一元二次方程求解 北师大版-课件

一元二次方程求解本课件是北师大版数学九年级上册的重要内容，专门针对一元二次方程的求解方法进行全面讲解课件包含了从基本概念到实际应用的完整体系，涵盖配方法、公式法和因式分解法三种主要求解方法通过精选的习题和详细的解题步骤，帮助学生掌握一元二次方程的本质和解题技巧课件内容循序渐进，既有理论基础，又有实际应用，确保学生能够在理解的基础上熟练运用各种方法解决问题课程目标1掌握一元二次方程的基本概念理解一元二次方程的定义、标准形式和基本性质，能够识别和判断一元二次方程的类型2学习三种主要求解方法熟练掌握配方法、公式法和因式分解法，能够根据题目特点选择最适合的解题方法3理解一元二次方程在实际问题中的应用能够将实际问题转化为数学模型，建立一元二次方程并求解，培养数学建模能力4能够熟练解决各类一元二次方程通过大量练习，提高解题速度和准确率，形成良好的数学思维习惯第一部分认识一元二次方程一元二次方程的定义标准形式实际问题中的体现含有一个未知数，且未知数的最高次ax²+bx+c=0（其中a≠0）这是许多实际问题如几何图形的面积计数是2的整式方程这是一类重要的代一元二次方程的统一表示形式，其中算、物体运动轨迹、经济增长率等都数方程，在数学和实际应用中都具有a、b、c都是已知数，a称为二次项系可以用一元二次方程来描述和解决重要意义数，b称为一次项系数，c称为常数项一元二次方程的定义含有一个未知数未知数的最高次数是2方程中只有一个未知数，通常方程中未知数的最高次幂是2用x表示这个未知数可以出次，这是区别于一次方程和高现在方程的不同项中，但整个次方程的重要特征二次项是方程只涉及这一个变量方程的核心部分标准形式的要求ax²+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c是已知数，a不能为零，否则就不是二次方程了这个条件确保了方程确实是二次的一元二次方程的形式标准形式不完全二次方程纯二次方程ax²+bx+c=0ax²+bx=0或ax²+ax²=0或ax²+c=0（a≠0）是最完整的c=0的形式，缺少常的形式，只含二次项形式，包含二次项、数项或一次项这类和常数项这是最简一次项和常数项这方程通常更容易求单的一元二次方程类是解题时最常用的标解，可以直接提取公型，可以直接通过开准形式，便于应用各因式或开平方平方求解种求解方法情景导入已知条件苗圃的长比宽多2米，这是根据实际种植2需要确定的比例关系问题背景一个面积为120平方米的矩形苗圃，1是学校生物园的重要组成部分求解目标3需要确定苗圃的具体长度和宽度，以便进行合理的植物布局设计问题分析设未知数设苗圃的宽为x米，则根据题意，长为x+2米选择宽作为未知数是因为它是基础量，便于建立方程建立方程根据矩形面积公式长×宽=面积，可得xx+2=120这是根据几何关系建立的等量关系展开整理展开左边得x²+2x=120，然后移项整理为标准形式x²+2x-120=0一元二次方程的根1根的定义使一元二次方程成立的未知数的值称为方程的根或解这是方程求解的最终目标2根的个数一元二次方程在实数范围内最多有两个不同的实数根，也可能只有一个重根3无解情况当判别式小于零时，方程在实数范围内无解，但在复数范围内仍有两个复数解第二部分配方法配方法的基本思想通过巧妙的代数变形，将一元二次方程转化为完全平方式的形式，从而简化求解过程这种方法体现了数学中化繁为简的思想配方的具体步骤按照规范的步骤进行配方，包括移项、配方、开平方等关键环节每一步都有其数学原理和操作要点实例解析应用通过具体的例题演示配方法的完整过程，帮助学生理解和掌握这种重要的代数技巧配方法的基本思想转化思想1化复杂为简单完全平方式2构造x+m²=n的形式开平方求解3利用平方根的性质直接求解配方法的核心是将一般的一元二次方程通过适当的代数变形，转化为完全平方式等于常数的形式这样就可以直接开平方来求解，避免了复杂的计算过程这种方法不仅适用于求解方程，也是推导求根公式的重要工具配方法的步骤移项整理将方程整理为x²+px=q的形式两边加常数在等式两边同时加上p/2²构成完全平方左边变为x+p/2²，右边为q+p/2²开平方求解对等式两边开平方，得到方程的解例题1x²-4x+3=0移项配方x²-4x=-3，将常数项移到等号右边x²-4x+4=-3+4，两边同时加4开平方完全平方式x-2=±1，所以x=3或x=1x-2²=1，左边构成完全平方例题22x²-7x+3=01系数化1x²-

3.5x+

1.5=02移项x²-

3.5x=-

1.53配方x-

1.75²=

1.56254求解x=3或x=

0.5例题36x²-7x+1=0步骤操作结果移项6x²-7x=-1常数项移到右边系数化1x²-7/6x=-1/6二次项系数变为1配方x²-7/6x+两边加7/12²7/12²=-1/6+7/12²完全平方x-7/12²=左边构成完全平方25/144式开平方x-7/12=±5/12x=1或x=1/6第三部分公式法公式法是解一元二次方程最直接、最通用的方法通过求根公式x=[-b±√b²-4ac]/2a，可以直接求出任何一元二次方程的解公式法的优势在于适用性广，无论方程的系数如何，都可以使用同时，判别式Δ=b²-4ac还能帮助我们判断方程解的性质，这在解题中具有重要的指导意义求根公式的推导标准形式移项处理系数化1ax²+bx+c=0（a≠0）是所有推导的ax²+bx=-c，将常数项移到等号右边x²+b/ax=-c/a，两边同时除以a起点求根公式（续）求根公式记忆基本公式第一个根第二个根判别式x=[-b±√b²-4ac]/2a x₁=[-b+√b²-4ac]/2a x₂=[-b-√b²-4ac]/2aΔ=b²-4ac判别式的意义Δ0Δ=0Δ0方程有两个不同的实数根此时方程有两个相等的实数根（重方程在实数范围内无解此时方方程的图像与x轴有两个不同的根）此时方程的图像与x轴相程的图像与x轴没有交点，根号交点，根的表达式中根号下是正切，只有一个交点，两个根重合下是负数，在实数范围内无法开数，可以开出实数为同一个值方例题43x²-11x+9=0确定系数计算判别式应用公式求解a=3，b=-11，c=9根据标准形式Δ=b²-4ac=-11²-4×3×9=121-x=[11±√13]/6计算得x₁≈

3.1，ax²+bx+c=0确定各项系数，注意b108=130判别式大于零，方程有x₂≈

0.9两个根都是无理数的符号两个不同实根例题52x²-4x-1=0例题64x²-3x+1=0系数确定判别式计算a=4，b=-3，c=1这是一Δ=-3²-4×4×1=9-16=-7个标准的一元二次方程，所有0判别式为负数，这是关系数都已明确键信息结论因为Δ0，所以方程在实数范围内无解这种情况在实际问题中意味着问题的条件可能存在矛盾第四部分因式分解法分解思想将复杂的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，化繁为简零因子定理如果两个数的乘积为零，那么至少有一个数为零快速求解当方程易于分解时，这是最简便快捷的求解方法因式分解法的基本思想1多项式分解将一元二次多项式ax²+bx+c分解为ax-x₁x-x₂的形式，其中x₁和x₂是方程的两个根2转化为乘积形式原方程转化为ax-x₁x-x₂=0的形式，利用了乘积为零的性质进行求解3零因子定理应用根据零因子定理，如果AB=0，则A=0或B=0，从而得到x-x₁=0或x-x₂=0因式分解的常用方法提取公因式先提取最大公因式，简化表达式公式法分解2利用平方差公式或完全平方公式十字相乘法通过试验找到合适的因数组合分组分解法将多项式分组后再分解例题7x²-5x+6=0确定因数寻找因数这两个数是-2和-3，因为-2+-3=-找两个数，使它们的和为-5，积为65，-2×-3=6求解因式分解x-2=0或x-3=0，所以x=2或x=x²-5x+6=x-2x-3=03例题82x²-7x+3=0处理系数当二次项系数不为1时，需要特别处理可以先提取公因式，或者直接用十字相乘法寻找合适的因数分解寻找因数组合寻找两个数p和q，使得它们满足特定的关系p+q=-7/2，p×q=3/2这需要一定的试验和计算技巧完成分解通过计算可得2x²-7x+3=2x-1x-3=0验证展开2x-1x-3=2x²-6x-x+3=2x²-7x+3求得解由2x-1x-3=0得2x-1=0或x-3=0，所以x=1/2或x=3例题93x²+5x-2=03二次项系数a=3，需要考虑如何分解5一次项系数b=5，注意是正数-2常数项c=-2，负数使分解复杂化2根的个数最终得到两个实数解对于3x²+5x-2=0，我们寻找因数分解通过十字相乘法，可以分解为3x-1x+2=0验证3x-1x+2=3x²+6x-x-2=3x²+5x-2因此解为3x-1=0或x+2=0，即x=1/3或x=-2三种解法的比较解法适用范围优点缺点配方法所有一元二通用性强，计算较复杂次方程有助理解公式法所有一元二简便快捷，需要记忆公次方程步骤固定式因式分解法能够分解的计算简单，适用范围有方程结果直观限选择解题方法时，应该根据具体方程的特点来决定如果方程容易因式分解，优先使用因式分解法；如果不容易分解，则使用公式法；配方法主要用于理解方程的本质和推导过程解题技巧和注意事项整理标准形式观察系数特点首先将方程整理为ax²+bx+c=0的标准形式，确保二仔细观察方程系数的特点，判断是否存在公因式，是否次项系数不为零，这是所有解法的基础容易因式分解，从而选择最合适的解法优先因式分解4公式法备用当方程容易因式分解时，应优先使用因式分解法，这是当无法进行因式分解时，果断使用公式法记住求根公最简便快捷的方法，能够避免复杂的计算式，并注意判别式的计算和应用第五部分一元二次方程的应用解题步骤几何问题规范的解题流程，确保问题解决的系统面积、周长等几何量的计算问题性和完整性实际应用数字问题生活中的实际问题建模和求解涉及数字规律和数量关系的问题应用题解题步骤理解分析题意仔细阅读题目，理解问题背景，明确已知条件和要求解的量找出题目中的关键信息和数量关系，为建立方程做准备设定未知数并列方程根据题意选择合适的未知数，通常选择最直接要求的量利用题目中的等量关系建立一元二次方程，确保方程反映了实际问题的数学本质求解一元二次方程选择合适的方法（配方法、公式法或因式分解法）求解方程计算过程要准确，注意运算的每一个步骤检验结果并回答将求得的解代入原方程验证正确性，更重要的是检验解是否符合实际问题的意义最后用完整的语句回答问题例题几何问题10问题描述求解目标一个长方形的周长为30厘米，面积为56平方厘米这是一要求确定这个长方形的长和宽的具体数值这类问题在实际个典型的几何应用题，涉及长方形的两个基本量周长和面生活中很常见，比如房间设计、花园规划等积解题的关键是正确建立数学模型，将几何关系转化为代数方需要利用长方形的周长公式和面积公式建立方程组，然后转程化为一元二次方程求解例题的解答10最终答案长8厘米，宽7厘米求解方程x²-15x+56=0，解得x=7或x=8建立方程x15-x=56，利用面积公式设定未知数4设宽为x厘米，则长为15-x厘米解题过程由周长为30厘米得长+宽=15厘米设宽为x厘米，则长为15-x厘米由面积为56平方厘米得x15-x=56，展开得15x-x²=56，整理为x²-15x+56=0分解因式得x-7x-8=0，所以x=7或x=8当x=7时，长为8厘米；当x=8时，长为7厘米因此长方形的长为8厘米，宽为7厘米例题数字问题11问题陈述数学建模一个数的平方减去这个数等于设这个数为x，根据题意可以72这是一个典型的数字问直接建立方程x²-x=72题，涉及一个未知数的二次运这个方程简洁明了，体现了问算关系题的数学本质求解策略将方程整理为标准形式，然后选择合适的解法求解可以使用因式分解法或公式法例题的解答11设未知数设这个数为x列方程x²-x=72标准形式x²-x-72=0因式分解x-9x+8=0求解x=9或x=-8解题验证当x=9时，9²-9=81-9=72✓；当x=-8时，-8²--8=64+8=72✓两个解都符合题意，所以这个数是9或-8例题实际问题121前天10每天修3千米，总共修了30千米路程2第天11-20每天都比前一天多修相同的路程3总目标20天共修完120千米的路程4求解目标从第11天起每天增加多少千米例题的解答12第六部分一元二次方程根与系数的关系韦达定理根与系数关系实际应用揭示了一元二次方程两根之和等于一次项在解题中可以快速验的根与系数之间的内系数的相反数除以二证答案，求特殊值，在联系，是代数理论次项系数，两根之积简化计算过程的重要组成部分等于常数项除以二次项系数韦达定理定理内容两根之和两根之积设一元二次方程ax²+bx+c=0x₁+x₂=-b/a x₁×x₂=c/a（a≠0）的两个根为x₁和x₂，则有两根的和等于一次项系数的相反数除两根的积等于常数项除以二次项系以下重要关系成立以二次项系数这个关系式记忆简数结合两根之和，可以快速求出方这个定理由法国数学家韦达发现，是单，应用广泛程的根连接代数和几何的重要桥梁韦达定理的证明求根公式1x=[-b±√b²-4ac]/2a分别表示两根x₁=[-b+√b²-4ac]/2a，x₂=[-b-√b²-4ac]/2a计算两根之和x₁+x₂=-b+√Δ-b-√Δ/2a=-2b/2a=-b/a计算两根之积x₁×x₂=[b²-b²-4ac]/4a²=4ac/4a²=c/a例题已知两根和13已知条件应用韦达定理方程x²+px+6=0的两根之和为5x₁+x₂=-p=5，x₁×x₂=6确定方程求系数px²-5x+6=0由-p=5得p=-5例题的解答13-5系数p的值由韦达定理确定2第一个根x₁=23第二个根x₂=36两根之积验证2×3=6确定方程为x²-5x+6=0后，可以用因式分解法求解寻找两个数，使它们的和为5，积为6，这两个数是2和3因此方程可分解为x-2x-3=0，解得x₁=2，x₂=3验证x₁+x₂=2+3=5✓，x₁×x₂=2×3=6✓例题已知一根求另一根14给定方程x²-2x-3=0，已知一个根是-1确定系数a=1，b=-2，c=-3应用韦达定理x₁+x₂=-b/a=2，x₁×x₂=c/a=-3求另一根设另一根为x₂，则-1+x₂=2，所以x₂=3例题的解答14验证项目计算过程结果两根之和-1+32✓两根之积-1×3-3✓代入验证x₁=-1-1²-2-1-31+2-3=0✓代入验证x₂=33²-23-39-6-3=0✓通过韦达定理快速求得另一根为3这种方法比重新解方程要简便得多，特别是在已知一根的情况下验证结果表明，两个根都满足原方程，且符合韦达定理的关系式第七部分多种类型的练习题挑战题1综合性强，需要灵活运用多种知识中等难度题2结合实际应用，考查理解和运用能力基础题3巩固基本概念和基本解法练习题的设计遵循由浅入深的原则，从基础的方程求解到复杂的综合应用基础题帮助学生熟练掌握三种基本解法，中等难度题培养学生的应用能力，挑战题则训练学生的综合分析和创新思维能力基础练习解方程解方程2x²-5x+2=x²+6x+9=00这是一个标准的一元二次观察系数特点，这是一个方程，可以尝试因式分解完全平方式可以直接写法寻找两个数，使它们成x+3²=0的形式，从的乘积为4，和为5而快速求解3解方程3x²-5x-2=0二次项系数不为1，可以使用十字相乘法进行因式分解，或者直接应用求根公式中等难度练习解方程解方程x-1²=2x+31/2x²-x+1=0需要先展开左边的完全平方含有分数系数的方程，可以先式，然后整理为标准形式展将整个方程乘以2消除分数，开后得到x²-2x+1=2x+得到x²-2x+2=0，然后用3，整理为x²-4x-2=0公式法求解数字问题一个数比另一个数大2，两个数的积是35，求这两个数设较小的数为x，则较大的数为x+2，建立方程xx+2=35。