多边形的内角和与外角和教学课件

多边形的内角和与外角和多边形是初中几何的基础知识，在数学学习中占据重要地位掌握多边形内角和与外角和的规律，不仅有助于解决几何问题，更能培养学生的逻辑推理能力这一知识点在中考中频繁出现，是学生必须熟练掌握的核心内容通过系统学习，我们将深入理解多边形角度的奥秘教学目标1理解并掌握内角和公式2掌握外角和定理通过探究活动，让学生理解认识到任意多边形外角和恒等n边形内角和等于于°这一重要性质n-360×°的推导过程21803运用公式解决实际问题能够灵活运用内角和与外角和公式解决各类几何计算题什么是多边形多边形的定义常见多边形举例多边形是由至少三条线段围成的封闭平面图形每条线段称为边，三角形条边，个顶点33相邻两边的交点称为顶点四边形条边，个顶点44最简单的多边形是三角形，随着边数增加，依次有四边形、五边五边形条边，个顶点55形、六边形等六边形条边，个顶点66内角和外角的定义内角外角角度关系多边形内部的角，由相一边延长后与邻边形成每个顶点处的内角与外邻两边组成，角的开口的角，角的开口朝向多角之间存在特殊的数量朝向多边形内部边形外部关系内角与外角互补互补关系数学表达在多边形的每个顶点处，内角与设某顶点的内角为，外角为，αβ外角的度数之和恒等于°则有°180α+β=180这是因为它们组成了一个平角实际应用知道内角可以求外角，知道外角也可以求内角，这为解题提供了便利多边形顶点、边、角关系顶点数边数边形有个顶点边形有条边n n n n外角数内角数边形有个外角边形有个内角n n n n学习情境引入动手操作用折纸或拼板构成不同的多边形，观察它们的形状特征仔细观察测量各个内角的度数，记录下来，寻找规律大胆猜想所有内角加起来的总和是多少？是否存在某种规律？三角形内角和基础认知三角形是最简单的多边形，其内角和为°180纸模验证将三角形的三个角撕下来，拼在一起正好组成一个平角结论确认无论什么形状的三角形，内角和都等于°180四边形内角和探究发现规律分割方法四边形被分割成了两个三角形，这为计算提出问题从四边形的一个顶点出发，向不相邻的顶提供了思路四边形的内角和是多少？我们能否通过已点连对角线知的三角形内角和来解决？四边形内角和推导最终结论四边形内角和°1=360计算过程2个三角形×°°2180=360分割结果3四边形分割为个三角形2五边形内角和探究五边形分割从一个顶点出发，可分割为个三角形3计算内角和×°°3180=540验证结论五边形内角和确实等于°540更多边数多边形多边形边数分割三角形数内角和n三角形°31180四边形°42360五边形°53540六边形°64720内角和公式得出观察规律建立公式边形可分割成个三角形内角和×°n n-2=n-2180公式验证记忆技巧代入已知多边形验证公式正确性边数减乘，简单易记2180公式应用举例164边数分割三角形六边形有条边个三角形66-2=4°720内角和×°°4180=720公式应用举例2九边形识别分割方法计算结果九边形是有条边的多边形，也称为正九九边形可以分割成个三角形内角和×°°99-2=7=7180=1260边形练习填空题七边形内角和八边形内角和七边形内角和八边形内角和=7-=8-×°°×°°2180=____2180=____思考过程运用公式×°进行计算，体会规律的普遍性n-2180小结一内角和分割思路将多边形分割成三角形公式记忆×°n-2180理解要点边数决定内角和多边形外角和初步外角的概念回顾外角的数量外角是多边形一边的延长线与相邻边所形成的角每个顶点都可边形有个顶点，因此有个外角每个外角都与对应的内角互n n n以作出一个外角，角的开口朝向多边形外部补，它们的和等于°180理解外角的关键是要明确延长线的概念，以及外角与内角的互接下来我们要探究的是这个外角的总和有什么规律？n补关系外角和观察实验沿边行走想象沿着多边形的边走一圈，从任意一个顶点开始转弯角度每到一个顶点，需要转过一个角度，这个角度就是外角回到起点走完一圈回到起点，身体的朝向与出发时相同总转角总的转弯角度就是所有外角的和动手实践画外角绘制正五边形延长各边先画出一个正五边形，每个内角将五边形的每条边都向外延长一都是°注意线条要清晰，段距离，为画外角做准备108便于后续操作标记外角在每个顶点处标记出外角，并用量角器测量每个外角的度数猜想外角和观察思考通过前面的实验，你发现了什么规律？不同多边形的外角和是否相同？数据分析把测量到的各个外角度数加起来，看看总和是多少大胆猜想你能预测任意多边形的外角和吗？提出你的猜想理论推导外角和转弯角度理解每个外角实际上就是在该顶点需要转弯的角度，代表方向的改变量完整一圈分析沿多边形走一圈回到起点，身体转了一个完整的圆周，总转角为°360得出结论因此，所有外角的和等于°，这与多边形的边数无关360外角和公式万能定理外角和°1=360适用范围2任意多边形都成立几何本质3完整转动一圈的角度特别注意外角选取每个顶点只选一个外角保持一致的选取方向虽然每个顶点可以作出两个外可以统一选择顺时针方向或逆角，但我们只选择其中一个进时针方向的外角行计算验证°不变性360无论如何选取，外角和总是°，体现了几何的和谐美360典型例题1题目理解正八边形每个外角度数相等计算方法°÷°3608=45答案验证每个外角为°45典型例题2列方程求解过程°°°°60+45+90+30+7已知条件设第六个外角为°°°°x5+x=360不规则六边形，五个外角分别计算结果为°、°、°、604590°、°°°°3075x=360-300=602314拓展正多边形内外角关系正六边形实例一般性规律正六边形每个内角为°，每个外角为°可以验证对于正边形12060n°°°，符合互补关系120+60=180每个外角°=360/n同时，个外角的和×°°，验证了外角和定理6660=360每个内角°°=180-360/n这为解决正多边形问题提供了便捷方法尖子训练已知边数求角度反思题深度思考1为什么内角和不是简单的×°？多出来的×°n180-2180代表什么几何意义？深度思考2用分三角形法如何理解这个结果？为什么是个三角形n-2而不是个？n深度思考3如果把多边形想象成由三角形拼接而成，这种拼接有什么规律？推理证明分割三角形法11选择顶点从多边形的任意一个顶点出发2连接对角线向所有不相邻的顶点连线3形成三角形边形被分割成个三角形n n-24计算总和内角和×°=n-2180推理证明外角和法2内外角总和减去外角和个内外角对×°×°°nn180n180-360验证正确得出内角和与分割法结果一致×°n-2180推理证明延长线法31n-1延长边形成三角形将多边形任意一边延长与其他顶点构成个三角形n-1°180减去重复角减去延长线上的平角公式推导小结分割三角形法内外角关系法直观易懂，从一个顶点出发连对利用互补性质，个内外角对共n角线，将边形分成个三×°，减去外角和°，nn-2n180360角形，每个三角形内角和°得到内角和公式180延长线法巧妙运用延长线构造三角形，通过角度转换推导出相同结果，验证公式的正确性应用题已知内角和，求边数1题目条件某多边形内角和为°，求它有几条边？1440列方程×°°n-2180=1440求解过程÷，所以n-2=1440180=8n=10答案验证这是一个十边形应用题已知一个内角求边2数理解题意正多边形每个内角°，求边数正多边形的所有内角都相等，这是150解题的关键建立等式设边数为，则每个内角为×°°nn-2180/n=150解方程求n，，，180n-2=150n180n-360=150n30n=360n=12应用题综合运用题目分析计算已知角和求解第个角7某七边形有个内角分°°七边形内角和6128+135+1427-别为°、°、°°°×°°，128135+118+156+12180=900°、°、°°第个角°14211827=8067900-°、°，求第°°156127806=94个内角7动手操作拼板体验制作多边形拼板用硬纸板制作不同的多边形，在每个角上标注度数测量验证用量角器实际测量各个内角和外角，验证理论公式绘制示意图画出内外角和的示意图，加深对概念的理解总结规律通过实践操作，更直观地理解多边形角度的规律小组讨论建筑设计中的应用讨论要点讨论多边形在建筑设计中的实际应用比如八角亭的设计需要考正多边形在建筑中的优势

1.虑每个内角的大小，确保结构的稳定性和美观性内角大小对结构稳定性的影响

2.现代建筑中的多边形元素，如五角大楼、六边形蜂窝结构等，都多边形拼接的美学效果

3.体现了几何学的实用价值成本与实用性的平衡考虑

4.生活中的多边形蜂窝六边形蜂窝采用正六边形结构，每个内角°，这种设计最节省材料且结构最稳定120五边形书桌五边形书桌每个内角°，提供了良好的工作空间分配108八角凉亭传统八角亭每个内角°，体现了中国古建筑的对称美135数学史小知识古希腊起源多边形角和研究始于古希腊欧几里得贡献《几何原本》系统阐述多边形性质分割方法分割三角形思想的历史传承现代发展成为几何学的基础理论练习巩固1判断题判断题12所有多边形的外角和都等于多边形的边数越多，外角和越°（正确，这是外角大（错误，外角和恒为360和定理的核心内容）°）360判断题3内角和公式适用于所有凸多边形（正确，公式具有普遍性）练习巩固2正十二边形每个内角12边数×°÷°n=1212-218012=150验证关系每个外角°°°°÷°150+30=18036012=3043课堂互动你问我答常见疑问常见疑问12为什么外角和与边数无关？答如何快速记忆内角和公式？答因为外角和反映的是完整转动一记住边数减乘，或理解2180圈的角度，这个角度恒为°为分割三角形的个数乘以°360180常见疑问3内角和公式对不规则多边形也适用吗？答适用，只要是平面多边形，公式都成立错误警示最大误区认为外角和与边数相关错误想法边数越多，外角和越大正确理解3外角和恒为°，与边数无关360拓展提升空间几何初探多面体的面角和有什么规律？类比思考平面多边形与空间多面体的相似性深入研究欧拉公式的几何意义V-E+F=2公式再回顾°n-2180内角和系数基础角度边形分割的三角形个数每个三角形的内角和n°360外角和定值任意多边形外角和知识结构图角的概念多边形基本概念内角、外角、互补关系定义、分类、基本性质内角和公式推导与应用实际应用外角和解决几何计算问题定理证明与应用能力提升建议计算训练强化图形操作实践多做各类多边形角度计算题，熟练掌握公式的灵活运用从简单经常进行画图、测量、拼接等动手操作，通过视觉和触觉加深对的正多边形开始，逐步过渡到复杂的不规则多边形问题概念的理解制作各种多边形模型，验证理论公式重点练习已知部分角度求其他角度、已知角度和求边数等综合性培养空间想象能力，能够从不同角度观察和分析多边形的性质，题目，提高解题速度和准确性为后续立体几何学习打下基础总结思考掌握的方法学会了分割三角形法、内外角关系法等多种推导方法，理解了几何问题的多角度思考2重要结论内角和公式×°和外角和定理°，为解决多边形问题n-2180360提供了有力工具3思维启发体会到数学的严谨性和美感，学会从特殊到一般的归纳思维方式拓展思考能否将这些方法推广到空间几何？是否存在更高维度的角和规律？课后作业与反馈基础练习完成教材中多边形内角和与外角和的相关练习题，包括计算题和证明题综合应用设计一个实际问题，运用今天学到的知识解决，如建筑设计、艺术创作等学习反馈记录学习过程中的疑问和心得，下节课与同学分享交流，共同提高拓展探究查阅资料了解多边形在自然界和人工设计中的应用实例，撰写小报告。