【高中数学课件】高考函数复习课件

高考函数复习函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重点知识本课程将全面概述函数知识点，重点解析常见函数类型，深入分析历年高考真题，并提供系统的解题方法与技巧通过本次复习，同学们将掌握各类函数的性质与应用，熟悉函数解题的关键步骤，显著提高函数题型的解题速度与准确性，为应对年高考2025函数相关题型做好充分准备课程目标1掌握各类函数的性质与应用系统学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质、图像特征，熟练掌握复合函数、分段函数的分析方法2熟悉函数解题关键步骤掌握函数定义域、值域的求解方法，学会利用导数分析函数的单调性、极值、最值，熟练运用函数性质解决实际问题3提高函数题型的解题速度与准确性通过大量练习和真题分析，熟悉高考函数题型的解题思路和技巧，培养快速准确的解题能力和规范的答题习惯4应对2025年高考函数相关题型紧跟新高考改革趋势，分析考点变化，掌握最新的题型特点和评分标准，制定有效的复习策略和应试技巧函数概述函数的定义与表示方法函数的定义域与值域函数的四种表达方式常见函数类型总览定义域是使函数有意义的解析法用数学表达式表示基本初等函数包括幂函数、函数是描述两个变量之间自变量的取值范围，值域函数关系；图像法用坐标指数函数、对数函数、三x对应关系的数学概念对是函数所有可能取到的函系中的图形表示；列表法角函数等通过运算和复于定义域内的每一个自变数值的集合定义域的确用表格形式列出对应关系；合可以构成更复杂的函数，量x，都有唯一确定的因变定需要考虑分母不为零、文字描述法用语言叙述函如复合函数、分段函数、量y与之对应，记作y=fx根式的被开方数非负、对数关系反函数等数的真数大于零等条件理解函数的本质是理解对应关系的唯一性，这是判断一个关系是否为函数的关键标准函数的基本概念函数的定义域与值域判断方法首先确定使函数有意义的条件，如分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数大于零等然后利用不等式求解或图像法确定定义域范围函数的四种表达方式详解解析法适用于有明确数学关系的函数；图像法直观展示函数性质；列表法适合离散数据；文字描述法常见于实际问题的函数关系描述定义域的表示方法与符号应用使用区间表示法，如[a,b]表示闭区间，a,b表示开区间集合表示法用{x|条件}的形式掌握∞、∪、∩等符号的正确使用函数定义域的求解技巧复合函数定义域需要层层分析，从内层函数开始；分段函数要考虑各段的定义域；参数函数要讨论参数的不同取值对定义域的影响函数的性质概述函数的单调性函数的奇偶性函数的周期性描述函数值随自变量变描述函数图像的对称性描述函数值的重复规律化的趋势在某个区间奇函数图像关于原点中如果存在正数T，使得内，如果x增大时fx也心对称，满足f-x=-fx；对定义域内任意x都有增大，则函数在该区间偶函数图像关于y轴轴fx+T=fx，则函数具单调递增；反之则单调对称，满足f-x=fx有周期性，T称为函数递减单调性是函数的奇偶性是函数的全局性的周期局部性质质函数的有界性描述函数值的范围限制如果存在正数M，使得|fx|≤M对定义域内所有x成立，则函数有界有界性与函数的值域密切相关函数的单调性单调递增函数与单调递减函数的定义设函数在区间上有定义，如果对于内任意两点₁₂，则在上单fx II x fxfx I调递减利用导数判断函数单调性的方法若在区间内恒成立，则在上单调递增；若在区间内恒fx0I fx I fx0I成立，则在上单调递减导数法是判断单调性最有效的方法fxI单调区间的求解步骤首先求出函数的导数，然后解不等式和，最后结合fx fx0fx0定义域确定单调递增区间和单调递减区间注意区间的端点处理常见错误分析与解决方案常见错误包括忽略定义域限制、单调区间表示不规范、混淆单调性的充分条件和必要条件解决方案是严格按照定义和步骤，注重细节和逻辑函数的奇偶性奇函数与偶函数的定义与判断奇偶性的几何意义奇函数，图像关于原点中心对f-x=-fx奇函数图像关于原点的中心对称性称偶函数图像关于轴的轴对称性y偶函数，图像关于轴轴对称f-x=fx y奇偶性在解题中的应用复合函数奇偶性的判断方法利用对称性简化计算奇函数与奇函数的复合是奇函数结合周期性求函数值偶函数与任意函数的复合是偶函数函数的周期性1周期函数的定义与基本性质若存在正数T，使得fx+T=fx对定义域内所有x成立，则fx是周期函数，T是它的周期周期函数的图像具有重复性2最小正周期的求法在所有周期中最小的正数称为最小正周期对于三角函数，可通过变换直接读出；对于一般函数，需要通过定义验证3复合函数周期性的判断如果fx的周期是T₁，gx的周期是T₂，则fx+gx的周期是T₁和T₂的最小公倍数复合函数的周期性分析较为复杂4非三角函数的周期性判断技巧通过函数的定义、图像特征或递推关系来判断常见的有分段函数、绝对值函数等，需要结合具体情况分析函数的有界性有界函数的定义与判断函数fx在定义域D上有界，当且仅当存在正数M，使得对所有x∈D，都有|fx|≤M有界性可以从函数的图像、解析式或性质来判断最大值与最小值的求解方法在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值求解方法包括比较端点值和极值点的函数值，利用导数找临界点，运用函数性质等无界函数的例子与特征典型的无界函数如y=x、y=tanx、y=1/x等无界函数的特征是函数值可以任意大或任意小，图像向无穷远处延伸有界性的应用场景有界性在证明不等式、求函数的值域、解决实际优化问题中有重要应用特别是在物理学和工程学中，有界性often对应着系统的稳定性基本初等函数一幂函数幂函数的定义与基本性质形如的函数称为幂函数，其中为常数y=x^αα幂函数y=x^n的图像特征图像形状随指数的变化而变化n不同指数n对图像的影响时函数单调递增n0幂函数在实际问题中的应用物理学中的面积体积计算幂函数是最基本的函数类型之一，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减特别地，当为正整数时，函数在α00,+∞α00,+∞α整个实数域上有定义幂函数的图像都经过点，这是一个重要的特征点1,1基本初等函数二指数函数指数函数的定义与性质图像分析与特征形如且的函数为指数y=a^xa0a≠1当时单调递增，当a10函数，具有单调性强、增长迅速的特点指数函数的应用实例指数函数的单调性与值域人口增长模型、复利计算、放射性衰值域为，在实数域上连续且严0,+∞变等实际问题格单调基本初等函数三对数函数对数函数的定义与性质是指数函数的反函数，定义域为y=log_a x0,+∞图像特征分析图像恒过点，当时单调递增1,0a1换底公式的应用，便于计算和比较log_a x=ln x/ln a对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称对数函数在科学计算、地震级别、声音分贝等领域有广泛应y=x用掌握对数的运算法则和换底公式是解决对数问题的关键基本初等函数四三角函数2π周期长度正弦和余弦函数的最小正周期π正切周期正切函数的最小正周期长度[-1,1]值域范围正弦和余弦函数的值域∞正切值域正切函数的值域为整个实数集三角函数是描述周期现象的重要工具，正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界的周期函数，值域为[-1,1]，周期为2π正切函数y=tanx在每个连续区间内单调递增，周期为π，值域为整个实数集三角函数的奇偶性、周期性和单调性是解题的重要依据反三角函数函数名称定义域值域性质奇函数，单y=arcsinx[-1,1][-π/2,π/2]调递增非奇非偶，y=arccosx[-1,1][0,π]单调递减奇函数，单y=arctanx-∞,+∞-π/2,π/2调递增反三角函数是三角函数在特定区间上的反函数反正弦函数是arcsinx在上的反函数，反余弦函数是在上的反函sinx[-π/2,π/2]arccosx cosx[0,π]数，反正切函数是在上的反函数反三角函数在定arctanx tanx-π/2,π/2积分计算和解三角方程中有重要应用函数的图像函数图像的基本变换平移、对称与拉伸变换复合变换的规律与技巧由图像判断函数表达式的方法包括平移、对称、拉伸三类水平和垂直方向的平移，关多种变换组合时需要注意变基本变换于轴和原点的对称换的顺序通过观察图像的关键特征点和性质函数的平移变换水平平移y=fx±a表示图像向右平移个单位，表示图像向左平移个单位y=fx-a ay=fx+a a水平平移是对自变量的变换，移动方向与符号相反垂直平移y=fx±b表示图像向上平移个单位，表示图像向下平移个单位y=fx+b by=fx-b b垂直平移是对函数值的变换，移动方向与符号相同平移变换的几何意义平移变换保持图像的形状不变，只改变图像在坐标系中的位置图像上每一点都按相同的向量进行平移，保持相对位置关系平移变换在解题中的应用通过平移变换可以简化复杂函数的分析，将一般函数转化为基本函数，便于研究函数的性质和求解函数方程函数的对称变换关于y轴对称y=f-关于x轴对称y=-关于原点对称y=-xfxf-x将原函数图像关于y轴将原函数图像关于x轴将原函数图像关于原点进行轴对称变换如果进行轴对称变换如果进行中心对称变换如原函数过点a,b，变换原函数过点a,b，变换果原函数过点a,b，变后的函数过点-a,b这后的函数过点a,-b函换后的函数过点-a,-b种变换常用于构造偶函数值变为原来的相反数这种变换常用于构造奇数函数对称变换与函数奇偶性的关系对称变换与函数的奇偶性密切相关奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，这为判断和构造奇偶函数提供了几何直观函数的拉伸变换复合函数复合函数的定义与表示复合函数的定义域确定方法设函数的定义域为，函数要使复合函数有意义，需要内层函数y=fu A的值域为，若∅，则称有意义且在外层函数的定u=gx BA∩B≠gx gxfu函数为复合函数义域内y=fgx复合函数的性质分析复合函数的解构与构造复合函数的奇偶性、单调性、周期性将复杂函数分解为简单函数的复合，等性质需要综合考虑内外层函数的性或将简单函数组合成复杂函数质分段函数分段函数的定义与表示方法在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数称为分段函数通常用大括号表示，每一段都要明确指出定义区间和对应的函数表达式分段函数的连续性判断重点检查分段点处的连续性，需要验证左极限、右极限和函数值是否相等连续性影响函数的可导性和积分性质分段函数图像的绘制技巧分别在各个区间内绘制对应的函数图像，注意端点处的开闭情况，用实心点和空心点准确表示函数在端点处的取值情况分段函数在实际问题中的应用分段函数常用于描述分阶段收费、税率计算、物理学中的分段线性模型等实际问题，能够准确反映不同条件下的不同规律函数的导数导数的定义与几何意义导数fx₀=lim[h→0][fx₀+h-fx₀]/h，几何意义是函数图像在该点处切线的斜率导数描述了函数在某点处的瞬时变化率常见函数的导数公式xⁿ=nxⁿ⁻¹，sinx=cosx，cosx=-sinx，eˣ=eˣ，lnx=1/x，aˣ=aˣlna等基本导数公式需要熟练掌握导数的运算法则和差法则u±v=u±v；乘积法则uv=uv+uv；商的法则u/v=uv-uv/v²；复合函数求导法则[fgx]=fgx·gx高阶导数的计算方法二阶导数fx表示导数的导数，描述函数图像的凹凸性高阶导数在泰勒展开、物理学中的加速度分析等方面有重要应用导数的应用一函数单调性1利用导数判断函数单调性的原理导数的正负性直接反映函数的单调性时函数单调递增，fx0时函数单调递减，这是导数几何意义的直接体现fx02单调区间的求解步骤

①求出函数的定义域；

②求导数；

③解不等式和；

④fx fx0fx0结合定义域确定单调区间3典型例题解析通过具体例题演示求解过程，特别注意导数为零的点的处理，这些点可能是单调性的分界点，需要特别关注4常见错误与解决方法忽略定义域、单调区间写成并集形式、混淆单调性的充要条件等是常见错误，需要严格按照步骤规范解答导数的应用二函数极值函数极值的概念与判定条件极值是函数的局部最大值或最小值极值点的求解方法令求出驻点，再判断左右导数符号fx=0最值问题的解决策略比较端点值和所有极值点的函数值高考真题解析结合具体题目分析解题思路和方法函数极值是导数应用的重要内容极值的必要条件是₀，但这不是充分条件判断极值需要用一阶导数的符号变化或二阶导数的符号fx=0在闭区间上求最值时，需要比较端点值和所有极值点的函数值导数的应用三函数图像利用导数分析函数图像的步骤首先确定函数的定义域，然后求出一阶导数和二阶导数通过一阶导数确定单调性，通过二阶导数确定凹凸性，最后综合分析得出图像特征拐点与二阶导数的关系拐点是函数图像凹凸性改变的点，拐点的必要条件是fx=0或fx不存在在拐点处，函数图像从凹函数变为凸函数，或从凸函数变为凹函数函数图像的综合分析方法结合函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、极值点、拐点等信息，综合分析函数图像的整体特征，绘制出准确的函数图像草图图像素描技巧掌握关键点的确定方法，如与坐标轴的交点、极值点、拐点等注意图像的渐近线、对称性等特殊性质，这些都有助于准确绘制函数图像函数模型的应用函数模型在实际问题中的应用函数模型广泛应用于物理、经济、生物等领域建立函数模型的基本步骤理解问题、设定变量、建立关系、求解验证最值问题的解决思路将实际问题转化为数学最值问题求解实际案例分析通过具体例子展示建模过程和解题方法函数模型是连接数学理论与实际应用的桥梁在建立函数模型时，需要准确理解实际问题的背景，合理设定变量，建立函数关系，并通过数学方法求解常见的应用包括最优化问题、增长模型、衰减模型等函数零点问题函数零点的概念与性质零点存在性定理的应用零点是使的值，对应图像与轴的连续函数在区间端点函数值异号则必有fx=0x x交点零点零点问题在高考中的典型题型二分法与迭代法求零点零点个数、零点范围、含参数零点问题数值方法逼近零点的具体位置函数方程与不等式函数方程的基本解法利用单调性解不等式利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质来如果函数在某区间内单调，则₁₂（递减）这样可以将fx x解函数方程常用方法包括换元法、待定系数法、特值法等函数不等式转化为代数不等式分离参数的技巧高考真题解析当不等式中含有参数时，可以通过移项、因式分解等方法将参通过分析历年高考真题，总结函数方程与不等式的常见题型和数分离出来，转化为求函数的最值问题，从而确定参数的取值解题思路，提高解题的准确性和效率范围函数的综合性质函数性质的综合应用利用性质简化计算综合判断函数的技巧在解决复杂函数问题时，需要巧妙运用函数性质可以大大简对于给定的函数表达式，要系综合运用单调性、奇偶性、周化计算过程例如，利用奇偶统地分析其各种性质先确定期性、有界性等多种性质不性可以减少计算量，利用周期定义域，再依次分析单调性、同性质之间相互制约、相互补性可以将复杂区间的问题转化奇偶性、周期性等，最后综合充，形成完整的分析体系为基本周期内的问题所有信息得出结论复杂函数的分析方法对于复杂的复合函数或分段函数，可以先分析各个组成部分的性质，然后根据复合法则或分段特点，综合得出整个函数的性质特殊函数绝对值函数的性质与应取整函数的特点与解题分式函数的性质分析特殊函数的图像特征用技巧分式函数的定每种特殊函数都有其独特y=Px/Qx绝对值函数y=|fx|具有非取整函数[x]表示不超过x的义域要求Qx≠0函数可的图像特征绝对值函数负性，图像关于x轴上方对最大整数，具有阶梯状图能存在垂直渐近线x=a呈V字形或W字形，取整函称当fx≥0时，|fx|=fx；像函数在每个整数点处（Qa=0）和水平渐近线数呈阶梯状，分式函数可当fx0时，|fx|=-fx不连续，但右连续能有渐近线取整函数的周期性质和分分式函数的单调性需要通掌握这些特征有助于快速绝对值函数常用于构造分段特征使其在数论和离散过导数分析，零点由分子识别函数类型和分析函数段函数，在解不等式和求数学中有广泛应用确定，极值点通过导数为性质函数值域方面有重要应用零确定函数最值问题最值问题的基本解法利用导数求极值，比较端点值和极值闭区间上函数的最大值与最小值连续函数在闭区间上必有最值条件极值问题利用拉格朗日乘数法或消元法最值问题的几何意义函数图像的最高点和最低点函数最值问题是导数应用的重要组成部分在闭区间上，连续函数必定存在最大值和最小值求解最值的一般步骤是求出函数的导数，找到所有驻点，计算端点值和驻点处的函数值，比较大小确定最值对于实际应用问题，最值往往具有明确的几何或物理意义函数题型分类一计算题函数值的计算方法直接代入法适用于简单函数，对于复合函数需要从内到外逐层计算分段函数要先判断自变量属于哪个区间，然后使用相应的表达式计算导数计算的技巧熟练掌握基本函数的导数公式，灵活运用求导法则对于复合函数使用链式法则，对于隐函数使用隐函数求导法，对于参数方程使用参数方程求导公式复合函数的求值设为复合函数，计算时先算的值，再将此值代入fgx fgaga fx要特别注意定义域的限制和函数的连续性分段函数的计算要点首先确定自变量的值属于哪个定义区间，然后使用对应区间的函数表达式进行计算在分段点处要特别注意函数的定义和连续性函数题型分类二证明题函数性质证明的基本方法证明函数性质通常使用定义法、性质法和反证法定义法是最基础的方法，直接利用相关性质的定义进行证明，逻辑严密但过程可能较长利用导数进行证明导数是证明函数性质的强有力工具利用导数可以证明函数的单调性、极值性质、凹凸性等导数证明法简洁高效，是高考中的常用方法反证法的应用当直接证明困难时，可以使用反证法假设结论不成立，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原结论正确反证法在唯一性证明中特别有效证明题的答题规范证明过程要逻辑清晰、步骤完整、语言规范每一步推理都要有充分的依据，结论要明确特别注意数学符号的正确使用和证明的完整性函数题型分类三应用题1实际问题的函数模型建立理解题意，找出变量之间的关系，建立函数表达式要注意实际问题中变量的取值范围和实际意义，确保模型的合理性和准确性2最优化问题的解决思路最优化问题通常转化为求函数的最值问题建立目标函数后，利用导数方法求出极值点，结合实际约束条件确定最优解3参数确定的方法根据给定条件建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式确定参数值要注意参数的实际意义和取值范围4应用题的解题步骤

①理解题意，明确已知和未知；

②建立数学模型；

③求解数学问题；

④检验结果的合理性；

⑤回答实际问题函数题型分类四选择题选择题的解题技巧选择题具有答案唯

一、选项有限的特点可以利用排除法、特值法、图像法等快速解题要善于利用选择题的特点，提高解题效率排除法与验证法排除法通过排除明显错误的选项缩小范围，验证法通过代入选项验证其正确性两种方法常常结合使用，是选择题的重要解题策略常见陷阱与防范选择题中常有陷阱，如定义域遗漏、符号错误、特殊情况忽略等要仔细分析题目条件，避免思维定势，注意特殊值和边界情况提高选择题正确率的方法加强基础知识的掌握，熟悉常见题型和解题方法练习时要分析错误原因，总结解题规律考试时要合理分配时间，先易后难函数的参数问题含参函数的性质分析参数取值范围的确定方法含参函数的性质往往依赖于参数的取值需要根据参数的不同取值范围，根据函数的性质要求建立关于参数的不等式例如，要求函数单调递增，分别讨论函数的定义域、单调性、奇偶性、极值等性质分析过程要全则需要导数恒大于等于零通过解不等式确定参数的取值范围面、系统分类讨论的技巧含参函数的图像分析参数问题常需要分类讨论分类的标准要明确、合理，各类情况要不重参数的变化会影响函数图像的形状和位置通过分析参数对图像的影响，不漏讨论时要注意参数的临界值，这些值往往是函数性质发生变化的可以更直观地理解函数性质的变化规律，有助于解决复杂的参数问题关键点。