《量子力学习题》课件

《量子力学习题》课件PPT欢迎参加量子力学习题系列课程！本课件基于最新版权威教材与北京大学经典课件编写，专为本科生及研究生量子力学课程设计我们将系统地讲解量子力学基本原理，并通过精选习题帮助大家掌握解题技巧与深入理解量子世界的奥秘本系列课件既包含理论基础知识，也包括大量习题解析，帮助学生从基础到进阶全面掌握量子力学的核心内容让我们一起探索微观世界的神奇规律！课件内容纲要量子力学基本原理从波粒二象性到测量理论，全面理解量子力学的理论基础波函数与薛定谔方程详解波函数的物理意义、薛定谔方程的求解方法及应用矢量态与算符掌握希尔伯特空间中量子态的数学描述与物理意义常见题型与典例通过解析经典例题，掌握量子力学问题的解题思路和方法深入进阶习题讨论探讨高级量子力学问题，提升解题能力和理论理解深度量子力学发展简史年11900马克斯普朗克提出能量量子化假说，解释黑体辐射问题，开启·量子革命2年1905爱因斯坦提出光量子假说，解释光电效应，证实了能量量子化的普遍性年31913尼尔斯玻尔建立氢原子模型，引入量子化轨道概念，解释原子·光谱4年1925-1926海森堡创立矩阵力学，薛定谔提出波动方程，建立了量子力学的数学基础年51927狄拉克、玻恩等人完善了量子力学解释，建立了完整的理论体系量子力学的基本假设波粒二象性态矢与概率幅测量的统计本质微观粒子既具有波动性也具有粒子性，这量子态由希尔伯特空间中的矢量（态矢）量子测量不再是对预先存在值的被动读取，是量子力学的核心特征德布罗意假设认描述，不同于经典力学中的确定性轨迹而是一个主动过程，导致波函数坍缩到特为所有微观粒子都具有波动性，波长波函数的平方模给出粒子在特定位置被发定本征态相同初态的重复测量会得到不，其中为粒子动量现的概率密度同结果，遵循概率分布λ=h/p p这种二象性在双缝干涉实验中得到充分验这种概率解释是量子力学与经典力学的本这种本质不确定性是量子世界的固有特性，证，即使单个电子也能产生干涉图样质区别之一而非认识局限波函数基本概念波函数定义物理意义波函数是描述量子系统状态的复表示在时间时粒子出现在位置ψx,t|ψx,t|²t值函数，是量子力学的核心数学工具附近的概率密度x叠加原理规范化条件若₁和₂是系统可能的状态，则它，确保总概率为，是ψψ∫|ψx,t|²dx=11们的线性组合也是可能的状态波函数的必要条件波函数必须满足连续性、可微性和单值性，这些数学性质保证了薛定谔方程解的物理合理性波函数的演化遵循薛定谔方程，完全决定了量子系统的动力学行为薛定谔方程简介1D方程形式一维时间相关薛定谔方程iħ∂ψx,t/∂t=[-ħ²/2m∂²/∂x²+Vx]ψx,t这是量子系统动力学演化的基本方程，相当于经典力学中的牛顿第二定律时间无关形式定态薛定谔方程[-ħ²/2m∂²/∂x²+Vx]ψx=Eψx通过分离变量法得到，求解定态波函数和能量本征值一维无限深势阱最简单的量子系统模型，波函数为正弦函数，能量呈离散分布n²能量量子化，其中为势阱宽度En=n²π²ħ²/2mL²L一维谐振子另一个重要模型，波函数为厄米多项式与高斯函数的乘积能量，呈均匀间隔分布En=n+1/2ħω态空间与算符希尔伯特空间量子态的数学表示空间，无限维复向量空间量子态矢量用狄拉克符号表示，描述系统的完整状态|ψ⟩力学算符每个可观测量对应一个厄米算符本征态与本征值满足的特殊态，为对应的测量值Â|ψ=a|ψa⟩⟩位置算符̂和动量算符̂是量子力学中最基本的算符哈密顿算符̂̂对应系统的总能量厄米算符的本征值都是实x p=-iħ∂/∂xĤ=p²/2m+Vx数，确保了测量结果的物理意义本征态构成完备基底，任意量子态都可以表示为本征态的线性叠加算符交换关系交换子定义̂̂̂，表示两个算符的不对易性[Â,B]=ÂB-BÂ基本交换关系̂̂，位置与动量算符的核心交换关系[x,p]=iħ不确定性原理，源于位置与动量的不对易性ΔxΔp≥ħ/2位置与动量算符的交换关系̂̂是量子力学的核心数学结构，可以通过考察̂作用于波函数直接推导当两个算符不对易[x,p]=iħp=-iħ∂/∂x时，它们对应的物理量不能同时具有确定值，这导致了测量的不确定性类似地，角动量分量之间也存在交换关系̂̂̂（及循环置换）这些交换关系是理解量子系统行为的关键，也是解决许多量[Lx,Ly]=iħLz子力学习题的基础物理可观测量可观测量与算符测量概率波函数坍缩每个物理可观测量（如位若系统处于态，则测测量后，系统态立即坍缩|ψ⟩置、动量、能量）都由对量物理量得到本征值到对应的本征态这A aⁿ|n⟩应的厄米算符表示厄米的概率为，其种不连续变化是量子测量|n|ψ|²⟨⟩性保证了本征值为实数，中是对应本征态这的特征，与经典物理截然|n⟩具有物理意义体现了量子力学的统计本不同质期望值物理量的期望值计算为，表Â=ψ|Â|ψ⟨⟩⟨⟩示大量相同测量的统计平均结果本征值问题本征方程基本形式一维无限深势阱解析谐振子问题，其中是厄米算符，势能函数，势能函数Â|ψ=a|ψÂa Vx=00xL VxVx=½mω²x²⟩⟩是本征值，是本征态或|ψ=∞x≤0x≥L⟩能量本征值，E=n+½ħωn=ₙ在坐标表象中，哈密顿算符的本征方程本征函数ψx=√2/L0,1,

2...ₙ即为定态薛定谔方程，sinnπx/L n=1,2,

3...本征函数涉及厄米多项式能量本征值与高斯函数[-ħ²/2m∂²/∂x²+Vx]ψx=Eψx E=n²π²ħ²/2mL²H√mω/ħx e^-ₙₙ的乘积mωx²/2ħ通过求解此方程可以得到能量本征值和这是量子力学中最基本的模型之一，展谐振子在量子场论和分子振动中有广泛E对应的波函数示了能量量子化的特征应用ψx波包与自由粒子的动力学高斯波包最常见的波包形式ψx,0=2πσ²^-1/4exp[-x²/4σ²+ikₒx]初始时刻中心在x=0，平均动量pₒ=ħkₒ，空间展宽为σ时间演化ψx,t=[2πσ²1+iħt/2mσ²]^-1/4exp[-x-vₒt²/4σ²1+iħt/2mσ²+ikₒx-iEₒt/ħ]波包中心以经典速度vₒ=pₒ/m运动，同时发生展宽波包展宽σt=σₒ√[1+ħt/2mσₒ²²]，反映量子不确定性随时间增长展宽速率与初始宽度和粒子质量有关波包是描述具有确定位置和动量范围的量子粒子的理想工具在自由空间中，波包的中心遵循经典轨迹运动，但同时发生量子展宽这种展宽是量子力学特有现象，表明位置不确定性随时间增加动量空间波包保持形状不变，反映动量守恒波包的群速度等于经典速度，相速度vg=dω/dk则可能不同，这解释了干涉现象vp=ω/k例题波函数归一化1题目描述已知一维无限深势阱中的波函数为，求归一化系数0≤x≤aψx=A·sinπx/a A理论依据波函数归一化条件，积分范围覆盖粒子可能出现的全部空间∫|ψx|²dx=1对无限深势阱，积分范围为到，势阱外波函数为零0a解题步骤计算

1.|ψx|²=A²·sin²πx/a

2.设置积分A²∫₀ᵃsin²πx/adx=1利用三角恒等式

3.sin²θ=1-cos2θ/2计算积分得

4.A²·a/2=1最终结果归一化系数A=√2/a完整归一化波函数ψx=√2/a·sinπx/a例题本征态的叠加2325%本征态数量基态概率题中叠加态包含的基本本征态数量测量能量得到基态能量₁的概率E50%第二态概率测量能量得到第二能级₂的概率E【题目】一维无限深势阱中的粒子处于叠加态，ψx=A[sinπx/a+√2sin2πx/a+sin3πx/a]求归一化系数；测量能量得到各能级的概率1A2【解析】首先，识别出这是本征态的线性叠加₁₂₃根据正交ψx=A[ψx+√2ψx+ψx]性，，所以归一化条件简化为，得测量能量得∫ψxψxdx=δA²1+2+1=1A=1/2ₙₘₙₘ到的概率为，即，其中是对应本征态的系数因此₁，E|ψ|ψ|²|A·c|²c P=25%ₙ⟨ₙ⟩ₙₙ₂，₃P=50%P=25%例题概率流密度计算3概率流密度定义例题与解答概率流密度描述量子概率如何在空间中流动，它的物理意【题目】自由粒子的波函数为，求概率流密度jx,tψx,t=Ae^[ikx-ωt]义是单位时间内穿过单位面积的概率量【解析】首先计算波函数的空间导数一维情况下的表达式∂ψx,t/∂x=ikAe^[ikx-ωt]jx,t=ħ/mIm[ψ*x,t∂ψx,t/∂x]代入概率流密度公式也可表示为jx,t=ħ/mIm[A*e^[-ikx-ωt]·ikAe^[ikx-ωt]]jx,t=ħ/2mi[ψ*x,t∂ψx,t/∂x-ψx,t∂ψ*x,t/∂x]=ħ/mIm[ik|A|²]=ħk/m|A|²注意到为概率密度，为动量，所以，其|ψ|²=|A|²ħk=p j=|ψ|²·v中是经典速度这表明概率流密度等于概率密度乘以速v=p/m度，与经典物理类似一维势阱常见习题无限深势阱有限深势阱势垒与隧穿能级，波函特点存在有限数量的束缚态，可能矩形势垒透射系数E=n²π²ħ²/2mL²T≈ₙ数出现隧穿效应₀₀，适ψx=√2/Lsinnπx/L16E/V1-E/V e^-2κdₙ用于₀且EVκd»1典型题型叠加态分析、时间演化计能级方程或k·tankL/2=κ算、测量概率计算、奇偶宇称讨论，其中典型题型计算透射概率、反射概率，k·cotkL/2=-κ，₀分析隧穿现象k=√2mE/ħ²κ=√[2mV-解题要点利用正交性简化计算，注E/ħ²]意边界条件解题方法通常需要数值求解或图解法解题技巧利用波函数和导数的连续ψ0=ψL=0性条件例题隧穿效应4【题目】一个能量为的粒子入射到高度为₀₀、宽度为的矩形势垒求粒子的透射概率E VV E a T【解析】将空间分为三个区域Ix

0、II0≤x≤a和IIIxa在各区域内写出波函数ψᵢx=Ae^ikx+Be^-ikx，ψᵢᵢx=Ce^κx+De^-κx，ψᵢᵢᵢx=Fe^ikx，其中，₀k=√2mE/ħ²κ=√[2mV-E/ħ²]利用波函数及其导数在和处的连续性条件，解出系数之间的关系透射概率对于薄势垒，；对于厚势垒，x=0x=a T=|F/A|²κa«1T≈1-κ²a²κa»1₀₀这种隧穿效应在扫描隧道显微镜、衰变和分子间电子转移等物理现象中起关键作用T≈16E/V1-E/V e^-2κaα角动量的量子化量子化规则球谐函数̂角动量本征函数L²|l,m=ħ²ll+1|l,m Yθ,φ=⟩⟩ₗₘ表示角分布概率̂Lz|l,m=ħm|l,m⟩⟩角动量算符交换关系̂̂̂̂̂̂̂L²=Lx²+Ly²+Lz²[Lx,Ly]=iħLẑ̂̂Lz=-iħ∂/∂φ[L²,Lz]=0角动量的量子化是原子结构和分子光谱的基础轨道角动量量子数取非负整数，对应轨道磁量子数取值范围为，共l0,1,2,...s,p,d,f...m-l≤m≤l有个可能值，表示̂的本征值这种量子化源于角动量算符的特殊代数结构，与角坐标的周期性有关2l+1Lz例题角动量本征解5量子数量子数本征值本征值简并度l mL²Lz000011-1,0,12ħ²-ħ,0,ħ32-2,-6ħ²-2ħ,-51,0,1,2ħ,0,ħ,2ħ【题目】已知粒子处于的本征态，测得该粒子的角动量量子L²L²=12ħ²1数是多少？若再测量，可能得到哪些值？求对应的球谐函数表达式l2Lz3【解析】由，解得磁量子数可取1L²=ħ²ll+1=12ħ²l=32m-3,-2,-共个值，对应的值为对应的球谐函数为1,0,1,2,37Lz mħ3l=3₃，具体表达式涉及连带勒让德多项式₃和的组Y,θ,φPᵐcosθe^imφₘ合，例如₃₀∝₃，₃±₁∝₃±等这些球谐Y,P cosθY,P¹cosθe^iφ函数描述了角动量在空间的分布概率三维薛定谔方程球坐标形式笛卡尔坐标[-ħ²/2m1/r²∂/∂rr²∂/∂r+-ħ²/2m∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²ψ21/r²sin²θ∂²/∂φ²+1/r²sin+Vx,y,zψ=Eψθ∂/∂θsinθ∂/∂θ+Vr]ψ=Eψ径向方程变量分离，其中[-ħ²/2md²/dr²+2/r·d/dr-3ψr,θ,φ=RrYθ,φYθ,φ为球谐函数ll+1/r²+Vr]Rr=ERr对于中心势场，三维薛定谔方程可通过分离变量法求解径向函数描述粒子随距离的分布，球谐函数描述角分布对Vr RrYθ,φ氢原子，₀，径向方程的解涉及关联拉盖尔多项式，能量本征值为，为主量子数Vr=-e²/4πεr E=-

13.6eV/n²nₙ例题氢原子能级推导6氢原子哈密顿量∇₀1Ĥ=-ħ²/2m²-e²/4πεr量子数特征主量子数，角动量量子数，磁量子数n lm能级量子化，E=-

13.6eV/n²n=1,2,

3...ₙ波函数表达式4ψr,θ,φ=R rYθ,φₙₗₘₙₗₗₘ【解析】分离变量法将波函数写为径向方程为ψr,θ,φ=R rYθ,φ[-ħ²/2md²/dr²+2/r·d/dr-ll+1/r²-ₙₗₘₙₗₗₘe²/4πε₀r]R r=ER r通过引入无量纲变量ρ=2r/na₀a₀为玻尔半径并求解微分方程，得到径向函数R r∝ρᵏe^-ₙₗₙₗₙₗ，其中为拉盖尔多项式能量本征值为₀₀，只依赖于主量子数，这导致能级简ρ/2L^2l+1ρL E=-e²/8πεa n²=-

13.6eV/n²nₙ₋ₗ₋₁ₙ并自旋与全同粒子自旋概念全同粒子原理多电子系统自旋是粒子的内禀角动量，无法用经典量子力学中，全同粒子完全不可区分考虑两个电子费米子的波函数必须是反轨道运动解释电子自旋量子数，交换两个全同粒子的坐标，波函数必须对称的s=1/2自旋磁量子数±，对应自旋向保持不变或变号ms=1/2₁₁₂₂₂₂₁₁ψr,σ;r,σ=-ψr,σ;r,σ上和自旋向下两个状态ψr₁,r₂,...,rⱼ,...,rᵢ,...=±ψr₁,r₂,...,rᵢ,...,rⱼ,...总波函数可分解为空间部分和自旋部分自旋算符满足与角动量相同的对易关系取号的粒子称为玻色子整数自旋，+等自旋粒子的自旋当空间波函数对称时，自旋波函数必须[Ŝx,Ŝy]=iħŜz1/2取号的粒子称为费米子半整数自旋-算符可用泡利矩阵表示反对称单态费米子遵循泡利不相容原理两个完全，，当空间波函数反对称时，自旋波函数必Ŝx=ħ/2·σxŜy=ħ/2·σyŜz=ħ/2·σz相同的量子态不能被同一个费米子占据须对称三重态这种对称性限制导致了原子结构和化学键的许多特性例题自旋测量7张量积态与纠缠张量积态纠缠态两个独立量子系统的复合态可表示不能表示为张量积形式的复合系统为单个系统态的张量积量子态称为纠缠态例如，贝尔态₁₂例如，两⁺|ψ=|ψ|ψ|Φ=|+z|+z+|-z|-⟩⟩⊗⟩⟩⟩⊗⟩⟩⊗个自旋粒子的可能基态有是一种纠缠态在纠缠态1/2z/√2⟩中，子系统间存在非局域关联，一|+z|+z,|+z|-z,|-⟩⊗⟩⟩⊗⟩这种态个子系统的测量会立即影响另一个z|+z,|-z|-z⟩⊗⟩⟩⊗⟩称为可分离态，一个子系统的测量子系统，无论它们相距多远不影响另一个子系统纠缠特性纠缠是量子力学最独特的现象之一，没有经典类比爱因斯坦称之为幽灵般的超距作用，但实验已经证实了纠缠的存在纠缠现象揭示了量子世界的非局域性，并且是量子信息和量子计算的重要资源纠缠态违背贝尔不等式，可用于证明量子力学的非局域性例题全同粒子的统计行为8玻色子统计费米子统计例题解析玻色子具有整数自旋，例如光子自旋和氦费米子具有半整数自旋，例如电子、质子和中子【题目】两个全同粒子位于一维无限深势阱中，1-4原子自旋玻色子服从玻色爱因斯坦统计，均为自旋费米子服从费米狄拉克统计，粒子自旋为写出基态和第一激发态的波函数，0-1/2-0多个粒子可占据同一量子态这导致如超流和玻满足泡利不相容原理，即每个量子态最多只能被并计算能量色爱因斯坦凝聚等宏观量子现象一个粒子占据这解释了元素周期表的结构和白-【解析】自旋为表明粒子是玻色子，波函数必0矮星的稳定性须对称基态波函数为₁₂₁₁₁₂，能量ψx,x=ψxψxₛ₀₁第一激发态有两种可E=2E=2π²ħ²/mL²能构型₁₂₁₁₂₂₂₁ψx,x=[ψxψx+ψxψₛ₁₂，能量x]/√2₁₁₂E=E+E=1+4π²ħ²/mL²=5π²ħ²/mL²微扰理论初步基本思想微扰理论用于处理难以精确求解的哈密顿量Ĥ=Ĥ₀+λV̂，其中Ĥ₀是可精确求解的，λV̂是小的微扰项通过将波函数和能量展开为微扰参数的幂级数，可以逐级近似求解λ一阶微扰对非简并能级，一阶能量修正E₁=ψ₀|V̂|ψ₀⟨⟩一阶波函数修正|ψ₁=∑n≠0[ψ|V̂|ψ₀/E₀-E]|ψ⟩⟨ₙ⟩ₙₙ⟩二阶微扰二阶能量修正E₂=∑n≠0|ψ|V̂|ψ₀|²/E₀-E⟨ₙ⟩ₙ注意分母中为能量差，通常为负值，因此二阶修正多为负值，降低了系统能量简并微扰理论当未微扰系统存在能量简并时，必须使用简并微扰理论需要在简并子空间内求解微扰矩阵的本征值问题，以确定零阶波函数的正确线性组合例题非简并简并微扰计算9/

130.1微扰阶数能级数微扰强度计算一阶微扰修正分析的未微扰能级数量微扰项相对于主哈密顿量的比例【题目】一维谐振子受到微扰V̂=λx⁴，求基态能量的一阶和二阶修正【解析】谐振子基态波函数为ψ₀x=mω/πħ^1/4e^-mωx²/2ħ一阶修正E₁=ψ₀|λx⁴|ψ₀=λ∫ψ₀*xx⁴ψ₀xdx利用高斯积分公式∫x⁴e^-⟨⟩，得₁αx²dx=3√π/4α⁵E=3λħ²/4m²ω²二阶修正需要计算E₂=∑n≠0|ψ|λx⁴|ψ₀|²/E₀-E由于x⁴只与ψ₀,ψ₂,ψ₄有非零矩阵元，求和可简化计算矩阵元并代入公式，最终得到⟨ₙ⟩ₙE₂=-λ²ħ²/4m²ω⁴51/4注意二阶修正为负值，降低了总能量变分法与近似WKB变分原理1对任意试探波函数，能量泛函₀ψE[ψ]=ψ|Ĥ|ψ/ψ|ψ≥E⟨⟩⟨⟩近似WKB2半经典方法，适用于势能缓变区域的波函数近似隧穿处理处理经典禁区的波函数连接与隧穿概率计算【变分法】是求解基态能量和波函数的有力工具，特别适用于复杂系统基本思想是构造带有可调参数的试探波函数，计算能量期望ψ_trial值，然后通过最小化确定最佳参数值变分能量永远是真实基态能量的上限Eα=ψ_trial|Ĥ|ψ_trial/ψ_trial|ψ_trial Eα⟨⟩⟨⟩【近似】是基于波函数表示为，并将作用量展开为的幂级数在经典允许区，波函数为WKBψx=Axe^iSx/ħSxħWKB；在经典禁区，波函数呈指数衰减方法给出了量子化条件∮，用于确定能ψx≈C/√|px|·cos[∫pxdx/ħ-π/4]WKB pxdx=2πħn+γ级对隧穿问题，给出透射系数，积分范围为经典禁区WKB T≈e^-2/ħ|∫pxdx|例题变分法实计算例10例题近似判断隧穿概率11WKB问题描述方法应用计算结果WKB一个能量为的粒子入射到势垒近似给出的透射概率公式通过代换变量并使用标准积分公式，得到E WKB₀，且₀求Vx=V1-x²/a²|x|≤a VE₁₂₀T≈exp[-2/ħ∫ₓ^ₓ√2mVx-Edx]T≈exp[-πa√2mV-E/ħ]粒子透过势垒的概率其中₁和₂是经典转折点，满足对于具体参数，如，₀，x xE=5eV V=10eV₁₂，为电子质量，代入数值计算得Vx=Vx=Ea=1nm m透射概率约为，即的概率粒子能

0.1313%对于给定势垒，转折点为₁₂±₀x,=a√1-E/V穿过势垒代入积分并计算隧穿概率随着势垒宽度的增加而指数衰减，a随着势垒高度₀的增加而指数衰减这∫ₓ₁^ₓ₂√2mVx-EdxV-E一结果与一般量子隧穿行为一致₁₂₀₀=∫ₓ^ₓ√2mV-E-V x²/a²dx₀₁₂=√2mV-E∫ₓ^ₓ√1-₀₀V/a²V-Ex²dx。