《以分数的认识复习》课件

《以分数的认识复习》欢迎来到分数的认识复习课程分数是数学中的重要概念，在我们的日常生活中有着广泛的应用通过这次复习，我们将巩固分数的基本概念，掌握分数的读写方法，加深对分数计算的理解课程目标巩固分数的基本概念深入理解分数的本质和意义，掌握分数的基本表示方法掌握分数的读写方法正确书写和读出各种类型的分数理解分数的大小比较掌握比较同分母、同分子和异分母分数大小的方法熟练分数的四则运算掌握分数加减乘除的运算法则和技巧学会分数与小数的互化分数的基本概念分数表示整体的一部分数来源于平均分分分数的概念来源于平均分分数是表示整体的等份中配的过程当我们需要将的若干份，反映了部分与物品平均分配给多人时，整体的关系当我们把一每个人得到的份额可以用个物体平均分成若干份分数表示，体现了分数的时，其中的一份或几份就实际意义可以用分数来表示分数的实际应用场景分数的意义分数既是数也是比表示比例关系和具体数量分数表示把单位平均分成若干份1反映单位的分割和部分数量分数是整数的一部分表示整体中的部分分数在数学中有着丰富的意义最基本的，分数表示整体的一部分，如表示一个整体的一半从另一个角度看，分数表示将一个1/2单位量平均分成若干等份后取其中的几份此外，分数还可以表示除法的结果，例如可以表示为分数也可以表示比例关系，如班级中男生与女生的比例为可表示3÷43/42:3为男生占全班的理解分数的多重意义，有助于灵活运用分数解决问题2/5分数的组成部分分子分子位于分数线的上方，表示取了几份分子的大小反映了所取部分的数量，是分分数线数的核心组成部分之一分数线是连接分子和分母的横线，表示除法操作，也是分数的标志性符号在书写分数时，分数线要保持水分母平，长度适中分母位于分数线的下方，表示平均分成多少份分母决定了每一份的大小，是理解分数值大小的重要依据分数的读法分母读作几分之分子直接读出在读分数时，我们首先读分母，在读完几分之后，我们直接读但不是直接读出分母的数值，而出分子的数值，不需要添加其他是将其转换为几分之的形式词语例如，当分子是时，我3例如，当分母是时，我们读作们直接读作三5五分之例读作二分之一，读作四分之三1/23/4完整的分数读法是先读分母分之，再读分子如读作二分之一，1/2读作四分之三，读作八分之五3/45/8分数的实例

（一）平均分一个苹果将整个苹果作为一个单位等分得到21/2每份是整体的二分之一等分得到31/3每份是整体的三分之一等分得到41/4每份是整体的四分之一当我们将一个苹果平均分成不同的份数时，可以直观地理解分数的概念随着等分份数的增加，每一份所占的比例逐渐减小，这也反映了分母增大时分数值减小的规律分数的实例

（二）一个披萨被切成块8将整个披萨平均分成8份，每份占整体的1/8这种情况下，我们可以用分数来表示吃掉或剩余的披萨量吃掉块剩余块剩余355/8当我们从8块披萨中吃掉3块后，剩余5块，占整体的5/8这个分数直观地表示了剩余部分与整体的比例吃掉块剩余块剩余622/8如果我们吃掉6块披萨，只剩下2块，那么剩余部分占整体的2/8（即1/4）通过这个例子，我们可以理解分数如何表示部分与整体的关系分数的表示方法分数符号分数线分数读法分母分之分子例读作四分之三3/4分数线是表示分数的基本符号，它将分读分数时，先读分母分之，再读分按照分数读法规则，中分母是，3/44子和分母分隔开来在书写时，分数线子这种读法反映了分数的含义整分子是，所以读作四分之三3应水平且长度适中，覆盖分子和分母体被分成若干份，取其中的几份同理，读作六分之五，读作5/62/9读法规则适用于所有分数，包括真分九分之二，以此类推例如中的就是分数线数、假分数和带分数3/4/分数的直观表示分数可以通过多种方式直观表示，帮助我们更好地理解分数概念图形分割法是最常见的方式，通过将圆形、矩形等几何图形平均分割，用阴影部分表示分数这种方法直观易懂，适合初学者理解分数的基本概念数轴表示法是另一种重要方式，将分数标注在数轴上，有助于理解分数的大小关系和密度特性通过实物模型如分数条、饼图、测量杯等，我们可以在实际操作中体验分数，加深对分数概念的理解不同的表示方法各有优势，结合使用可以全面掌握分数知识练习认识分数给出图形，写出给出分数，在图生活中的分数应对应分数形中表示用举例观察阴影部分占整体根据给定的分数，在识别日常生活中的分的比例，正确写出分图形中准确涂色相应数应用，如烹饪配方数例如，一个圆形部分例如，表示中的量杯标记、时钟中有的部分被涂，需在平均分成上的时间表示、打折3/42/55色，应写出分数份的图形中涂色份销售中的折扣等3/42分数的性质

（一）分子和分母同时乘以相同数字，分数大小不变这是分数的基本性质之一，也称为分数的基本性质当我们将分子和分母同时乘以同一个非零数时，得到的新分数与原分数相等这一性质是理解通分、约分等分数运算的基础例1/2=2/4=3/6以为例，当分子和分母同时乘以时，得到；同时乘以时，得1/222/43到这些分数虽然形式不同，但数值都等于3/61/2这说明一个分数有无限多个等值形式，我们通常使用最简形式表示实际应用这一性质在分数运算中非常重要，特别是在分数加减法中进行通分、在乘除法中约分，以及在分数大小比较中理解并灵活运用这一性质，可以简化计算，提高解题效率分数的性质

（二）原始分数分子和分母同时除以相同数字如、等形式的分数找出分子和分母的公因数8/126/9例分数大小不变8/12=4/6=2/3约分得到最简分数得到等值但更简洁的分数分数的第二个重要性质是分子和分母同时除以相同的非零数，分数的大小不变这一性质是约分的理论基础，帮助我们将分数化简为最简形式在实际计算中，我们通常找出分子和分母的最大公因数，然后同时除以它，直接得到最简分数分数的分类1≥1真分数假分数分子小于分母的分数，数值小于1分子大于或等于分母的分数，数值大于等于11+带分数整数和真分数的组合形式分数可以根据分子与分母的大小关系以及表现形式分为三类真分数、假分数和带分数真分数的特点是分子小于分母，数值总是小于1，如1/

2、3/

4、5/8等假分数的特点是分子大于或等于分母，数值大于或等于1，如5/

3、7/

4、11/6等带分数是整数和真分数的组合，如1又1/

2、2又3/

4、5又2/3等带分数可以转化为假分数，反之亦然分数的不同分类便于我们在不同场景下选择合适的表示方式在实际应用中，我们经常需要在这些形式之间进行转换真分数举例常见真分数举例特点数值小于图形表示1（二分之一）、（四分之真分数的数值永远小于，这意味在图形表示中，真分数可以用一个1/23/41三）、（八分之五）、（三着它表示的是一个完整单位的一部完整图形的部分阴影来表示例5/82/3分之二）、（五分之一）等都分，而非完整的一个或多个单位如，一个圆形中的可以用圆的1/53/4是真分数的例子在这些分数中，这是真分数最本质的特征四分之三部分被涂色来表示分子总是小于分母假分数举例假分数是指分子大于或等于分母的分数，其数值大于或等于常见的假分数例子包括（三分之五）、（四分之七）、15/37/4（六分之十一）、（二分之四）等在这些分数中，分子总是大于或等于分母11/64/2假分数的特点是其值大于或等于，意味着它至少包含一个完整的单位假分数可以转换为带分数形式，例如可以转换为又15/31，可以转换为又在实际应用中，有时使用假分数更方便计算，特别是在分数的加减乘除运算中2/37/413/4带分数举例带分数的基本形式常见带分数举例表示方式整数部分和真分数部分带分数是整数和真分数的组合，表示形又表示一个完整单位加上二分之11/2式为整数又真分数例如又一个单位带分数中的整数部分表示完整的单位数

1、又、又等量，真分数部分表示不完整单位的部1/223/452/3又表示两个完整单位加上四分23/4分带分数表示一个或多个完整单位加上一之三个单位个不完整单位的一部分在读写带分数时，整数与真分数之间用又表示五个完整单位加上三分52/3又字连接，如一又二分之一之二个单位假分数与带分数的互化

（一）假分数分子÷分母带分数例又7/3=21/3如商作为整数部分，余数作为整数部分余数分母余，所以又7/3,11/4,23/6+/7÷3=217/3=2新分子1/3假分数与带分数的互化

（二）带分数如2又1/

3、4又2/

5、1又3/4整数×分母分子+计算得到新的分子，分母保持不变得到假分数新分子/原分母例又21/3=7/32×3+1=7，所以2又1/3=7/3将带分数转换为假分数的过程是假分数转带分数的逆过程计算公式为整数×分母+分子，得到的结果作为新分子，分母保持不变这种转换在分数运算中非常有用，特别是在带分数的加减乘除计算中约分定义用分子和分母共同的约目的使分数更简洁、易读最终形式分子与分母互质数约去约分的主要目的是简化分数的表示形完全约分后的分数，其分子与分母应约分是指将分子和分母同时除以它们式，使其更易于理解和计算约分后该互质，即它们除了以外没有其他公1的公因数，得到一个等值但形式更简的分数通常计算更方便，也更容易与因数这种形式的分数称为最简分数单的分数约分不改变分数的值，只其他分数进行比较或既约分数是使其表示形式更加简洁约分举例原分数约分过程最简分数4/64÷2/6÷22/39/129÷3/12÷33/415/2515÷5/25÷53/518/2418÷6/24÷63/436/4836÷12/48÷123/4通分定义把异分母分数化成同分母分数统一不同分数的分母方法找最小公倍数分母的最小公倍数作为新分母应用便于分数加减和大小比较使不同分数具有可比性通分是将异分母分数（分母不同的分数）转化为同分母分数的过程通分的核心是找出这些分母的最小公倍数，作为新的共同分母例如，要对和进行通分，需要找出和的最小公倍数，然后分别将转化为，转化为1/21/32361/23/61/32/6通分不改变分数的值，只是改变其表示形式通分在分数加减运算和大小比较中尤为重要，因为只有分母相同的分数才能直接进行加减运算和大小比较掌握通分技巧，是分数运算的基础能力通分示例分子变化分母变化分数的基本性质分数是有限小数或无每个分数有无限个相限循环小数等形式任何分数都可以通过分子由于分子和分母可以同时除以分母得到小数形式乘以或除以相同的非零数根据除法结果，分数可以而保持分数值不变，因此表示为有限小数（如每个分数都有无限多个等）或无限循环小值表示例如，1/4=

0.25数（如）等，它1/3=

0.

333...1/2=2/4=3/6=4/8这是分数与小数关系的重们的值都相同要性质互为倒数的分数之积为1如果两个分数互为倒数（一个分数的分子是另一个分数的分母，分母是另一个分数的分子），那么它们的乘积等于例如，12/3和互为倒数，3/22/3×3/2=1分数大小比较

（一）同分母同分母分数分母相同的多个分数分子大的分数大直接比较分子的大小例3/85/8因为，所以353/85/8数轴上的展示分数在数轴上的位置反映其大小当比较分母相同的分数时，只需比较分子的大小分子越大，分数越大这是因为分母相同意味着每一份的大小相同，而分子表示取了多少份，所以分子越大，取的份数越多，分数值就越大分数大小比较

（二）同分子同分子比较结论分母小的分数大例2/32/5因为分母，所以352/32/5原理分母小意味着每份更大当比较分子相同的分数时，分母越小，分数越大这是因为分子相同意味着取的份数相同，而分母表示将整体平均分成多少份，分母越小，每一份就越大例如，比较和，分子都是，但是三分之一比五分之一大，所以取两个三分之一（即）比取两个五分之一2/32/522/3（即）大2/5我们可以通过图形比较来直观理解将一个圆分成份，每份占；将另一个相同大小的圆分成份，每份占显然比大，因此31/351/51/31/5取相同份数的比大这一规律在分数比较中非常重要2/32/5分数大小比较

（三）异分母异分母分数需要通分后比较2找出分母的最小公倍数作为通分后的新分母转换为同分母分数分子和分母同时乘以相应倍数比较转换后的分子大小例，，因此2/3=10/153/5=9/152/33/5比较异分母分数（分母不同的分数）时，需要先通分，将它们转换为同分母分数，然后比较分子大小通分的过程是找出各分母的最小公倍数作为新分母，然后相应地调整分子分数大小比较

（四）特殊情况交叉相乘法举例说明原理解释比较两个分数与的大小时，可比较与的大小交叉相乘法的原理是如果a/b c/d3/42/3a/b=以使用交叉相乘法计算与的，则（通分原理）a×d b×c c/d a×d=b×c计算和，由于，所3×3=94×2=898大小关系以因此，比较与的大小，等价于3/42/3a/b c/d如果，则；如果比较与的大小，这一方法简化a×db×c a/bc/d a×d b×c这种方法避免了通分过程，直接通过交，则；如果了分数比较过程a×db×c a/bc/d a×d=叉相乘得出结果，尤其适合分母较大的，则b×c a/b=c/d情况分数加法同分母图形理解计算步骤可以通过图形直观理解同分母分数加法同分母分数加法规则分子相加，分母保持不变，必要时对结果例如，一个圆分成等份，取其中份再加51当两个分数的分母相同时，加法运算非常进行约分例如1/5+2/5=1+2/5=上2份，总共取了3份，即3/5这种可视简单保持分母不变，将分子相加这是3/5这里分母5保持不变，分子1和2相加化方法有助于理解分数加法的实际意义因为分母相同意味着每一份的大小相同，得到，最终结果为33/5我们只需要计算总共有多少份分数加法异分母异分母分数如1/2+1/3先通分转换为同分母分数3/6+2/6再相加分子相加3+2/6=5/6最后约分如果需要，将结果约分为最简形式异分母分数加法是分数运算中的重要内容，需要先通分再计算以为例，1/2+1/3首先找出分母和的最小公倍数作为新分母，将转换为，转换为2361/23/61/32/6然后按照同分母分数加法规则，最后检查结果是否需要约分，如3/6+2/6=5/6果需要则约分至最简形式分数减法同分母同分母分数分母不变，分子相减如计算4/5-1/54-1/5=3/5图形表示检查结果4从整体中的份移除份，剩余份必要时约分为最简形式413同分母分数减法与加法类似，规则是保持分母不变，分子相减例如计算时，我们保持分母不变，分子减去得到4/5-1/5541，结果为这一过程可以通过图形直观理解一个圆分成等份，如果原来有份，减去份后剩余份，即33/554133/5分数减法异分母分数乘法分数与整数计算规则计算步骤分数与整数相乘时，分母保持将整数与分子相乘，分母保持不变，分子与整数相乘这是不变，必要时将结果化为最简因为整数可以看作是分母为形式如果结果是假分数，可1的分数，如根据需要转换为带分数3=3/1举例×32/5=6/5计算时，将整数与分子相乘得到，分母保持不变，结3×2/53265果为这是一个假分数，可以表示为又6/511/5分数乘法分数与分数1原始分数如2/3×3/4分子相乘，分母相乘，2×3=63×4=12得到结果6/12约分6/12=1/2分数与分数相乘的规则是分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母以2/3×为例，分子，分母，得到，约分后为计算分数乘法3/42×3=63×4=126/121/2时，如果先约分再乘法会更简便例如中，和的公因数是，和的2/3×3/424233公因数是，约分后计算变为，这样可以避免大数相乘31/3×1/2=1/6分数除法分数除法的基本规则除以一个分数等于乘以这个分数的倒数这一规则是分数除法的核心，将复杂的除法转化为简单的乘法运算倒数指的是分子与分母互换位置后的分数计算步骤将除数变为它的倒数，然后按照分数乘法规则计算例如，a/b÷这一转换使得分数除法变得直观简c/d=a/b×d/c=a×d/b×c单举例÷×2/33/4=2/34/3=8/9计算时，先将除数的倒数为，然后计算2/3÷3/43/44/32/3×这一方法适用于所有分数除法问题，包括整数除以分4/3=8/9数和分数除以整数的情况倒数定义两个数的乘积为的两个数互为倒数1倒数是一个重要的数学概念，如果两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数例如，2和1/2互为倒数，因为2×1/2=1倒数在分数除法中有重要应用分数的倒数分子与分母互换位置对于分数a/b，其倒数是b/a获取分数的倒数只需将分子和分母互换位置例如，3/4的倒数是4/3，因为3/4×4/3=1这一特性是分数除法转化为乘法的基础例的倒数是2/33/2分数2/3的倒数是3/2，可以验证2/3×3/2=2×3/3×2=6/6=1倒数的概念不仅适用于分数，也适用于整数（如5的倒数是1/5）和小数（如

0.5的倒数是2）分数的四则混合运算1先乘除后加减2有括号先算括号内分数的混合运算遵循与整如果表达式中有括号，应数相同的运算顺序规则先计算括号内的表达式先乘除，后加减例如，括号表示优先级，无论括在计算时，号内是什么运算，都要优a/b+c/d×e/f应先计算的结先完成例如，c/d×e/f a/b+果，再与相加中，应先计算a/b c/d×e/f的结果a/b+c/d3例×1/2+3/42/3=1/2+6/12=1/2+1/2=1按照运算顺序，先计算，然后计算3/4×2/3=6/12=1/21/2+正确理解和应用运算顺序规则，是确保分数混合运算正1/2=1确性的关键分数与小数的关系有限小数分数无限循环小数分数不可表示为分数的小数当分数的分母只包含或的质因数当分数的分母包含除、以外的其他某些小数无法用分数表示，如2525时，该分数可以表示为有限小数例质因数时，该分数表示为无限循环小、等无限π

3.

14159...e

2.

71828...如，，，这些分数数例如，，不循环小数这些数称为无理数，它们1/4=

0.251/5=

0.21/3=

0.

333...1/7=可以通过除法得到精确的小数形式的小数位没有规律性的重复模式

0.

142857142857...这类分数的小数表示中有一组数字会无无理数与分数（有理数）共同构成了实这类分数通过分子除以分母可得到结限重复出现数系统果，且除尽不循环分数化小数分数计算过程小数结果类型有限小数3/43÷4=

0.

750.75⋯无限循环小数2/32÷3=

0.

666...

0.6有限小数1/81÷8=

0.

1250.125⋯无限循环小数5/65÷6=

0.

833...

0.83有限小数1/21÷2=

0.

50.5将分数转换为小数的方法是将分子除以分母根据除法结果，可以得到有限小数或无限循环小数例如，是有限小数，是无限循3/4=

0.752/3=

0.

666...环小数了解分数与小数的转换关系，有助于灵活选择适合的表示形式进行计算小数化分数有限小数转分数例

0.75=75/100=3/41直接写成分数再约分移动小数点，转为整数比2例循环小数转分数

0.

333...=1/34利用循环小数的特性处理需要特殊处理将有限小数转换为分数的基本方法是将小数写成以后面跟着相应个数的为分母的分数，然后约分至最简形式例如，

100.75=75/100=，3/

40.25=25/100=1/4对于循环小数，转换方法较为复杂，需要利用循环小数的特性例如，将转换为分数时，设，则，

0.

333...x=

0.

333...10x=

3.

333...10x-，，类似地，，这些转换方法展示了分数与小数之间的密切关x=39x=3x=3/9=1/

30.

999...=9/9=

10.

272727...=27/99=3/11系百分数与分数分数应用

（一）平均分问题描述思路分析解÷34=个3/4个苹果平均分给个平均分的本质是除法运34人，每人得到多少？这算要将3个苹果平均每人得到3/4个苹果，是一个典型的平均分问分给个人，需要计算即每人得到整个苹果的4题，需要用分数来表示，结果是一个分四分之三这个结果可3÷4每人获得的份额数以通过将每个苹果切成份，每人分得份中的49份来实现3分数应用

（二）比例问题3/52/5苹果占比橙子占比水果箱中苹果的比例水果箱中橙子的比例3020苹果数量橙子数量已知苹果的具体数量需要计算的橙子数量在这个比例问题中，一箱水果中苹果占3/5，其余是橙子（即橙子占2/5）已知苹果有30个，需要计算橙子的数量解决这类问题的关键是理解比例关系和分数的意义解题思路首先确定橙子占比为2/5，然后利用已知苹果数量30个对应比例3/5，计算橙子数量具体计算为30÷3×2=20个这里先除以3得到每份的数量，再乘以2得到橙子的总数通过这种方法，可以解决各种涉及比例关系的分数应用题分数应用

（三）部分与整体问题描述一本书，小明已经读了全书的，还有页没读，全书有多少页？2/51502分析思路已读部分为，未读部分为（即）已知未读部分为2/53/51-2/5=3/5页，需计算全书页数150计算过程全书的是页，所以全书的是页，全书共即3/51501/5505/5页5×50=250验证结果全书页，已读即页，未读即页，验2502/52×50=1003/53×50=150证正确常见错误分析

（一）错误正确需要先通分原因分析3/4+2/3=5/7这是一个常见的错误，即直接将分子相正确的计算方法是先通分，将分母统这种错误源于对分数概念的理解不足，加，分母相加这种做法忽略了分数的一，然后再加减尤其是没有认识到分母表示将整体分成基本含义和加法规则，是不正确的多少份，不同分母的分数表示的一份和的最小公分母是，所以3/42/3123/4大小不同，=9/122/3=8/12分数加法不能简单地将分子分母分别相避免这种错误的关键是牢记分数加减法因此，3/4+2/3=9/12+8/12=加，因为这样会改变分数的值的基本规则异分母需先通分17/12常见错误分析

（二）错误把又写成正确又21/42/421/4=9/4这是一个常见的符号表示错误带分数又的正确写法是21/4带分数又表示，而，或者转换为假分数形式21/42+1/42+1/4表示二分之四，即，两者转换方法是整数部分2/41/29/4×的值完全不同这种错误可能源分母分子新分子，即+=于对带分数概念的混淆，所以又2×4+1=921/4=9/4避免错误的方法理解带分数的含义整数部分表示完整的单位数，分数部分表示不完整单位的部分在计算时，可以将带分数转换为假分数，避免混淆记住转换公式整数分母分子新分子×+=常见错误分析

（三）约分时只约去部分共同因子是一个常见错误例如，将约分时，有些学生可能只发现分子和分母都能被整除，得到，18/2436/8但实际上和还有公因数，最终的最简分数应该是这种错误导致计算结果不够简洁，不符合最简分数的要求6823/4正确的约分方法是找出分子和分母的最大公因数，然后同时除以它，直接得到最简分数对于，分子和分母的最大公因数18/24是，所以最简形式是避免这类错误的关键是理解最简分数的定义分子与分母互质（没有除以外的公因618÷6/24÷6=3/41数）养成彻底约分的习惯，确保计算结果是最简形式知识点梳理分数的实际应用解决日常问题的策略分数与小数的转换互化技巧与应用场景分数的大小比较同分母、同分子、异分母比较分数的四则运算加减乘除与混合运算分数的基本概念与表示定义、分类与性质分数知识体系是一个层层递进的结构，从基本概念出发，逐步拓展到复杂运算和应用掌握分数的基本概念是理解其他内容的基础，包括分数的定义、组成部分和分类等分数的四则运算是核心内容，需要熟练掌握同分母和异分母分数的加减法，以及分数的乘除法则提高与拓展分数的加减运算简便方法分数的倍数关系解决复杂分数问题的策略对于特殊分数的加减，可以使用一些简理解分数的倍数关系有助于快速计算面对复杂的分数应用题，可采用分步解便算法例如，当两个分数的分母互质例如，是的倍，是的决策略先分析问题类型（部分与整2/31/323/41/43时，可以使用交叉相乘法倍利用这种关系，可以将复杂的分数体、比例问题等），确定已知量和未知a/b+c/d=这种方法避免了通分过计算转化为简单的整数倍关系，简化运量的关系，然后选择合适的解题方法，ad+bc/bd程，直接得到结果算过程最后验证结果的合理性总结回顾分数是小学数学的重要基础掌握分数知识有助于日常生分数思维有助于培养数学逻活中的问题解决辑能力分数知识是小学数学中的关键内容，为学习代数、几何等高级数学分数在日常生活中有广泛应用，如学习分数不仅是掌握一种数学工概念奠定基础掌握分数的基本概烹饪配料、时间管理、财务计算具，更是培养逻辑思维和抽象思维念、性质和运算规则，有助于建立等熟练运用分数知识，可以帮助能力的过程通过分数学习，我们完整的数学知识体系我们更高效地解决实际问题，提高能够发展数学推理能力、问题解决生活质量能力和创造性思维。