用广泛特殊构造函数举例一符号函数定义符号函数是典型的分段函数，定义为当时，；当sgnx x0sgnx=1时，；当时，这个函数在数学分析中经x=0sgnx=0x0sgnx=-1常出现分段表达的必要性某些函数在不同区间具有不同的表达式，无法用单一公式描述分段函数能够准确描述这种复杂的对应关系，体现了函数定义的灵活性和实用性分段函数的连续性分段函数在分界点处可能出现跳跃不连续符号函数在处不x=0连续，这种性质在实际应用中具有重要意义，如开关函数、控制系统等特殊构造函数举例二黎曼函数（当为既约分数），Rx=1/q x=p/q Rx（当为无理数）=0x狄利克雷函数数学理论意义在有理点不连续，在无理点连续（当为有理数），（当这些函数虽然在现实中很难直观理解，但在Dx=1x Dx=0为无理数）数学理论研究中具有重要价值x这是一个处处不连续的函数帮助理解连续性、可积性等概念分段函数图像展示区间处区间x0x=0x0函数值恒为，图像为水平直线段函数值为，图像出现跳跃间断点函数值恒为，图像为水平直线段-101表示负数的符号特征左极限，右极限，函数值表示正数的符号特征-110特殊函数的图像与性质狄利克雷函数图像特点黎曼函数的取值规律由于有理数和无理数在实数轴黎曼函数在有理点的函数值与上稠密分布，狄利克雷函数的分母大小相关，分母越大函数图像无法用传统方式绘制在值越小在无理点函数值恒为任何区间内都同时包含函数值，这种构造使得函数在无理0为和的点，呈现处处跳跃点连续，在有理点不连续01的特征数学分析中的意义这些特殊函数是数学分析中的重要反例，帮助我们理解连续性、可积性等概念的精确含义它们揭示了数学概念的微妙之处，推动了现代分析学的发展映射与函数关系映射的一般定义函数与映射的关系设、是两个非空集合，如果按某种对应法则，对于集合中函数实际上是一种特殊的映射，即定义域和值域都是数集的映射AB f A的每个元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，则称为从所有函数都是映射，但并非所有映射都是函数BfA到的映射，记作BfA→B映射概念的引入使函数概念得到了推广，为现代数学提供了更加映射强调的是对应关系的完整性和唯一性，每个原像都必须有像，抽象和统一的语言在集合论、拓扑学等高等数学分支中，映射且像是唯一的这种抽象的对应关系概念比函数更加广泛概念发挥着重要作用自变量与因变量的区分变量选取的意义明确自变量和因变量的选择对函数研究至关重要多元函数扩展中、为自变量，为因变量z=fx,y x y z一元函数基础中为自变量，为因变量y=fx x y常见一元函数类型多项式函数形如的函数，其中Px=anx^n+an-1x^n-1+...+a1x+a0为非负整数，包括常数函数、一次函数、二次函数等n an≠0分式函数形如的函数，其中、都是多项式且Rx=Px/Qx PxQx定义域需要排除分母为零的点Qx≠0根式函数含有根号的函数，如、∛等定义域受到被开方数y=√x y=x-1非负（偶次根）或任意实数（奇次根）的限制指数与对数函数指数函数对数函数重要性质与应用y=a^x a0,a≠1y=log_a xa0,a≠1定义域为实数集，值域为指数函数和对数函数具有重要的运算R0,+∞当时函数单调递增，当定义域为，值域为实数集性质，如指数法则、对数运算法则等a100,+∞R对数函数是指数函数的反函数，两者它们在复利计算、地震强度测量、酸图像关于直线对称在工程、经济碱度表示等实际问题中发挥重要作用y=x学中有重要应用三角函数基础正弦函数余弦函数y=sin xy=cos x周期，值域周期，值域T=2π[-1,1]T=2π[-1,1]奇函数，图像关于原点对称偶函数，图像关于轴对称y物理意义正切函数y=tan x描述周期性振动、波动现象周期，值域为T=πR相位决定初始状态，幅度决定振动强度奇函数，在处不连续x=kπ+π/2奇偶函数奇函数定义如果对于函数的定义域内任意，都有，则称fx xf-x=-fx为奇函数奇函数图像关于原点对称fx偶函数定义如果对于函数的定义域内任意，都有，则称fx xf-x=fx为偶函数偶函数图像关于轴对称fx y判别方法首先检查定义域是否关于原点对称，然后验证与或f-x fx-的关系若都不满足，则函数既非奇函数也非偶函数fx奇函数典型案例12幂函数正弦函数y=x³y=sin x定义域为，关于原点对称定义域为，关于原点对称R R验证，满足奇函数定义验证，满足奇函-x³=-x³sin-x=-sin x数定义3对称性分析两函数图像都关于原点中心对称体现了奇函数的几何特征偶函数典型案例二次函数y=x²验证过程f-x=-x²=x²=fx图像为开口向上的抛物线，关于轴对称y余弦函数y=cos x验证过程（余弦函数的基本性质）cos-x=cos x图像呈波浪形，关于轴对称y几何意义理解偶函数的对称性使得只需研究的部分x≥0这种对称性在积分计算中具有重要简化作用周期函数周期函数的定义基本三角函数的周期如果存在正常数，使得对于函数定义域内的每一个，都有和的最小正周期都是，的最小正周期是T fx x sin x cosx2πtan xπ，则称为周期函数，称为的一个周期这些函数的周期性反映了三角比值的循环重复特性fx+T=fx fxT fx周期函数的叠加仍可能是周期函数，但新周期的确定需要考虑各最小正周期是所有正周期中的最小值，通常简称为周期周期函分量周期的最小公倍数关系，这在傅里叶分析中具有重要意义数的性质在时间序列分析、信号处理等领域有重要应用有界性与单调性有界函数无界函数单调性定义如果存在正数，使得如果对任意正数，总若对区间内任意₁M Mx对定义域内所有都有存在定义域内的使得x x，则称为，则称为|fx|≤M fx|fx|M fx有界函数正弦、余弦无界函数如、y=x函数是典型的有界函数等y=tan x单调函数举例单调递增函数y=x在整个定义域上严格单调递增对于任意₁R x单调递减函数y=-x在整个定义域上严格单调递减对于任意₁₂，即R x-x₁₂斜率为负的直线都是单调递减的fx fx判断单调区间的方法可以通过导数符号、函数图像或定义验证来判断函数的单调区间复合函数的单调性需要考虑内外函数的单调性组合规律函数的有界性实例有界性无界性y=sin xy=x1值域为，恒成立对任意，取[-1,1]|sinx|≤1M0x=M+1即可作为界限则M=1|fx|=M+1M实际应用意义几何直观理解有界性在极限理论中重要有界函数图像被水平线包围物理量通常具有界限约束无界函数图像延伸至无穷反函数基本概念反函数的存在条件一一对应关系函数存在反函数的充分必若函数既是单射又是fx fA→B要条件是在其定义域上严满射，则存在反函数⁻fx f¹格单调严格单调保证了函数单射保证不同的对B→A x的一一对应关系，使得反函数应不同的，满射保证值域y B关系成立中每个元素都有原像3反函数的性质函数与其反函数⁻的图像关于直线对称反函数的y=fx y=f¹xy=x定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域反函数举例原函数y=2x+1这是一个严格单调递增的一次函数，定义域和值域都是斜率为，R2轴截距为y1求反函数过程将中的和互换得到，解出，y=2x+1xyx=2y+1y=x-1/2所以反函数为⁻f¹x=x-1/2验证对称性原函数过点和，反函数过点和这些点确实0,11,31,03,1关于直线对称，验证了反函数的几何性质y=x合成函数合成函数定义设函数的定义域为₁，函数的定义域为₂，y=fu Du=gx D值域为₂，若₁₂∅，则复合函数为R D∩R≠y=fgx复合过程分析先通过内函数得到中间变量，然后通过外函数得x gx u ufu到最终结果y定义域确定复合函数的定义域是使得有意义且∈₁的的集合gx gxD x合成函数举例最终函数fx=sinx²整体呈现振荡特性，频率随增大而增加|x|外函数fu=sin u对中间变量进行正弦运算u内函数gx=x²将自变量平方作为中间变量xu函数的分段定义与应用出租车计费函数税收计算函数数学建模中的价值起步价内按固定费用收费，超出起步个人所得税采用超额累进税率，不同分段函数能够准确描述现实中的非线距离按里程累计收费这种分段计费收入区间适用不同税率这种分段线性关系，在经济学、工程学等领域的模式在实际生活中很常见，体现了分性函数确保了税收的公平性和合理性数学建模中发挥重要作用，提高了模段函数的实用价值型的精确性和实用性多元函数简介多元函数的定义几何表示与应用设是平面上的点集，如果按照某种对应法则，对于中的每一二元函数可以用三维空间中的曲面来表示，三元函数则难以直观D fD点，都有唯一确定的实数与之对应，则称是、的二元表示多元函数在物理学中描述场的分布，在经济学中描述多因Px,y zz xy函数，记作素影响的关系z=fx,y类似地可以定义三元函数以及更高元的函数多元函偏导数、多重积分等概念都是在多元函数基础上发展起来的，构u=fx,y,z数将一元函数的概念推广到多个自变量的情况成了多元微积分的核心内容多元函数举例函数表达式几何图像在三维空间中表示为开口向上的圆锥面fx,y=x²+y²1定义域为整个平面顶点在原点，轴沿轴方向xOy z实际意义等值线特征4可以描述距离的平方、能量分布等等值线方程为（）x²+y²=c c≥0在物理和工程中有广泛应用是以原点为圆心的同心圆族常用函数组合函数的四则运算函数复合运算典型组合模型设、是定义在复合函数多项式是幂函数的线性fx gx区间上的函数，则可以∘要求组合，三角恒等式体现I f gx=fgx定义和函数内函数的值域与外函数了三角函数的组合关系、差的定义域有交集复合函数组合是构造复杂函f+gx=fx+gx函数、积函数和商函数运算不满足交换律，即数的基本方法（分母不为零）∘∘fg≠g f反常函数举例函数的定义域问题y=1/x当时，没有意义，因为除数不能为零这导致函数在处不可x=01/xx=0定义，定义域为∪，是一个不连通的集合-∞,00,+∞渐近行为分析当⁺时，；当⁻时，是函数的垂x→01/x→+∞x→01/x→-∞x=0直渐近线当±时，，是水平渐近线x→∞1/x→0y=0问题本质的数学理解这种不可定义性反映了实数系统的完整性问题通过引入无穷大概念或扩展数系，可以在某种意义上定义这类反常点的行为难以表达的函数单位阶跃函数（），（）Hx=0x0Hx=1x≥0在控制理论和信号处理中广泛应用，模拟开关动作狄利克雷函数再讨论无法用初等函数表达式表示体现了可计算性理论中的复杂性问题表达困难的根源某些函数超越了初等函数的表达能力需要级数、积分或其他高级数学工具来描述现代数学工具傅里叶级数、特殊函数理论提供了新的表达方式计算机数值方法补充了解析表达的不足函数的实际应用场景物理学中的函数应用经济学中的函数模型位移函数描述物体运动轨需求函数描述商品需求st Dp迹，速度函数表量与价格的关系，供给函数vt=ds/dt示瞬时速度变化电压函数表示供给量变化成本Sp、电流函数描述电路函数、收益函数、利Ut ItCx Rx中的电学量变化，为电子工程润函数构成经济分析的数Px提供数学基础学工具体系生物学中的增长模型人口增长函数、细菌繁殖函数常用指数函数或逻辑函数描述Pt Nt这些模型帮助理解生物系统的动态变化规律，为生态保护和医学研究提供定量分析工具函数图像与直观理解从图像读取函数信息特殊点的图像特征函数图像是理解函数性质的重要工具通过观察图像的走势可以极值点在图像上表现为局部最高点或最低点，对应导数为零的点判断函数的单调性，通过图像的对称性可以判断奇偶性，通过图不连续点表现为图像的跳跃、孔洞或垂直渐近线像的重复性可以识别周期性拐点是图像凹凸性改变的点，对应二阶导数为零的点这些特殊图像的连续性反映函数的连续性，图像的光滑程度与函数的可导点的识别对于函数分析具有重要意义，是微积分应用的基础性相关这种几何直观与代数分析的结合是数学思维的重要特征函数与集合关系定义域的集合表示定义域有意义是自变量取值的集合它可能是Domf={x|fx}区间、有限集合或更复杂的集合定义域的确定是函数研究的第一步值域的集合刻画值域∈是函数值的集合值域Rangef={y|y=fx,x Domf}是定义域在函数映射下的像集，通常是值域集合的子集3对应法则的集合语言函数可以看作定义域到值域的子集∈，这f{x,fx|x Domf}个集合完全确定了函数关系这种集合论观点统一了函数与关系的概念函数的扩展定义泛函概念函数的函数，映射函数空间到数域1复变函数定义域和值域都在复数域的函数向量值函数值域为向量空间的函数实变函数经典的实数域到实数域的函数区分关系与函数一般二元关系函数的严格要求二元关系⊆×允许一个对函数要求每个定义域中的元素只R AB x应多个值，如描述的能对应唯一的值域元素这种yx²+y²=1圆周关系这种关系不满足函数多对一或一对一的对应关系保的单值性要求，因此不是函数证了函数值的确定性，是函数概念的核心特征判别方法与实例垂直线测试如果任意垂直线与图像最多交于一点，则该关系是函数例如，不是函数，而是函数这种几何判别法简单直观x=y²y=x²函数的研究方法极限方法连续性分析研究函数的局部行为和渐近性质描述函数的光滑性和完整性极限是微积分的基础概念连续函数具有重要的分析性质2积分理论导数与微分计算函数图像下的面积和累积量研究函数的变化率和切线斜率积分与导数互为逆运算导数是微积分的核心工具典型函数的极限分析趋近无穷大时的极限x多项式函数的极限由最高次项决定，有理函数的极限由分子分母最高次项的比值决定指数函数当底数大于时极限为无穷大，三角函数极限1不存在但有界趋近有限值时的极限x连续函数在连续点的极限等于函数值不连续点可能出现左右极限不相等的情况，如符号函数在处某些函数在特定点极限不存在，x=0如在处sin1/xx=0重要极限及其意义和是两个重要limx→0sinx/x=1limx→∞1+1/x^x=e极限，在微积分理论中具有基础地位它们揭示了三角函数和指数函数的本质特性函数的连续性简介34连续性的三个条件不连续的类型函数在₀处有定义可去不连续极限存在但不等于函数值x极限₀存在跳跃不连续左右极限存在但不相等limx→x fx极限值等于函数值无穷不连续极限为无穷大振荡不连续极限不存在∞连续函数的重要性质闭区间上连续函数必有最大值和最小值中间值定理保证了连续函数的取值完整性可导函数与不可导点导数的几何意义导数表示函数图像在某点处切线的斜率，反映函数在该点的瞬时变化率导数的物理意义位移函数的导数是速度，速度函数的导数是加速度，体现了变化率的概念典型不可导情况在处有尖点，左导数，右导数，导数不存在y=|x|x=0-11。