《离散数学教案》课件

离散数学教案欢迎来到离散数学课程！作为计算机科学与技术的基础课程，离散数学为我们提供了解决计算机问题的强大工具通过本课程的学习，您将培养严密的逻辑思维能力和系统的问题解决方法我们精心设计了这套包含张幻灯片的教学材料，涵盖了数理逻辑、集50合论、关系与函数、图论等核心内容这些知识不仅是计算机科学的理论基础，也是算法设计和程序开发的重要工具让我们一起踏上这段数学探索之旅，发现离散世界的奇妙规律！课程概述课程重要性课程结构离散数学是计算机科学的理论本课程包含四个核心部分数基础，为算法分析、人工智能、理逻辑（命题逻辑和谓词逻数据库理论、计算机网络等领辑）、集合论（基本概念和运域提供了必要的数学工具掌算）、关系与函数（特殊关系握离散数学，意味着掌握了理和函数类型）、图论（图的性解和创造计算机科学的基本语质和应用）每部分都紧密联言系，构成完整的知识体系学习目标通过本课程学习，学生将能够运用逻辑推理解决问题，理解集合、关系和函数的基本性质，掌握图论的核心概念，并能将这些知识应用于算法设计和实际编程中第一章命题逻辑命题定义掌握命题的基本概念，区分命题与非命题表达联结词学习五种基本联结词及其使用方法真值表构建和分析命题公式的真值表命题逻辑是离散数学的首要内容，它研究命题之间的逻辑关系通过命题逻辑的学习，我们可以理解复杂语句的真假判断，这也是计算机程序逻辑的基础在这一章中，我们将从最基本的命题定义出发，逐步探索复杂命题的构建与分析命题及联结词

1.1命题的定义简单与复合命题命题是一个陈述句，它必简单命题是不能再分解的须具有确切的真值（真或基本命题单元复合命题假）例如，北京是中国是由简单命题通过逻辑联的首都是一个命题（真），结词组合而成的理解这而不是命题（因一区别对于分析复杂逻辑x+3=7为的值未确定）表达式至关重要x五种基本联结词否定（）改变命题真值；合取（∧）且；析取（∨）或；¬蕴含（）如果那么；等价（）当且仅当这五种联结→...↔词是构建所有复合命题的基础工具命题的真假判断真值判断原则1命题必须是陈述事实的句子，能够被判断为真或假这是命题的本质特征，也是区分命题与非命题的关键判断时必须基于客观事实或已知条件2典型命题示例地球围绕太阳运转（真）（假）1+1=3非命题示例3所有质数都是奇数（假，因为是偶质数）2请打开窗户（祈使句）今天天气好吗？（疑问句）（真假取决于的值）x5x命题的真假判断是命题逻辑的基础只有确定了基本命题的真假，才能进一步分析复合命题的真值在计算机科学中，这对应着程序中的条件判断和逻辑控制联结词详解

（一）否定与合取否定合取∧¬否定是一元运算，作用于单个命题，改变其真值如果命题为真，合取是二元运算，对应自然语言中的且当且仅当两个命题都为p则为假；如果为假，则为真真时，它们的合取才为真¬p p¬p例如如果表示今天下雨（真），则表示今天不下雨例如如果表示张三会编程（真），表示张三懂数学（真），p¬ppq（假）则∧表示张三会编程且懂数学（真）p q∧p¬p p q p qT FT T TF TT F FF T FF FF联结词详解

（二）析取与蕴含蕴含→析取∨蕴含表示如果那么的条件关系只有在前......件为真而后件为假时，蕴含命题才为假析取对应自然语言中的或，是一种包含关系日常语言中的条件句当两个命题中至少有一个为真时，它们的析取为假当且仅当为真且为假•p→q p q为真在自然语言中，条件句有多种表达方式例如果学习努力，就能取得好成绩•今天是周末如果，则•p•p q今天下雨是的充分条件•q•p q∨今天是周末或下雨是的必要条件•p q•q p联结词详解

（三）等价等价符号等价用双向箭头表示，表达两个命题具有相同的真值等价是命题逻辑中最强的关系，意味着两个命题在任何情况下都有相同的真假性↔数学中的等价在数学中，等价关系常用于定义和定理中例如三角形内角和等于度与三角形外角和等于度这两个命题是等价的，因为它们具有相同的真值180360复杂等价分析复杂等价命题可以通过真值表或逻辑推导进行分析例如，命题等价于∧，即两个蕴含命题的合取，这反映了等价的双向性质p↔q p→q q→p等价联结词是离散数学中非常重要的概念，它不仅用于命题逻辑，也广泛应用于数学定理的表述、计算机编程中的条件判断等领域理解等价关系有助于简化复杂的逻辑表达式命题公式

1.2命题变元表示简单命题的符号，如、、p qr命题常量表示恒为真或恒为假的特殊符号T F命题公式由变元、常量和联结词构成的合法表达式命题公式是命题逻辑的核心内容，它通过形式化的方式表达复杂的逻辑关系构建命题公式需要遵循严格的语法规则命题变元和命题常量是最基本的命题公式；如果是命题公式，则也是命题公式；如果和是命题公式，则∧、∨、、也都是命题公式A¬A A B A B A B A→B A↔B这种递归定义方式确保了命题公式的结构完整性，也为研究复杂逻辑关系提供了形式化工具在计算机科学中，这种形式化方法是程序验证和人工智能推理的基础命题公式的真值表确定变元数量列出公式中所有不同的命题变元（如、、等），确定真值表的行数p qr（行，为变元数）2^n n列出所有可能取值系统地列出所有变元的真值组合例如，两个变元和有四种组合p q、、、T,TT,FF,TF,F逐步计算子公式真值按照运算优先级，依次计算复合公式中各子公式的真值，最终得到整个公式的真值通常按括号、否定、合取析取、蕴含、等价的顺序/进行以∧∨为例，我们可以按照以下步骤构建真值表首先列出和的p q→p¬q p q所有可能组合，然后计算∧的真值，接着计算和∨的真值，最后根据p q¬q p¬q蕴含关系确定整个公式的真值通过这种系统方法，我们可以分析任意复杂度的命题公式公式的分类

1.3100%0%永真公式永假公式在所有可能的变元赋值下都为真的公式，也称为在所有可能的变元赋值下都为假的公式，也称为重言式例如∨和都矛盾式例如∧是典型的tautology p¬p p→q→p contradictionp¬p是永真公式永假公式部分可满足公式至少存在一组变元赋值使公式为真的公式非永假公式都是可满足的在人工智能和算法设计中具有重要应用命题公式的分类对于逻辑推理和计算机科学都具有重要意义永真公式代表普遍成立的逻辑规律，可以作为推理的基础；永假公式表示逻辑上的矛盾，在程序验证中用于发现错误；可满足性问题（）SAT是计算理论中的核心问题，与许多实际应用相关联通过真值表分析，我们可以确定任何命题公式的类型，这是形式化分析逻辑结构的基本方法命题公式的等价性等价性质表达式双重否定律¬¬p↔p幂等律∧∨p p↔p,p p↔p交换律∧∧∨∨p q↔q p,p q↔q p结合律∧∧∧∧∨∨∨∨p qr↔p qr,p qr↔p qr分配律∧∨∧∨∧∨∧p qr↔p q p r,p qr↔∨∧∨pq p r德摩根律∧∨∨∧¬pq↔¬p¬q,¬pq↔¬p¬q蕴含等价式∨p→q↔¬pq命题公式的等价性是命题逻辑中的核心概念两个公式当且仅当在所有可能的变元赋值下都具有相同真值时，才称为等价判断等价的方法主要有两种通过真值表比较两个公式在所有可能赋值下的真值是否相同；通过逻辑等价式进行形式化推导上表列出了命题逻辑中最重要的等价公式，这些公式不仅是理解命题逻辑的基础，也是进行命题公式化简和转换的重要工具掌握这些等价关系，可以帮助我们更有效地分析和设计逻辑电路与程序算法命题逻辑的推理理论

1.4有效推理一个推理如果从真前提必然得出真结论，则称为有效推理形式化地，如果前提₁₂与结论构成的命题₁∧₂∧∧是永真公式，则该推理有效P,P,...,P QP P...P→Qₙₙ正确推理规则肯定前件从和，可以推出MP p p→q q否定后件从和，可以推出MT¬q p→q¬p这两种推理规则在数学证明和程序验证中广泛应用常见推理谬误肯定后件从和，不能推出qp→qp否定前件从和，不能推出¬pp→q¬q这些是逻辑推理中的常见错误，应当注意避免命题逻辑的应用电路设计命题逻辑直接对应于数字电路中的逻辑门与门实现合取操作，或门AND实现析取操作，非门实现否定操作通过组合这些基本逻辑门，OR NOT可以实现任意复杂的数字电路功能程序验证命题逻辑可用于形式化描述程序的行为和性质通过建立程序语句与逻辑公式之间的对应关系，可以验证程序是否满足特定的安全性和功能性要求，发现潜在的程序错误数学证明命题逻辑提供了形式化的推理规则，是数学证明的基础通过应用有效的推理规则，可以从已知前提推导出新的结论，构建严密的数学证明体系命题逻辑的应用范围极其广泛，从基础的电子电路设计到复杂的人工智能推理系统，都能看到它的身影理解命题逻辑的基本原理，对于学习计算机科学的其他领域至关重要第二章谓词逻辑谓词逻辑命题逻辑的扩展和深化基本组成谓词、个体词、量词的综合应用表达能力3能够描述个体性质与关系的形式语言谓词逻辑是对命题逻辑的重要扩展，它引入了对个体的讨论，能够表达更丰富的语义内容命题逻辑只能处理整个命题的真假，而谓词逻辑则可以深入到命题内部，分析个体及其性质和关系在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示个体的性质或多个个体之间的关系，使用量词来表达所有和存在等概念这种表达能力使谓词逻辑成为形式化数学理论和设计知识表示系统的强大工具谓词与个体词

2.1个体域个体常量讨论问题的范围，所有个体的集合表示特定个体的符号，通常用等a,b,c例如，讨论自然数性质时，个体域可小写字母表示例如，在讨论班级学以是全体自然数集合生时，张三可以表示为常量Na谓词个体变元表示个体性质或关系的符号，通常用表示不确定个体的符号，通常用x,y,z大写字母等表示元谓词接等表示可以被个体域中的任何元素P,Q,R n受个个体作为参数替换n谓词逻辑的基础是对个体及其性质的形式化描述在这个框架中，个体是讨论的基本对象，而谓词则描述这些个体的特征或它们之间的关系例如，我们可以用表示是质数，用表示大于Px xRx,y x y量词及其应用

2.2全称量词∀存在量词∃量词的嵌套表示对所有个体都成立的概念∀表示至少存在一个个体成立的概念多个量词可以嵌套使用，表达复杂的x表示对个体域中的所有，都∃表示个体域中至少有一个使逻辑关系例如，∀∃表Px x Px x Px x x yyx为真例如，∀为真例如，∃表示示对任意数，都存在比它大的数x x0→x²0Px xx²=2x y表示所有正数的平方都是正数存在一个数的平方等于2全称量词的否定转化为存在量词存在量词的否定转化为全称量词量词的顺序很重要，通常不能随意交∀∃这表示并∃∀这表示不换例如，∃∀表示存在¬x Px x¬Px¬x Pxx¬Pxy x yx⟷⟷非所有都满足等价于存在不满足存在满足等价于所有都不满足一个数比所有数都大，这在实数域xPxxPxPy x中是不成立的P谓词公式

2.3谓词公式的构成自由变元与约束变元原子谓词公式由谓词符号和适当约束变元出现在量词辖域内的变数量的个体组成，如元，如∀中的Pa,Qx,y x Pxx复合谓词公式通过联结词自由变元未被任何量词约束的变∧∨和量词∀∃构成，元，如∀中的和¬,,,→,↔,Px,y→z Qx,z x如∀xPx→Qx,a y同一变元在公式中可能既有自由出现又有约束出现封闭公式不含自由变元的谓词公式称为封闭公式（或称为谓词逻辑的语句）封闭公式可以确定真假值，是谓词逻辑中最重要的研究对象例如∀∃是封闭公式，表示对任意数都存在比它大的数x yxy谓词公式的翻译

2.4理解语句含义分析句子的主语、谓语和宾语•识别全称和存在量词的隐含表达•明确语句中的逻辑关系•确定基本元素定义个体域范围•确定需要的谓词符号•识别个体常量和变元•构建形式化表达使用适当的量词约束变元•通过联结词连接子公式•检查公式的完整性和准确性•以每个人都喜欢某种音乐为例，翻译过程如下首先确定个体域为所有人，设谓词表示喜欢，表示是音乐然后分析句意对每个人，存在某种音乐，使得喜欢最终形式化表达为Lx,y x y Myyx yxy∀∃∧x yMyLx,y谓词公式的否定谓词公式的否定是谓词逻辑中的重要操作，尤其是涉及量词的公式否定量词时，需要遵循以下规则全称量词的否定∀∃例如，并非所有数都是正数等价于存在数不是正数

1.¬x Pxx¬Px⟷存在量词的否定∃∀例如，不存在完美的人等价于所有人都不完美

2.¬x Pxx¬Px⟷对于含有多个量词的复杂公式，否定时需要从外到内逐层处理，每经过一个量词，将其替换为另一种量词，并对其辖域取否定例如，∀∃¬xyPx,y⟷∃∀xy¬Px,y谓词逻辑的推理理论

2.5全称实例化存在实例化全称推广存在推广UI EIUG EG从∀可从∃可如果对于任意从可以推x PxxPxPc以推出，以推出，个体都可以出∃Pc Pc c xPx其中是个体其中是一个证明，则这条规则允许ccPc域中的任意个新的常量符号，可以推出∀我们从具体实x体这条规则不能是已经在这条规例推广到存在Px允许我们从一使用的常量则要求变量性陈述例如，x般性陈述推导这条规则允许不能是推导从是偶数2出具体实例我们引入一个过程中假可以推出存Pc例如，从所满足特定性质设中的自由变在偶数有人都会死的个体量可以推出苏格拉底会死第三章集合论1874∞创立年份无限概念德国数学家格奥尔格康托尔于集合论首次严格定义了无限的概念，区分了可数无·Georg Cantor年创立了集合论，为现代数学奠定了基础限和不可数无限，开创了现代数学的新纪元18743基本运算集合的三种基本运算并集、交集和补集，构成了集合代数的基础，对计算机科学产生了深远影响集合论是现代数学的基础，也是计算机科学的理论支柱它研究集合（对象的集合）及其性质，为形式化思考提供了框架在计算机科学中，集合论应用于数据库设计、算法分析、程序验证等领域本章将探讨集合的基本概念、集合运算、二元关系及其性质，以及这些理论在计算机科学中的应用通过学习集合论，我们将掌握处理离散结构的基本技能集合的基本概念

3.1集合的定义集合的表示方法集合是具有某种特定性质列举法直接列出所有元的对象的全体，这些对象素，如A={1,2,3,4,称为集合的元素集合用描述法用谓词表达5}大写字母表示（如、、元素的共同特性，如A B B=），元素用小写字母表示是小于的质数C{x|x10}（如、、）这两种方法分别适用于有a bc限集合和具有共同特性的集合特殊集合空集（∅）不含任何元素的集合全集（）在特定讨论中U包含所有可能元素的集合数集自然数集、整数集、有理N Z数集、实数集等，是数学中最基本的集合Q R集合间的关系集合运算

3.2集合运算是处理集合的基本操作，主要包括并集（，∪）∪∈或∈，表示属于或的所有元素的集合

1.Union A B={x|x Ax B}A B交集（，）∈且∈，表示同时属于和的所有元素的集合

2.Intersection∩A∩B={x|x Ax B}A B补集（，或）∈且∉，表示属于全集但不属于的所有元素的集合

3.Complement AĀA={x|x Ux A}A差集（，）∈且∉，表示属于但不属于的所有元素的集合

4.Difference-A-B={x|x Ax B}A B对称差（，△）△∪，表示属于或但不同时属于两者的元素集合

5.Symmetric DifferenceA B=A-B B-A A B集合恒等式律名并集形式交集形式交换律∪∪A B=B A A∩B=B∩A结合律∪∪∪∪A B C=A BC A∩B∩C=A∩B∩C分配律∪∪A B∩C=A∩BC=∪∪∪A B∩A C A∩B A∩C同一律∪∅A=A A∩U=A补律∪∅A A=U A∩A=德摩根律∪∪A B=A∩B A∩B=A B集合论中的恒等式是描述集合运算性质的数学规律，这些规律构成了集合代数的基础交换律和结合律保证了运算顺序的灵活性；分配律连接了并集和交集运算；同一律和补律描述了特殊集合（空集、全集、补集）的行为德摩根律是最重要的恒等式之一，它描述了补集与并、交运算的交互关系这一规律不仅在集合论中应用广泛，也在命题逻辑和数字电路设计中有重要应用，体现了数学不同分支之间的深刻联系二元关系

3.3有序对与笛卡尔积二元关系的定义关系的表示方法有序对是一个二元组，其中顺序从集合到集合的二元关系是关系矩阵用矩阵表示关系，若a,b A B R0-1很重要，除非×的一个子集，记作⊆×则对应位置为，否则为a,b≠b,a a=b A B R A B aRb10若∈，则称与有关系，记a,b Ra b R集合和的笛卡尔积定义为×关系图用有向图表示关系，顶点表AB AB作aRb∈∈，表示所有可示集合元素，若则从到有一条={a,b|a A,b B}aRb a b能的有序对组合特别地，上的二元关系是×的子有向边A A A集，表示中元素之间的关系A例如，若，，则这两种表示方法在计算机存储和处理A={1,2}B={a,b}×例如，小于关系是自然数集上的关系时特别有用AB={1,a,1,b,2,a,2,b}N二元关系，因为它是×的子集N N关系的性质

3.4对称性自反性关系在集合上是对称的，如果对所有R A∈，若则例如，相等关系a,b A aRb bRa关系在集合上是自反的，如果对所有R A和互为朋友关系都是对称的=∈，都有例如，相等关系和a AaRa=小于等于关系都是自反的≤传递性关系在集合上是传递的，如果对所有R A∈，若且则例如，a,b,c AaRb bRcaRc小于关系和蕴含关系都是传递的→反对称性5关系在集合上是反对称的，如果对所反自反性R A有∈，若且，则例如，a,b AaRb bRaa=b关系在集合上是反自反的，如果对所R A小于等于关系是反对称的≤有∈，都有∉例如，严格小a Aa,a R于关系是反自反的等价关系等价关系的定义等价关系是同时满足自反性、对称性和传递性的二元关系形式化地，关系在集合上是等价关系，当且仅当对所有∈R Aa,b,c A自反性•aRa对称性若则•aRb bRa传递性若且则•aRb bRcaRc等价类与商集给定集合上的等价关系，元素∈的等价类定义为∈，即与有关系的所有元素构成的集合A Ra A[a]_R={b A|aRb}a R关于的所有不同等价类构成的集合称为商集，记作商集形成了集合的一个划分，即互不相交的子集的并等于整个集合A RA/RA应用举例模同余关系是整数集上的等价关系，定义为当且仅当它在数论和密码学中有重要应用n a≡b modn n|a-b在计算机科学中，等价关系用于状态机最小化、数据库范式化和类型系统设计等领域偏序关系偏序关系定义同时满足自反性、反对称性和传递性的关系哈斯图表示2省略自反性和传递性边的简化有向图特殊元素类型极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界偏序关系是集合理论中描述元素间大小或包含关系的重要概念一个经典例子是集合上的包含关系⊆，它满足自反性（⊆）、反对称A A性（若⊆且⊆，则）和传递性（若⊆且⊆，则⊆）AB B AA=B ABBCAC哈斯图是表示偏序关系的有效工具，它通过省略自反性和传递性的边，简化了关系图的表示在哈斯图中，若小于，则的位置低于，并有a ba b一条向上的路径连接它们特殊元素如极大元（没有比它更大的元素）和极小元（没有比它更小的元素）可以直观地从哈斯图中识别出来关系的闭包运算

3.5自反闭包关系的自反闭包是包含的最小自反关系构造方法∪R rRR rR=R∈，即在中添加所有缺失的自反对{a,a|a A}R对称闭包关系的对称闭包是包含的最小对称关系构造方法∪R sRR sR=R，其中∈，即在中添加所有反向对R^-1R^-1={b,a|a,bR}R传递闭包关系的传递闭包是包含的最小传递关系构造方法之一是算R tRR Warshall法，该算法利用布尔矩阵运算高效计算传递闭包关系的闭包运算是扩展关系以满足特定性质的过程闭包运算在计算机科学中有重要应用，例如传递闭包可用于计算图中的可达性，在编译器设计和数据库查询优化中起关键作用算法是计算传递闭包的经典方法，其时间复杂度为，其中是集合的大小该Warshall On³n算法通过迭代更新关系矩阵，最终得到传递闭包的矩阵表示这一算法在图论和网络分析中也有广泛应用第四章函数函数本质特殊的二元关系，满足单值性特殊函数类型2单射、满射、双射的性质与应用函数运算3复合函数与逆函数的构造与性质函数是数学和计算机科学中最基本也最强大的概念之一从本质上讲，函数是一种特殊的二元关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素唯一地映射到另一个集合（值域）中的元素函数的这种单值性特征使其成为描述确定性过程的理想工具在本章中，我们将探讨函数的基本定义、不同类型的函数（如单射、满射和双射）及其性质，以及函数的重要运算如复合和求逆这些概念不仅在纯数学中至关重要，也是计算机科学中算法设计、程序验证和数据结构分析的基础函数的定义

4.1函数的形式定义定义域与值域函数的表示方法函数是一种特殊的二元关系函数中，集合称为的定义域解析表达式通过数学公式表示，如f:A→B f:A→BA f⊆×，满足对每个∈，存在，记作f ABa A domaindomf fx=x²+1唯一的∈使得∈，记作b Ba,b f函数的值域是所有函数值构表格通过输入输出对的列表表示f range-这种定义强调了函数的两个fa=b成的集合，记作ranf={fa|关键特性图像在坐标系中绘制函数的点集∈注意值域是的子集aA}B∈{x,fx|x domf}存在性定义域中的每个元素都有⊆•ranf B对应的函数值箭头图通过从定义域到陪域的箭头集合称为函数的陪域B fcodomain唯一性定义域中的每个元素只对直观表示函数关系•陪域包含值域，但可能比值域大应一个函数值函数的类型

4.2复合函数

4.3复合函数定义给定函数和，和的复合函数∘定义为∘，即f:A→B g:B→C f g gf:A→C gfa=gfa先应用再应用f g基本性质复合运算满足结合律∘∘∘∘，但通常不满足交换律∘∘单h gf=h gf gf≠fg位函数是复合运算的单位元∘∘I_A fI_A=I_B f=f编程应用在函数式编程中，复合是构建复杂函数的基本机制，支持模块化设计和代码重用管道操作是复合函数的实际应用，将数据通过一系列处理函数传递pipeline复合函数是将两个或多个函数连接起来形成新函数的操作，它在数学和计算机科学中都有广泛应用复合函数的概念反映了函数作为映射的本质，允许我们将复杂问题分解为一系列简单的转换步骤在类型论和范畴论中，函数复合具有深刻的理论意义，为抽象数学和程序设计提供了统一的框架理解复合函数的性质对于掌握高级编程概念如高阶函数、柯里化和函数式编程范式至关重要currying逆函数逆函数的定义存在条件若函数是双射，则存在函数函数有逆函数的充要条件是是f:A→B f:A→B f⁻，使得对所有∈，有双射，即既是单射又是满射这确保f¹:B→AaAf⁻，且对所有∈，有了⁻是合法的函数（满足存在性和唯f¹fa=abB f¹⁻这个函数⁻称为的逆一性）ff¹b=b f¹f函数如果只是单射但不是满射，则可以定f从关系角度看，若是二元关系，则义部分逆函数，其定义域为的值域f f⁻∈，即交换有序对f¹={b,a|a,b f}中的元素顺序应用实例加密与解密加密函数和解密函数互为逆函数，E DDEm=m编码与解码数据压缩中的编码和解码过程计算几何坐标变换及其逆变换这些应用展示了逆函数在信息安全和数据处理中的重要性第五章图论图的基本概念路径与连通性图论研究顶点集和边集组成图中的路径、回路、连通分的数学结构，用于建模复杂量等概念描述了顶点之间的的网络关系图可分为无向可达性关系这些概念在网图和有向图，还有带权图、络分析、导航系统和社交网二分图等特殊类型掌握图络研究中有重要应用连通的基本术语和表示方法是学性是图的基本性质之一，影习图论的第一步响着图算法的设计和复杂度特殊图结构树、欧拉图、哈密顿图、平面图等特殊图结构具有独特的性质和应用例如，树结构在数据存储和搜索中广泛使用，平面图在电路设计和地图绘制中有重要应用理解这些特殊结构有助于解决实际问题图的基本概念

5.1图是一种由顶点集和边集组成的数学结构，记作在无向图中，边是无序对，表示顶点和之间的连接；在有向图中，V EG=V,E e={u,v}u v边是有序对，表示从顶点到的有向连接e=u,v uv顶点的度是与该顶点相连的边的数量在有向图中，区分入度和出度图的一个重要性质是所有顶degree in-degree out-degree点度数之和等于边数的两倍（握手定理）图的同构是指两个图之间存在一一对应关系，保持顶点之间的连接关系判断图是否同构是图论中的基本问题子图是指isomorphism从原图中删除部分顶点和边后得到的图常见的特殊图包括完全图、二分图、正则图等图的表示邻接矩阵表示邻接表表示关联矩阵表示邻接矩阵是一个×的矩阵（为顶点邻接表为每个顶点维护一个链表，存储与该关联矩阵是一个×的矩阵（为顶点A n nnM n m n数），其中表示顶点和之间有边，顶点相邻的所有顶点在有向图中，链表包数，为边数），其中表示顶点A[i,j]=1i jm M[i,j]=1i表示没有边在带权图中，含所有从该顶点出发可到达的顶点与边关联，表示不关联在有向A[i,j]=0A[i,j]j M[i,j]=0可以是边的权重图中，可以用和分别表示边的起点和终1-1优点点优点空间复杂度为（为顶点数，•On+m nm优点实现简单，判断两点是否相连的时间复为边数）•杂度为直接表示顶点和边的关联关系O1适合表示稀疏图（边数远小于顶点数的••适合表示稠密图（边数接近顶点数的平平方）便于处理边的操作（如删除边）••方）便于遍历与顶点相邻的所有顶点适合某些特殊算法••矩阵运算可以方便地计算图的某些性质•缺点判断两点是否相连的时间复杂度为缺点空间复杂度较高，操作不如其他表示缺点空间复杂度为，对稀疏图浪费度数方法直观On²O空间图的连通性

5.2路径与回路路径是指从一个顶点到另一个顶点的边序列如果路径中不重复使用顶点，则称为简单路径回路是起点和终点相同的路径，简单回路是除起点和终点外不重复使用顶点的回路连通分量在无向图中，连通分量是图的一个最大连通子图连通图只有一个连通分量，即图本身在有向图中，区分强连通分量（任意两点互相可达）和弱连通分量（忽略边的方向后连通）割点与桥割点是指删除后会增加图的连通分量数的顶点桥是指删除后会增加图的连通分量数的边识别割点和桥对于分析网络的脆弱性和关键节点至关重要，可以通过深度优先搜索算法高效实现欧拉图与哈密顿图

5.3欧拉路径与欧拉回路欧拉路径是指图中经过每条边恰好一次的路径欧拉回路是指起点和终点相同的欧拉路径一个无向图存在欧拉回路的充要条件是图连通且所有顶点的度数为偶数；存在欧拉路径但不存在欧拉回路的充要条件是图连通且恰好有两个顶点的度数为奇数哈密顿路径与哈密顿回路哈密顿路径是指图中经过每个顶点恰好一次的路径哈密顿回路是指起点和终点相同的哈密顿路径与欧拉图不同，判断图是否存在哈密顿路径或回路是完全问题，没有已知的高效算法NP实际应用欧拉路径问题源于著名的柯尼斯堡七桥问题，在路径规划、电路设计和DNA序列组装中有应用哈密顿回路问题与著名的旅行商问题紧密相关，后者要求找到访问所有城市并返回起点的最短路径，在物流、制造和网络设计中有广泛应用平面图

5.4欧拉公式非平面图对于连通平面图，顶点数、边数最小的非平面图是完全图₅和完V K和面数之间满足欧拉公式全二分图₃₃库拉托夫斯基E FV-K,这一公式反映了平面定理指出，一个图是平面图当且仅E+F=2平面图定义应用图的基本拓扑性质，是平面图理论当它不包含₅和₃₃作为子图K K,平面图是指可以在平面上画出而不的基础或细分平面图理论在电路设计、网络布局让任何边相交的图平面嵌入是平和地图着色中有重要应用例如，面图在平面上的一种具体绘制方式，印刷电路板设计中需要避免导线交它将平面分割成若干个面（包括一叉，这本质上是平面图绘制问题个无界的外部面）图的着色

5.5顶点着色顶点着色是为图的每个顶点分配一种颜色，使得相邻顶点颜色不同图的色数（或色数）是完成着色所需的最少颜色数著名的四色定理断言，任何平面图的色数不超过，这意味着任何地图都可以用种颜色着色，使得相邻44区域颜色不同边着色边着色是为图的每条边分配一种颜色，使得相邻边（有公共顶点的边）颜色不同边色数是完成边着色所需的最少颜色数韦兹（）定Vizing理指出，无向简单图的边色数要么等于最大度数，要么等于ΔΔ+1色多项式图的色多项式表示用种颜色对图进行顶点着色的不同方G PG,k k G案数色多项式的性质可以帮助理解图的结构特征，也是组合数学中的重要研究对象色多项式的计算基于递归公式PG,k=PG-，其中表示删除边，表示收缩边e,k-PG/e,kG-e eG/e e树

5.6树的定义与性质树是一种无环连通图树具有以下等价特征无环连通图；任意两点12之间恰有一条简单路径的图；连通且的图；极小连通图3|E|=|V|-14（删除任何一条边后变为非连通图）；极大无环图（添加任何一条边后5会形成环）2生成树图的生成树是包含所有顶点的树连通图一定有生成树，非连通图的每G G个连通分量有一棵生成树，合起来称为生成森林最小生成树是边权和最小的生成树，通常用于网络设计中最小化总成本3生成树算法算法按边权从小到大考虑每条边，如果不形成环就加入生成树，Kruskal基于贪心策略和并查集数据结构，时间复杂度OE logE算法从任意顶点开始，每次选择连接树和非树顶点的最小权边，基Prim于贪心策略和优先队列，时间复杂度OE logV特殊树结构二叉树二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构，通常将这两个子节点称为左子节点和右子节点二叉树是最常用的树结构之一，包括二叉搜索树、堆、树等特殊形式，AVL广泛应用于搜索和排序算法树的遍历树的遍历是指按特定顺序访问树中的所有节点常见遍历方式包括前序遍历（先访问根节点，再左子树，最后右子树）、中序遍历（先左子树，再根节点，最后右子树）、后序遍历（先左子树，再右子树，最后根节点）和层序遍历（按层从上到下，每层从左到右）树的应用树结构在计算机科学中应用广泛，包括文件系统组织（目录树）、编译器中的语法分析树、数据库索引（树、树）、网络路由算法（最短路径树）、人工智能中的决BB+策树和游戏树等理解树的性质和操作对于掌握这些应用至关重要第六章组合数学基础1计数原理加法原理和乘法原理是组合计数的基础，用于解决有多少种可能的问题2排列组合排列关注元素的顺序，组合仅关注元素的选择掌握它们的计算公式和应用场景是解决计数问题的关键3二项式系数二项式系数是组合数学中的核心概念，在二项式定理、概率论和组合计数中有广泛应用组合数学研究离散对象的计数和排列问题，是离散数学的重要分支它提供了系统解决有多少种可能性问题的方法，这类问题在算法分析、概率论、密码学等领域中频繁出现本章将介绍组合数学的基本计数原理、排列与组合的概念和计算方法，以及二项式系数的性质和应用这些工具不仅在理论计算机科学中有重要地位，也是解决实际编程和算法设计问题的基础计数原理

6.1加法原理乘法原理应用实例加法原理是计数的基本法则之一，用于乘法原理用于处理连续发生的事件或需计数原理在实际问题中的应用处理互斥事件的计数问题如果一个事要同时满足多个条件的情况如果一个密码组合一个位数字密码（可重

1.4件可以通过种方式发生，另一个事件可事件由两个连续的子事件组成，第一个n复使用），共有种可0-910⁴=10000以通过种方式发生，且这两种事件不子事件可以通过种方式发生，对于第一m n能能同时发生，那么这两个事件中的一个个子事件的每一种方式，第二个子事件行程安排从个城市中选择个访问，

2.53发生的方式有种可以通过种方式发生，那么整个事件n+m m并决定访问顺序，可以用排列公式可以通过×种方式发生nm计算P5,3=60形式化表述设和是两个有限集合，AB如果∅（即和不相交），则形式化表述设和是两个有限集合，A∩B=ABAB委员会选择从人中选出人组成

3.205|A∪B|=|A|+|B|对于多个互不相交的则|A×B|=|A|×|B|对于多个集合，这委员会，不考虑顺序，可以用组合公式集合，这一原理可以推广为一原理可以推广为计算C20,5=15504₁∪₂∪∪₁₂₁×₂××₁×₂×|AA...A|=|A|+|A|+...+|AA...A|=|A||A|...ₙₙ×|A||A|ₙₙ排列与组合

6.2类型公式定义例子排列数从个不同元素中取从人中选人担Pn,r n!/n-r!n103个，考虑顺序任正副主席r组合数从个不同元素中取从人中选人组Cn,r n!/[r!n-r!]n103个，不考虑顺序成委员会r重复排列nʳ从n个元素中取r个，4位数字密码，可重允许重复，考虑顺复使用0-9序重复组合从个元素中取个，买个水果，有种Cn+r-1,r nr35允许重复，不考虑可选，可重复购买顺序排列与组合是组合数学中的基本计数工具，用于解决不同类型的选择问题排列强调Permutation元素的选择和排序，组合只关注元素的选择而不考虑顺序Combination理解排列与组合的区别是解决组合计数问题的关键例如，从个字母中选个不同字母并排序，是263一个排列问题，答案是××；而从个字母中选个不同字母组成集P26,3=262524=15600263合，是一个组合问题，答案是×C26,3=26!/3!23!=2600二项式系数

6.3Cn,k a+bⁿ数学定义二项式定理二项式系数表示从个不同元素中选取个二项式系数出现在二项式定理中Cn,k n k a+bⁿ=元素的组合数，计算公式为Cn,k=n!/[k!n-∑Cn,kaⁿ⁻ᵏbᵏ，其中k从0到n这一定理在代它也可表示为或数学和概率论中有广泛应用k!]binom{n}{k}n k递推杨辉三角二项式系数满足递推关系Cn,k=Cn-1,k-这一关系反映在杨辉三角中，1+Cn-1,k每个数是上方两数之和二项式系数具有丰富的组合意义，例如表示在次伯努利试验中恰好成功次的方案数，也表Cn,k nk示个人中选个人组成委员会的方法数它还是概率论中二项分布的核心参数nk二项式系数满足多种恒等式和性质，如（对称性）、（所有二项Cn,k=Cn,n-k∑Cn,k=2ⁿ式系数之和）等这些性质在组合问题求解、算法设计和数学证明中有重要应用总结与展望理论基础数理逻辑、集合论、关系与函数、图论、组合数学应用领域算法设计、数据结构、人工智能、密码学、网络设计进阶方向计算理论、形式语言、自动机理论、数理逻辑进阶离散数学作为计算机科学的理论基础，其各部分内容紧密关联命题逻辑和谓词逻辑提供了形式化推理的工具；集合论建立了处理离散对象的基本框架；关系和函数描述了对象之间的连接方式；图论提供了建模复杂网络的方法；组合数学解决了计数和排列问题这些知识在实际应用中相互交织数据库设计利用集合论和关系理论；网络算法基于图论；密码学应用数论和组合数学；人工智能推理系统基于逻辑随着计算机科学的发展，这些基础理论仍在不断深化和扩展，为新技术提供理论支撑建议进一步学习计算理论、算法分析、形式语言与自动机、高级数学逻辑等通过阅读经典教材、参与开源项目和学术讨论，可以将理论知识应用于实际问题解决中。