《高等数学分析上册：课件教学》

高等数学分析上册课件教学PPT本课程适合大学本科数学专业及相关专业学生学习，基于同济大学《高等数学》教材精心设计课程内容涵盖函数与极限、导数微分、积分理论等核心知识点，包含完整的定理证明与丰富的应用实例课程概述课程目标与教学安排培养学生掌握高等数学的基本理论、方法和技能，建立严密的数学思维体系主要内容与学习重点涵盖函数极限、导数微分、积分理论、微分方程等核心内容，重点突出理论应用考核方式与参考资料采用平时作业、期中考试、期末考试相结合的综合评价方式，配套权威教材资料预备知识要求第一章函数与极限函数概念与基本特性函数的四种表示方法重要基本函数及其性质复合函数与反函数函数是数学分析的基础概函数可以通过解析式、表包括幂函数、指数函数、对复合函数是由两个或多个函念，表示两个变量之间的对格、图象和描述性语言四种数函数、三角函数等基本初数复合而成的新函数，反函应关系掌握函数的定义方式表示解析式表示法最等函数这些函数具有各自数是与原函数具有相反对应域、值域、单调性等基本性为常用，能够精确描述函数独特的性质和图象特征，是关系的函数理解复合函数质是学习的起点函数的严关系；图象表示法直观形构成复杂函数的基础元素的形成过程和反函数的存在格定义为设D是非空数集，象，便于理解函数性质；表熟练掌握这些基本函数的定条件，掌握它们的基本性质对于D中的每一个数x，按照格表示法适用于离散数据；义域、值域、单调性、奇偶和运算规律，这些概念在微某个确定的法则f，都有唯一描述性语言表示法用于复杂性、周期性等性质，为后续积分学习中具有重要意义确定的实数y与之对应，则称的分段函数或特殊函数的定学习奠定基础f为定义在D上的函数义函数的性质单调性与有界性单调性描述函数值随自变量变化的趋势，分为单调递增和单调递减有界性反映函数值的范围限制，包括上界、下界和有界的概念这些性质对于函数极限的存在性判断具有重要意义，也是函数分析的基础工具奇偶性与周期性奇偶性反映函数图象的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称周期性描述函数值的重复性规律，周期函数在一定间隔内重复其函数值这些性质在函数积分计算和级数展开中有重要应用反函数的存在条件函数存在反函数的充分必要条件是函数在其定义域上单调严格单调函数必有反函数，且反函数也是严格单调的反函数的图象与原函数图象关于直线y=x对称，这一几何性质在函数分析中经常使用分段函数的处理方法分段函数在不同区间内有不同的解析表达式，处理时需要分段考虑重点关注分界点处的函数值和极限值，判断函数的连续性在求导和积分时，也需要分段处理，特别注意各段之间的衔接关系数列极限的概念数列极限的ε-N定义对于数列{a}，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当ₙnN时，恒有|a-A|ε，则称数列{a}收敛于A，记作limn→∞a=A这个定义揭ₙₙₙ示了极限的本质数列项无限接近某个确定值收敛数列的性质收敛数列具有唯一性、有界性、保号性等重要性质唯一性保证极限值的确定性；有界性说明收敛数列必然有界；保号性在不等式处理中发挥重要作用这些性质是数列极限理论的基石，也是极限运算的理论依据常见数列极限的计算包括基本数列极限公式、四则运算法则、夹逼准则等计算方法掌握limn→∞1+1/nⁿ=e、limn→∞ⁿ√n=1等重要极限通过大量练习，培养数列极限的计算技巧和直觉判断能力典型例题分析通过具体例题演示数列极限的求解过程，包括直接计算、变形化简、利用重要极限等方法重点分析解题思路和方法选择，培养学生解决复杂数列极限问题的能力，为函数极限学习做好准备函数极限的定义ε-δ定义的核心精确描述函数无限接近过程函数极限存在条件左右极限存在且相等的充要条件左极限与右极限从不同方向逼近的极限概念无穷小与无穷大极限为零和无穷的特殊情况函数极限的ε-δ定义是微积分理论的基石设函数fx在点x₀的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0|x-x₀|δ时，恒有|fx-A|ε，则称函数fx当x趋于x₀时的极限为A这个定义严格刻画了函数值无限接近极限值的过程，是理解连续性和可导性的理论基础极限的性质极限的唯一性有界性与保号性极限的四则运算如果函数极限存在，则极限值在点x₀的某邻域内，有极限的如果两个函数的极限都存在，是唯一确定的这个性质保证函数必然有界如果极限值不则它们的和、差、积、商（分了极限概念的良定义性，是极为零，则在该点的某邻域内函母极限不为零）的极限等于极限理论的基础唯一性定理的数保持与极限值相同的符号限的和、差、积、商这个运证明采用反证法，假设存在两这些性质在不等式证明和函数算法则大大简化了复杂函数极个不同的极限值，通过ε-δ定义分析中具有重要应用价值限的计算过程，是极限计算的导出矛盾基本工具复合函数的极限在一定条件下，复合函数的极限等于外层函数在内层函数极限值处的极限这个性质在处理复杂的复合函数极限时非常有用，但需要注意适用条件，避免机械套用导致错误极限存在准则夹逼准则的应用当函数被两个有相同极限的函数夹在中间时，该函数的极限存在且等于夹逼函数的共同极限单调有界准则单调有界数列必有极限，这是判断数列收敛性的重要工具柯西收敛原理数列收敛的充要条件是柯西条件，为极限存在性提供内在判据常见极限模型掌握典型的极限计算模型和方法，提高解题效率极限存在准则为判断极限是否存在提供了强有力的工具夹逼准则特别适用于含有三角函数、振荡函数的极限计算；单调有界准则在递推数列极限求解中发挥重要作用；柯西收敛原理从理论高度刻画了极限存在的本质特征两个重要极限第一重要极限第二重要极限limx→0sin x/x=1limx→∞1+1/x^x=e•几何证明方法•自然对数底数e的定义•单位圆面积比较•复利计算的数学模型•夹逼准则应用•指数函数的基础扩展应用证明与推导重要极限的变形与推广严格的数学证明过程•等价无穷小替换•几何直观分析•复合函数极限•代数变形技巧•实际问题建模•极限定义验证无穷小量的比较等价无穷小替换当x→0时，sin x~x,tan x~x,ln1+x~x,e^x-1~x等重要等价关系等价无穷小替换是计算极限的有力工具，可以大大简化复杂表达式的极限求解过程常用等价无穷小掌握基本的等价无穷小公式表，包括三角函数、指数函数、对数函数等的等价形式这些公式在极限计算中频繁使用，需要熟练记忆和灵活应用高阶、低阶与同阶根据无穷小量趋于零的快慢程度进行分类高阶无穷小趋于零更快，低阶无穷小趋于零较慢，同阶无穷小趋于零的速度相当这种分类对于极限的精确分析具有重要意义运算法则无穷小量的加法、乘法运算规律，以及在极限计算中的应用原则注意等价无穷小替换的使用条件和范围，避免在加减运算中的错误应用函数的连续性连续性的定义函数在某点连续的充要条件是该点的函数值等于该点的极限值即limx→x₀fx=fx₀这个定义包含三个要素函数在该点有定义、极限存在、函数值等于极限值连续性是微积分学中的核心概念，连接了极限理论和导数理论间断点及其分类间断点分为第一类间断点和第二类间断点第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，其特征是左右极限都存在；第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，其特征是至少有一侧极限不存在理解间断点的分类有助于函数性质的分析连续函数的性质连续函数具有局部有界性、局部保号性等基本性质连续函数的四则运算、复合运算仍然连续，这为构造复杂连续函数提供了理论基础初等函数在其定义域内都是连续的，这是处理实际问题的重要工具闭区间连续函数性质在闭区间上连续的函数具有最值定理、介值定理、一致连续性等重要性质这些性质保证了连续函数在闭区间上的良好行为，为定积分的存在性、方程解的存在性等问题提供了理论保障第二章导数与微分导数的定义与几何意义导数定义为函数增量与自变量增量比值的极限，几何意义是曲线在该点的切线斜率导数反映了函数的瞬时变化率，是微积分学的核心概念之一可导性与连续性的关系可导必连续，但连续不一定可导这个关系揭示了导数概念的严格性要求，也说明了连续性是可导性的必要条件典型的连续但不可导的例子是|x|在x=0处导数的计算方法包括基本函数求导公式、四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等掌握这些方法是进行微分计算的基础，需要通过大量练习达到熟练程度高阶导数二阶及以上的导数概念，反映函数变化率的变化率高阶导数在函数性质分析、泰勒展开、物理应用等方面具有重要意义，特别是二阶导数与函数凹凸性的关系导数的计算函数类型导数公式备注幂函数x^n=nx^n-1n为任意实数指数函数e^x=e^x自然指数函数对数函数ln x=1/x x0三角函数sin x=cos x角度制反三角函数arcsin x=1/√1-x²|x|1基本初等函数的导数公式是微分学的基础，这些公式通过极限定义严格推导得出四则运算法则包括和差的导数等于导数的和差，积的导数遵循莱布尼茨公式，商的导数有专门的计算公式复合函数求导采用链式法则，是处理复杂函数的重要工具隐函数与参数方程求导隐函数存在定理在一定条件下，隐函数Fx,y=0确定y为x的函数隐函数存在定理给出了隐函数存在、唯一且可导的充分条件，为隐函数微分学提供了理论基础隐函数求导法对隐函数方程两边同时对x求导，利用复合函数求导法则和链式法则，得到含有dy/dx的方程，解出导数这种方法避免了显化函数的复杂过程，直接获得导数表达式参数方程的求导方法对于参数方程x=φt,y=ψt，有dy/dx=dy/dt/dx/dt=ψt/φt这个公式将参数方程的求导转化为普通函数的求导，是处理曲线参数表示的重要工具实例分析与应用通过具体例题演示隐函数和参数方程求导的完整过程，包括椭圆、双曲线等圆锥曲线的切线方程求解，摆线、心形线等参数曲线的切线问题，培养学生的综合应用能力对数求导法对数求导法的原理适用情况分析利用对数函数的性质简化复杂函数的求多个函数相乘、相除、开方或指数为函导过程数的复合结构典型例题解析计算步骤与方法通过具体实例掌握对数求导法的应用技取对数、求导、整理得到最终结果的标巧准流程对数求导法特别适用于形如y=u^v、y=u₁^α₁·u₂^α₂·...·u^α等复杂函数的求导方法是先对函数取自然对数，利用对数ₙₙ的运算性质将乘除、乘方运算转化为加减运算，然后对等式两边求导，最后解出y这种方法可以显著简化计算过程，减少出错概率微分的概念微分与导数的关系微分dy=fxdx是函数增量的线性主部，而导数是微分与自变量增量的比值微分概念将导数的几何意义具体化，表示切线在给定区间上的增量微分的存在等价于函数的可导性，它们本质上是同一个概念的不同表现形式微分的几何意义微分表示曲线的切线增量，它是函数增量的线性近似当自变量有微小增量dx时，函数的微分dy给出了切线上对应的纵坐标增量这种线性近似在工程计算和误差分析中具有重要的实用价值一阶微分形式不变性无论u是自变量还是中间变量，du的表达式形式保持不变这个性质使得复合函数的微分计算变得简便，不需要区分自变量和中间变量的差别形式不变性是微分理论的重要特征，简化了复杂函数的微分运算微分在近似计算中的应用利用微分公式Δy≈dy=fx₀Δx进行近似计算当Δx很小时，函数增量可以用微分来近似，这在实际计算中非常有用例如计算√

4.01≈√4+d√x|_{x=4}=2+1/2√4×

0.01=

2.0025第三章微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数在闭区间连续，在开在满足连续和可导条件下，存两个函数在相同条件下，存在区间可导，且端点函数值相在一点使得该点的导数等于函一点使得两函数导数的比值等等，则在开区间内至少存在一数在整个区间上的平均变化于两函数增量的比值这是拉点使得该点的导数为零这是率这个定理建立了局部性质格朗日中值定理的推广，为洛最基本的微分中值定理，为其（导数）与整体性质（平均变必达法则的证明提供了理论基他中值定理奠定基础化率）之间的联系础泰勒定理函数可以在某点附近用多项式近似表示，余项给出了近似的误差估计泰勒定理是微分中值定理的高级形式，在函数分析和数值计算中具有广泛应用罗尔定理定理的条件与结论设函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=0三个条件缺一不可闭区间连续保证函数有最值，开区间可导保证导数存在，端点相等是水平切线存在的关键几何意义解析罗尔定理的几何意义是满足条件的连续曲线在区间内至少有一点的切线是水平的这个直观的几何图景帮助理解定理的本质，也为定理的应用提供了几何直觉曲线从同一高度出发又回到同一高度，中间必然有水平切线罗尔定理的证明证明分两种情况若fx在[a,b]上为常数，则fx≡0；若fx不恒为常数，则由最值定理知fx在[a,b]上有最大值M和最小值m，且Mm由于fa=fb，最值必在内部取得，设在ξ处取得，则fξ=04应用实例与注意事项罗尔定理常用于证明方程根的存在性、函数零点问题、以及构造辅助函数证明其他定理应用时需要验证三个条件是否满足，特别注意端点相等条件当条件不满足时，结论可能不成立，需要通过反例加深理解拉格朗日中值定理定理内容与几何意义证明过程分析与罗尔定理的关系典型应用实例设函数fx在闭区间[a,b]上连证明的关键是构造辅助函数拉格朗日中值定理是罗尔定拉格朗日中值定理在证明函续，在开区间a,b内可导，φx=fx-fa-[fb-理的推广，当fa=fb时，数不等式、估计函数值、证则在a,b内至少存在一点ξ，fa/b-a]x-a，使其满足罗拉格朗日中值定理退化为罗明函数单调性等方面有广泛使得fξ=[fb-fa]/b-a尔定理的条件通过验证尔定理可以说罗尔定理是应用例如证明|sin x-sin y|几何意义是存在一点的切线φa=φb=0，可以应用罗拉格朗日中值定理的特殊情≤|x-y|，利用中值定理可得平行于连接端点的弦尔定理得到存在ξ使得φξ=况|sin x-sin y|=|cosξ||x-y|≤0|x-y|这个定理揭示了函数的局部从证明方法看，拉格朗日中性质（某点的导数）与整体展开φξ=0即得拉格朗日中值定理的证明正是基于罗尔在数值分析中，中值定理为性质（平均变化率）之间的值公式这种构造辅助函数定理，通过巧妙的函数变误差估计和算法收敛性分析深刻联系，是微分学中最重的方法是数学证明中的重要换，将一般情况转化为罗尔提供了理论基础要的定理之一技巧定理可以处理的特殊情况柯西中值定理定理的条件与结论1设fx和gx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且gx≠0，则存在ξ∈a,b使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ与拉格朗日定理的关系当gx=x时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理，因此它是拉格朗日定理的推广形式证明方法与思路构造辅助函数φx=fx-fa-k[gx-ga]，其中k使得φb=0，然后应用罗尔定理应用举例4柯西中值定理是洛必达法则的理论基础，在处理0/0型和∞/∞型未定式中发挥关键作用柯西中值定理的几何意义可以通过参数方程x=gt,y=ft来理解定理表明参数曲线上存在一点，该点的切线斜率等于连接端点弦的斜率这种几何解释为理解定理提供了直观的图像，也揭示了定理在参数方程微分学中的重要地位洛必达法则∞/∞型处理1分子分母同时趋于无穷的未定式0/0型未定式分子分母同时趋于零的情况求导计算方法3分别对分子分母求导后重新计算极限适用条件检验函数可导且导数极限存在的前提洛必达法则是处理未定式极限的强有力工具，基于柯西中值定理证明对于0/0型或∞/∞型未定式，在满足条件的前提下，原极限等于分子分母导数的极限其他类型的未定式如0·∞、∞-∞、0⁰、1^∞、∞⁰可以通过变形转化为0/0或∞/∞型处理使用时需要注意验证条件，避免机械套用导致错误当一次求导后仍为未定式时，可以继续使用法则，但每次都要检验条件是否满足泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式fx=fx₀+fx₀x-x₀+fx₀x-x₀²/2!+...+f⁽ⁿ⁾x₀x-x₀ⁿ/n!+R x，其中拉格朗日余项R x=f⁽ⁿ⁺¹⁾ξx-x₀⁽ⁿ⁺¹⁾/n+1!，ξ在x₀与x之间这种形式的余项给ₙₙ出了误差的精确表达式带佩亚诺余项的泰勒公式fx=fx₀+fx₀x-x₀+...+f⁽ⁿ⁾x₀x-x₀ⁿ/n!+ox-x₀ⁿ，其中佩亚诺余项ox-x₀ⁿ表示比x-x₀ⁿ高阶的无穷小这种形式的余项在局部分析中更为方便，常用于极限计算和近似分析常见函数的泰勒展开eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+...；sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...；cos x=1-x²/2!+x⁴/4!-...；ln1+x=x-x²/2+x³/3-...这些基本函数的泰勒展开是计算复杂函数展开的基础泰勒公式的应用泰勒公式在极限计算、函数近似、误差分析、数值计算等方面有广泛应用通过泰勒展开可以将复杂函数转化为多项式形式，便于计算和分析在物理学和工程学中，泰勒展开常用于线性化处理和小量分析函数的单调性导数与单调性关系单调区间判定方法fx0时函数单调递增通过导数符号变化确定单调性•导数正负性判断•求导数函数•临界点的识别•找零点和不可导点•单调区间的确定•列表分析符号实例分析单调性证明技巧典型函数单调性研究利用导数定义和性质证明•多项式函数4•直接利用导数符号•三角函数•构造辅助函数•指数对数函数•反证法应用函数的极值极值的定义与必要条件函数在某点取得极值的必要条件是该点的导数为零或导数不存在这样的点称为临界点或驻点极值包括极大值和极小值，是函数的局部性质费马定理指出，可导函数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点极值的第一充分条件设函数fx在x₀处连续，在x₀的某去心邻域内可导若在x₀左侧fx0，右侧fx0，则x₀为极大值点；若在x₀左侧fx0，右侧fx0，则x₀为极小值点这个判别法直观易懂，但需要分析导数在驻点两侧的符号变化极值的第二充分条件设函数fx在x₀处二阶可导，且fx₀=0若fx₀0，则x₀为极大值点；若fx₀0，则x₀为极小值点；若fx₀=0，则需要进一步判断第二充分条件使用方便，但仅适用于二阶导数存在且不为零的情况函数极值的求法求极值的一般步骤首先求导数fx，找出所有驻点和不可导点；然后用第一或第二充分条件判断这些点的性质；最后计算极值对于实际问题，还需要考虑定义域的限制和边界点的情况最值问题闭区间上函数的最值连续函数在闭区间上必有最大值和最小值求解方法是找出区间内所有极值点，计算这些点和端点的函数值，比较得出最值这是最值问题的基础，保证了最值的存在性条件极值与拉格朗日乘数法在约束条件下求函数的极值问题拉格朗日乘数法通过构造拉格朗日函数Lx,y,λ=fx,y+λgx,y，将约束优化问题转化为无约束问题求解∇L=0得到候选极值点应用问题的数学建模将实际问题转化为数学优化问题的过程关键是正确建立目标函数和约束条件，选择合适的变量常见应用包括几何优化、经济优化、工程设计等领域的最值问题最优化问题求解策略根据问题类型选择合适的方法无约束问题用导数法，约束问题用拉格朗日乘数法，离散问题用枚举比较法注意验证解的合理性和边界条件的处理函数图形的描绘函数凹凸性与拐点二阶导数fx0时函数凹向上（凸函数），fx0时函数凹向下（凹函数）拐点是凹凸性改变的点，满足fx=0且二阶导数在该点两侧异号凹凸性分析有助于准确描绘函数图形的弯曲方向函数的渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种类型水平渐近线对应x→±∞时的极限；垂直渐近线出现在函数趋于无穷的点；斜渐近线y=kx+b需要分别求出斜率k和截距b渐近线描述了函数在无穷远处的行为函数图形绘制步骤系统的绘图流程确定定义域，找出间断点和零点，分析单调性和极值，研究凹凸性和拐点，求出渐近线，描点绘图这个步骤确保了图形的准确性和完整性，是函数分析的综合应用典型函数图形分析通过具体例子演示完整的函数图形分析过程，包括多项式函数、有理函数、超越函数等不同类型重点培养学生从解析式到图形的转换能力，以及从图形读取函数性质的能力第四章不定积分原函数与不定积分概念基本积分公式换元积分法包括幂函数、三角函数、指通过变量替换将复杂的积分如果Fx=fx，则称Fx为数函数、对数函数等基本初转化为基本积分的方法包fx的一个原函数fx的全等函数的积分公式这些公括第一类换元法（凑微分体原函数称为fx的不定积式是通过对相应的导数公式法）和第二类换元法（变量分，记作∫fxdx=Fx+C逆推得到的，是进行积分计替换法）换元积分法是最不定积分是求导的逆运算，算的基础工具熟练掌握基重要的积分技巧，需要通过积分常数C反映了原函数的本积分表是学习积分学的前大量练习培养变换的直觉和非唯一性提技巧分部积分法基于乘积的求导法则得到的积分方法∫udv=uv-∫vdu适用于被积函数是两个不同类型函数乘积的情况关键是正确选择u和dv，一般遵循反对幂指三的优先级顺序。