《圆轴的扭转与弯曲》课件

圆轴的扭转与弯曲圆轴的扭转与弯曲是机械设计的核心内容，为结构设计与强度计算提供理论基础在现代工程应用中，从传动轴到弹簧设计，从螺旋桨到钻孔设备，圆轴的扭转与弯曲问题无处不在本课程将系统介绍圆轴在扭转和弯曲载荷作用下的力学行为，包括应力分析、变形计算和强度设计等关键内容，为工程技术人员提供完整的理论体系和实用的计算方法课程内容概览1扭转基本概念与应力分析深入理解扭转的基本概念，掌握圆轴扭转应力的分布规律和计算方法2扭转变形与刚度计算学习扭转角的计算公式，分析刚度约束条件和超静定问题的解法3弯曲变形及应力分析掌握圆轴弯曲应力分布规律，学习挠度与转角的计算方法4扭转与弯曲组合变形分析组合载荷下的应力状态，应用强度理论进行安全评估第一部分扭转基本概念扭转定义与特点适用范围扭转是指杆件在扭矩作用下，横主要适用于圆截面轴（包括实心截面绕轴线相对旋转的变形现圆轴和空心圆轴），这些轴类零象这种变形主要产生切应力，件在机械传动系统中应用广泛是四种基本变形之一工程应用场景广泛应用于传动轴、螺旋桨、钻杆、弹簧等机械零件的设计与分析中，是机械工程的重要理论基础扭转的基本概念基本变形类型扭转是四种基本变形之一，与轴向拉压、剪切、弯曲并列为结构力学的基础变形形式作用对象主要针对圆截面轴（实心轴和空心轴），在扭矩作用下产生绕轴线的旋转变形主要内力横截面内的切应力是扭转变形的主要内力，决定了轴的强度和刚度性能扭转的工程应用传动轴系统弹簧设计螺旋桨与涡轮汽车传动轴、机螺旋弹簧在工作床主轴等传递动时主要承受扭转航空发动机、船力的核心部件，变形，扭转理论舶推进系统中的承受扭矩载荷是弹簧设计的基关键零件，需要础精确的扭转强度计算钻孔设备石油钻杆、建筑钻孔设备等工具在工作时承受复杂的扭转载荷扭矩概念扭矩定义扭矩是使杆件绕其轴线转动的力矩，是扭转分析的基本载荷在工程中，扭矩通常由外力偶或力系简化而来，其大小和方向决定了轴的变形状态单位与测量扭矩的标准单位是牛·米（N·m），在实际工程中也常用千牛·米（kN·m）扭矩的测量通常采用扭矩传感器或应变片技术，为设计提供准确的载荷数据工程意义扭矩与力偶密切相关，在机械设计中用于评估传动能力和确定轴的尺寸合理的扭矩计算是保证机械系统安全可靠运行的重要前提扭转角基本定义影响因素扭转角是指杆件两端截面之间相对旋转的角度，用弧度（rad）扭转角的大小取决于多个因素外加扭矩的大小、轴的长度、材作为标准单位在工程实践中，扭转角的大小直接反映了轴的刚料的剪切模量以及截面的几何特性度性能在实际设计中，扭转角常常作为刚度约束条件，限制轴在工作过扭转角的测量可以通过光学测量、电阻应变片或数字化测量系统程中的变形量，确保机械系统的精度要求实现，为工程分析提供重要的变形数据扭转刚度基本定义影响因素扭转刚度表示轴抵抗扭转变形的能力，是材材料的剪切模量G、截面的极惯性矩J和轴料性能和几何尺寸的综合体现12的长度L共同决定扭转刚度设计要求工程意义43工程设计中需要根据使用要求确定合适的扭刚度系数GJ反映了轴的抗扭能力，是机械转刚度，平衡强度和经济性设计中的关键参数第二部分圆轴扭转应力分析1圆轴纯扭转状态建立理想化的纯扭转模型，确定基本假设和边界条件2应力分布规律分析横截面上切应力的分布特点，推导应力计算公式3截面应力计算掌握不同截面形式下的应力计算方法和设计准则圆轴纯扭转纯扭转定义圣维南原理纯扭转是指轴只承受扭矩作根据圣维南原理，在距离载荷用，不存在其他外力和弯矩的作用点足够远的截面上，应力理想化状态这种状态下的分分布主要取决于载荷的主矢和析为复杂载荷情况提供了基主矩，而与载荷的具体分布形础式无关基本假设横截面保持平面假设和径向直线保持直线假设是扭转理论的重要基础，这些假设在工程精度范围内是合理的扭转变形特点横截面相对扭转各个横截面绕轴线发生相对旋转无侧向变形轴的直径和长度在扭转过程中保持不变保角性原本垂直的直线在变形后仍保持垂直关系几何不变性等直径圆筒在扭转后仍为等直径圆筒扭转应力分布规律最大应力位置1外表面处应力最大应力分布特点2切应力沿半径线性分布中心轴应力3轴心处切应力为零在圆轴扭转中，横截面上的切应力呈线性分布，从轴心的零值线性增加到外表面的最大值这种分布规律为应力计算和强度设计提供了理论基础应力与截面中心距离成正比关系，形成了经典的线性分布模式圆轴扭转应力公式τT切应力扭矩横截面上任意点的切应力值作用在截面上的扭矩，单位N·mr J半径极惯性矩计算点到截面中心的距离截面几何特性参数，单位m⁴扭转应力的基本公式为τ=Tr/J，其中最大应力出现在外表面，计算公式为τmax=TR/J这个公式是圆轴扭转强度计算的核心，广泛应用于各种工程设计中公式中的每个参数都有明确的物理意义和计算方法极惯性矩计算实心圆轴空心圆轴实心圆轴的极惯性矩计算公式为J=πd⁴/32，其中d为轴的直空心圆轴的极惯性矩为J=πD⁴-d⁴/32，其中D为外径，d为内径这个公式简洁明了，在工程计算中应用最为广泛径空心轴在保证强度的前提下可以显著减轻重量对应的极截面模量为Wp=πd³/16，直接用于最大应力的计算极截面模量Wp=J/R的物理含义是截面抵抗扭转的几何特性，值实心圆轴结构简单，制造方便，是传动轴设计的首选方案越大表示截面的抗扭能力越强，是优化设计的重要参数实例计算扭转应力参数确定在实心圆轴扭转应力计算中，首先需要确定轴的直径d、作用扭矩T和材料的许用应力[τ]典型的钢材许用切应力在60-80MPa范围内，安全系数通常取

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2.0计算过程利用公式τmax=16T/πd³计算最大切应力，然后与许用应力比较计算中要注意单位的统一，扭矩用N·m，直径用m，应力用Pa详细的步骤演示有助于理解计算方法结果分析分析计算结果，判断设计是否满足强度要求如果应力超标，需要增大轴径或选择强度更高的材料结果分析还应考虑实际工况下的动载荷系数和疲劳因素第三部分扭转变形与刚度计算变形计算基本公式刚度约束问题掌握扭转角的计算公式θ=分析工程中的刚度要求，建立刚TL/GJ，理解各参数的物理意义度约束条件，确保轴在工作时的和影响因素，为刚度设计提供理变形量在允许范围内论基础超静定问题解法学习超静定扭转问题的求解方法，掌握平衡方程与变形协调方程的建立和求解技巧扭转变形公式扭转刚度计算刚度系数线性关系材料参数扭转刚度K=GJ/L扭矩与扭转角的关不同材料的剪切模表示单位扭转角对系T=Kθ是线性关量G差异很大钢材应的扭矩大小，是系，这种线性特性约80GPa，铝合金衡量轴抗扭能力的为工程计算提供了约27GPa，铜合金重要指标刚度越便利，也是叠加原约40GPa材料选大，相同扭矩下的理应用的基础择直接影响轴的刚变形越小度性能设计应用刚度要求在精密机械、测量仪器等领域尤为重要，过大的变形会影响系统精度和工作性能变截面轴的扭转变形分段计算方法变截面轴需要按不同截面分段计算，每段内截面保持一致，总变形为各段变形的叠加等效刚度概念引入等效刚度概念，将复杂的变截面轴简化为等截面轴进行近似计算，提高设计效率串联刚度计算多段轴的总刚度按串联方式计算1/K总=1/K1+1/K2+...+1/Kn扭转超静定问题问题识别方程建立1超静定系统的约束数量超过平衡方程数同时建立静力平衡方程和变形协调方2量，需要补充变形协调条件程，形成完整的方程组结果验证求解分析4检验求解结果的合理性，确保满足所有联立求解方程组，得到各段的内力分布3边界条件和物理约束和变形状态实例计算复杂轴系的扭转变形多段轴系分析设计验证与优化复杂轴系通常包含多个不同直径的段，每段承受不同的扭矩计刚度要求的检验是设计验证的重要环节，通常规定最大扭转角不算时需要逐段分析，考虑扭矩的变化和截面特性的差异超过每米长度

0.25°如果不满足要求，可以通过增大直径、选用高模量材料或改变结构形式来优化变形计算采用分段叠加法，总扭转角等于各段扭转角之和计算过程中要特别注意扭矩图的绘制和内力分析的准确性优化设计需要综合考虑强度、刚度、重量和成本等多个因素，寻找最佳的设计方案计算结果的分析和讨论有助于深入理解设计原理第四部分圆轴弯曲理论弯曲基本概念工程应用分析建立弯曲变形的基本概念，理解弯矩与剪力的作用机理掌握弯曲理论在实际工程中的应用和设计要点123应力分布规律分析弯曲时截面上正应力的分布特点和计算方法弯曲变形的基本概念弯曲定义弯矩与剪力工程应用弯曲是指杆件在垂直于轴线的外力弯矩使截面产生转动，剪力使截面桥梁、建筑横梁、机械轴类零件等或力偶作用下，轴线由直线变为曲产生错动两者共同作用决定了弯都涉及弯曲问题与纯扭转不同，线的变形这种变形在梁、轴类零曲变形的特点，是弯曲分析的核心弯曲产生正应力，应力分析方法也件中极为常见内力有所区别弯曲应力分布规律平面假设1横截面保持平面，且垂直于变形后的轴线中性层2存在一个应力为零的纤维层，称为中性层线性分布3正应力沿截面高度呈线性分布最大应力4最大拉应力和压应力出现在截面边缘圆轴弯曲应力公式σ正应力截面上任意点的弯曲正应力M弯矩作用在截面上的弯矩，单位N·my距离计算点到中性轴的距离I惯性矩截面对中性轴的惯性矩，m⁴弯曲应力的基本公式为σ=My/I，最大应力出现在截面边缘，计算公式为σmax=M/W，其中W为截面模量这个公式是圆轴弯曲强度设计的理论基础，在各种梁类结构分析中得到广泛应用截面惯性矩与截面模量实心圆轴空心圆轴实心圆轴的截面惯性矩I=πd⁴/64，截面模量W=πd³/32，其中d空心圆轴的截面惯性矩I=πD⁴-d⁴/64，截面模量W=πD⁴-为轴的直径这些公式在圆轴弯曲设计中应用最为广泛d⁴/32D，其中D为外径，d为内径截面模量W的物理意义是截面抵抗弯曲的几何特性，W值越大表空心截面在保证弯曲强度的前提下可以显著减轻重量，在航空航示截面的抗弯能力越强，是弯曲强度设计的关键参数天、高速机械等对重量敏感的应用中具有明显优势优化设计中需要合理选择内外径比实例计算弯曲应力载荷分析典型载荷包括集中力、均布载荷和集中力偶首先需要确定支座反力，然后绘制弯矩图，找出最大弯矩位置应力计算利用σmax=M/W计算最大弯曲应力计算中要注意正负号的处理，拉应力为正，压应力为负边界条件影响简支、固支、悬臂等不同边界条件会显著影响弯矩分布和最大应力位置，设计时需要准确分析安全评估将计算应力与材料许用应力比较，确保安全系数满足要求通常弯曲许用应力取材料屈服强度的1/

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2.5第五部分弯曲变形计算挠度与转角挠度是轴线上各点在垂直方向的位移，转角是截面的转动角度，两者共同描述弯曲变形状态计算方法微分方程法、叠加法、能量法和单位荷载法是弯曲变形计算的主要方法，各有特点和适用范围刚度约束工程中通常对最大挠度有严格限制，挠度约束是弯曲设计的重要条件，需要合理确定允许值弯曲变形基本概念挠度定义转角定义挠度是轴线上各点垂直于原轴线方向的位移，用y表示挠度的正转角是截面绕中性轴转动的角度，用θ表示转角与挠度之间存在负按照坐标系规定确定，向上为正，向下为负微分关系θ=dy/dx弯曲刚度工程要求弯曲刚度EI表示截面抵抗弯曲变形的能力，其中E为弹性模量，I为实际工程中对挠度有严格限制，如桥梁挠度不超过跨度的1/250，截面惯性矩刚度越大，变形越小机床主轴挠度要求更严格，以保证加工精度弯曲变形的计算方法微分方程法基于弯曲微分方程EI·d²y/dx²=Mx，通过积分求解挠度和转角这是最基本的方法，适用于任意载荷和边界条件，但计算过程相对复杂，需要确定积分常数叠加法利用弯曲变形的线性特性，将复杂载荷分解为简单载荷的组合，分别计算各载荷产生的变形，然后叠加得到总变形这种方法计算简便，在工程中应用广泛能量法与单位荷载法能量法基于应变能原理，单位荷载法通过虚功原理求解这两种方法特别适用于复杂结构和特定点的变形计算，是结构力学中的重要工具典型简支梁的变形计算圆轴弯曲刚度设计挠度限制标准刚度约束条件不同应用场合有不同要求一般机械工程中通常规定最大挠度不超过跨度的L/500，精密机械L/1000，测量设备更特定比例，如L/250或L/300严格变截面计算截面形状选择变截面轴需要分段计算，总变形为各段空心截面比实心截面具有更高的弯曲刚变形的叠加，设计时要考虑应力集中度重量比，是轻量化设计的首选实例计算弯曲变形复杂载荷分析超静定问题实际工程中的载荷往往是多种简单载荷的组合，如集中力与均布当支座约束数量超过静定所需数量时，形成超静定问题此时需载荷同时作用计算时可以采用叠加法，分别计算各载荷产生的要补充变形协调方程，与平衡方程联立求解变形，然后代数相加超静定结构具有更高的承载能力和安全性，但分析更复杂现代边界条件的正确处理是求解成功的关键简支、固支、悬臂等不工程中常用有限元法进行数值求解，获得精确的应力和变形分同支座形式对应不同的边界条件，必须准确建立位移和转角的约布束方程第六部分圆轴弹塑性扭转1弹塑性概念当应力超过材料屈服极限时，部分区域进入塑性状态，形成弹塑性扭转2应力分布特点弹性区保持线性分布，塑性区应力等于屈服应力，形成特殊的分布模式3极限状态分析完全塑性状态下整个截面均达到屈服，极限扭矩为弹性极限的

1.33倍4工程应用意义弹塑性分析为结构安全评估和极限承载能力计算提供理论基础弹塑性扭转的基本概念完全塑性状态1整个截面均达到屈服应力弹塑性状态2部分区域塑性变形弹性状态3应力未达到屈服极限弹塑性扭转是材料力学中的重要概念，当扭矩增大到一定程度时，截面外缘首先达到屈服极限，形成塑性区随着载荷继续增加，塑性区逐渐向内扩展，直至整个截面完全屈服这种分析方法对于评估结构的极限承载能力具有重要意义弹塑性扭转应力分析弹性核心区塑性环形区分界半径极限状态内部未屈服区域保持线性应外部已屈服区域应力等于屈弹性区与塑性区的分界半径当ρs=0时，整个截面完全屈力分布，应力值小于屈服应服应力τs，不再随半径变化ρs随载荷增大而减小服，达到极限扭矩力弹塑性扭转的计算方法1分区积分法将截面分为弹性区和塑性区，分别建立应力分布函数，通过积分计算总扭矩弹性区应力为τ=τs·r/ρs，塑性区应力恒定为τs2残余应力分析卸载后塑性区产生残余应力，影响材料的后续使用性能残余应力的计算需要考虑卸载过程中的弹性恢复3安全系数确定弹塑性设计中安全系数的选择更为复杂，需要考虑材料的塑性储备和使用条件通常取

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2.0倍的安全系数4适用性评估弹塑性分析适用于延性材料，对于脆性材料仍需采用弹性分析方法设计中要根据材料特性选择合适的分析方法圆轴弹塑性弯曲弹塑性弯曲特点极限弯矩计算弯曲载荷作用下，截面上、下缘首先达到屈服，形成两个塑性完全塑性状态下的极限弯矩Mp=σs·W塑，其中W塑为塑性截面区随着弯矩增加，塑性区向中性轴扩展，最终形成塑性铰模量对于圆形截面，Mp=4/3·Me，其中Me为弹性极限弯矩与弹性弯曲不同，弹塑性弯曲中应力分布不再呈线性，塑性区的应力保持在屈服强度σs水平这种分析对于钢结构设计具有重要工程应用中需要考虑弹塑性弯曲的特点，合理评估结构的承载能指导意义力塑性设计方法可以充分发挥材料的强度潜力，提高结构的经济性第七部分扭转与弯曲组合变形应力叠加强度理论正应力由弯曲产生，切应力由扭转产生，两者相互独立可以采用适当的强度理论评估组合组合变形特点直接叠加应力状态下的安全性设计准则实际工程中轴类零件常同时承建立组合变形的强度条件，确受扭矩和弯矩，形成复杂的组保结构在复杂载荷下的安全可合应力状态靠组合变形的基本概念实际载荷状态工程中的轴类零件很少只承受单一载荷，通常同时承受弯矩、扭矩、轴力等多种载荷传动轴既要传递扭矩，又要承受自重和不平衡力产生的弯矩应力状态分析组合变形下截面上存在正应力和切应力，形成复杂的平面应力状态需要确定主应力的大小和方向，分析最危险点的应力状态安全性评估单一应力准则不再适用，必须采用强度理论进行综合评估不同的强度理论适用于不同的材料和失效模式，工程中需要合理选择弯扭组合应力计算应力叠加原理等效应力概念危险点确定正应力σ由弯矩产生，切应将复杂应力状态等效为简通常截面上正应力最大点力τ由扭矩产生由于两者单的单向应力状态，便于和切应力最大点不重合，相互独立，可以分别计算与材料强度指标比较等需要分别检查这些关键位后直接叠加分析效应力的计算依据所采用置的安全性的强度理论强度校核将等效应力与材料许用应力比较，确保安全系数满足设计要求组合变形下安全系数通常取得较大强度理论的应用圆轴弯扭组合变形强度条件τmax最大切应力理论τmax=√σ²/4+τ²≤[τ]σeq畸变能理论σeq=√σ²+3τ²≤[σ]n安全系数通常取n=

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2.54理论数量工程常用四种强度理论圆轴弯扭组合变形的强度条件基于所选择的强度理论建立最大切应力理论简单易用，畸变能理论更精确实际设计中可以同时采用两种理论进行校核，取较保守的结果确保安全实例计算弯扭组合变形工况分析以传动轴为例，同时承受传递功率产生的扭矩T=9549P/n和自重、不平衡力产生的弯矩M载荷的确定是分析的第一步应力计算弯曲正应力σ=M/W，扭转切应力τ=T/Wp在危险截面上，最大正应力和最大切应力通常出现在不同位置强度校核采用第三强度理论σeq=√σ²+3τ²≤[σ]，或第四强度理论进行校核确保等效应力不超过许用应力优化建议如果强度不足，可增大轴径、选用高强度材料或改变轴的结构形式空心轴在弯扭组合变形下具有良好的力学性能第八部分工程应用案例圆轴扭转与弯曲理论在工程实践中有着广泛的应用从汽车传动轴到工业设备主轴，从精密仪器到重型机械，都需要运用这些理论进行设计和分析掌握理论与实践的结合是工程技术人员的基本要求传动轴设计实例设计要求与计算强度与刚度验证传动轴设计首先要确定传递功率P、转速n和工作条件根据T=强度校核包括扭转强度和弯扭组合强度两个方面刚度校核要求9549P/n计算扭矩，考虑动载荷系数Kd=

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1.8单位长度扭转角不超过

0.25°/m，某些精密传动要求更严格初步设计时按扭转强度确定轴径d≥∛16T/π[τ]，然后进行弯扭组合变形校核材料通常选择调质钢，许用切应力60-疲劳寿命评估是现代设计的重要内容，需要考虑载荷谱、应力集80MPa中和表面质量等因素有限元分析可以获得更精确的应力分布。