高中数学-函数图像-教学课件

高中数学函数图像与性质本课程为高中数学函数图像的系统性教学课件，涵盖节课程内容，全面覆50盖函数图像学习的各个方面课程设计适用于高中数学教学，将函数图像理论与函数性质分析相结合，帮助学生建立完整的函数图像知识体系通过系统学习，学生将掌握各类函数的图像特征、性质分析方法以及实际应用技巧课程概述函数图像理论基础1建立函数图像的基本概念，理解坐标系与函数关系，掌握图像描绘的基本方法重点函数类型分析2系统学习一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等重要函数类型函数性质与图像关系3深入理解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质在图像上的直观表现解题技巧与方法4掌握利用函数图像解决实际问题的方法，提升数学应用能力函数的基本概念函数定义与表示定义域与值域函数图像的几何意义函数是定义在某个数集上的对应关定义域是自变量的取值范围，值域是函数图像是平面直角坐标系中所有满系，可以用解析式、图像、表格等多因变量的取值范围准确确定函数的足函数关系的点的集合图像直观地种方式表示理解函数的本质是建立定义域和值域是分析函数性质的基反映了函数的性质，是理解和分析函两个变量之间的依赖关系，其中自变础，也是绘制函数图像的前提条件数的重要工具量的每一个值都对应唯一的因变量值函数图像基础知识坐标系与函数图像建立平面直角坐标系，理解横轴表示自变量，纵轴表示因变量的基本规则点线关系与函数图像掌握如何通过描点连线的方法绘制函数图像，理解连续函数的图像特征图像描点法选择适当的自变量值，计算对应的因变量值，在坐标系中描出相应的点利用工具绘制图像学会使用计算器和数学软件辅助绘制复杂函数的精确图像函数的基本性质单调性奇偶性周期性函数在某个区间内的奇函数图像关于原点周期函数的图像具有增减性，反映在图像对称，偶函数图像关重复性，在一个周期上为上升或下降的趋于轴对称这些对内的图像特征会在整y势单调递增函数的称性质为我们分析函个定义域内重复出图像从左到右呈上升数提供了重要的几何现状态，单调递减函数直观的图像从左到右呈下降状态函数性质分析方法代数法分析函数性质通过函数解析式的代数运算，利用定义验证函数的各种性质这种方法严谨准确，是分析函数性质的基础方法几何法观察函数图像特征通过观察函数图像的几何特征，直观地判断函数的性质这种方法快速有效，特别适用于复杂函数的性质判断性质综合分析步骤将代数分析与几何观察相结合，形成完整的函数性质分析体系，提高分析效率和准确性一次函数函数表达式图像特点一次函数的一般形式为一次函数的图像是一条直线，在，其中和是常数，且整个定义域内保持相同的变化y=kx+b kb这是最简单的函数形式，率直线的斜率和截距完全确定k≠0也是学习其他函数的基础了一次函数的特征参数意义参数决定直线的倾斜程度和方向，时函数递增，时函数递减k k0k0参数决定直线与轴的交点位置b y一次函数图像变换平移变换1中值的变化导致图像上下平移，增大图像上移，减y=kx+b b bb小图像下移伸缩变换2值的变化导致图像倾斜程度改变，越大直线越陡峭，越k|k||k|小直线越平缓对称变换3值变为相反数时，图像关于轴对称；图像关于轴的对称需k x y要变为x-x二次函数概念一般式顶点式y=ax²+bx+c a≠0y=ax-h²+k12图像特征交点式43开口向上或向下的抛物线y=ax-x₁x-x₂二次函数图像特征开口方向由参数的符号决定a1顶点坐标抛物线的最高点或最低点2对称轴通过顶点的垂直线3零点与轴交点的横坐标4x二次函数图像变换平移变换原理顶点坐标的变化规律伸缩变换效果开口大小的调节机制对称变换规律关于坐标轴的对称性质二次函数图像应用最值问题解决函数零点求解利用顶点坐标求函数的最大值或最小通过图像与轴的交点确定方程的x值，解决实际优化问题根，判断根的个数和范围实际问题建模方程组图像解法将实际问题抽象为二次函数模型，用利用两个函数图像的交点求解方程数学方法解决实际问题组，直观理解解的几何意义多项式函数34n三次函数四次函数次函数n具有一个或两个拐点的形曲线可能具有三个极值点的波浪形最多有个极值点S n-1分式函数函数类型表达式图像特征渐近线反比例函数双曲线y=k/x x=0,y=0一般分式函数双曲线变形y=ax+b/cx+d x=-d/c,y=a/c复杂分式函数分子分母为多项式多支曲线多条渐近线无理函数平方根函数立方根函数复合无理函数的图像从原点开始，向右上方延∛的图像通过原点，在整个实数域形如的函数，通过平移和伸y=√x y=x y=√ax+b伸，形成平滑的曲线定义域为，内定义函数既有正值部分也有负值部缩变换得到需要特别注意定义域的确x≥0值域为，函数在整个定义域内单调分，关于原点对称，是奇函数定和图像的起始点位置y≥0递增指数函数基础指数的概念与性质指数表示重复乘法的简化记号，具有运算法则，a^m·a^n=a^m+n等重要性质a^m^n=a^mn指数函数的定义形如（且）的函数称为指数函数，其中是底数，是y=a^x a0a≠1a x指数指数函数的性质定义域为全体实数，值域为正实数，过点，具有单调性0,1常见指数函数等是典型的指数函数例子y=2^x,y=3^x,y=1/2^x,y=e^x指数函数图像的情况当底数a100当底数时，指数函数单调递增图像从左下方趋单调递减a1y=a^x•近于轴，通过点，向右上方无限延伸函数值随的x0,1x过点•0,1增大而快速增长，体现指数增长的特点轴为渐近线•x单调递增•值域为•0,+∞过点•0,1轴为渐近线•x值域为•0,+∞指数函数的应用指数增长模型人口增长、细菌繁殖等自然现象复利计算银行存款、投资收益的计算放射性衰变物理学中的半衰期问题冷却定律物体温度随时间的变化规律对数概念对数的定义常用对数与自然对数如果（且，以为底的对数称为常用对数，a^x=N a0a≠110），那么叫做以为底的记作以无理数为N0x a N lgNe≈

2.718对数，记作对数是底的对数称为自然对数，记作x=log_a N指数的逆运算，两者互为反向过这两种对数在实际应用中lnN程最为常见对数运算法则，，log_aMN=log_a M+log_a Nlog_aM/N=log_a M-log_aN这些运算法则是解决对数问题的基础工具log_a M^n=n·log_a M对数函数函数定义与指数函数关系12且互为反函数关系y=log_a xa0a≠1基本性质定义域过点，具有单调性，即正实数集1,0x043对数函数图像时单调递增a1图像从左下方延伸，通过点，向右上方继续延1,0伸，轴为渐近线y图像从左上方延伸，通过点，向右下01,0方继续延伸，轴为渐近线y共同特征都过点，定义域为，值域为1,00,+∞-∞,+∞对数函数图像与性质图像特征分析对数函数图像是指数函数关于直线的对称图形，体现了两者y=x的反函数关系理解这种对称性有助于快速掌握对数函数的性质变换规律掌握对数函数的平移、伸缩、对称变换遵循一般函数变换规律通过参数变化可以得到各种形式的对数函数图像性质判断方法结合图像观察和代数计算，全面分析对数函数的单调性、奇偶性、有界性等重要性质，形成系统的认识对数函数应用声音强度地震震级酸碱度测量天体亮度分贝的计算公式里氏震级使用对数刻值的定义星等系统使用对数关系pH pH=-，将声音度，每增加级代表地，用对数形式表描述天体的视觉亮度差L=10lgI/I₀1lg[H⁺]强度的巨大变化范围压震释放能量增加约示氢离子浓度异32缩到易于处理的数值范倍围内幂函数基础幂函数定义形式的函数y=x^α1指数分类正数、负数、分数指数2定义域确定根据指数性质确定3基本性质单调性与奇偶性分析4幂函数图像x值y=x²y=x³y=√x三角函数概念三角函数定义六种三角函数定义域和值域在直角坐标系中，以原点为圆心的单正弦、余弦、正切、正弦和余弦函数的值域为，正切sin costan[-1,1]位圆上，任意一点与轴正方向余切、正割、余割构函数的值域为全体实数，各函数的定Px,y xcot seccsc的夹角为时，定义，成完整的三角函数系统义域根据函数性质确定θsinθ=y cos，θ=x tanθ=y/x正弦函数图像周期性特征正弦函数的最小正周期为，图像呈现规律的波浪形状，每隔y=sin x2π个单位重复一次2π对称性分析正弦函数是奇函数，图像关于原点对称，同时具有轴对称性，对称轴为x=π/2+kπ单调区间在上单调递增，在上单调[-π/2+2kπ,π/2+2kπ][π/2+2kπ,3π/2+2kπ]递减最值与零点最大值，最小值，零点为（为整数），最值点为1-1x=kπk x=π/2+kπ余弦函数图像图像特征余弦函数的图像是正弦函数向左平移个单位得到的波形y=cos xπ/2对称性质余弦函数是偶函数，图像关于轴对称，对称中心为yπ/2+kπ,0单调性分析在上单调递减，在上单调递增[2kπ,π+2kπ][π+2kπ,2π+2kπ]关键点位置零点为，最大值点为，最小值点为x=π/2+kπx=2kπx=π+2kπ正切函数图像渐近线特点为垂直渐近线x=π/2+kπ周期性质最小正周期为π单调性在每个连续区间内单调递增三角函数图像变换周期变化振幅变化函数中，影响周期长函数中，决定振幅大y=sinωxωy=A sin x|A|度，周期，时周期缩小，时图像不变，时图像关T=2π/|ω|ω1A0A0短，时周期延长于轴翻折0ω1x垂直平移相位变化函数中，产生垂直平函数中，产生水平平y=sinx+k k y=sinx+φφ移，向上移，向下移移，向左移，向右移k0k0φ0φ0三角函数的应用简谐运动描述弹簧振子、钟摆等物理系统的运动规律可用正弦或余弦函数描述位移、速度、加速度都呈现周期性变化，体现了三角函数在物理学中的重要应用交流电分析交流电的电压和电流随时间的变化规律遵循正弦函数通过三角函数可以分析电路的功率、有效值等重要参数声波与音乐声波的传播和音乐的节拍都具有周期性特征，可以用三角函数进行数学建模和分析，这是音频处理技术的数学基础绝对值函数绝对值定义基本图像特征函数性质分析绝对值表示数在数轴上对应点到的图像呈字形，顶点在原点，定义域为全体实数，值域为|x|x y=|x|V[0,+∞原点的距离当时，；当关于轴对称在时图像与重函数是偶函数，在上单调递x≥0|x|=x yx≥0y=x-∞,0]时，绝对值总是非负合，在时图像与重合减，在上单调递增，最小值为x0|x|=-x x0y=-x[0,+∞数，体现了距离的概念0绝对值函数图像变换水平平移1的图像是向右平移个单位（）或向左平移y=|x-h|y=|x|h h0个单位（）|h|h0垂直平移2的图像是向上平移个单位（）或向下平移y=|x|+k y=|x|k k0个单位（）|k|k0伸缩变换3的图像在纵向伸缩，时拉伸，时压缩，y=a|x||a|10|a|1时还要翻折a0分段函数分段函数定义常见分段函数类型在不同的定义域区间内由不绝对值函数、符号函数、取同的解析式定义的函数每整函数等都是典型的分段函个区间内函数的表达式可能数这些函数在实际问题中完全不同，需要特别注意分有重要应用，如税收计算、界点的函数值邮费计算等图像绘制技巧分别在各个区间内绘制对应的函数图像，注意分界点处的函数值和连续性特别关注分界点是开区间还是闭区间的端点函数图像综合变换平移变换规律函数表示将向右平移个单位，向上平移个单位平y=fx-h+ky=fx hk移变换不改变函数的形状，只改变位置掌握平移规律是理解函数变换的基础伸缩变换规律函数中，控制纵向伸缩，控制横向伸缩时纵向拉y=afbx ab|a|1伸，时纵向压缩；时横向压缩，时横向拉伸0|a|1|b|10|b|1对称变换规律关于轴对称，关于轴对称，关于原点y=-fx x y=f-xy y=-f-x对称对称变换是特殊的翻折变换，在解决函数问题时经常用到函数零点问题零点定义使的实数值fx=0x1代数意义方程的实数解2fx=0几何意义函数图像与轴交点的横坐标3x求解方法代数法、图像法、数值法4函数零点与方程解二分法原理利用函数连续性和中间值定理，不断缩小区间范围逼近零点图像法确定零点个数观察函数图像与轴的交点个数，直观判断方程解的x个数零点存在性判断利用连续函数的性质，通过函数值的符号变化判断零点存在性复合函数定义域确定复合函数概念内层函数定义域与外层函数值域的交由两个或多个函数复合而成12集常见复合类型图像分析方法43三角复合、指数对数复合等分步骤分析各层函数的变换效果反函数反函数概念与性质反函数存在条件反函数图像特点如果函数存在反函数，则记作函数存在反函数的充要条件是函数在互为反函数的两个函数的图像关于直y=fx或反函数的定义其定义域上为一一对应（既单射又满线对称这种对称性为我们提供x=f⁻¹yy=f⁻¹xy=x域是原函数的值域，反函数的值域是射）单调函数一定存在反函数，但了绘制反函数图像的几何方法，也是原函数的定义域反函数描述了原函存在反函数的函数不一定是单调函验证反函数关系的重要依据数的逆向对应关系数函数模型应用建模基本思想常见模型类型将实际问题抽象为数学问题，建立适线性模型、二次模型、指数模型、对当的函数模型来描述变量间的关系数模型、三角模型等，每种模型适用于不同类型的实际问题模型选择方法实际问题描述根据问题的性质和数据特点选择合适用函数语言准确描述实际问题中的约的函数模型，通过拟合优度检验模型束条件、目标函数和变量关系的有效性函数不同增长速度比较x值对数函数幂函数指数函数函数的奇偶性应用代数判断方法图像特征识别利用函数定义验证与的关系若则为偶函奇函数图像关于原点中心对称，偶函数图像关于轴轴对称f-x fxf-x=fx y数，若则为奇函数，若都不成立则为非奇非偶函通过观察图像的对称性可以快速判断函数的奇偶性f-x=-fx数解题中的应用复合函数奇偶性利用奇偶性可以简化计算，如求定积分、判断方程根的分布奇函数与奇函数的复合是奇函数，偶函数与任意函数的复合是等奇偶性是函数的重要性质，在解题中有广泛应用偶函数掌握复合函数奇偶性的判断规律函数的单调性应用代数判断方法图像特征观察解题应用技巧利用函数单调性的定单调递增函数的图像利用单调性解不等义，通过比较函数值从左到右上升，单调式、求函数最值、判的大小关系来判断递减函数的图像从左断方程根的个数等对于可导函数，可以到右下降通过图像单调性是解决函数问利用导数的符号来判斜率的正负可以直观题的重要工具断单调性判断单调性复合函数单调性复合函数的单调性遵循同增异减的规律内外函数同为递增或同为递减时，复合函数递增；一增一减时，复合函数递减函数与方程不等式图像解方程方程的解对应两函数图像交点的横坐标fx=gx图像解不等式不等式的解对应图像在图像上方的fxgx fxgx x值范围图像解方程组方程组的解对应多个函数图像的公共交点坐标函数解释方程将方程和不等式问题转化为函数问题，利用函数性质求解函数图像综合训练一基础函数图像识别函数性质判断训练简单函数图像绘制练习识别一次函数、二次函数、指数通过观察函数图像判断函数的单调练习手工绘制基本函数的图像，掌握函数、对数函数、三角函数等基本函性、奇偶性、周期性等基本性质训描点法、变换法等绘图技巧通过动数的图像特征重点掌握各类函数图练学生从图像中提取函数信息的能手绘制加深对函数图像的理解，培养像的基本形状、关键点位置和变化趋力，提高分析问题的效率和准确性数形结合的思维能力势，建立图像与函数式的对应关系函数图像综合训练二函数变换应用题练习函数图像的平移、伸缩、对称等各种变换，理解参数变化对图像的影响规律复合函数图像分析学会分析复合函数的图像特征，掌握逐步分析的方法和技巧分段函数与绝对值函数重点训练分段函数和含绝对值函数的图像绘制和性质分析实际应用问题将函数图像知识应用到实际问题中，提高数学建模和问题解决能力函数图像综合训练三高考真题解析精选历年高考函数图像题目进行深入分析函数综合应用三角函数与指数对数函数的综合应用问题参数函数问题含参数的函数图像分析和性质讨论难点突破训练针对学生易错点进行专项突破练习函数图像绘制工具科学计算器使用软件应用在线绘图工具GeoGebra掌握科学计算器的函数绘图功能，学会学会使用进行函数图像的动介绍、等在线GeoGebra DesmosWolfram Alpha输入函数表达式、设置绘图参数、观察态演示，通过拖动参数观察图像变化数学工具的使用方法这些工具功能强图像特征科学计算器是学习函数图像这种交互式的学习方式能够帮助学生更大，能够绘制复杂函数的精确图像，是的基础工具，能够快速验证理论分析的好地理解函数参数与图像的关系现代数学学习的重要辅助手段结果。