2024届一轮复习人教A版 球的表面积和体积 作业

课后素养落实

（二十五）球的表面积和体积（建议用时分钟）40［A组基础合格练］

一、选择题把半径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为）

1.6cm,8cm,10cmA.3cm B.6cm C.8cm D.12cm4444D［由卒尺3=卒,63+铲N+卒.1（）3,得2=1728,检验知H=12・］一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（）

2.画近叵3^兀A.62J22将直径为的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为

3.2（）兀兀兀兀A.2B.3C.4D.6B［由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S=7iX l2+y X4义兀义兀.］12=3,将棱长为的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（）42地也p3271r兀A.3H•3•3D.4［根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故B r=1,447r所以丫=卒/=7・］已知圆柱的高为它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积

5.1,2为（）兀一兀C兀e3•彳A.7i BC.2D.W［设圆柱的底面半径为入球的半径为且由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面B R,R=l,上可知，及圆柱的高的一半构成直角三角形.r,H冗33圆柱的体积为V=Ttr1h=^JiX1故选］B.

二、填空题若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为.

6.43［设此球的半径为R,则4兀/2=彳兀R3,R=

3.］已知“是球的直径上一点，过点”的平面截球所得截面圆的圆心

7.A8AH HB=12,为点”，且截面圆的面积为兀，则球的表面积为.418兀［设球的半径为R.9AH HB=\2,・••截面与球心的距离为女.二•截面圆的面积为4兀，.二截面圆的半径r=2,72=22+,，肥:3，・••球0的表面积S=4兀改］=

1871.圆柱形容器内盛有高为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相

8.8cm同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.4［设球的半径为则义彳兀/+兀/兀»匕解得］4rem,38=6r=

4.

三、解答题某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中

9.r=l,1=3,试求该组合体的表面积和体积.［解］该组合体的表面积5=471^+27:^=471X12+2TIX1X3=10兀.44137r该组合体的体积V=^7ir34-7ir2/=T7iX/+兀x12X3=-.已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且

10.A,B,45=18,求球的表面积和体积.BC=24,AC=30,［解］因为A38CAC=182430=345,所以△ABC是直角三角形，ZB=90°.又球心到截面△人的投影，为截面圆的圆心,5也是的外接圆的圆心,RtAABC所以斜边为截面圆的直径（如图所示）,AC0,设OC=r,OC=R9则球半径为截面圆半径为厂,R,在中,RtZXOC由题设知si〃N0（0=耳所以所以石乎,NOCO=300,=cos300=KZ即（）R=]r*又2r=4=300〃=15,代入（*）得R=10V

5.所以球的表面积为S=4兀肥=4兀X（1M）2=

120071.44r-r-球的体积为丫=针尺卒＞＜（]师）附兀.3=3=400[6组能力过关练]已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若

1.ABC-AyBxCx6AB=3,AC=4,AB±AC,A4i=12,则球0的表面积为（）兀兀兀A.153B.160C.169D.3607r[由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是C外接球的直径，所以球0的半径/=1^32+42+122=y,所以球0的表面积S=4兀义省2故选=169K,C.]如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的倍，则圆锥的侧面积和球的表面积

2.3N S2之比为（）A.43B.31C.32D.94［画出轴截面如图所示，设球的半径为则小C r,OD=r,P0=2r,ZPDO=90\.ZCPB.又，［二圆锥的侧面积义小厂=30NPC3=

90.CB=^PC=y3r PB=2®,SI=TT9=6兀凡球的表面积S2=4兀r2,/.5i:52=3:

2.］在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若则

3.ABCA/Ci VA3_L8C,AB=6,BC=8,4M=3,V的最大值是.与［当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB=6,所以底面的内切圆的半径即为此时球的半径BC=8,AC=10,尸直径为侧棱.所以球的最大直径为半径为，此时体积与.］=6+1——=2,43,V=已知体积为小的正三棱锥的外接球的球心为，满足+防+元则该三棱锥外接

4.V-ABC=0,球的体积为.彳兀［由题意知，，说明正三角形的顶点在球的大圆上.设球的半QA+08=C ABCOD径为R,则该三棱锥的底面正三角形A3C的高为亍,4ABC的边长为所以正三棱锥V-ABC的体积为:X坐、/§解得则该三棱锥外接球的体积为*竽兀.］X R2R=q§,R=4,TR3=［C组拓广探索练］一个高为的圆锥内接于一个体积为兀的球，在圆锥里又有一个内切球.求16972⑴圆锥的侧面积；⑵圆锥内切球的体积.［解］1如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆01内切于△SA

3.4设圆的半径为则有铲兀,R,R3=972，R=9,，S£=2R=

18.V5Z=16,.ED=

2.连接A£,又SE是圆的直径，.SA±AE,.SA1=SDXSE=16X18=288,SA=12版9AB±SD,D为AB中点、,.\AD2=SDDE=16X2=32,AD=4小.圆锥侧兀.⑵设内切球的半径为匕即圆的半径为八•••5=nXADX SA=nX4y[2X12m=961V的周长为义吸+取⑵解得ASAB212=32,.\!rX32^2=1x8^2X16,r=

4.故圆锥内切球的体积丫球=%/=争.。