【高中数学课件】高考复习（函数与极限）课件

高考数学复习函数与极限本课件全面覆盖高考数学中函数与极限的核心考点，系统整理了函数概念、性质、图像变换以及极限理论的重要知识点通过典型例题解析和配套练习，帮助学生构建完整的知识框架，掌握解题方法和技巧课件内容紧贴高考要求，注重理论与实践相结合，为学生备考提供有力支撑函数与极限是高中数学的重要组成部分，也是高考的必考内容掌握这部分知识不仅对高考至关重要，更为后续学习微积分等高等数学内容奠定坚实基础课程内容概览1函数基础知识2基本初等函数包括函数概念、性质、定义域值域等核心内容涵盖幂函数、指数函数、对数函数等重要函数类型3函数图像与变换4极限理论应用掌握平移、伸缩、对称等图像变换规律函数极限概念、计算方法和连续性分析第一部分函数的基本概念函数的定义定义域与值域函数表达方式函数是两个非空数集之间的对应关系，定义域是自变量的取值范围，值域是因函数可以用解析法、列表法、图像法和描述了自变量与因变量之间的依赖关变量的取值范围正确确定函数的定义文字描述法四种方式表示不同表示方系理解函数概念是学习所有函数知识域和值域是解决函数问题的关键步骤法各有优势，适用于不同的问题情境的基础函数的定义对应关系映射概念常见误区函数体现了自变量与因函数是一种特殊的映注意区分一一对应与多变量之间的确定性对应射，强调从定义域到值对一对应，避免将多值关系，每个自变量值对域的单值对应性质对应误认为函数关系应唯一的因变量值函数的表达方式解析法（公式表示）用数学公式直接描述函数关系，如y=2x+1这种方法便于进行代数运算和理论分析，是最常用的函数表示方法列表法（数据表格）用表格形式列出自变量和因变量的对应关系适用于离散数据和实验数据的表示，直观明了图像法（坐标平面）在坐标系中用图像表示函数关系能够直观反映函数的性质和变化趋势，便于理解函数特点文字描述法用自然语言描述函数关系常用于实际问题的建模阶段，需要进一步转化为其他表示方法函数的定义域1基本概念理解定义域是使函数有意义的自变量取值范围，是函数存在的前提条件2分母不为零当函数表达式含有分母时，必须保证分母不等于零3偶次根号限制偶次根号下的表达式必须大于等于零，确保根式有意义4对数函数限制对数的底数大于零且不等于1，真数必须大于零函数的值域概念理解值域是函数所有可能取值的集合直接法通过函数解析式直接分析求得单调性法利用函数单调性确定最值反函数法通过求反函数的定义域得到函数的性质概述奇偶性周期性反映函数图像的对称性质，奇函数值按一定周期重复出现的函数关于原点对称，偶函数关性质，三角函数是典型的周期单调性于y轴对称函数有界性描述函数在某个区间内的增减变化规律，分为单调递增和单函数值是否有上界或下界的性调递减质，与函数的最值密切相关函数的单调性定义理解若对于定义域内任意x₁单调区间确定通过解不等式或利用导数符号来确定单调区间注意单调区间之间不能用并集符号连接，要分别写出导数判断法当fx0时函数递增，当fx0时函数递减导数法是判断单调性最有效的方法，在高考中应用广泛函数的奇偶性对称性本质函数图像的对称特征1判断条件2f-x=±fx的代数关系定义域要求3关于原点对称是前提计算验证4代入特殊值进行检验奇偶性判断需要首先验证定义域是否关于原点对称奇函数满足f-x=-fx，图像关于原点中心对称；偶函数满足f-x=fx，图像关于y轴轴对称在解题中，奇偶性常用于简化计算和确定函数性质函数的周期性周期函数定义1存在正数T使得fx+T=fx恒成立最小正周期2所有周期中最小的正数值典型例子分析3三角函数的周期性规律复合函数周期4复合函数周期性的判断方法周期性是函数的重要性质，在三角函数中表现得最为明显正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π，正切函数的最小正周期是π理解周期性有助于简化复杂函数的研究和计算函数的有界性有界性定义最值分析1存在实数M使得|fx|≤M对所有x成立最大值和最小值的存在性讨论2应用价值确界概念4有界性在极限理论中的重要作用3上确界和下确界的数学意义第二部分基本初等函数5∞函数类型应用范围幂函数、指数函数、对数函数、三角函涵盖高中数学各个章节的核心内容数、反三角函数100%考试重点高考数学必考的重要知识点基本初等函数是高中数学的核心内容，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这些函数在实际生活中有广泛应用，从人口增长模型到物理现象描述，都离不开这些基本函数掌握它们的性质和图像特征，是解决复杂函数问题的基础幂函数y=x^a指数函数y=a^x时的性质时的性质自然指数函数a10a1函数单调递增，过点0,1，x轴为水平渐近函数单调递减，过点0,1，x轴为水平渐近y=e^x是最重要的指数函数，在微积分中线，值域为0,+∞线，值域为0,+∞有特殊地位，e≈

2.718对数函数y=log_ax底数范围单调性过定点渐近线a1单调递增1,0y轴0a1单调递减1,0y轴定义域0,+∞值域-∞,+∞对数函数是指数函数的反函数，它们的图像关于直线y=x对称对数函数在解决增长率、pH值、地震震级等实际问题中应用广泛自然对数函数y=lnx以e为底，在高等数学中占有重要地位掌握对数运算法则是学好对数函数的前提三角函数三角函数是描述周期现象的重要工具，在物理学、工程学和天文学中有广泛应用正弦和余弦函数的周期都是2π，值域为[-1,1]；正切函数的周期是π，值域为实数集理解三角函数的周期性、对称性和单调性，是解决三角问题的基础反三角函数反正弦函数y=arcsinx，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]反余弦函数y=arccosx，定义域[-1,1]，值域[0,π]反正切函数y=arctanx，定义域R，值域-π/2,π/2反三角函数是三角函数的反函数，在求解三角方程和积分计算中经常用到需要特别注意反三角函数的定义域和值域限制，这是正确使用反三角函数的关键第三部分函数的图像与变换平移变换伸缩变换对称变换包括水平平移和垂直平改变函数图像的大小比关于坐标轴或原点的对移，改变函数图像的位例，分为水平伸缩和垂称变换，产生翻折效果置但不改变形状直伸缩综合变换多种变换的复合，需要注意变换的顺序和叠加效果函数图像的平移变换纵向平移横向平移复合平移y=fx+b y=fx+a y=fx+a+b当b0时向上平移b个单位，当b0当a0时向左平移a个单位，当a0先进行横向平移，再进行纵向平时向下平移|b|个单位纵向平移不时向右平移|a|个单位注意方向与移平移变换保持函数的形状和性改变函数的定义域，但改变值域符号的关系，容易出错质不变，只改变位置函数图像的伸缩变换纵向伸缩横向伸缩y=kfx y=fkx当k1时，图像纵向拉伸，函数值扩大k倍；当0当k1时，图像横向压缩，横坐标缩小到原来的1/k倍；当0伸缩变换会改变函数图像的比例，影响函数的值域（纵向伸缩）或周期（横向伸缩）在三角函数中，伸缩变换常用于调整振幅和周期，在实际应用中具有重要意义函数图像的对称变换关于轴对称关于原点对称xy=-fx，图像上下翻折，所有点的纵坐标变为相反数y=-f-x，既左右翻折又上下翻折，相当于绕原点旋转180度123关于轴对称yy=f-x，图像左右翻折，所有点的横坐标变为相反数对称变换与函数的奇偶性密切相关如果原函数是偶函数，那么关于y轴对称后得到相同的函数；如果原函数是奇函数，那么关于原点对称后得到相同的函数函数图像的综合变换确定变换顺序1一般先进行伸缩变换，再进行平移变换逐步应用变换2按照确定的顺序逐一应用各种变换验证关键点3通过特殊点验证变换结果的正确性分析最终性质4确定变换后函数的定义域、值域等性质综合变换是高考的重点和难点，需要熟练掌握各种单一变换的规律，然后按照正确的顺序进行复合在解题时，建议先画出原函数图像，然后逐步进行变换，最后得到目标函数的图像第四部分函数的极限概念极限的本质描述函数的变化趋势1直观理解2函数值无限接近某个常数精确定义3ε-δ定义的数学表述左右极限4从不同方向趋近的极限值无穷量概念5无穷大与无穷小的关系极限概念是微积分的基础，它描述了函数在某点附近的变化趋势理解极限不仅要掌握计算方法，更要理解其数学思想和几何意义极限理论为导数、积分等概念的建立提供了理论基础函数极限的直观理解图像观察数值逼近通过函数图像直观观察当x趋近于某个值通过计算一系列接近目标点的函数值，时，函数值的变化趋势和最终趋向观察数值变化规律注意区别趋势分析极限值不一定等于函数在该点的函数分析函数值无限接近某个常数的过程，值，两者是不同的概念理解逼近的数学含义函数极限的定义定义表述ε-δ对于任意ε0，存在δ0，使得当0|x-x₀|δ时，有|fx-A|ε去心邻域概念去心邻域指以x₀为中心，去掉中心点x₀的开区间，记为U°x₀,δ任意小的含义任意小意味着对于任何给定的正数ε，无论多么小，条件都能满足存在性条件必须存在相应的δ使得条件成立，这体现了极限存在的充分性左极限与右极限左极限定义右极限定义极限存在条件当x从x₀的左侧趋近于x₀时，函数的极当x从x₀的右侧趋近于x₀时，函数的极函数在x₀处的极限存在当且仅当左极限限值，记作lim[x→x₀⁻]fx左极限描限值，记作lim[x→x₀⁺]fx右极限描和右极限都存在且相等这是判断极限述了函数从左侧接近某点时的行为述了函数从右侧接近某点时的行为存在性的重要定理无穷大与无穷小无穷大的定义如果当x→x₀时，|fx|无限增大，则称fx为无穷大量，记作lim fx=∞无穷大不是一个具体的数值无穷小的定义如果当x→x₀时，lim fx=0，则称fx为无穷小量无穷小是以0为极限的变量相互关系在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量典型无穷小当x→0时，x、sin x、tan x、ln1+x、e^x-1都是无穷小量，且它们是等价无穷小第五部分极限的计算方法四则运算法则洛必达法则利用极限的加减乘除运算法则进行计算处理0/0型和∞/∞型未定式的有效方法夹逼准则等价无穷小通过构造不等式关系来确定极限值利用等价关系简化极限计算过程极限的四则运算法则运算类型条件运算法则注意事项和差运算极限都存在lim[fx±gx]=lim fx±lim gx可推广到有限项乘积运算极限都存在lim[fx·gx]=lim fx·lim gx可推广到有限项商的运算极限存在且分母极限不为0lim[fx/gx]=lim fx/lim gx分母极限必须非零乘方运算极限存在lim[fx]ⁿ=[lim fx]ⁿn为正整数四则运算法则是计算极限最基本的方法，但使用时必须确保各个函数的极限都存在当出现∞-∞、0·∞等未定式时，不能直接使用运算法则，需要先进行变形处理夹逼准则准则表述如果gx≤fx≤hx，且lim gx=lim hx=A，则lim fx=A这是处理复杂极限的重要工具构造不等式关键在于找到合适的函数gx和hx来夹逼目标函数fx通常利用函数的有界性来构造不等关系经典应用最著名的例子是证明limsin x/x=1当x→0时利用sin x的几何性质构造不等式进行夹逼洛必达法则1适用条件确认首先确认极限是0/0型或∞/∞型未定式，这是使用洛必达法则的前提条件2求导数比值分别对分子和分母求导，然后计算导数比值的极限注意是分别求导，不是求导数的商3重复应用如果结果仍是未定式，可以继续使用洛必达法则，直到得到确定的极限值4验证结果确保最终结果是存在的极限值，注意洛必达法则可能失效的情况等价无穷小代换常见的未定式未定式是极限计算中经常遇到的形式，不能直接求得极限值常见的有七种未定式0/

0、∞/∞、0·∞、∞-∞、1^∞、0^

0、∞^0不同类型的未定式需要采用不同的处理方法，如洛必达法则、等价无穷小代换、变量代换等第六部分函数的连续性连续性定义间断点分类连续函数性质函数在某点连根据左右极限续需要满足三的存在性和函闭区间上连续个条件函数数值的情况，函数具有有界在该点有定将间断点分为性、最值性、义、极限存不同类型零点性和介值在、极限等于性等重要性质函数值连续与极限连续性是极限概念的具体应用，体现了函数的局部性质函数连续性的定义函数在₀有定义xfx₀存在，即x₀在函数的定义域内极限存在lim[x→x₀]fx存在，即左右极限都存在且相等极限等于函数值lim[x→x₀]fx=fx₀，这是连续的关键条件函数在点x₀连续意味着函数图像在该点没有断裂、跳跃或无限接近连续性是函数的局部性质，描述了函数在某点附近的平滑性如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称该函数为连续函数连续性概念在微积分中具有重要地位间断点及其分类第二类间断点至少一侧极限不存在1跳跃间断点2左右极限存在但不相等可去间断点3极限存在但不等于函数值第一类间断点4左右极限都存在间断点分类有助于理解函数的不连续性质可去间断点可以通过重新定义函数值来消除间断；跳跃间断点反映了函数值的突然变化；第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，表示更严重的不连续性闭区间上连续函数的性质有界性定理最值定理零点定理介值定理在闭区间[a,b]上连续的函数在闭区间[a,b]上连续的函数若fx在[a,b]上连续，且若fx在[a,b]上连续，且k在必定有界，即存在正数M，必定能取到最大值和最小fa·fb0，则存在ξ∈a,b fa和fb之间，则存在使得对所有x∈[a,b]，都有值这是连续函数的重要性使得fξ=0这是求解方程根ξ∈a,b使得fξ=k这说明|fx|≤M这保证了连续函数质，在优化问题中应用广的理论基础连续函数具有中间值性质不会无限增大泛连续性与极限的关系连续性的本质复合函数连续性连续性是极限概念在特定点的具体体1若gx在x₀连续，fu在u₀=gx₀连现，强调函数值与极限值的一致性2续，则fgx在x₀连续分段函数处理运算保连续性4分段函数在分界点的连续性需要单独验连续函数的四则运算结果仍为连续函数3证左右极限和函数值（除法时分母不为零）第七部分高考题型分析25%20%30%函数性质题函数值域题极限计算题涉及单调性、奇偶性、周期性的综合分析求解函数在给定区间上的值域范围各种类型极限的计算和未定式处理15%10%连续性题综合应用题函数连续性的判断和间断点分析函数与其他知识点的综合运用函数性质解题策略定义域分析首先确定函数的定义域，这是所有性质分析的基础导数应用利用导数判断函数的单调性和极值点对称性检验通过代数方法或图像特征判断奇偶性特殊点验证选择关键点验证得出的性质结论函数性质题是高考的常考内容，解题时要注意方法的选择和应用定义法虽然是基础方法，但在复杂函数中效率较低；导数法是判断单调性的最有效方法；图像法可以帮助理解和验证结果综合运用多种方法，能够提高解题的准确性和效率函数值域求解技巧单调性结合法先判断函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性确定最值，进而得到值域这是最常用和最可靠的方法配方法对于二次函数类型，通过配方将其转化为标准形式，利用二次函数的性质求值域注意定义域对值域的影响换元法通过适当的变量替换，将复杂函数转化为简单函数，然后求值域要注意新变量的取值范围数形结合法画出函数图像，通过观察图像的最高点和最低点来确定值域这种方法直观但需要准确画图函数极限计算方法总结直接代入法1当函数在该点连续时，极限值等于函数值，可以直接代入计算2因式分解法对于0/0型未定式，通过分子分母的因式分解约去公因子有理化方法3含有根号的表达式可以通过分子或分母有理化来处理4等价无穷小在乘除运算中用等价无穷小代换，简化计算过程洛必达法则5对于0/0或∞/∞型未定式，通过求导数比值的极限来计算函数连续性解题思路确定问题点找出可能的间断点，通常是分界点、分母为零点等计算左右极限分别计算函数在该点的左极限和右极限比较极限与函数值将极限值与函数在该点的函数值进行比较得出结论根据连续性定义判断函数的连续性连续性问题常常涉及分段函数在分界点的连续性判断，或者含参数函数的连续性讨论解题时要特别注意分段点、无定义点等关键位置对于含参数的问题，通常需要分类讨论参数的不同取值情况综合应用题解题方法问题分析模型转化仔细阅读题目，理解问题的本质，找出将实际问题转化为标准的数学模型，选关键信息和隐含条件择合适的函数类型结果验证方法选择检验计算结果的合理性，确保答案符合根据问题特点选择最适合的解题方法和实际意义技巧。