【高中数学课件】高考复习（导数与微分）课件

高考复习导数与微分本课件专为高三学生设计，全面覆盖导数与微分的核心知识点通过系统性的理论讲解和大量真题练习，帮助学生牢固掌握这一高考数学重点内容课件包含张详细讲解，从基础概念到实际应用，确保学生在高考中能够熟练50运用导数知识解决各类问题导数作为高中数学的重要组成部分，不仅是函数研究的重要工具，更是解决实际问题的有力武器通过本课件的学习，学生将深入理解导数的本质，掌握各种求导技巧，并能灵活运用导数解决单调性、极值、最值等问题导数与微分复习大纲理论基础部分应用拓展部分导数的概念与基本性质、求导法则与公式、微分的概念与应用导数在函数性质研究中的应用、实际问题的建模与求解、高考真这些基础知识是后续应用的前提，需要学生熟练掌握各种基本公题解析与考点总结通过大量练习帮助学生提高解题能力和应试式和运算法则技巧第一部分导数的概念导数的定义几何意义可导条件导数本质上表示函数的瞬时变化导数的几何意义是函数图像在某点函数在某点可导需要满足特定条率，是极限概念在函数研究中的重处的切线斜率，这一解释为导数的件，可导性与连续性之间存在密切要应用理解导数定义是掌握导数应用提供了直观的几何背景关系，但两者并不等价理论的基础导数的定义基本定义公式单侧导数₀Δ→左导数和右导数分别表示从左侧fx=lim x0₀Δ₀Δ，这个和右侧逼近时的导数值只有当[fx+x-fx]/x极限式表达了函数在某点处的瞬左导数等于右导数时，函数在该时变化率当极限存在时，函数点才可导在该点可导不可导情况函数在某点不可导主要有三种情况函数在该点不连续、存在尖点（左右导数不等）、或存在垂直切线（导数为无穷大）导数的几何意义切线斜率切线方程法线方程函数在点利用点斜式可得切线方法线与切线垂直，当fx₀₀处的导数值程₀₀时，法线方程x,fxy-fx=fx≠0₀等于该点处切线₀₀这个为₀fxfx x-xy-fx=-的斜率这是导数最直公式在解决与切线相关₀₀法1/fx x-x观的几何解释，为解决的问题时经常使用线斜率是切线斜率的负切线问题提供了理论基倒数础可导与连续的关系连续不一定可导2函数在某点连续并不能保证在该点可导典可导必连续型例子是绝对值函数在处连续但不y=|x|x=0可导如果函数在某点可导，则该函数在此点必定1连续这是导数理论中的重要定理，为判断函数性质提供了依据不连续必不可导如果函数在某点不连续，则该函数在此点必定不可导连续性是可导性的必要条件3不可导点分析1尖点函数在某点连续，但左导数与右导数不相等典型例子是y=|x|在处，左导数为，右导数为x=0-112垂直切线函数在某点的切线斜率为无穷大，即导数不存在例如∛y=x在处的切线垂直于轴x=0x3跳跃间断点函数在该点左右极限存在但不相等，函数不连续，因此不可导这类点在分段函数中较为常见函数可导性例题分段函数讨论对于分段函数，需要分别讨论各段的可导性，特别注意分界点处的可导条件通过计算左右导数来判断可导性绝对值函数分析含绝对值的函数在使绝对值内部表达式为零的点处需要特别讨论这类问题要求学生熟练掌握绝对值的性质参数确定问题根据函数在某点可导的条件，确定参数的取值这类问题综合考查导数定义、连续性和可导性的关系第二部分导数计算基本公式1掌握基本初等函数的导数公式运算法则2四则运算、复合函数求导特殊方法3隐函数、参数方程求导基本初等函数导数公式函数导数函数导数（常数）C0sin xcos xx^n nx^n-1cos x-sin xa^x a^x·ln atan xsec²xe^x e^x cotx-csc²xlog_a x1/x·ln aarcsin x1/√1-x²ln x1/x arccos x-1/√1-x²导数四则运算法则加减法法则1[fx±gx]=fx±gx乘法法则2[fx·gx]=fx·gx+fx·gx除法法则3[fx/gx]=[fx·gx-fx·gx]/[gx]²复合函数求导法则应用链式法则根据链式法则，先对外y=f[gx]·gx2函数求导，再乘以内函数的导数，这是识别复合关系复合函数求导的核心步骤1将复合函数分解为外函数y=f[gx]fu和内函数，明确复合结构是正u=gx化简结果确求导的前提将求得的导数表达式进行化简整理，使结果更加简洁明了特别注意三角函数3和指数对数函数的化简技巧隐函数求导建立方程隐函数通常以的形式给出，无法直接解出的显式表达Fx,y=0y=fx式这类函数需要采用特殊的求导方法来处理两边求导对方程两边同时对求导，注意是的函数，所以对求导时要乘以x yx y这是隐函数求导的关键步骤dy/dx解出导数整理方程，将含有的项移到一边，其他项移到另一边，最dy/dx后解出的表达式结果通常含有和dy/dx x y参数方程求导123一阶导数二阶导数应用实例求参数曲线的切线方程dy/dx=dy/dt/dx/dt d²y/dx²=ddy/dx/dt·1/dx/dt导数计算技巧1幂指函数求导2取对数法3分类讨论法对于形式的幂指函当函数形式复杂，特别是含有多个对于含有绝对值、分段定义或参数y=[fx]^[gx]数，先取对数得因子的乘积或商时，可以先取对数的函数，需要根据不同情况分类讨ln y=，然后两边对求导，简化表达式，再求导这种方法在论每种情况下分别求导，注意边gxln[fx]x最后解出这种方法避免了复杂处理复杂函数时非常有效界点的特殊处理y的直接求导过程常见例题一复合函数求导例求的导数解设，则，根据链式法则y=sin2x+1u=2x+1y=sin uy=cos u·u=cos2x+1·2=2cos2x+1分段函数求导对分段函数求导时，需要分别对各段求导，并特别检查分界点处的可导性通过左右导数的比较来判断整体可导性隐函数求导例求在点处的切线方程通过隐函数求导得到，代入点坐标求得切线斜率x²+y²=11/√2,1/√2dy/dx=-x/y常见例题二参数方程求切线问题是高考的重点内容通过参数方程、，利用求出切线斜率高阶导数的计φψx=t y=t dy/dx=dy/dt/dx/dt算需要反复应用求导法则，注意运算的准确性在物理应用中，导数常用来描述运动的速度和加速度，体现了数学与物理的密切联系第三部分导数的应用函数的单调性单调递增的区间fx0单调递减的区间fx0常数区间的区间fx=0函数极值的必要条件1可导极值点若函数在₀处取得极值且在该点可导，则必有₀fx x fx=0这是费马定理的内容，为寻找极值点提供了必要条件2不可导极值点函数也可能在不可导点处取得极值例如在处不可导y=|x|x=0但取得极小值因此寻找极值时要考虑所有临界点3临界点概念临界点包括导数为零的点和不可导点所有极值点都是临界点，但临界点不一定是极值点需要进一步判断函数极值的充分条件第一充分条件第二充分条件设在₀的某邻域内可导，且₀如果当经过₀设在₀处二阶可导，且₀，₀当fx x fx=0x xfx xfx=0fx≠0时，的符号从正变负，则₀是极大值；从负变正，则₀时，₀是极大值；当₀时，₀是极小fx fxfx0fxfx0fx₀是极小值值fx这个方法计算简便，特别适用于高阶导数容易求得的函数当二这个判定法直观易懂，通过观察导数符号的变化来判断极值类阶导数为零时，需要用第一充分条件判断型在实际应用中使用频率很高函数的最大值与最小值1求定义域内的临界点2计算端点函数值3比较确定最值解方程，找出所有使导数为对于闭区间上的连续函数，必须计比较所有临界点和端点处的函数fx=0零的点同时找出函数不可导的算区间端点处的函数值最值可能值，其中最大者为最大值，最小者点这些点是函数可能取得最值的在内部临界点处，也可能在端点处为最小值这是求闭区间上连续函候选点取得数最值的标准方法曲线的凹凸性凹曲线（上凹）当时，曲线是凹的直观地说，曲线像一个微笑的嘴巴，任fx0意两点间的弦位于曲线上方凸曲线（下凹）当时，曲线是凸的直观地说，曲线像一个皱眉的嘴巴，任fx0意两点间的弦位于曲线下方判断方法通过计算二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性二阶导数的符号变化点可能是拐点函数图像的拐点判断条件2若₀且₀，或在₀处fx=0fx≠0fx x变号，则₀₀是拐点拐点定义x,fx连续曲线凹凸性改变的点称为拐点在拐点1处，曲线从凹变凸或从凸变凹与极值区别拐点与极值点概念不同拐点是凹凸性变化点，极值点是函数值的局部最大或最小点3曲线的渐近线斜渐近线1形式y=kx+b水平渐近线2的形式y=b垂直渐近线3的形式x=a利用导数描绘函数图像基本信息1确定定义域、值域、奇偶性、周期性等基本性质关键点分析2找出零点、极值点、拐点、间断点等关键点性质研究3分析单调性、凹凸性、渐近线等图像特征图像绘制4综合所有信息，准确描绘函数图像经典应用例题一单调区间求解例求函数的单调区间首先求导fx=x³-3x²+2fx=3x²-6x=3xx-，令得或通过符号分析确定单调区间2fx=0x=0x=2极值计算利用第一或第二充分条件判断极值计算临界点处的函数值，结合单调性分析确定极大值和极小值注意区分极值与最值的概念最值求解在给定区间内，比较临界点和端点处的函数值最值问题在实际应用中非常重要，需要熟练掌握求解方法和步骤经典应用例题二凹凸性判断拐点确定通过计算二阶导数的符号来判断函解方程，找出可能的拐点横坐fx fx=01数图像的凹凸性当时函数图标检验这些点附近二阶导数符号是否fx02像为凹，当时为凸改变，确定真正的拐点fx0渐近线分析图像描绘分别计算水平、垂直和斜渐近线水平综合单调性、凹凸性、极值点、拐点、4渐近线通过计算极限确→limx±∞fx渐近线等信息，完整描绘函数图像注3定，垂直渐近线在函数趋于无穷的点意各个特征点的准确标注处第四部分导数的实际应用切线与法线问题过曲线上一点的切线已知曲线上一点的坐标，利用导数求该点处的切线斜率，然后用点斜式写出切线方程这是最基本的切线问题类型过曲线外一点的切线设切点坐标为，利用切线斜率等于导数值和切线过已知点两个条件，建立方程组求解切点坐标t,ft与已知直线平行或垂直的切线利用平行线斜率相等、垂直线斜率乘积为的性质，结合导数几何意义求解切点，再写出切线方程-1相关变化率1建立关系式根据题目中各变量之间的几何或物理关系，建立包含所求变化率的函数关系式这是解决相关变化率问题的关键步骤2对时间求导将建立的关系式两边同时对时间求导，得到各变化率之间的关t系式注意应用链式法则和乘积法则3代入已知条件将题目给出的具体数值和已知变化率代入导数关系式，求出所需的未知变化率注意单位的统一导数的物理应用123位移函数速度函数加速度函数表示质点的位移表示瞬时速度表示瞬时加速度st vt=st at=vt=st最优化问题1理解问题背景2建立目标函数仔细分析题目，明确要优化的根据题意建立目标函数，确定目标量是什么，找出影响目标自变量的取值范围如果有多的各个变量理解问题的实际个变量，需要利用约束条件消意义是建立正确数学模型的前去多余变量，化为单变量函提数3求解最值对目标函数求导，找出临界点，结合定义域端点，比较各点函数值确定最值验证结果的合理性经济应用问题边际概念成本最小化边际成本是成本函数的导数，表在满足一定约束条件下，通过求示生产一个单位产品所增加的成成本函数的最小值来确定最优生本边际收益和边际利润类似定产方案这类问题需要建立成本义，都体现了导数作为变化率的与产量的函数关系经济意义利润最大化利润等于收益减去成本，求利润函数的最大值通常需要考虑市场需求、生产能力等实际约束条件几何最值问题面积最大问题用固定长度的围栏围成矩形，求面积最大值设矩形长为，则宽为，面积函数为，通过求导确定最值x L-2x/2Ax=xL-2x/2体积最值问题给定表面积的圆柱体，求体积最大值建立体积关于半径的函数，利用表面积约束条件，通过导数求解最优尺寸距离最值问题求平面上一点到曲线的最短距离建立距离的平方作为目标函数，避免根号运算，通过求导找到距离最小的点第五部分微分的概念与应用微分定义微分表示函数增量的线性主部，是导数概念的重要补充和应用工具dy=fxdx近似计算利用微分进行近似计算是微分理论的重要应用，在工程计算中具有实际价值高阶微分高阶微分的概念和计算方法，为更深入的数学理论学习奠定基础微分的定义微分概念可微性设函数在点处可导，则称为函数在点处的微如果函数在某点可导，则在该点可微；反之，如果函数在某点可y=fx xfxdx fx x分，记作其中是自变量的微分（即增量）微，则在该点可导因此可导与可微是等价的概念dy=fxdx dx x微分的几何意义是切线上对应于的纵坐标增量，而是曲线基本函数的微分公式可以直接从导数公式得到ΔΔxydsin x=cosx上对应的纵坐标增量当很小时，，等ΔΔx dy≈y dx dx^n=nx^n-1dx微分运算法则运算微分法则说明和差微分运算满足线性性d[fx±gx]=dfx±dgx乘积乘积微分法则d[fx·gx]=fxdgx+gxdfx商商的微分法则d[fx/gx]=[gxdfx-fxdgx]/[gx]²复合复合函数微分法则d[fgx]=fgxdgx微分在近似计算中的应用基本原理1当很小时，有₀，因此₀₀₀ΔΔΔΔΔ|x|y≈dy=fxxfx+x≈fx+fxx适用条件2要求较小，且在₀附近有连续导数，误差估计为ΔΔ|x|fx xO x²常用公式，，，（接3αα1+x^≈1+x√1+x≈1+x/2sin x≈x e^x≈1+xx近时）0高阶微分阶微分n阶微分的一般形式为2n d^n，其中表示y=f^nxdx^n f^nx n阶导数二阶微分1，d²y=ddy=dfxdx=fxdx²注意表示的平方，不是应用意义dx²dxdx²高阶微分在泰勒展开、数值分析等高等数学内容中有重要应用，是微分理论的3进一步发展第六部分高考真题解析导数概念类真题一导数定义题型年全国卷利用导数定义求₀₀解题关→2023limh0[fx+h-fx]/h键是识别极限式的结构，直接应用导数定义₀此类题目考查学生fx对导数本质的理解可导性判断年全国卷讨论分段函数在处的2022fx={x²,x≤1;ax+b,x1}x=1可导性需要利用连续性和左右导数相等的条件确定参数的值a,b切线方程求解年全国卷求曲线在点处的切线方程首先求2021y=xe^x0,0导，代入得斜率，再用点斜式写出切线方程y=e^x+xe^xx=0y=x导数计算类真题一复合函数1的导数计算y=lnx²+1隐函数求导2求x²+y²=1dy/dx参数方程3求切线斜率x=t²,y=t³导数计算是高考的基础题型，主要考查学生对各种求导法则的掌握程度复合函数求导要熟练应用链式法则，隐函数求导需要两边同时对求导，参数方程求导使用公式这些计算技巧必须熟练掌握，为后续应用题打好基础x dy/dx=dy/dt/dx/dt导数应用类真题一单调性分析求的单调区间fx=x³-3x+1极值计算确定函数的极大值和极小值最值求解在给定区间内求函数最值这类题目是高考的重点，通常以解答题形式出现解题步骤规范先求导，再求临界点，然后分析导数符号变化，最后得出结论导数应用类真题二渐近线问题函数图像描绘年高考题求函数年高考综合题根据函20202019的渐近线数解析式描绘图像需要综合fx=x²-1/x-1需要分别考虑水平、垂直和斜分析定义域、单调性、极值、渐近线化简得凹凸性、渐近线等特征，这是，所以是导数应用的综合体现fx=x+1x≠1x=1垂直渐近线相关变化率年应用题气球充气问题，已知体积变化率求半径变化率利用2018，两边对时间求导得V=4πr³/3dV/dt=4πr²dr/dt微分应用类真题近似计算题型误差估计问题年高考利用微分计算的近似值设，在年高考测量圆的半径有误差，估算面积误Δ2023√

4.01fx=√x2022r=

0.1cm₀附近，，所以差圆面积，，当时，x=4fx=1/2√xf4=1/4S=πr²dS=2πr drr=10cmdS=2π×10×

0.1=2πcm²应用公式这类题√

4.01≈√4+f4×

0.01=2+1/4×

0.01=

2.0025目考查微分在实际计算中的应用价值相对误差为微分为误差分析提供了简dS/S=2π/π×100=2%便的计算方法综合应用类真题一最优化设计物理运动问题几何最值问题年高考用米围栏围成矩形菜年高考质点运动方程年高考求内接于圆的矩形最大面20232002022st=t³-2021园，一边靠墙不需围栏，求面积最大值，求速度为零的时刻和位移积利用圆的参数方程和面积公式，建立6t²+9t设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长，令得或面积关于参数的函数，通过求导确定最x vt=st=3t²-12t+9vt=0t=1为，面积值200-2x S=x200-2x t=3综合应用类真题二综合应用类题目通常涉及多个学科的交叉应用经济学中的边际分析、工程中的优化设计、生物学中的增长率模型都需要用到导数知识这类题目要求学生具备较强的数学建模能力，能够将实际问题转化为数学问题，然后运用导数理论求解解题时要注意实际意义的合理性检验答题技巧总结1审题要仔细仔细阅读题目，理解题意，明确要求什么特别注意题目中的关键词单调区间、极值、最值、切线等不要急于动笔，先分析题目类型和解题思路2步骤要规范导数题目的解答要步骤清晰，逻辑严密求导要写出中间步骤，判断单调性要列表格，求极值要验证充分条件每一步都要有理有据3计算要准确导数计算容易出错，要熟练掌握各种求导法则复合函数、隐函数、参数方程的求导要特别小心计算完成后要检验结果的合理性4结论要完整最后要回答题目的问题，单调区间要用区间表示，极值要指明是极大值还是极小值，应用题要回到实际背景中解释结果的意义复习要点与备考建议核心知识梳理解题方法归纳备考策略建议系统梳理导数的定义、几何意义、计算法总结各类题型的解题方法和步骤单调性制定合理的复习计划，先巩固基础知识，则和应用重点掌握基本函数的导数公问题的解题流程、极值问题的判断方法、再进行专题训练多做历年高考真题，熟式、四则运算法则、复合函数求导、隐函最值问题的求解步骤、切线问题的处理技悉题型和出题规律注意总结错题，查漏数求导等核心内容巧等都要熟练掌握补缺微分的概念和应用也要理解透彻，特别是对于综合应用题，要掌握数学建模的基本考前一周要回归基础，重点复习基本公式在近似计算中的应用这些基础知识是解思路，学会将实际问题转化为数学问题，和常见题型保持良好的心态，相信通过决复杂问题的根本然后运用导数知识求解系统的复习一定能在高考中取得好成绩。