【高中数学课件】高考复习（导数与极限，积分与应用）课件

高中数学高考复习课件导数与极限，积分与应用本课件系统梳理高考数学中导数与极限、积分与应用的核心知识点，涵盖从基础概念到综合应用的完整体系通过精选例题、真题解析和答题技巧指导，帮助同学们全面掌握这一重要板块，为高考数学取得理想成绩奠定坚实基础目录与知识结构总览极限与连续性导数及其应用12涵盖数列极限、函数极限、连系统学习导数概念、求导法续性判断等基础概念，为导数则、单调性分析、极值最值问学习奠定理论基础重点掌握题这是高考的重点和难点，极限运算法则和连续函数性综合性强，应用广泛质积分与实际应用3掌握不定积分、定积分的概念和计算方法，重点关注面积计算和实际问题建模注重与导数知识的综合运用第一部分极限与连续性简介极限思想的重要性高考中的地位极限是微积分的基础概念，体现了数学中从有限到无限、从极限概念在高考中主要作为工具出现，虽然不是直接考查重离散到连续的思想转变它不仅是理解导数和积分的前提，点，但是理解极限思想对于掌握导数定义、理解连续性概念更是培养数学抽象思维的重要工具具有重要意义数列极限基本概念极限的直观理解收敛与发散当n趋向无穷大时，数列an收敛数列有唯一的极限值，无限接近某个确定的常数而发散数列要么无极限，要A，则称A为数列的极限关么趋向无穷大判断收敛性键在于理解无限接近的含是解题的第一步义典型例子分析ⁿ如数列1/n收敛于0，而数列-1发散通过具体例子加深对概念的理解，避免抽象思维的困难数列极限的判定方法单调有界准则单调递增有上界或单调递减有下界的数列必定收敛这是判定极限存在性的重要工具，特别适用于递推数列夹逼定理应用当满足an≤bn≤cn且lim an=lim cn=A时，必有lim bn=A这个定理在处理复杂数列极限时非常有效实际应用技巧结合具体题型，掌握如何选择合适的方法单调有界适用于递推关系，夹逼定理适用于不等式约束的情况函数极限的分类无穷远处极限无穷大极限当x趋向正无穷或负无穷时函函数值趋向无穷大的情况，数的变化趋势，常用于判断需要区分正无穷和负无穷，左极限与右极限基本函数极限函数的渐近线与极限不存在的情况x从左侧和右侧趋近某点时函掌握常见初等函数在各种情数的极限值，只有左右极限况下的极限值，这是计算复相等时函数极限才存在合函数极限的基础2314求极限的主要方法直接代入法1当函数在该点连续时，可以直接将极限点代入函数求值这是最简单直接的方法因式分解法2对于0/0型未定式，通过分子分母同时约去公因子来化简常用于多项式函数的极限计算有理化方法3当遇到根式时，通过分子或分母有理化来消除根号，化简计算过程重要极限应用4熟练运用limsinx/x=1和lim1+1/x^x=e等重要极限公式解决复杂问题洛必达法则基础法则适用条件函数在该点的极限为0/0或∞/∞型未定式，且导数存在必须严格检查条件是否满足，避免误用应用步骤规范先判断未定式类型，再对分子分母分别求导，继续求极限如果仍是未定式可以重复使用法则常见错误避免不能机械套用公式，要注意检查条件有时直接化简比使用洛必达法则更简单有效极限运算法则与性质四则运算性质有界性质夹逼性质两个函数极限的和、在某点有极限的函数在如果三个函数满足大小差、积、商的极限等于该点的某个邻域内必定关系且两端函数极限相各自极限的和、差、有界这个性质在证明等，则中间函数极限也积、商注意商的情况题中经常用到存在且相等下分母极限不能为零保序性质如果两个函数都有极限且在某邻域内保持大小关系，则它们的极限也保持相同的大小关系无穷小与无穷大的概念等价无穷小1高阶概念，用于简化极限计算无穷小替换2sinx~x,tanx~x,ln1+x~x等常用替换无穷小基本性质3有限个无穷小的和、积仍为无穷小无穷大概念4函数值的绝对值无限增大函数的连续性与间断点连续性定义1函数在某点连续需满足三个条件函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值间断点分类第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，第二类间断点为无穷间断点和振2荡间断点判定方法通过检查左右极限的存在性和相等性，以及与函数值的关3系来判断连续性连续函数的性质最值定理零点定理在闭区间上连续的函数必定存在闭区间上连续且端点函数值在最大值和最小值这是求函异号的函数，在区间内必存在数最值问题的理论基础，在实零点这是方程根的存在性证际应用中具有重要意义明的重要工具介值定理连续函数在区间上能取遍最大值与最小值之间的任何值这个性质说明了连续函数图像的完整性连续性的高考题型归类题型类别常见形式解题要点分值占比选择填空题判断连续性，求参数值利用连续性定义5-10分解答题辅助证明零点存在零点定理应用3-5分综合应用与导数结合连续可导关系8-12分模拟与真题训练

（一）85%315极限题正确率主要题型分钟完成通过系统训练可达到的目标正确率，重点数列极限、函数极限、连续性判断是高考熟练掌握后，一般极限题目的标准完成时掌握基本方法和常见题型中最常见的三类极限相关题型间，包括检查验证过程第二部分导数与其应用概述实际背景理解几何意义掌握导数源于物理中的瞬时速度概念，反导数的几何意义是函数图像在该点处1映函数的局部变化率，是从平均变化切线的斜率，这为理解导数的正负性2率到瞬时变化率的思想飞跃和函数单调性奠定基础知识体系构建应用价值认知4导数将函数、不等式、方程等知识有导数是解决函数单调性、极值、最值3机结合，形成完整的数学思维体系，问题的重要工具，在高考中占据重要培养综合分析能力地位，应用广泛导数基本概念定义理解导数是函数在某点处的变化率极限，即Δy/Δx当Δx趋于0时的极限值几何解释导数值等于函数图像在该点处切线的斜率，提供了函数局部性质的几何直观物理意义在物理中，导数表示瞬时速度、加速度等物理量，体现了数学与实际的紧密联系导数的基本公式归纳⁻ⁿⁿˣˣ掌握基本导数公式是求导运算的基础幂函数导数x=nx¹，三角函数导数sinx=cosx，指数函数导数e=e，对数函数导数lnx=1/x等都是必须熟记的基本公式这些公式不仅要记住，更要理解其推导过程和几何意义求导法则系统梳理四则运算法则和差积商的求导法则是复合运算的基础，特别要注意商的求导法则中分母的平方项复合函数求导链式法则是处理复合函数的核心方法，要掌握从外层到内层逐步求导的技巧解题规范求导过程要步骤清晰，避免跳步导致的计算错误，注意定义域的讨论隐函数与参数方程的导数隐函数求导步骤参数方程求导对方程两边同时对x求导，利用复合函数求导法则处理含y的当x=ft,y=gt时，dy/dx=dy/dt/dx/dt这个公式要熟练项，最后解出dy/dx关键是要把y看作x的函数掌握，是处理参数方程问题的基础常见错误是忘记对含y的项使用链式法则，或者在最后求解应用时要注意参数t的取值范围，以及dx/dt不能为零的条dy/dx时出现代数运算错误件二阶导数的求法也是考查重点高阶导数初步二阶导数定义几何意义应用二阶导数是导数的导数，记作二阶导数的正负性决定函数图像fx或d²y/dx²它反映函数变化的凹凸性fx0时图像向上率的变化情况，在物理中表示加凹，fx0时图像向下凹速度高考考查重点主要考查二阶导数与函数凹凸性的关系，以及在判断函数图像特征方面的应用导数与函数单调性导数与函数极值、最值极值点判定1₀必要条件是fx=0，充分条件是导数在该点左右两侧异号最值求解2比较区间端点值和区间内极值点的函数值，取其中最大最小者实际应用3建立目标函数，利用导数方法求最值，解决实际优化问题导数与函数图像探究凹凸性判断通过二阶导数的正负性判断函数图像的凹凸性fx0的区间函数图像向上凹，fx0的区间函数图像向下凹拐点确定二阶导数为零且左右两侧异号的点为拐点拐点是函数图像凹凸性改变的分界点，在图像分析中很重要综合分析结合一阶导数和二阶导数的信息，完整描述函数的单调性、极值和凹凸性，绘制函数的大致图像导数与方程近似解牛顿切线法原理利用切线方程逼近函数零点的方法从初始点开始，用切线与x轴的交点作为下一个近似值，反复迭代得到精确解迭代公式推导₀₀₀₀设函数fx在x处的切线方程为y=fx x-x+fx，令₁₀₀₀y=0得到x=x-fx/fx高考应用举例虽然牛顿法不是直接考点，但理解其思想有助于解决方程根的估算问题，体现了导数的实际应用价值几何应用切线方程切线方程公式法线方程解题规范₀₀₀过点x,fx的切线方法线斜率为-1/fx，法先求导数，再求切点坐₀₀₀程为y-fx=fx x-线方程为y-fx=-标，最后写出切线方₀₀₀x这是最基本也是最1/fx x-x，前提是程注意验证导数存在₀重要的公式fx≠0性和计算准确性常见变式过曲线外一点的切线、两曲线的公切线等问题，需要设出切点坐标，利用切线条件建立方程组导数与分段函数问题高阶讨论1综合分析各段函数性质端点导数2检查分段点处左右导数是否相等连续性验证3分段点处函数值的左右极限与函数值基本求导4各段分别按相应公式求导导数在实际问题中的应用概述经济学应用物理学应用在经济学中，导数用于分物理中的速度是位移对时析边际成本、边际收益等间的导数，加速度是速度概念通过建立成本函数对时间的导数通过导数或收益函数，利用导数求分析物体运动规律，求解解最优产量、最大利润等最值问题如最大射程、最问题，体现数学在经济决短时间等策中的重要作用工程优化在工程设计中，利用导数优化材料用量、结构参数等如设计容器时寻求表面积最小、体积最大的方案，体现数学建模的实用价值导数与高考压轴题案例题型特点分析压轴题通常综合函数性质、不等式证明、参数讨论等多个知识点，需要较强的逻辑思维和计算能力解题策略制定先分析函数性质，再根据题意建立不等式或方程，最后利用导数工具进行求解和证明答题规范要求步骤要完整清晰，逻辑要严密，计算要准确，特别注意分类讨论的完备性和结论的准确性模拟与真题训练

（二）单调性极值最值切线问题综合应用导数部分高考真题精讲年真题特点20201重点考查导数与函数单调性，题目设置相对基础，主要考查基本概念和方法的掌握情况年真题特点22021加强了导数与不等式的结合，出现了参数分类讨论的复杂情况，对学生综合能力要求较高年真题特点20223注重实际应用背景，将导数与实际问题相结合，考查学生的数学建模和问题解决能力趋势42023-2024继续保持综合性强的特点，更加注重数学思维和方法的考查，减少纯计算类题目第三部分积分与应用总览积分思想本质几何意义理解积分是微分的逆运算，体现了从局部定积分的几何意义是曲线与坐标轴围1到整体、从无限分割到无限求和的数成的有向面积，为理解积分概念提供学思想，是解决累积问题的重要工具了直观的几何解释应用价值认知计算方法掌握积分在面积计算、体积计算、物理问牛顿-莱布尼茨公式是计算定积分的题等方面有广泛应用，是连接数学与基本工具，将定积分计算转化为求原实际的重要桥梁函数的问题不定积分基础概念原函数概念如果Fx=fx，则Fx是fx的一个原函数原函数具有无穷多个，相差常数项不定积分定义fx的全体原函数称为fx的不定积分，记作∫fxdx=Fx+C，其中C为任意常数验证方法通过对结果求导验证不定积分的正确性，这是检查积分计算的有效方法基本积分公式汇总函数类型积分公式注意事项幂函数∫x^n dx=n≠-1x^n+1/n+1+C指数函数∫e^x dx=e^x+C底数为e三角函数∫sin x dx=-cos x+C注意符号反比例∫1/x dx=ln|x|+C x≠0换元积分法换元技巧总结第二类换元法第一类换元法选择换元变量要使积分化简，常见的换元设x=ψt，将∫fxdx转化为有三角换元、指数换元等换元后不要忘设u=φx，将∫f[φx]φxdx转化为∫f[ψt]ψtdt常用于处理根式积分，通记将结果用原变量表示∫fudu关键是识别复合函数结构和选过三角换元或其他代换消除根号择合适的换元变量成功换元后积分会变得简单分部积分法基础分部积分公式应用技巧指导∫udv=uv-∫vdu，这个公式是乘积求导法则的逆向应用分部积分有时需要多次使用，甚至与换元法结合有些积分选择u和dv的原则是u求导简化，dv积分容易通过分部积分会产生循环，可以通过解方程的方法求解常见的选择顺序是反对幂指三，即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的优先级递减在高考中，分部积分主要用于一些特定类型的积分，掌握基本方法和常见题型即可定积分定义与几何意义定积分定义几何意义定积分∫[a到b]fxdx表示函数当fx≥0时，定积分等于曲线fx在区间[a,b]上的积分值，通过y=fx、直线x=a、x=b和x轴围成分割、近似、求和、取极限的过的曲边梯形面积程得到性质应用定积分具有线性性、可加性、保序性等重要性质，这些性质是计算和应用定积分的基础定积分基本性质与运算线性性质区间可加性对称性质∫[a到b][kfx+lgx]dx=∫[a到c]fxdx=∫[a到利用函数的奇偶性和积k∫[a到b]fxdx+l∫[a到b]fxdx+∫[b到分区间的对称性可以简b]gxdx，常数可以提取c]fxdx，积分区间可以化计算，奇函数在对称到积分号外任意分割组合区间上的积分为零保序性质如果在积分区间上fx≤gx，则∫[a到b]fxdx≤∫[a到b]gxdx利用定积分求面积复杂图形1多个函数围成的复杂区域函数交点2确定积分区间的关键步骤被积函数3上函数减去下函数的表达式基本面积4曲线与坐标轴围成的区域积分与不定式极限积分上限函数设Fx=∫[a到x]ftdt，则Fx=fx这个结论将积分与导数联系起来，是微积分基本定理的重要组成部分洛必达法则应用当遇到含积分的0/0或∞/∞型极限时，可以结合洛必达法则求解对分子分母分别求导，利用积分上限函数的导数性质综合题型解析这类题目通常综合考查极限、导数、积分的知识，需要灵活运用各种方法和定理，体现了微积分知识的系统性几何应用体积、弧长题简介旋转体体积曲线弧长曲线y=fx绕x轴旋转形成的旋曲线y=fx在[a,b]上的弧长为转体体积为V=π∫[a到L=∫[a到b]√1+[fx]²dx弧b][fx]²dx这是定积分在立长公式来源于微分几何，在工体几何中的重要应用，体现了程计算中有实际意义积分求和的思想高考要求说明这部分内容在不同省份的高考要求不同，主要作为拓展内容了解重点掌握基本概念和简单计算方法即可积分部分高考真题解析2022年2023年2024年积分压轴题及高分技巧题型特征识别积分压轴题通常结合函数性质、不等式证明、参数讨论等，需要综合运用多种数学方法和思想解题策略制定先分析函数结构，确定积分方法，再结合题目要求进行分类讨论或不等式证明规范答题要求积分计算过程要完整，几何意义要明确，结论表述要准确，避免因格式问题失分积分与导数的综合应用微积分基本定理1∫[a到b]fxdx=fb-fa，这个定理建立了导数与积分的根本联系积分上限函数2Fx=∫[a到x]ftdt的导数为Fx=fx，体现了积分与导数的互逆关系综合应用技巧3在解决复杂问题时，要灵活运用导数和积分的关系，相互转化求解高考备考策略及常见易错点导数易错点时间分配求导法则混淆、定义域忽略、单调性判断导数大题建议用时15-20分钟，积分题10-错误、极值点与最值点概念不清15分钟，要合理安排答题时间复习重点积分易错点重点掌握基本概念和方法，多练习典型题换元积分变量回代遗忘、定积分上下限搞型，注重知识点之间的联系错、面积计算符号处理不当高分答题模板与书写规范390%步骤层次得分率求导数、分析性质、得出结论，每个规范答题可以达到的目标得分率，避步骤要清晰标记，逻辑链条完整免因格式问题造成不必要的失分5关键得分点每道大题通常有5个主要得分点，要确保关键步骤和结论的准确性综合拔高例题（全讲解）问题分析阶段计算求解阶段证明总结阶段首先分析函数的定义域、单调性、极值运用导数工具分析函数性质，结合积分对结果进行验证和总结，确保答案的合等基本性质，为后续求解奠定基础要方法求解面积或其他量计算过程要严理性综合题往往需要分类讨论，要保特别注意参数的影响谨，避免代数错误证讨论的完备性典型题型归纳与训练建议建议按照题型进行专项训练，每类题型掌握3-5个典型例题的解法导数部分重点练习单调性分析和极值求解，积分部分重点练习基本计算和面积应用通过大量练习形成解题的条件反射，提高解题速度和准确率同时要注意总结解题规律，形成自己的解题模板高频错题总结与防范计算错误概念混淆逻辑不严格式不规范审题不清临考冲刺必记公式清单导数公式精选积分公式精选•x^n=nx^n-1•∫x^n dx=x^n+1/n+1+C•e^x=e^x•∫e^x dx=e^x+C•ln x=1/x•∫1/xdx=ln|x|+C•sin x=cos x•∫sin xdx=-cos x+C•cos x=-sin x•∫cos xdx=sin x+C复合函数求导[fgx]=fgx•gx牛顿-莱布尼茨公式∫[a到b]fxdx=Fb-Fa。