高等数学课件及习题课（定积分）

高等数学课件与习题课定积分定积分是高等数学中最重要的概念之一，它将微分与积分统一起来，为解决实际问题提供了强有力的数学工具本课程将系统地介绍定积分的理论基础、计算方法和实际应用通过本课程的学习，学生将掌握定积分的基本概念、性质和计算技巧，能够运用定积分解决几何、物理和工程中的实际问题，为后续专业课程奠定坚实的数学基础课程导引1定积分章节核心地位2不同专业的侧重点定积分是微积分学的重要组成数理类专业注重理论证明和严部分，连接了导数与原函数，格性，工科类专业强调计算技是解决面积、体积、功等实际巧和实际应用，医学类专业关问题的关键工具注统计和概率应用3课程安排与学习方法理论讲解与习题练习相结合，通过大量例题和练习强化计算能力，培养数学思维和解决问题的能力学习目标理解定积分的定义掌握定积分的几何意义和物理意义，理解极限过程在定积分定义中的作用掌握计算方法熟练运用牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等计算定积分应用解决实际问题能够运用定积分解决几何面积、物理功、概率等实际问题定积分的历史与发展1古希腊时期阿基米德使用穷竭法计算抛物线弓形面积，奠定了积分思想的雏形2世纪革命17牛顿和莱布尼茨分别独立发现微积分基本定理，建立了微分与积分的联系3世纪严格化19黎曼给出定积分的严格定义，柯西完善了连续性理论，使积分理论更加完备定积分的实际需求几何测量物理应用工程计算计算不规则图形的面求解变力做功、流体压结构力学中的梁的弯积、旋转体的体积、曲力、质心坐标、转动惯曲、电路分析中的平均线的弧长等几何量量等物理问题值、经济学中的消费者剩余统计分析概率密度函数的积分、统计分布的期望值计算、数据分析中的累积量定积分的定义区间分割将积分区间[a,b]分割成n个小区间，每个子区间的长度为Δx=b-a/n函数值近似在每个小区间内选取一点ξᵢ，用fξᵢ近似该区间内函数的值黎曼和求极限当分割的细度趋于零时，黎曼和的极限即为定积分∫ᵃᵇfxdx=limn→∞ΣfξᵢΔx区间的划分与取点划分方式取点规则等分划分是最常见的方式，将区间[a,b]等分成n个子区间也可以在每个子区间[xᵢ₋₁,xᵢ]内选取代表点ξᵢ，常见取法包括左端点、进行不等分划分，根据函数特性灵活选择分点右端点、中点或任意点划分的精细程度直接影响近似的准确性，分割越细，近似效果越不同的取点方式会得到不同的黎曼和，但当分割细度趋于零时，极好限值相同和Riemann黎曼和公式几何意义S=Σᵢ₌₁ⁿfξᵢΔxᵢ，其中ξᵢ∈[xᵢ黎曼和表示用矩形面积之和来近似ₙ₋₁,xᵢ]，Δxᵢ=xᵢ-xᵢ₋₁曲边梯形的面积，矩形越多越细，近似程度越高与定积分的关系当分割的细度λ=max{Δxᵢ}趋于零时，黎曼和的极限就是定积分的值定积分存在的条件可积性定理函数在闭区间上有界且可积1达布定理2上和与下和相等的充要条件基本要求3函数在积分区间上必须有界定积分存在的充分必要条件是函数在积分区间上有界，且不连续点构成的集合的测度为零这个条件保证了上达布和与下达布和相等，从而保证了黎曼和极限的存在性和唯一性可积的充分条件连续函数有限间断点闭区间上的连续函数必定可积，这是最重有有限个间断点的有界函数仍然可积要的充分条件分段连续单调函数分段连续函数在各段上都可积闭区间上的单调有界函数必定可积定积分的几何意义

（一）面积的代数定义正负面积概念当fx≥0时，定积分∫ᵃᵇfxdx表示由曲线y=fx、直线x=a、x=b当fx0时，定积分的值为负，表示x轴下方的面积取负值这种及x轴所围成的曲边梯形的面积代数面积的概念使得积分具有了更丰富的数学意义这是定积分最直观的几何解释，也是积分概念产生的历史背景通实际计算面积时，需要将正负部分分别计算，然后取绝对值相加过无穷小矩形面积的累加，我们可以精确计算不规则图形的面积定积分的几何意义

（二）净面积概念1定积分值等于x轴上方面积减去x轴下方面积分段计算2将积分区间按函数正负性分段处理绝对值积分3∫ᵃᵇ|fx|dx给出总面积理解净面积概念对于正确计算和应用定积分至关重要在物理应用中，净面积往往有特定的物理意义，比如位移的计算就是速度函数的净面积定积分的物理意义速度与位移功的计算速度函数vt在时间区间[t₁,t₂]上的定变力Fx沿直线移动距离的定积分等于力积分等于物体在该时间段内的位移所做的功W=∫ᵃᵇFxdx质心与重心流量与总量通过密度函数的积分可以计算物体的质流速函数在时间区间上的积分等于总流量、质心坐标等物理量量，广泛应用于流体力学定积分与不定积分的区别定积分特点不定积分特点定积分∫ᵃᵇfxdx是一个确定的数值，表示函数在指定区间上的累积不定积分∫fxdx是一个函数族，表示所有以fx为导数的原函数量它有明确的上下限，计算结果是具体的数字结果包含任意常数C，代表无穷多个函数定积分的值只依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的选取无不定积分关注的是反导数关系，主要用于求解微分方程和分析函数关例如∫₀¹x²dx=∫₀¹t²dt=1/3性质它是定积分计算的重要工具牛顿莱布尼茨公式-基本定理若Fx是fx的原函数，则∫ᵃᵇfxdx=Fb-Fa微积分桥梁该公式建立了微分与积分的根本联系，是微积分学的核心定理计算工具将定积分的计算转化为求原函数，大大简化了积分计算过程牛顿莱布尼茨公式例题-计算最终结果代入上下限∫₁³x²+2xdx=F3-F1=18-4/3=例题演示F3=27/3+9=9+9=18，F1=1/3+154/3-4/3=50/3计算∫₁³x²+2xdx首先求原函数Fx=4/3=x³/3+x²定积分的基本性质

（一）1线性性质2区间可加性∫ᵃᵇ[αfx+βgx]dx=α∫ᵃᵇfxdx+β∫ᵃᵇgxdx，常数可以提∫ᵃᶜfxdx=∫ᵃᵇfxdx+∫ᵇᶜfxdx，无论a、b、c的大小关系出积分号外如何3上下限互换4相同上下限∫ᵃᵇfxdx=-∫ᵇᵃfxdx，交换积分上下限时积分值变号∫ᵃᵃfxdx=0，上下限相同时积分值为零定积分的基本性质

（二）保序性若fx≤gx在[a,b]上成立，则∫ᵃᵇfxdx≤∫ᵃᵇgxdx绝对值不等式|∫ᵃᵇfxdx|≤∫ᵃᵇ|fx|dx，积分的绝对值不超过绝对值的积分估值性质若m≤fx≤M在[a,b]上成立，则mb-a≤∫ᵃᵇfxdx≤Mb-a定积分不等式性质例题典型证明题解题思路关键技巧证明若fx在[0,1]上连续且fx≥0，利用柯西-施瓦茨不等式∫fg²≤合理选择比较函数，运用积分的单调性则∫₀¹fxdx≥[∫₀¹√fxdx]²∫f²∫g²，设f=√fx，g=1和绝对值不等式进行放缩估计定积分的中值定理积分中值定理1存在ξ∈[a,b]使得积分等于函数值乘以区间长度广义中值定理2当gx不变号时的推广形式连续性条件3fx在[a,b]上连续是基本要求积分中值定理的表述若fx在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使得∫ᵃᵇfxdx=fξb-a这个定理的几何意义是存在一个矩形，其面积等于曲边梯形的面积定积分的中值定理例题存在性证明1证明方程∫₀ˣftdt=xfc在0,1内有解中值点估计2利用函数的单调性缩小中值点的范围与极值结合3结合导数零点定理处理复合问题中值定理在证明题中应用广泛，常与罗尔定理、拉格朗日中值定理结合使用关键是要理解中值点的存在性，并善于利用函数的连续性和单调性来确定中值点的位置范围上限函数及其导数积分上限函数求导公式定义Fx=∫ᵃˣftdt，其中x是积分的上若fx连续，则Fx=fx，即积分上限限，这是一个以x为自变量的函数函数的导数等于被积函数微积分基本定理复合情况这建立了积分与微分的互逆关系，是微积若上限为φx，则[∫ᵃᶿ⁽ˣ⁾ftdt]=分学的核心内容fφx·φx上限函数例题分析基本类型求[∫₀ˣsin t²dt]的导数•直接应用公式得到sin x²•注意被积函数中的变量替换复合函数类型求[∫₁ˣ²e^t³dt]的导数•上限为x²，需要用链式法则•结果为e^x⁶·2x双变量情况上下限都含x的情况处理•利用积分区间可加性分解•分别对上下限求导并注意符号换元积分法简介适用问题类型换元通式推导当被积函数具有复合函数结构，或包含根式、三角函数等复杂形式设x=φt，dx=φtdt，则∫ᵃᵇfxdx=∫ₐᵦfφtφtdt时，换元法能够简化计算过程其中α=φ⁻¹a，β=φ⁻¹b换元后积分上下限也要相应改变，特别适用于被积函数中存在某个函数及其导数的乘积形式，如这是定积分换元的关键点∫fxgfxdx类型的积分换元积分法例题计算最终结果换元后的积分∫₀¹u³du=[u⁴/4]₀¹=1/4-0=1/4三角换元示例当x=0时u=0，当x=π/2时u=1，积分变计算∫₀^π/2sin³x cos x dx，设u=sin为∫₀¹u³dux，则du=cosx dx分部积分法简介基本公式适用条件∫ᵃᵇu dv=[uv]ᵃᵇ-∫ᵃᵇv du，这是乘被积函数为两个函数的乘积，其中积求导法则的逆向应用一个函数求导简单，另一个函数积分简单选择策略遵循反对幂指三口诀反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数分部积分法例题选择和求导和积分应用公式u dv计算∫₀¹xe^x dx，选择u=x，dv=e^x则du=dx，v=e^x∫₀¹xe^x dx=[xe^x]₀¹-∫₀¹e^x dx=edx-e-1=1定积分的对称性奇函数性质偶函数性质若fx为奇函数，则∫₋ₐᵃfxdx=0若fx为偶函数，则∫₋ₐᵃfxdx=2∫₀ᵃfxdx区间变换周期函数性质∫₀ᵃfxdx=∫₀ᵃfa-xdx，常用于简化计算若fx以T为周期，则∫ₐᵃ⁺ᵀfxdx=∫₀ᵀfxdx定积分与极限问题1积分定义型极限利用定积分定义计算形如limn→∞Σfk/n/n的极限，转化为∫₀¹fxdx2变上限函数极限研究Fx=∫ₐˣftdt当x趋于某值时的极限性质3参数积分极限含参数的积分在参数变化时的极限行为分析典型定积分极限题识别积分定义计算limn→∞1/nΣk=1to n√1+k/n²，识别为黎曼和形式转化为定积分原极限等于∫₀¹√1+x²dx，区间[0,1]，被积函数为√1+x²计算积分值利用三角换元x=tan t，得到积分值为ln1+√2+√2/2计算题综合举例（）1技巧组合注意事项验算方法计算∫₀^π/2x sin x分部积分时要正确选择u利用对称性质验证结果dx，需要结合分部积分和dv，避免积分变得更的正确性，或通过数值和三角函数性质复杂方法估算计算题综合举例（）2问题分析1计算∫₁ᵉln x²/x dx，识别被积函数结构选择方法2设u=ln x，则x=eᵘ，dx=eᵘdu换元计算3积分变为∫₀¹u²du=[u³/3]₀¹=1/3复杂的定积分计算往往需要多种方法的综合运用关键是要能够识别被积函数的特征，选择最合适的计算方法，并注意计算过程中的细节处理，特别是上下限的变换和符号的处理重要特殊积分π/2∫₀^π/2sin x dx基本三角积分π/4∫₀^π/4sec²x dx正切函数积分2∫₀¹1/√1-x²dx反正弦函数积分π/2∫₀^∞e^-x²dx高斯积分的一半利用奇偶性化简计算奇函数应用∫₋₂²x³sin xdx=0，因为被积函数是奇函数偶函数应用∫₋₁¹cosx²dx=2∫₀¹cosx²dx，利用偶函数性质简化函数分解将复杂函数分解为奇偶部分fx=[fx+f-x]/2+[fx-f-x]/2复合型应用题（工程背景）力学应用实例流体压力计算计算弹簧压缩功已知弹性力Fx=kx，求将弹簧从自然长度压缩计算水坝侧壁受到的总压力压强Ph=ρgh，其中h为深度设至长度a所需的功坝高为H，宽度为w建立积分模型W=∫₀ᵃFxdx=∫₀ᵃkx dx=ka²/2，这就是弹性总压力F=∫₀ᴴρgh·w dh=ρgw∫₀ᴴh dh=ρgwH²/2，压力与深势能公式的推导过程度平方成正比图像辅助理解积分通过图像可以直观理解定积分的几何意义正面积对应函数值为正的区域，负面积对应函数值为负的区域定积分的值等于正面积减去负面积，这就是净面积的概念在解决实际问题时，要根据具体情况判断是需要净面积还是总面积参数积分与实际建模参数识别识别积分中的参数及其物理意义1建模过程2将实际问题转化为含参数的积分实际背景3工程、物理、经济等领域的具体应用参数积分在实际建模中应用广泛，如人口增长模型中的∫₀ᵗrsPsds表示t时刻的总人口，其中rs是增长率，Ps是s时刻的人口数通过改变参数可以分析不同条件下的结果变化综合题型策略讲解问题分析策略制定识别题目类型，确定所需的数学工具和方选择合适的积分方法，制定详细的解题步法，分析已知条件和求解目标骤，预估可能遇到的困难结果验证执行计算检查计算结果的合理性，利用不同方法验按照制定的策略进行计算，注意每一步的证答案的正确性准确性和逻辑性易混易错点归纳上下限顺序混淆忘记交换积分上下限时要变号，或者在换元积分时忘记同步更改积分限原函数选择错误求原函数时漏掉常数项，或者在分部积分中选择不当导致积分更复杂符号处理失误忽略被积函数的正负性，将净面积与总面积混淆，特别是在物理应用中公式记忆偏差牛顿-莱布尼茨公式应用错误，分部积分公式中u和v的选择不当典型错题分析错误示例分析错误原因剖析学生常犯错误计算∫₋₁¹x³dx时直接得出2∫₀¹x³dx=1/2，忽略这类错误的根本原因是对函数奇偶性质理解不深，机械地应用偶函了x³是奇函数的性质数公式而忽略了函数的实际性质正确做法应该是由于x³在[-1,1]上为奇函数，根据奇函数在对称解决方法是在计算前先判断被积函数的奇偶性，选择合适的计算策区间上的积分性质，∫₋₁¹x³dx=0略，避免不必要的复杂计算课堂习题（基础）基础计算题性质应用题•∫₀²x²+3x+1dx•利用奇偶性计算∫₋₂²x sin xdx•∫₀^π/2sin xdx•证明∫₀ᵃfxdx=∫₀ᵃfa-xdx•∫₁ᵉ1/xdx几何意义题•解释∫₋₁¹|x|dx的几何意义•画图说明∫₀^2πsinxdx=0课堂习题（中等）换元积分练习计算∫₀¹x√1-x²dx，∫₀^π/4tan xdx，∫₀²xe^-x²dx分部积分练习计算∫₀¹x ln1+xdx，∫₀^π/2x cosxdx，∫₁ᵉx²ln xdx综合应用题求曲线y=x²与y=√x围成图形的面积，计算旋转体体积课堂习题（综合）多技巧结合计算∫₀^π/2x²sinxdx，需要多次分部积分时间控制15分钟内完成3道中等难度题目，培养考试节奏精确度要求结果必须精确到小数点后三位，注意计算准确性课堂习题（考研难度）1证明题证明设fx在[0,1]连续，∫₀¹fxdx=0，∫₀¹xfxdx=0，则∫₀¹[fx]²dx≥12[∫₀¹x²fxdx]²2极限与积分结合计算limn→∞∫₀¹[fx]ⁿdx，其中fx在[0,1]连续且0≤fx≤13参数积分问题设Ia=∫₀^π/2ln1+a cos²xdx，求Ia并计算I1课后习题推荐及答案教材习题补充练习第5章习题

5.2的第

3、

7、12题，第

5.3的第历年考研真题中的定积分计算题，强化训练

5、

9、15题解题技巧讨论交流参考答案每周答疑时间，学生可提出疑难问题进行集详细解答过程见课程网站，包含多种解法对体讨论比分析练习题成果分析动画实验演示/黎曼和动画演示三维可视化交互式计算演示通过动态展示矩形数量增加的过程，直观理利用三维图形展示定积分在空间中的应用，分部积分法的逐步演示，每一步都有详细说解定积分的定义从粗糙的近似到精确的极如计算旋转体体积通过交互式操作，学生明学生可以选择不同的u和dv，观察积分限，帮助学生建立积分概念的直观印象可以改变函数和积分区间，观察结果变化难度的变化，培养正确的选择策略知识点结构化总结基本概念1定义、几何意义、物理意义性质与定理2线性性、中值定理、牛顿-莱布尼茨公式计算方法3换元法、分部积分法、对称性应用综合应用4几何问题、物理问题、极限问题定积分知识体系呈现层次化结构，从基本概念出发，逐步深入到性质定理，再到计算方法，最后是综合应用每个层次都相互关联，形成完整的知识网络重要考试高频考点25%20%基本计算换元积分牛顿-莱布尼茨公式应用三角换元、指数换元20%15%分部积分几何应用多次分部积分技巧面积、体积计算10%10%物理应用综合题型功、质心、转动惯量与极限、导数结合。