【高中数学课件】高考复习（导数与证明）课件

高考数学复习导数与证明本课程全面覆盖高中导数知识点，系统掌握导数在不等式证明中的应用通过个精选例题与详解，配有梯度训练和答案解析，帮助学生在高考中取得50优异成绩导数作为高中数学的重要内容，不仅是微积分的基础，更是解决实际问题的有力工具本课程将从基础概念出发，逐步深入到复杂的证明技巧，确保学生能够熟练运用导数知识课程目标1掌握导数的基本概念和几何意义深入理解导数作为瞬时变化率的本质，掌握导数的几何意义及其在图像分析中的应用2熟练运用导数公式进行计算掌握基本函数的导数公式，熟练运用四则运算法则和复合函数求导法则进行计算3学会利用导数证明不等式掌握构造函数法、单调性分析法等多种证明技巧，能够灵活运用导数证明各类不等式4提高解决高考导数题目的能力通过大量真题训练，提升解题速度和准确性，在高考中取得理想成绩第一部分导数基础知识导数的定义与几何意义从瞬时变化率的角度理解导数概念，掌握导数的几何意义及其在切线问题中的应用常见函数的导数公式熟记并理解基本初等函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数导数的四则运算掌握导数的线性性质、乘积法则和商法则，能够处理复杂函数的导数计算复合函数的导数理解并熟练运用链式法则，解决复合函数的导数计算问题导数的定义瞬时变化率的数学表达物理和几何意义导数描述的是函数在某一点处的瞬时变化率，它反映了函数值随从物理角度看，导数表示瞬时速度，即物体在某一时刻的运动快自变量变化的快慢程度这个概念来源于物理学中对瞬时速度的慢从几何角度看，导数表示函数图像在该点处的切线斜率研究极限表达式为，这个极限值这种几何意义使得我们可以通过导数来研究函数的局部性质，如lim[Δx→0][fx₀+Δx-fx₀]/Δx就是函数在点处的导数函数的增减性、极值等重要特征fx x₀导数的几何意义切线斜率函数图像在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，这是导数最直观的几何解释切线方程利用点斜式可得切线方程，这是求切线方程的y-fx₀=fx₀x-x₀标准方法法线方程法线与切线垂直，斜率为，法线方程为-1/fx₀y-fx₀=-1/fx₀·x-x₀实例应用求函数在点处的切线方程，，切线方fx=x²2,4fx=2x f2=4程为y-4=4x-2导数的表示方法拉格朗日表示法莱布尼茨表示法简化表示法是最常用的导数表强调导数作为两是最简洁的表示方fx dy/dx y示方法，直观地表示函个微分的比值，在物理法，在计算过程中广泛数的导数应用中特别有用使用fx微分算子表示法强调导数作d/dx[fx]为一种运算，在理论分析中常见基本导数公式

（一）0n常数导数幂函数导数C=0，常数的导数为零，这是最基本的导数公式xⁿ=nxⁿ⁻¹，这是处理多项式函数导数的基础公式e ln a自然指数函数一般指数函数eˣ=eˣ，自然指数函数的导数等于自身，性质特殊aˣ=aˣln a，一般指数函数的导数需要乘以lna的系数基本导数公式

（二）正弦函数余弦函数1，正弦函数的导数是余，余弦函数的导数是负sin x=cos xcos x=-sin x弦函数2的正弦函数反正弦函数正切函数4，反三角函数的，正切函数的导数是正arcsin x=1/√1-x²tan x=sec²x3导数形式较为复杂割函数的平方基本导数公式

（三）1自然对数，对数函数的导数与成反比ln x=1/x x2一般对数，需要额外的系数log_a x=1/x lna lna3反余弦函数，与反正弦函数相差一个负号arccos x=-1/√1-x²4反正切函数，分母为的形式arctan x=1/1+x²1+x²导数的四则运算和差的导数，函数和差的导数等于导数的和差，这是线性性质的体u±v=u±v现例如3x²+2x=6x+2积的导数，这是莱布尼茨公式例如求的u·v=uv+uv y=2x+1x²-1导数，设，，则u=2x+1v=x²-1y=2x²-1+2x+1·2x商的导数，分子是上导下减下导上，分母是下函数u/v=uv-uv/v²的平方这个公式在处理分式函数时特别重要复合函数的导数（链式法则）链式法则1y=fgx⇒y=fgx·gx外层函数导数2先对外层函数求导，保持内层函数不变内层函数导数3再乘以内层函数的导数例如求的导数外层函数是，内层函数是，所以这种方法可以处理任意y=sinx²sin x²y=cosx²·x²=cosx²·2x=2x cosx²复杂的复合函数例题基础求导训练1求导数y=x²ln x使用积的导数公式y=x²·ln x+x²·ln x=2x ln x+x²·1/x=2xln x+x2求导数y=e^sin x使用链式法则y=e^sin x·sin x=e^sin x·cos x3求导数y=ln x/x+1使用商的导数公式y=[ln xx+1-lnx·x+1]/x+1²=[1/x·x+1-ln x·1]/x+1²4求导数y=arctan2x+1使用链式法则y=1/[1+2x+1²]·2x+1=2/[1+2x+1²]第二部分导数的应用函数的单调性判断函数的极值问题12利用导数符号判断函数的增减性通过导数为零的点寻找函数的极值不等式证明最值问题43构造函数利用导数性质证明不等式在给定区间内求函数的最大值和最小值函数的单调性与导数递增函数的特征递减函数的特征若在区间上，则在该区间上单调递增这是因若在区间上，则在该区间上单调递减导数为a,b fx0fx a,b fx0fx为导数表示函数的瞬时变化率，导数为正说明函数值在增加负表示函数值在减少例如函数在整个实数域上，当时例如判断函数的单调性fx=x³fx=3x²≥0x≠0fx=x³-3x fx=3x²-3=3x²-，所以函数在整个实数域上单调递增，可以分析出函数在和上递增，fx01=3x-1x+1-∞,-11,+∞在上递减-1,1函数的极值点必要条件1或不存在fx₀=0fx₀极大值充分条件2在处由正变负fx x₀极小值充分条件3在处由负变正fx x₀极值点是函数局部最大或最小的点要成为极值点，首先必须满足导数为零或不存在的必要条件然后通过分析导数符号的变化来判断是极大值还是极小值如果导数在该点左侧为正、右侧为负，则为极大值点；反之为极小值点例题求函数的极值求的极值fx=x³-3x²-9x+5，令得fx=3x²-6x-9=3x²-2x-3=3x-3x+1fx=0x=-或1x=3判断极值性质当时，当时x-1fx0-13fx0计算极值为极大值点，；为极小值点，x=-1f-1=10x=3f3=-22其他例题的最小值得，为fx=x+1/xx0fx=1-1/x²=0x=1f1=2最小值最值问题的求解步骤1确定函数表达式和定义域明确函数的解析式，确定自变量的取值范围，这是求最值的前提条件2求导数并找出临界点计算，解方程，找出所有可能的极值点fx fx=03讨论导数的符号变化分析在各个区间内的符号，判断函数的单调性fx4得出函数在区间上的最值比较区间端点值和极值，确定函数在给定区间上的最大值和最小值例题最值问题求在上的最值求在上的最值fx=x²-4x+3[-1,3]fx=sin x+cos x[0,2π]首先求导，得在区间内，是唯求导，得，即或fx=2x-4=0x=2[-1,3]x=2fx=cos x-sin x=0tan x=1x=π/4x=5π/4一的临界点计算关键点值，，，f0=1fπ/4=√2f5π/4=-√2计算关键点的函数值，，比较可得最所以最大值为，最小值为f-1=8f2=-1f3=0f2π=1√2-√2大值为，最小值为8-1第三部分利用导数证明不等式导数证明不等式的基本思想通过构造合适的辅助函数，利用导数研究函数的性质，从而得出不等式的结论单调性证明法构造函数后分析其单调性，利用函数值的大小关系证明不等式极值法通过寻找函数的极值点，利用极值的性质来证明不等式变量替换技巧通过巧妙的变量替换，将复杂的不等式转化为已知的结论导数证明不等式的基本思想构造合适的函数fx根据要证明的不等式，构造一个新函数，使得不等式的证明转化为研究这个函数的性质选择合适的函数是成功的关键利用导数判断函数的单调性计算构造函数的导数，分析导数的符号，确定函数在相应区间上的单调性这为后续的分析提供了基础确定函数的最值根据函数的单调性和定义域，找出函数的最大值或最小值这个最值往往就是不等式成立的关键得出不等式的结论将函数的性质转化为原不等式的结论，完成证明过程注意要确保逻辑的严密性和完整性单调性证明法构造函数求函数的导数分析导数符号确定单调利用单调性得出结论fx fx性根据不等式形式构造合适函数计算导数并化简根据单调性证明不等式判断的正负性fx单调性证明法是最常用的导数证明不等式方法其核心思想是通过构造合适的函数，利用导数分析函数的单调性，再结合函数在某些特殊点的值来证明不等式这种方法思路清晰，步骤规范，适用于大多数不等式证明问题例题利用单调性证明不等式证明当时，证明当时，x0ln xx-1x0,y0√xy≤x+y/2构造函数，当时设，不等式转化为fx=ln x-x-1=ln x-x+1x0t=x/y0√t≤t+1/2求导当，当时构造函数，求导fx=1/x-1=1-x/x00x1fx0ft=t+1/2-√t t0ft=1/2-1/2√t=√t-1/2√t所以在上递增，在上递减，在处取最大fx0,11,+∞fx x=1值因此，即，且等号仅在时成立当时，所以在处取最小值因此f1=0fx≤0ln x≤x-1x=101ft0ft t=1f1=0，即成立ft≥0√t≤t+1/2极值法证明不等式构造合适的函数1选择能体现不等式本质的函数形式求函数的极值2利用导数找出所有的极值点通过极值得出不等式结论3利用极值的性质完成证明极值法是当函数存在明显的极值点时使用的证明方法通过找到函数的极值，我们可以确定函数的最值，进而证明不等式这种方法特别适用于那些涉及多个变量且变量之间存在某种约束关系的不等式证明例题利用极值法证明不等式1证明当时，x0x+1/x≥2构造函数，求导当时fx=x+1/x x0fx=1-1/x²=x²-1/x²01，所以是极小值点，也是最小值点，因此fx0x=1f1=2成立x+1/x≥22证明对于任意正实数，有a,b,c a/b+b/c+c/a≥3利用对称性，不妨设，则要证构造函数a=11/b+b/c+c≥3，利用拉格朗日乘数法或者不等式可以证fb,c=1/b+b/c+c AM-GM明当时取等号，此时不等式成立a=b=c变量替换技巧引入新变量简化问常用替换方法转化为已知结论题常用替换包括、通过变量替换，将待证t=x/y通过合适的变量替换，、等，选不等式转化为已知的经t=lnxt=tanθ可以将复杂的多元不等择替换要根据不等式的典不等式，从而快速完式转化为单元函数问结构特点成证明题，大大简化证明过程例题变量替换证明不等式证明当时，证明当时，a,b0a²/b+b²/a≥a+b x0eˣ1+x设，则原不等式可化为，即构造函数，t=a/b0at+b/t≥a+b t+1/t≥2fx=eˣ-1+x x0（除以）b求导当时，，所以，函数在fx=eˣ-1x0eˣ1fx0fx构造函数，，当时上单调递增ft=t+1/t-2t0ft=1-1/t²=t²-1/t²t=10,+∞ft=0又，所以当时，即成f0=e⁰-1+0=0x0fxf0=0eˣ1+x分析可知在处取最小值，所以，即原不等式立ft t=1f1=0ft≥0成立，等号当且仅当时取得a=b第四部分高考真题解析题型分类与解题思路常见误区分析按照导数计算、单调性、极总结学生在解题过程中容易出年高考真题值、证明等类型分类整理解题现的错误，提供针对性的纠错2022-2024精选方法方法解题技巧总结精选近三年全国各地高考导数题目，涵盖各种题型和难度层归纳高效的解题策略和技巧，次提高解题速度和准确率2314高考真题

（一）求函数单调区间求函数fx=lnx²+1-x²/2的单调区间首先求导fx=2x/x²+1-x=x[2/x²+1-1]=x1-x²/x²+1分析导数符号令fx=0得x=0,±1分析各区间内fx的符号当x∈-∞,-1∪1,+∞时fx0，当x∈-1,1时fx0得出单调区间所以函数fx在-∞,-1和1,+∞上单调递减，在-1,1上单调递增证明不等式证明当x0时，ln1+x高考真题

（二）条件分析求解参数设函数，若在处取得最小值解方程组得，，，所以，fx=ax²+bx+c fx x=1c=3a+b=-12a+b=0a=1，且，求的值，2f0=3a,b,c b=-2c=31234建立方程组验证结果由条件可得，，，，确实在处取得最小f0=c=3f1=a+b+c=2fx=x²-2x+3fx=2x-2x=1值f1=2a+b=0f1=2高考真题

（三）确定函数表达式1函数在区间上的最小值为，求的值fx=2x³-3x²-12x+A[-2,3]-16A求导并找临界点2，临界点为fx=6x²-6x-12=6x²-x-2=6x-2x+1x=-1,2计算关键点函数值3f-2=-16+8+24+A=16+A，f-1=-2-3+12+A=7+A，f2=16-12-24+A=-，20+A f3=54-27-36+A=-9+A确定最小值4比较各值，最小值为，所以f2=-20+A=-16A=4第五部分导数与不等式证明专题高考常见不等式类型包括基本不等式、均值不等式、柯西不等式、指数对数不等式等各种经典类型不等式证明的标准方法掌握构造函数法、单调性分析法、极值法等标准证明方法关键解题步骤分析详细分析每个解题步骤的思路和注意事项，避免常见错误例题讲解与训练通过大量典型例题的讲解和练习，提高学生的证明能力导数证明基本不等式例题基本不等式证明证明，当时a+b/2≥√ab a,b0构造函数，其中这里令，则原不等式等价于ft=1+t/2-√t t0t=b/a求导得1+t/2≥√t ft=1/2-1/2√t=√t-1/2√t分析函数单调性当时，所以在处取得最小值计算01ft0ft t=1f1=1+1/2-，因此，即成立√1=0ft≥01+t/2≥√t证明，当∈ℝ时a²+b²≥2ab a,b构造函数，等号当且仅当时成ga,b=a²+b²-2ab=a-b²≥0a=b立这是一个更直接的证明方法，体现了不等式的本质柯西不等式及证明柯西不等式1a₁²+a₂²+...+aₙ²b₁²+b₂²+...+bₙ²≥a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ²几何意义2向量内积的绝对值不超过向量模长的乘积等号成立条件3当且仅当两个向量成比例时等号成立柯西不等式是数学中最重要的不等式之一，它在代数、几何、分析等多个领域都有重要应用利用导数方法可以证明柯西不等式的特殊情况，然后通过数学归纳法推广到一般情况这个不等式揭示了向量空间中内积与范数之间的基本关系例题导数证明柯西不等式证明当时，利用导数方法证明一般形式a,b,c,d0a²+b²c²+d²≥ac+bd²考虑函数，展开得gλ=a₁+λb₁²+a₂+λb₂²+...+aₙ+λbₙ²设ft=a²+b²c²+d²-ac+bd²，展开得gλ=Σaᵢ²+2λΣaᵢbᵢ+λ²Σbᵢ²ft=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-a²c²-2abcd-b²d²=a²d²+b²c²-由于对所有成立，判别式gλ≥0λΔ=2Σaᵢbᵢ²-4Σaᵢ²Σbᵢ2abcd=ad-bc²，即得柯西不等式²≤0显然，等号当且仅当时成立，即ft=ad-bc²≥0ad=bc时成立a/b=c/d指数、对数不等式证明1证明，当2证明，当eˣ≥1+x ln1+x≤x∈ℝ时时x x-1构造函数，求构造函数，求fx=eˣ-1+x gx=ln1+x-x导得当时导得fx=eˣ-1x0gx=1/1+x-1=-，当时，当，当时fx0x0fx0x/1+x-10x0所以是极小值点，所以是极大值x=0gx0x=0，因此，即点，因此，f0=0fx≥0g0=0gx≤0成立即成立eˣ≥1+x ln1+x≤x3证明，当时x-x²/2≤ln1+x≤xx0右边不等式已证对于左边，构造，hx=ln1+x-x+x²/2当时，所以在时单调递hx=1/1+x-1+x=x²/1+x0x0hx x0增，hxh0=0例题指数、对数不等式证明当时，x0x/1+xln1+xx右边不等式ln1+x0计算导数并分析fx=1/1+x-1/1+x²=x/1+x²0当x0时，所以fx在0,+∞上单调递增利用单调性得结论fxf0=0，所以ln1+xx/1+x，结合右边不等式得证证明当时，x≠0eˣ1+x+x²/2构造gx=eˣ-1-x-x²/2，gx=eˣ-1-x，gx=eˣ-1当x0时gx0，当x0时gx0，所以gx在x=0处取最小值g0=0因此gx在x=0处取最小值g0=0，所以gx0当x≠0时三角函数不等式证明1证明当利用单位圆的几何意义，表示垂0sin x直线段长度，表示弧长，表示切线段长度x tanx2严格代数证明构造，当当fx=x-sin x fx=1-cos x00003证明当02/π构造，需要证明hx=sin x-2x/πhx=cos x-2/πhx0在上成立，即，这可以通过的凹性来0,π/2cos x2/πcos x证明例题三角函数不等式证明当01-x²/2构造函数，求导得fx=cos x-1-x²/2=cos x-1+x²/2fx=-sin再次求导当x+xfx=-cos x+1=1-cos x00利用单调性分析，所以当时，因此在上单调递增f0=0fx0x0fx0,π/2，所以当成立f0=0fx001-x²/2证明当0x-x³/6构造，gx=sin x-x-x³/6=sin x-x+x³/6gx=cos x-由前面结果知，所以，因此1+x²/2cos x1-x²/2gx0gx单调递增，所以当时g0=0gx0x0第六部分导数在物理和经济学中的应用速度与加速度边际成本、收益最大利润问题弹性系数导数在运动学中描述速在经济学中，导数表示利用导数求极值的方法经济学中的价格弹性、度和加速度，是物理学边际概念，用于分析成解决企业利润最大化问需求弹性等概念都与导的基础工具本和收益的变化题数密切相关导数与物理量位移与速度速度与加速度1位移函数对时间的导数为速度速度函数对时间的导数为加速度s=st v=vt，描述物体运动的快慢2，描述速度变化的快慢v=ds/dt a=dv/dt功率与能量自由落体运动4功率是能量对时间的导数，描高度，速度，加速度P=dE/dt h=h₀-½gt²v=-gt3述能量转化的快慢，体现了导数的物理意义a=-g导数与经济学边际概念利润最大化条件成本函数的导数为边际成本，表示生产一单位产品引利润函数，利润最大时，即Cx Cx Px=Rx-CxPx=0起的成本增量收益函数的导数为边际收益，表示销，边际收益等于边际成本Rx RxRx=Cx售一单位产品带来的收益增量这个条件表明，当增加一单位产量带来的收益恰好等于增加的成边际分析是经济学中的重要方法，帮助企业制定最优的生产和销本时，利润达到最大值这是微观经济学中的基本原理售策略通过比较边际成本和边际收益，可以确定最优产量。