【高中数学课件】高考复习《解析几何》课件

高考复习解析几何解析几何是高考数学的重要组成部分，是数与形完美结合的典型体现本课件将系统复习平面解析几何的核心知识点，包括直线、圆、圆锥曲线等重要内容通过深入分析高频考点和解题技巧，帮助同学们提高解题效率与准确率，为高考数学取得优异成绩奠定坚实基础解析几何的学习需要将代数方法与几何直观相结合，既要掌握公式定理，更要理解其几何意义我们将通过丰富的例题和真题解析，让同学们在实战中提升解题能力目录1第一部分直线与方程2第二部分圆与方程3第三部分圆锥曲线包括坐标系基础、直线方程的各种涵盖圆的方程表示、直线与圆的位系统学习椭圆、双曲线、抛物线的形式、直线间位置关系等核心内容置关系、圆与圆的位置关系等知识定义、方程、性质及应用点4第四部分空间向量与立体几何5第五部分综合应用与高考真题掌握空间坐标系、向量运算、空间几何体的解析表示方法分析历年高考真题，总结解题技巧，制定备考策略第一部分直线与方程基础知识体系主要内容直线与方程是解析几何的基础，建立了数与形之间的桥梁通过数学坐标系基础知识•坐标系将几何问题转化为代数问题，使复杂的几何关系变得清晰点、直线的表示方法•明了直线方程的多种形式•本部分将系统学习坐标系的建立、点的表示、直线方程的多种形直线间的位置关系•式，以及直线间的各种位置关系这些知识是后续学习圆锥曲线距离公式的应用•的重要基础坐标系基础坐标系的建立距离公式直角坐标系由两条互相垂直的数两点间距离公式₂d=√[x-轴组成，交点为原点通过坐₁₂₁这是解析几O x²+y-y²]标系可以用有序数对表示平何中最基本的公式之一，是推导x,y面上的任意一点，建立起数与形其他公式的重要基础，必须熟练的对应关系掌握中点公式线段中点坐标公式₁₂₁₂中点公式在求解Mx+x/2,y+y/2对称问题、证明几何性质等方面有重要应用价值直线方程的表示形式点斜式斜截式截距式一般式形式₀形式，其形式，形式y-y=kx y=kx+b x/a+y/b=1Ax+By+C=₀，已知直线上一中为斜率，为轴截其中、分别为轴、，这是直线方程的标-xk by a b x0点₀₀和斜率时距这是最常用的直线轴截距当已知直线准形式所有直线都可x,yk y使用这是最直观的直方程形式，便于分析直在两轴上的截距时，使以用一般式表示，包括线方程形式，体现了直线的性质和进行计算用此形式最为便捷斜率不存在的直线线的几何特征两点确定一条直线计算斜率已知两点₁₁和₂₂，斜率₂₁₂₁注意当₁₂时，直线垂直于轴，斜率不存在x,yx,yk=y-y/x-xx=x x选择合适形式根据已知条件选择最适合的方程形式通常先写出点斜式，再根据需要转换为其他形式化简整理将方程化为一般式，注意系数的符号和最简形式通常要求、、互质且Ax+By+C=0A BC A≥0验证结果将两个已知点代入所求方程，验证是否满足方程这是检验答案正确性的重要步骤直线间的位置关系垂直关系相交关系两直线垂直的条件斜率乘积为两直线相交时有唯一交点通过，即₁₂当一条联立方程组求解交点坐标，判断-1k·k=-1直线斜率不存在时，另一条直线方程组解的情况确定位置关系平行关系夹角计算斜率为0两直线平行的条件斜率相等且两直线夹角公式tanθ=不重合，即₁₂且₁₂₁₁₂夹角k=k b≠|k-k|/1+k k₂特别地，两条垂直线也平范围为°°，注意分母b[0,90]行不为零的条件2314点到直线的距离1距离公式点₀₀到直线的距离x,yAx+By+C=0d=₀₀这是解析几何中的重要公式|Ax+By+C|/√A²+B²2几何意义距离表示点到直线的最短距离，即从点向直线作垂线的长度这个距离在实际问题中有重要应用3应用技巧使用公式时要注意直线方程必须是一般式，分子取绝对值，分母恒为正计算时要仔细检查符号典型例题直线束方程利用附加条件求参数设立直线束方程根据题目给出的附加条件（如过某点、与理解直线束概念对于过两直线₁₁₁₁和某直线平行或垂直等），建立关于参数的l A x+B y+C=0λ直线束是指过某定点的所有直线的集合₂₂₂₂交点的直线束，方程，求出的值，从而确定所求直线方程l Ax+B y+C=0λ过定点₀₀的直线束可以表示为可以表示为x,yy-₀₀，其中为参数当直线垂₁₁₁₂₂₂，y=kx-xk Ax+B y+C+λAx+B y+C=0直于轴时需要单独考虑其中为参数xλ易错点与解题技巧斜率不存在的情况当直线垂直于轴时，斜率不存在，此时直线方程为的形式在讨论直线x x=a位置关系时要特别注意这种特殊情况，避免遗漏一般式系数问题直线方程一般式中，要求和不同时为零通常约定，Ax+By+C=0A BA≥0当时要求，系数要化为最简形式A=0B0参数方程的理解直线的参数方程体现了点在直线上的运动规律，参数的几何意义要深刻理t解参数方程在解决某些问题时比普通方程更加便捷解题方法选择根据题目条件选择最适合的方程形式和解题方法有时候数形结合、分类讨论等方法能够大大简化解题过程，提高解题效率第二部分圆与方程圆的基本理论核心内容圆是平面上到定点距离等于定长的点的轨迹，是最基本的二次曲圆的方程表示形式•线圆的方程有多种表示形式，每种形式都有其特定的适用场合直线与圆的位置关系•和几何意义圆与圆的位置关系•学习圆的方程时，要注意标准方程与一般方程的相互转换，理解圆的切线方程•圆心坐标和半径的几何意义常见问题与解法•圆的方程标准方程一般方程参数方程形式形式形式，x-a²+y-x=a+rcosθ，其中，其中b²=r²a,b x²+y²+Dx+Ey+F=y=b+rsinθθ为圆心坐标，为半，当为参数参数方程r0D²+E²-径这是圆方程最时表示圆一在研究圆上点的运4F0直观的形式，直接般方程便于进行代动轨迹和求解某些体现了圆的几何特数运算和与直线方几何问题时特别有征程联立求解用方程转换标准形式与一般形式可以相互转换从一般式到标准式需要配方，从标准式到一般式需要展开并整理圆的几何性质圆心与半径弦长性质对于一般方程弦长与圆心到弦的距离满足关d，圆心坐标系弦长弦心距x²+y²+Dx+Ey+F=0=2√r²-d²为，半径越小，弦长越大直径是最长的-D/2,-E/2当弦，其长度为r=½√D²+E²-4F D²+E²-2r时，方程不表示圆4F≤0切线与法线过圆上一点的切线垂直于过该点的半径切线方程的求法有多种，要根据具体条件选择最适合的方法进行求解直线与圆的位置关系相离圆心到直线距离大于半径1相切2圆心到直线距离等于半径相交3圆心到直线距离小于半径判定直线与圆位置关系的方法设圆心到直线的距离为，半径为当时相离，时相切，相交解题时要选择计算简便的d r dr d=rd0方法圆与圆的位置关系外切外离两圆心距离等于半径之和₁₂，d=r+r2两圆心距离大于半径之和₁₂，两圆有唯一公共点dr+r1两圆完全分离，无公共点相交₁₂|r-r|3内含5内切两圆心距离小于半径之差₁₂，d|r-r|小圆完全在大圆内部两圆心距离等于半径之差₁4d=|r-₂，两圆内切于一点r|圆的切线方程过圆上一点的切线若点₀₀在圆上，则过该点的切线方程为x,yx²+y²=r²₀₀对于一般圆，切线方程为x x+y y=r²x-a²+y-b²=r²₀₀x-ax-a+y-by-b=r²过圆外一点的切线设圆外一点为₀₀，可设切线方程为₀₀，Px,yy-y=kx-x利用圆心到直线距离等于半径的条件求出斜率注意要考虑斜k率不存在的情况切点弦方程过圆外一点作圆的两条切线，两切点连线称为切点弦切点弦方程与过该点的圆的切线方程形式相同，但几何意义不同圆的综合问题面积计算1圆与直线、圆与圆组成图形的面积计算最值问题2距离、面积、周长等几何量的最值求解轨迹问题3满足特定条件的动点轨迹方程求解圆的综合问题往往涉及多个知识点的综合运用解题时要注意数形结合，既要运用代数方法进行精确计算，也要借助几何直观理解问题的本质对于最值问题，可以考虑使用参数方程、三角换元等方法轨迹问题要抓住动点满足的几何条件，建立坐标关系第三部分圆锥曲线圆锥曲线概述学习重点圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是用平面截圆锥面得到的椭圆、双曲线、抛物线的定义•曲线这些曲线在数学、物理、工程等领域有广泛应用，是解析标准方程与几何性质•几何的核心内容离心率与图形形状的关系•圆锥曲线具有统一的定义和性质，都可以用焦点、准线、离心率直线与曲线的位置关系•等概念来描述掌握这些统一性质有助于系统理解和记忆圆锥曲线的综合应用•椭圆的定义与方程1椭圆定义平面上到两个定点₁、₂的距离之和等于常数的点的轨迹F F2a₁₂₁₂两个定点称为焦点|PF|+|PF|=2a2a|F F|2标准方程焦点在轴上；焦点在轴上x x²/a²+y²/b²=1ab0y其中为长半轴，为短半轴y²/a²+x²/b²=1ab0a b3基本关系，其中为焦半距离心率∈，越小椭圆a²=b²+c²c e=c/a0,1e越接近圆形，越大椭圆越扁e椭圆的几何性质焦点坐标离心率性质当焦点在轴上时₁，，反映椭圆的扁平程度x F-c,0e=c/a₂焦点位置决定椭圆当时椭圆接近圆，当F c,0e→0e→1顶点坐标的开口方向时椭圆变得很扁准线方程长轴顶点±；短轴顶点±，准线与离心率的关a,0x=a²/c±顶点是椭圆上距离中系点到焦点距离与到对应准0,b心最远和最近的点线距离比值等于离心率2314椭圆上的参数方程参数方程表示椭圆的参数方程为，，其中x²/a²+y²/b²=1x=acosθy=bsinθ∈为参数参数称为离心角，具有重要的几何意义θ[0,2πθ参数的几何意义参数不是椭圆上点与中心连线的倾斜角，而是以椭圆中心为圆心、θ长半轴为半径的圆上对应点的极角理解这一点对正确使用参数方程很重要参数方程的应用利用参数方程可以方便地表示椭圆上的任意点，在求椭圆的切线方程、弦长计算等问题中有重要应用三角恒等式在化简过程中经常用到双曲线的定义与方程双曲线定义平面上到两个定点₁、₂的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹₁₂₁₂与椭圆不同，这里是距离差而非距离和F F2a||PF|-|PF||=2a2a|F F|标准方程焦点在轴上；焦点在轴上注意双曲线方程中间是减号，这是与椭圆的重要区别x x²/a²-y²/b²=1y y²/a²-x²/b²=1渐近线方程对于，渐近线方程为±渐近线是双曲线的重要特征，当时，双曲线无限接近渐近线x²/a²-y²/b²=1y=b/ax x→∞共轭双曲线与互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线但焦点轴不同，在解题中要注意区分x²/a²-y²/b²=1-x²/a²+y²/b²=1双曲线的几何性质轴与顶点离心率实轴长为，虚轴长为顶，其中，所以2a2b e=c/a c²=a²+b²点坐标为±实轴是双曲离心率越大，双曲线开口a,0e1线两支之间的最短距离，虚轴决越大当时，双曲线接近退e→1定渐近线的斜率化情况焦点弦性质过焦点的弦中，垂直于实轴的弦最短，长度为焦点弦的性质在2b²/a解决最值问题时经常用到抛物线的定义与方程抛物线定义标准方程焦点与准线对称性平面上到定点（焦点）开口向右对于，焦点抛物线关于通过焦点的F y²=2px y²=2px的距离等于到定直线；开口向左，准线轴对称对称轴方程根l p0Fp/2,0x=-（准线）的距离的点的；开焦点参数的几据开口方向确定，是解y²=-2px p0p/2p轨迹这个定义体现了口向上何意义是焦点到准线的题时的重要参考线x²=2py抛物线的几何本质；开口向下距离p0x²=-2py p0抛物线的几何性质焦半径公式光学性质切线性质对于抛物线上的点平行于对称轴的光线经抛物面反射抛物线上任一点的切线与焦点的连y²=2px₀₀，焦半径后都经过焦点；反之，从焦点发出线和该点与准线的垂线的夹角相等Px,y₀这个公式在求解的光线经反射后都平行于对称轴这个性质体现了抛物线定义的几何|PF|=x+p/2距离最值问题时非常有用，要熟练这个性质在物理和工程中有重要应意义掌握用圆锥曲线的统一认识椭圆封闭曲线，有界01抛物线e=12开放曲线，无界双曲线e13两支曲线，无界圆锥曲线的分类完全由离心率决定当时为双曲线这种统一性认识有助于理解三种曲线的内在联系在极坐标系中，所有圆锥曲01线都可以用统一的方程表示，其中为离心率，为参数ρ=ep/1-ecosθe p直线与圆锥曲线的关系位置关系判定弦长计算通过判别式判断相交，相弦长公式₁ΔΔ0Δ=0|AB|=√1+k²|x-1切，相离注意椭圆的封闭性使得₂₁₂，其中为Δ0x|=√1+1/k²|y-y|k2直线必与椭圆相交或相切直线斜率，要注意斜率不存在的情况切线方程中点弦问题4曲线上一点的切线方程有固定的形式利用点差法设弦端点₁₁、Ax,y对于椭圆上点₀₀，3₂₂，将坐标代入曲线方程相减，x²/a²+y²/b²=1x,yBx,y切线方程为₀₀得到弦的斜率与中点坐标的关系x x/a²+y y/b²=1圆锥曲线中的最值问题距离最值1椭圆上点到焦点距离范围[a-c,a+c]弦长最值2过焦点的弦中，通径最短，长轴最长面积最值3利用参数方程和三角函数求解圆锥曲线的最值问题是高考的热点解决这类问题要掌握基本的最值结论，如椭圆上点到焦点距离的最值、抛物线焦点弦的最值等对于复杂的最值问题，可以建立目标函数，利用导数、三角换元、参数方程等方法求解几何直观和代数计算要有机结合第四部分空间向量与立体几何空间解析几何主要内容空间解析几何是平面解析几何在三维空间的推广，利用空间直角空间直角坐标系的建立•坐标系将立体几何问题转化为代数问题通过建立坐标系，可以向量的运算与几何应用•用代数方法解决空间中点、线、面的位置关系和度量问题空间平面与直线方程•空间几何体的表示•空间向量是处理立体几何问题的重要工具，它将几何问题转化为距离与角度的计算•向量运算，使复杂的空间关系变得清晰明确空间直角坐标系坐标系建立空间直角坐标系由三条两两垂直的数轴组成，交点为原点O通常建立右手坐标系，满足右手定则点的表示空间中任意一点可用有序三元组表示，分别是点在三P x,y,z个坐标轴上的投影坐标距离公式两点₁₁₁和₂₂₂间距离₂Ax,y,zBx,y,zd=√[x-₁₂₁₂₁x²+y-y²+z-z²]向量的基本运算向量加减法数量积向量积向量的加减法满足×的模等于a·b=|a||b|cosθ=x a b平行四边形法则和₁₂₁₂₁，方向垂x+y y+z|a||b|sinθ三角形法则在坐₂数量积的几何直于和构成的平z ab标系中，向量运算意义是一个向量在面向量积在求法转化为对应坐标的另一个向量方向上向量和计算面积中运算的投影与该向量长有重要应用度的乘积混合积三个向量、、的ab c混合积×，[a,b,c]=a·bc其几何意义是以这三个向量为棱的平行六面体的体积空间中的平面方程1点法式方程已知平面过点₀₀₀₀且法向量为，则平面方程为P x,y,zn=A,B,C Ax-₀₀₀这是最直观的平面方程形式x+By-y+Cz-z=02一般式方程，其中为法向量所有平面都可以用一般式表示，Ax+By+Cz+D=0A,B,C系数、、不全为零A BC3截距式方程，其中、、分别为平面在三个坐标轴上的截距当平面x/a+y/b+z/c=1abc不过原点且不平行于坐标轴时可用此形式4平面间关系两平面平行的条件是法向量平行，垂直的条件是法向量垂直平面间夹角等于法向量夹角或其补角空间中的直线方程1参数方程直线过点₀₀₀₀，方向向量为时₀，M x,y,zs=m,n,p x=x+mt₀，₀参数表示点在直线上的位置y=y+nt z=z+pt t2对称式方程₀₀₀，要求、、都不为零当某个x-x/m=y-y/n=z-z/p mn p方向数为零时需要单独处理3两点式方程已知直线过两点₁₁₁和₂₂₂时₁₂Ax,y,zBx,y,zx-x/x-₁₁₂₁₁₂₁x=y-y/y-y=z-z/z-z4直线与平面关系直线平行于平面方向向量垂直于法向量；直线垂直于平面方向向量平行于法向量；直线在平面内直线上任意点都在平面上空间立体的解析表示球面方程柱面方程以点为球心，为半径的母线平行于轴的柱面方程不含，a,b,c Rz z球面方程如表示圆柱面柱面方x-a²+y-b²+z-x²+y²=r²球面是空间中最简单的程的特点是缺少某个坐标变量c²=R²二次曲面旋转曲面曲线绕坐标轴旋转形成的曲面例如，抛物线绕轴旋转得到旋y²=2px x转抛物面y²+z²=2px空间解析几何的综合应用点到平面距离点₀₀₀₀到平面的距离P x,y,zAx+By+Cz+D=0₀₀₀这是空间解析几何中的基本d=|Ax+By+Cz+D|/√A²+B²+C²公式直线与平面交点将直线的参数方程代入平面方程，求出参数值，再求出交点坐标要注意讨论直线与平面平行或重合的情况空间角度计算利用向量的数量积公式计算直线间夹角、直线与平面夹角、平面间夹角注意角度的取值范围和几何意义第五部分综合应用与高考真题高考命题特点备考重点解析几何在高考中占重要地位，通常包括一道选择题、一道填空基础知识的熟练掌握•题和一道解答题考查内容涵盖直线、圆、圆锥曲线的基本性质，常见题型的解题方法•以及它们之间的位置关系计算能力的提升•近年来高考更加注重数学思想方法的考查，如数形结合、分类讨数学思想的灵活运用•论、化归转化等思想在解析几何中都有重要体现时间分配的合理安排•参数方程的应用几何意义消参技巧参数方程中的参数往往有明确的几何或物理通过三角恒等式、代数消元等方法消去参数，意义，如时间、角度、弧长等理解参数的得到普通方程选择合适的消参方法能简化12意义有助于解题计算过程解题优势运动问题43在某些问题中，使用参数方程比普通方程更参数方程在描述点的运动轨迹时特别有用，简便，特别是涉及最值、轨迹、面积等问题参数表示时间，坐标函数描述位置随时间的时变化规律解析几何中的轨迹问题建立坐标系根据题目条件选择合适的坐标系，使计算尽可能简化通常选择对称轴作为坐标轴，重要点作为原点设定动点坐标设动点坐标为，根据题目给出的几何条件，建立和之间的关系x,y xy式注意坐标的取值范围利用几何性质充分利用距离公式、斜率公式、中点公式等建立方程有时需要利用向量、三角函数等工具化简整理将得到的关系式化简为标准形式，确定轨迹的类型注意检查轨迹的完整性和定义域定点、定值与最值问题最值问题利用函数、几何、代数方法求解1定值问题2通过参数消除证明表达式为常数定点问题3证明直线或曲线过定点这三类问题是解析几何的重点和难点定点问题要通过消参或特殊值法找到定点；定值问题需要证明某个几何量或代数式的值不依赖于参数；最值问题可以利用函数方法、几何方法或拉格朗日乘数法等解题时要注意参数的取值范围和约束条件，必要时需要分类讨论配方法与待定系数法配方法技巧通过配方将二次式转化为完全平方式，从而确定曲线的标准形式配方时要注意系数的处理，确保不改变方程的解待定系数法步骤根据曲线类型设出含有待定系数的方程，利用已知条件建立关于系数的方程组，解出系数值这种方法适用于已知曲线类型的情况方法选择当已知条件较多时，待定系数法往往更有效；当需要化简复杂的二次方程时，配方法更适用两种方法可以结合使用常见错误配方时符号错误、待定系数法中方程个数与未知数个数不匹配、忽略参数的取值范围等都是常见错误，需要特别注意分类讨论技巧确定分类标准1根据参数或变量的不同取值情况进行分类各类情况分析2对每种情况分别讨论，得出相应结论综合各类结果3将各种情况的结果综合，得到完整答案分类讨论是解析几何中重要的数学思想常见的分类标准包括斜率是否存在、判别式的符号、参数的取值范围、图形的不同情况等分类时要做到不重不漏，每种情况都要详细分析分类讨论往往与数形结合、化归转化等思想方法相结合，是解决复杂问题的有效途径。