《离散余弦变换》课件

离散余弦变换离散余弦变换（）是现代数字信号处理领域的核心技术，广泛应用于图DCT像与信号处理系统中作为数据压缩与频域分析的基础，已成为众多国DCT际标准如图像压缩和音频编码的关键组成部分JPEG MP3本课程将深入探讨的基本原理、数学模型、特性分析及其在实际工程中DCT的应用实现，帮助学习者全面掌握这一重要的信号处理工具通过系统学习，您将了解如何有效地将信号从时域空间域转换到频域，DCT/以及这一转换如何使得信号处理和压缩变得更加高效课程大纲离散余弦变换基本概念探索的定义、历史发展及其在信号处理中的基础地位DCT数学原理与推导DCT深入分析一维与二维的数学模型、变换公式及其正交特性DCT的特性与优势DCT研究的能量集中、去相关性及其相较于其他变换的优势DCT一维与二维变换DCT学习不同维度的实现方法及其在不同类型信号上的应用DCT实际应用案例分析分析在图像、音频和视频压缩标准中的具体应用机制DCT实现与编程MATLAB通过代码实践掌握的实际编程实现技巧DCT第一部分基础概念定义与原理了解的基本定义和工作原理DCT历史沿革探索的发展历程与重要里程碑DCT对比分析比较与其他变换的异同点DCT类型分类了解不同类型的特点与应用场景DCT在开始深入探讨离散余弦变换的数学原理之前，我们需要先建立对基础概念的清晰认识这将帮助我们理解为何能在现代信号处理中占据如此DCT重要的地位，以及它与其他变换方法的关键区别什么是离散余弦变换？频域转换离散余弦变换是一种将时域或空间域信号转换为频域表示的数学工具通过这种转换，我们可以分析信号中包含的不同频率成分，从而更有效地处理和压缩信号数据余弦基函数基于余弦函数构建的正交变换系统，使用不同频率的余弦波作为基函数这些基函数相DCT互正交，能够完整表达原始信号的全部信息实数结果与离散傅里叶变换不同，变换的结果仅包含实数部分，没有虚部，这大大简化了DFT DCT后续的处理步骤和存储需求能量集中最显著的特点是能将信号能量高度集中于低频系数，使得高频系数多为接近零的小值，DCT为有损压缩提供了理想基础的历史发展DCT年初创

1974、和等人在论文《离散余弦变换》中首次系统Ahmed NatarajanRao提出概念，为信号处理领域带来创新工具DCT年代研究80研究人员开始将应用于图像压缩算法研究，发现其优异的能量集中DCT特性使其特别适合图像数据压缩年标准化1992图像压缩标准正式采用作为核心变换技术，标志着进入JPEG DCT DCT实用阶段，开始广泛应用于商业产品年后普及2000等先进视频编码标准采用，使其成为多媒体处理领H.264/AVC DCT域不可或缺的基础技术与的关系DCT DFT理论联系关键差异从理论上看，可以视为的一个特例具体来说，对一虽然两者有联系，但与在实际应用中存在明显差异DCT DFT DCT DFT个实偶函数进行变换，结果就等同于其变换因此，仅使用余弦基函数，没有虚部计算，这简化了计算复杂度DFTDCT DCT实际上是在特定边界条件下的简化形式DCT DFT这种理论联系使得我们可以利用快速傅里叶变换的算法来在边界处理上，采用的镜像延拓方式比的周期延拓更FFT DCT DFT实现的快速计算，提高处理效率适合处理自然信号，能有效减少边缘不连续性引起的频谱泄露问DCT题最关键的是，的能量集中度通常比更高，这使其在压DCT DFT缩应用中表现更为出色变换的类型DCTDCT-I DCT-II具有偶对称边界条件，变换后的序列长最常用的类型，被用作标准的正变DCT度与原始序列相同对于点序列，包换、等标准采用的都是N JPEG MPEG含和点，在这两点上有特其边界条件具有偶延拓特性，0N-1DCT-I DCT-II殊处理能很好处理自然信号DCT-IIIDCT-IV常用作的逆变换，在信号重构过DCT-II在某些特殊应用中使用，如改进的离散程中发挥关键作用实际上，DCT-III余弦变换，主要应用于音频编MDCT是的转置，两者互为逆变换DCT-II码标准如、等MP3AAC第二部分数学原理变换公式推导深入的数学基础DCT矩阵表示法简化计算的矩阵形式一维与二维扩展不同维度的数学模型正交性分析变换基础的理论支撑理解离散余弦变换的数学原理是掌握其应用的关键在这一部分中，我们将从基本的变换公式开始，逐步推导出一维和二维的完整数学表DCT达，分析其矩阵形式和正交特性，为后续应用奠定坚实的理论基础一维离散余弦变换定义变换基本定义正变换与反变换一维离散余弦变换将一个有限一维包括正变换和反变DCT长度的数据序列映射到一组余换两个过程正变换将原始信弦函数的系数上这些余弦函号转换为系数；反变换DCT数具有不同的频率，共同构成则将系数重构回原始信DCT一组完备的正交基通过这种号理想情况下，这两个过程映射，我们可以将时域信号转是可逆的，不会造成信息损失换到频域进行分析和处理变换核的正交性变换的基函数系统满足正交性，这意味着不同基函数之间的内积DCT为零这一特性确保了变换的可逆性，并使得变换系数能够独立地表示原始信号的不同频率成分一维正变换公式DCT变换公式一维的正变换公式为，DCT-II Xk=αk∑[xncos2n+1kπ/2N]其中求和从到，的取值范围是到这个公式描述了如何将n=0N-1k0N-1点输入序列转换为点系数N xnN DCTXk归一化因子公式中的是归一化因子，定义为当时，；当αk k=0αk=√1/N k0时，这个因子确保了变换矩阵的正交性，使得能量在变换αk=√2/N前后保持不变余弦基函数公式中的项代表了的基函数，它是一系列不同频cos2n+1kπ/2N DCT率的余弦波当值增大时，对应的余弦波频率也随之增加，形成了一组从k低频到高频的完备基一维反变换公式DCT反变换公式xn=∑[αkXkcos2n+1kπ/2N]求和范围从到求和k0N-1输出范围n=0,1,...,N-1归一化因子；当α0=√1/Nαk=√2/Nk0计算意义将频域系数重构为原始时域信号一维的反变换过程是将频域中的系数重新转换回时域信号从数学DCT DCTXk xn形式上看，反变换公式与正变换公式非常相似，这体现了变换的对称性质DCT在实际应用中，如果我们在频域对系数进行了修改（如量化或截断高频系数），DCT那么通过反变换得到的信号将与原始信号存在差异，这正是有损压缩的基本原理变换核的正交性DCT正交基函数形式对称性的基函数系统满足严格的正交性，DCT正变换核与反变换核形式相同，只是变即任意两个不同的基函数的内积为零量顺序的差异，这种对称性使得在DCT这一特性确保了变换的可逆性和信息的理论分析和实际实现上都更为简洁无损表示能量守恒计算效率由于基函数的正交性，变换满足DCT正交性使得可以采用快速算法实现，DCT定理，即信号在时域和频域的Parseval大大降低了计算复杂度，使得实时处理能量总和相等，这保证了变换的可靠性大规模数据成为可能二维离散余弦变换二维扩展原理二维离散余弦变换是一维在二维平面上的自然扩展，主要用于处理DCT图像等二维信号二维将空间域的图像数据转换为频域表示，使得DCT图像信息可以通过频率系数进行分析和处理分离性质二维具有可分离性，这意味着对二维信号的变换可以通过先对行DCT进行一维，再对列进行一维来实现这种分离计算方法大DCT DCT大简化了二维的实现复杂度DCT图像处理应用在图像处理中，二维通常应用于×或×的小块上，DCT881616而不是整个图像这种分块处理方式不仅减少了计算量，还使得局部特性的处理更为灵活，特别适合于图像压缩等应用二维正变换公式DCT数学表达式坐标范围二维正变换的数学表达在×大小的图像中，空间DCT MN式为坐标的范围是到，Fu,v=x0M-1y的范围是到；频域坐标αuαv∑∑[fx,ycos2x+0N-1的范围是到，的范1uπ/2Mcos2y+1vπ/2u0M-1v其中，是空间域坐围是到每个频域坐标N]x,y0N-1标，是频域坐标；代表一个特定频率的二u,v fx,y u,v是输入图像像素值，是维余弦波分量Fu,v对应的系数DCT归一化因子归一化因子和的定义与一维相同当时，αuαv DCTu=0；当时，的情况类似这些因子αu=√1/M u0αu=√2/M v确保了二维变换矩阵的正交性和能量守恒DCT二维反变换公式DCT反变换表达式图像重建计算过程二维的反变换公式在图像压缩应用中，通实际计算中，二维DCT DCT为常会对系数进行量反变换也可以通过行列fx,y=DCT化和编码，然后在解码分离的方式实现先对∑∑[αuαvFu,vcos端通过反重建图像的每一列进行一2x+1uπ/2Mcos DCT Fu,v通如果量化步骤导致了信维，然后对得到的2y+1vπ/2N]IDCT过这个公式，我们可以息损失，重建的图像将中间结果的每一行进行将频域的系数与原始图像存在一定差一维，最终得到重DCT IDCT重新转换回空间异，这是有损压缩的典建的图像Fu,v fx,y域的图像数据型特征fx,y二维矩阵表示法DCT矩阵形式的优势反变换矩阵形式矩阵表示法为二维提供了更为简洁和优雅的数学描述通对应地，二维的反变换可以表示为这种对称DCT DCTf=CᵀFC过矩阵运算，我们可以将复杂的二维变换转化为简单的矩阵乘法，的形式再次体现了变换的优雅特性DCT这不仅有助于理论分析，也便于软件实现和硬件设计在实际应用中，由于是正交矩阵，所以的转置等同于的逆C CC在矩阵形式下，二维的正变换可以表示为，其矩阵，这使得的矩阵计算更为简便对于标准的×DCTF=CfCᵀDCT88中是输入图像数据矩阵，是系数矩阵，是变换矩阵，变换，变换矩阵是一个×的固定矩阵，可以预先计算f FDCT CDCT DCT C88是的转置矩阵并存储，进一步提高计算效率CᵀC变换矩阵特性DCT实对称矩阵变换矩阵是一个实对称矩阵，这意味着矩阵中的所有元素都是实数，并且矩阵关于主DCTC对角线对称这一特性使得变换的理论分析和实际计算都相对简单DCT正交性质变换矩阵是正交矩阵，满足关系，其中是单位矩阵这一正交性质确保了DCT CC^T=I I变换在理论上是无损的，变换前后信号的能量保持不变DCT特征结构矩阵的行向量构成了一组从低频到高频的余弦基函数第一行对应于直流分量（频率为DCT零的分量），随后的行对应于逐渐增加的频率分量快速算法矩阵具有特殊的结构，可以利用这些结构特性设计高效的快速算法例如，通过稀疏矩DCT阵分解，可以将计算复杂度从降低到，显著提高计算效率ON²ON log N第三部分特性分析DCT离散余弦变换之所以在信号处理领域占据重要地位，很大程度上归功于其独特的数学特性在这一部分中，我们将深入分析的关键特性，包括能量集中、DCT去相关性、可分离性等，并探讨这些特性如何使在实际应用中展现出显著优势DCT通过理解这些特性，我们将能够更好地把握在不同应用场景中的潜力，并为后续的实际应用案例分析奠定基础DCT的主要特性DCT去相关性1降低信号元素间统计相关性能量集中将信号能量集中于少量低频系数可分离性二维变换可分解为行列一维变换对称性4具有良好的数学对称性质快速算法5可通过优化算法提高计算效率离散余弦变换拥有多种有利于信号处理的重要特性，这些特性相互关联，共同构成了的理论基础和应用优势理解这些特性对于深入掌握的工作原理和有效应用DCT DCT技术至关重要DCT能量集中特性低频能量集中高频系数特点将信号能量高度集中于少量低频系对于自然信号，变换后的高频系数DCT DCT数，使得大部分能量可以用少量系数表通常非常小，接近于零这些小系数可1示这种能量打包能力是作为压以在量化过程中被丢弃或粗略表示，而DCT缩工具的核心优势不会显著影响重建信号的质量视觉感知匹配压缩应用基础的能量集中特性与人类视觉系统对DCT能量集中特性是有损压缩的理论基础不同频率信息的敏感度相匹配人眼对通过保留重要的低频系数，丢弃或粗略低频信息更敏感，对高频细节相对不敏量化不重要的高频系数，可以在保持可感，这与的能量分布特性高度契合DCT接受视觉质量的同时大幅减少数据量去相关性高低原始信号相关性系数相关性DCT自然图像中相邻像素通常具有很强的统计相关性，变换后的系数之间相关性显著降低，接近于DCT这种冗余使得直接编码效率低下统计独立25%典型编码效率提升去相关特性通常可使编码效率提高约以上25%去相关性是在信号处理中的另一个关键特性自然信号（如图像、音频）中的数据点往往存在很DCT强的统计相关性，特别是相邻的数据点之间这种相关性意味着数据中存在大量冗余，不利于高效编码能够有效地减少这种相关性，将相关的信号转换为相对独立的频率分量在变换后的频域中，DCT DCT不同频率的系数之间相关性大大降低，这使得可以对各个系数进行独立编码，显著提高了编码效率可分离性行变换列变换等效结果对输入数据的每一行进行一维，得到中间结对中间结果矩阵的每一列进行一维，得到最这种分步计算的结果与直接应用二维公式得DCT DCT DCT果矩阵终的二维系数到的结果完全相同DCT二维的可分离性是一个非常实用的特性，它允许我们将复杂的二维变换分解为一系列简单的一维变换具体来说，对一个图像进行二维可以通过先对DCT DCT每一行进行一维，然后对得到的中间结果的每一列再进行一维来实现DCT DCT这种可分离性大大降低了计算复杂度对于一个N×N的图像，直接计算二维DCT需要ON⁴的复杂度，而利用可分离性，只需要ON³的复杂度如果进一步采用快速算法，复杂度还可以降至，这对于实时处理大型图像数据至关重要DCT ON²logN边界延拓特性DCT镜像延拓机制相比的优势DFT在处理有限长度信号时，采用的是镜像延拓方式具体来与离散傅里叶变换相比，的这种边界处理方式具有显DCTDFTDCT说，它假设信号沿着边界以偶对称的方式延拓，这意味着延拓后著优势假设信号是周期延拓的，这意味着信号的结束点和DFT的信号在边界处平滑连续，没有突变起始点之间可能存在不连续性这种自然的边界处理方式使得特别适合处理自然图像和音这种不连续会导致所谓的频谱泄漏问题，使得系数中出现DCTDFT频信号，因为这些信号本身通常在短距离内是平滑变化的许多不必要的高频分量相比之下，的镜像延拓自然地避DCT免了这个问题，使得能量更集中于少数几个低频系数，为数据压缩提供了更好的基础基函数可视化DCT一维的基函数是一组不同频率的余弦波第一个基函数（）是一个常数函数，代表信号的直流分量或平均值随着值的增DCT k=0k加，基函数的频率逐渐升高，波形的起伏变得越来越密集这些基函数构成了一个完备的正交基，能够表示任意有限长度的离散信号变换的过程，本质上就是将原始信号投影到这组基函DCT数上，计算每个基函数的贡献系数这些系数正是变换的结果，反映了信号中不同频率成分的强度DCT二维基函数可视化DCT二维基函数结构二维的基函数可以可视化为×的图案矩阵每个图案代表一个特定的二维余弦波，具DCT88有水平和垂直两个方向的频率分量左上角的图案（）代表直流分量，是一个均匀的灰色0,0块频率分布规律沿着水平方向从左到右，基函数的水平频率逐渐增加；沿着垂直方向从上到下，基函数的垂直频率逐渐增加这样，矩阵中的每个位置都对应于一个特定的二维频率组合图案特征基函数的图案展示了余弦波在二维平面上的分布低频区域（左上角附近）的图案变化缓慢，代表图像中的大尺度结构；高频区域（右下角附近）的图案变化剧烈，代表图像中的细节和边缘直观理解变换通过观察这些基函数，我们可以直观理解如何将图像分解为不同频率的成分每个DCT DCT系数实际上表示了对应基函数在原始图像中的权重由于自然图像主要包含低频信息，所以左上角的系数通常具有较大的值第四部分应用DCT实际工程应用从理论到实践的转化1国际标准

2、等关键技术JPEGMPEG多媒体压缩3图像、音频、视频处理产业影响数字媒体行业的基石离散余弦变换在现代数字媒体处理中扮演着核心角色，已成为多种国际标准的关键组成部分在这一部分中，我们将详细探讨在图像、音频和视频压缩中DCT的具体应用，分析其在各种标准中的实现方式和技术细节通过了解这些实际应用案例，我们将能够更全面地认识如何从数学理论转化为解决实际问题的有力工具，以及它如何推动了整个数字媒体产业的发展DCT在图像压缩中的应用DCT图像分块等图像压缩标准首先将图像分割为×像素的小块，这种分块处理既减少了计算JPEG88复杂度，又能很好地捕捉图像的局部特性分块的大小选择是权衡计算效率和压缩性能的结果变换DCT对每个×像素块应用二维变换，将空间域的像素值转换为频域的系数88DCT DCT变换后，每个块有一个系数（左上角）和个系数，系数代表块的平均亮DC63AC DC度，系数代表不同频率的细节AC量化根据人眼对不同频率敏感度的差异，对系数进行不均匀量化低频系数量化DCT步长小，保留更多细节；高频系数量化步长大，丢弃不敏感的细节这是有损压缩的关键步骤，压缩率主要由量化表控制熵编码量化后的系数通过熵编码（如霍夫曼编码或算术编码）进一步压缩由DCT于量化后许多高频系数变为零，可以采用游程编码和之字形扫描等技术提高编码效率压缩流程JPEG色彩空间转换从转换到色彩空间，将亮度与色度分离RGB YCbCrY Cb,Cr图像分块将图像分割为×像素的小块，分别处理88变换DCT对每个×块应用二维，转换为频域表示88DCT量化根据视觉特性对系数进行不均匀量化DCT熵编码使用霍夫曼编码或算术编码进行最终压缩中的变换步骤JPEG DCT×分块处理系数处理与量化88标准将图像分割为×像素的小块单独处理，这种分块每个块经变换后产生个系数左上角的系数JPEG88DCT64DCT0,0大小是实践中的最佳折衷足够小以捕捉局部特性并限制计算复是系数，代表块的平均值；其余个是系数，代表不同DC63AC杂度，又足够大以有效捕获图像中的相关性频率的细节对于每个块，先减去（对于位图像）将像素值范围从量化是最关键的步骤，它通过除以量化表中的对应值并取整，有1288转换为，这样使变换更有效率效地丢弃高频信息标准提供了默认量化表，但编码器可[0,255][-128,127]DCT JPEG以根据目标质量调整量化表设计反映了人眼对不同频率的敏感度差异量化后，高频系数大多变为零，这为后续的熵编码创造了有利条件通过之字形扫描，可以将连续的零高效编码，进一步提高压缩率在音频压缩中的应用DCT听觉特性基础音频压缩技术如充分利用了人耳的听觉特性人耳对不同频率的声音敏感度MP3不同，同时存在频域掩蔽效应强音信号会掩盖同时出现的弱音信号变——DCT换将音频信号转换到频域，使得可以根据听觉特性有选择地保留或丢弃频率成分变换编码原理音频压缩中的通常作为变换编码的核心工具通过将时域音频信号分段，应DCT用将每段转换到频域，然后根据心理声学模型确定不同频率的可听阈值，对DCT低于阈值的频率成分进行粗略量化或直接丢弃，实现高效压缩改进的变体DCT现代音频编码标准如、等采用了改进的变体，如MP3AAC DCTMDCT（，改进的离散余弦变换）具Modified DiscreteCosine TransformMDCT有临界采样和时域别名消除的特性，可以有效解决分段处理导致的块效应问题，使得重建音频在段与段之间平滑过渡编码中的应用MP3DCT变换技术心理声学模型MDCT编码使用改进的离散余弦变换编码的核心是精密的心理声学模MP3MP3而非标准是有型，它根据人耳的听觉特性，计算每MDCT DCTMDCT重叠的变换，相邻的变换块有的个频率带的可听阈值变换后的50%DCT重叠，这种设计能有效减少分块处理频域系数根据这一模型进行不均匀量导致的块效应还具有临界化低于可听阈值的成分可以大幅MDCT——采样特性，变换后的系数数量与原始度量化或完全丢弃，而不会被人耳察样本数量相同，避免了数据冗余觉位分配与量化编码器根据心理声学模型的输出，动态决定如何在不同频段间分配有限的比MP3特资源重要的频段（包含音乐主旋律或人声的频段）分配更多比特，而不重要的频段分配较少比特这种自适应位分配是高效压缩的关键MP3在视频压缩中的应用DCT视频压缩标准运动估计与补偿帧类型与编码是几乎所有主流视视频压缩结合了变视频压缩中通常使用三DCTDCT频压缩标准的核心技术，换与运动估计补偿技术种帧类型帧帧内编I包括系列由于视频中相邻帧之间码、帧前向预测和MPEGP、、存在高度相关性，通过帧双向预测帧完MPEG-1MPEG-2BI和系运动估计找出相邻帧中全使用编码；帧MPEG-4H.26x DCTP列、、对应块的位移，然后只和帧主要编码运动补H.261H.263B、需编码位移向量和残差偿后的残差，这些残差H.264/AVC这些信息，大大提高了压缩也通过变换压缩H.265/HEVC DCT I标准共同推动了数字视效率主要用于处帧提供随机访问点，而DCT频在互联网、广播电视理这些残差数据帧提供高压缩率P/B和移动设备上的广泛应用视频编码中的处理DCT帧的完整编码I DCT帧（帧内编码帧）作为视频序列中的关键帧，不依赖于其他帧进行解码它使用与类I JPEG似的方式进行编码将帧分割为宏块，对每个宏块应用变换，然后进行量化和熵编码DCTI帧提供了随机访问点，但压缩效率相对较低帧的残差编码P/B DCT帧（前向预测帧）和帧（双向预测帧）利用时间冗余进行高效压缩编码器通过运动估计P B找出当前帧与参考帧之间的对应关系，计算运动矢量和预测残差这些残差通过变换进DCT行压缩，由于残差能量通常很小，可以实现很高的压缩率宏块处理与自适应量化现代视频编码器如采用自适应的宏块处理技术根据图像内容，编码器可以灵H.264/AVC活选择宏块大小（从×到×不等）和变换的方式量化参数也可以在帧内或跨161644DCT帧自适应调整，根据内容复杂度、目标比特率和主观质量要求动态优化率失真优化先进的视频编码器使用率失真优化技术决定最佳的编码模式对于每个宏块，编码器RDO尝试不同的预测模式、变换大小和量化参数，选择在比特率和失真之间取得最佳平衡的组合变换在这一优化过程中扮演核心角色DCT第五部分实现MATLAB编程实践内置函数通过实践加深对原理的学习提供的相关函数及MATLAB DCTMATLAB DCT理解，掌握实际编程技能其参数使用方法自定义实现示例分析4从零开始编写算法，深入理解其计通过具体案例分析在图像处理中的DCTDCT3算过程实际效果理论学习的最终目标是应用于实践在本部分中，我们将使用工具实现离散余弦变换，通过编程实践加深对原理的理MATLAB DCT解，并探索其在实际图像处理中的应用效果中的函数MATLAB DCT函数名功能描述主要参数计算二维变换输入矩阵，可选变换尺寸dct2DCT计算二维反变换系数矩阵，可选重建idct2DCTDCT尺寸计算一维变换输入向量，可选变换类型dct DCT计算一维反变换系数向量，可选变换idct DCTDCT类型生成变换矩阵矩阵维度dctmtx DCTN提供了一系列功能强大的函数，使得变换的实现变得简单直观这些函数既可MATLAB DCT用于基本的变换操作，也可以作为构建更复杂图像处理应用的基础模块例如，使用DCT和函数，我们可以轻松实现简化版的压缩算法dct2idct2JPEG在实际应用中，可以通过设置不同的参数来控制变换的特性和计算精度例如，通过指定变换尺寸，我们可以灵活地处理不同大小的数据块；通过选择变换类型，我们可以实现、DCT-I等不同类型的变换DCT-II一维实现示例DCT%生成测试信号N=32;n=0:N-1;x=cos

0.2*pi*n+

0.5*cos

0.6*pi*n;%自定义实现DCTfunction X=my_dctxN=lengthx;X=zeros1,N;for k=0:N-1if k==0alpha=sqrt1/N;elsealpha=sqrt2/N;endsum=0;for n=0:N-1sum=sum+xn+1*cos2*n+1*k*pi/2*N;endXk+1=alpha*sum;endend%调用自定义DCT函数X_custom=my_dctx;%调用MATLAB内置DCT函数X_matlab=dctx;%比较结果figure;subplot3,1,1;plotn,x;title原始信号;subplot3,1,2;stemn,X_custom;title自定义DCT实现;subplot3,1,3;stemn,X_matlab;titleMATLAB内置DCT;。