2021-2022学年福建省龙岩市新罗区铁山中学九年级（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

绝密★启用前学年福建省龙岩市新罗区铁山中学九年级（上）第一次月考

2021.2022数学试卷学松姓名班级考号注意事项.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上

1.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，2再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回3第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共

30.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若关于％的方程Q-I）%2+2%-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A.a=#1B.a1C.a1D.QHO

2.已知y=（m-2）xm2-2+2血是关于％的二次函数，则下列说法正确的是（）有最大值有最大值有最小值有最小值A.4B.-4C.4D.-

43.方程/+6%-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A.（%+3）2=14B.（%-3）2=14C.（x+3）2=4D.（%-3）2=4,等腰三角形的一边长是另两边的长是关于％的方程,一的两个根，则的值为（）43,4%+1=0k或A.7B.3C.4D.

345.一元二次方程,一2%+1=0的根的情况是（）有两个不相等的实数根有两个相等的实数根A.B.没有实数根无法确定C.D.

6.若关于％的一元二次方程（Q+I）%2+%+a2—1=的一个根是0,则a的值为（）A.1B.-1C.±1D.

0.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是,若设主干757长出第个支干，则可列方程是（）A.（1+%）2=57B.1+%+%2=57C.（1+%）%=57D.1+%+2%=

578.一个菱形的边长是方程/—8%+15=0的一个根，其中一条对角线长为8,则该菱形的面积为（）舍去.%i=12,x=-142答每轮传染中平均一个人传染了个人.12故答案为

12.根据增长率问题增长率=增长数量/原数量.如若原数是小每次增长的百分率为％,则第一次增x100%长后为以+乃；第二次增长后为矶即原数增长百分率尸=后来数.11+%2,xl+本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题增长率=增长数量/原数量汝口:x100%若原数是每次增长的百分率为％,则第一次增长后为矶1+%；第二次增长后为al+%2,即原数xl+增长百分率=后来数.

2.【答案】四14【解析】【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△,找出关于的一元一次不等式组是解题的关键.a由二次项系数非零及根的判别式△〉，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围,由a a的取值范围可得出进而可得出点在第四象限，此题得解.Q Q+10,-a-30,P【解答】解・・・关于久的一元二次方程a/一％J=00有两个不相等的实数根,4121=—17-4x aX——0解得且a—1a

0.〉•**2+10,—CL—3V0,••・点Pa+1,—a-3在第四象限.故答案为四..【答案】153【解析】解由九几一可知几2+21=

00.21广冠.1+=

0.八121_•,茄一丁°，•1=又血且即2—2m—1=0,nm W1,m Hn工是方程%的两根.••.m,2—2%—1=0n1n・•・TH+-=

2.n...竺闻±=租+工=11+2+1=3,n n故答案为

3.将九2+2n-1=0变形为3--1=0,据此可得血，工是方程,一2%-1=0的两根，由韦达定理可得6+nz n n代入比也=工可得.4=2,m+l+nnn本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出工是方程的两根及韦达TH,2—2-1=0n定理..【答案】1610【解析】解设％秒后、两点相距P Q25cm,则CP=2xcm CQ=25—%cm,9由题意得，2%2+25-x2=252解得，舍去，%i=10,x=02则秒后、两点之间相距10P Q25cm.故答案为

10.设％秒后、两点相距用工表示出、根据勾股定理列出方程，解方程即可.P Q25cm,CP CQ,本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

17.【答案】解1・.・OM=ON=4,・・・M点坐标为4,0,N点坐标为0,4,设抛物线解析式为y=ax-42,把代入得解得N0,416Q=4,a=p所以抛物线的解析式为y=—42=—2%+4；2,・,点4的横坐标为t,・・・DM=t-4,.・.CD=2DM=2t-4=2t—8,把汽=t代入y=i%2-2x+4得y=^t2—2t+4,1••AD=-t—o2t+4,4/.I=2Q4D+CD=2Gt2—21+4+2£—8=1t2-8t

4.【解析】1先确定M与N的坐标，由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=％-4，然后把N点坐标代入求出即可得到抛物线的解析式；Q根据抛物线的对称性得到再表示点的纵坐标得到然后利用矩形的周长定理求解.2CO=2DM=2t-8,44D,本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与％轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

18.【答案】12—4Q+4—4,a—22—4,—G2—12a+36+36,—a—62+36;2Q-4a=a—4a+4—4=Q—2之—4Z—4,—小+12a=—a-12a+36+36=—a—62+3636,・•・当a=2时，代数式十一4a存在最小值为-4；3根据题意得S=%6-%=-%2+6x=一％-32+99,则％=时，最大值为3S

9.【解析】解1根据题意得/_4a=M_4+4—4=a—22—4；—a2+12a=—a2—12a+36+36=—a—62+36；故答案为a—4a+4—4；a—2之—4；—a-12a+36+36；—a—6之+36；见答案;2见答案.3原式配方即可得到结果；1利用非负数的性质确定出结果即可；2根据题意列出与％的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果.3S此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

19.【答案】解:1X2+4X-5=0,%-1%+5=0,或％+%—1=05=0,x=1x=—5；2x2+%—3=0,192・・・4=1_4x1x-3=1+12=13,-l±fT3-1+13-1-03与=冷=-2-2【解析】方程利用因式分解法求出解即可;1方程利用公式法求出解即可.2本题考查一元二次方程的解法，灵活掌握一元二次方程的各种解法与步骤是解题关键..【答案】解列表:201X-2-1012y=—2x2—8-20-2—8y=—2x2+3-5131-5描点，将表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出,连线，用光滑的线顺次连接，如图所示:厂——―丫—―7———————1Illi II Iy=-2%2,开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为0,0y=-2x2+3,开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为0,3；2,函数y=-2x2+3与函数y=-2/的图象形状完全相同，开口方向相同，抛物线y=-2x2+3可由抛物线y=-2/的图象向上平移3个单位长度得到.【解析】根据描点法，可得函数图象；1直接利用二次函数的性质以及与+的图象特点分析即可.2y=a/y=2ax此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键.

21.【答案】解1・.,一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3/都相同，顶点与抛物线y=%+22相同，・・.这条抛物线的解析式为y=3%+22；2将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为y=3Q-22；若中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，32则符合此条件的抛物线解析式为y=-3%-

22.【解析】直接利用决定抛物线的开口方向和开口大小，进而得出答案；1a利用二次函数平移的性质得出平移后解析式；2利用二次函数的性质得出符合题意的答案.3此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握二次函数的性质是解题关键..【答案】证明

①当血-即血=；时，此时方程是一元一次方程，其根为％=最符合题意；22121=0

②当27n—1W0即zn H:时，△=[—2m+I]2—42m—1=2m—I2+40,，当租时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论为何值，方程必有实数根.M当根为整数时，关于％的方程一没有有理根.理由如下22m-1/2m+1%+1=0

①当m为整数时,假设关于光的方程26—I%2—2m+lx+1=0有有理根，则要△=b2-4ac为完全平方数，而4=2m+I2—42m—1=4m2—4m+5=2m—l2+4,设九为整数，即=层几为整数，所以有4=n22m-12+42m—1-n2m-1+n=-4,・・・2m—1与九的奇偶性相同，并且血、几都是整数，所以《加―；1r1=2或1血一；:九二;2,12m—1+n=—212m—1+n=2解得血=I，

②2m—1=时，m=J不合题意舍去.所以当TH为整数时，关于％的方程2m-I%2一2m+lx+1=0没有有理根.【解析】1根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=10,由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；2先计算出△并且设^=2m+I2-42m-1=4m2-4m+5=2m-l2+4=九2八为整数，整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数.解不定方程，讨论根的存在性.变形为-九九+九=—利2122=%2m-1-26—14,用租，九都为整数进行讨论即可.考查了一元二次方程a/+/%+c=0a W0根的判别式为△=b2-4ac.A=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.同时考查了不定方程特殊解的求法..【答案】解设每件衬衫应降价%元，231由题意得，20+5%44-％=1600,解得，不合题意舍去；%i=36,%=42应降价元.36设商场平均每天所获得的总利润为元，2y则y=20+5%44—%,=-5x2+200%+880,=-5x2-40%+400+2880,=—5%—202+

2880.・・・当％=20时，y最大为

2880.・・.每件衬衫降价20元时，使商场平均每天能获得最大利润是2880元.【解析】每天盈利=每件盈利销售件数，每件实际盈利=原每件盈利-每件降价数.检验时，要考虑尽快减1X少库存，就是要保证盈利不变的情况下，降价越多，销售量越多，达到减少库存的目的.在的基础上，由特殊到一般，列二次函数，求出二次函数的最大值.21在营销问题中，降价必然会带来利润减少，同时，会带来销售件数的增加，“一减一加”..【答案】解设正方形花园的边长为工米，241根据题意得:%2=|xl6xl2,乙解得%=41^，%2=-4V%不符合题意，舍去.答正方形花园的边长为石米；4/根据题意得花园周边与矩形长边的距离为/石米；212—46+2=6—2花园周边与矩形短边的距离为/石+/石米.16-42=8—2答花园周边与矩形长边的距离为6-2，%米，与矩形短边的距离为8-21

①米.【解析】设正方形花园的边长为黑米，根据花园的面积是荒地面积的一半，可列出关于％的一元二次方程，1解之取其符合题意的值，即可得出结论；利用花园周边与矩形长边的距离=矩形荒地的宽-正方形花园的边长+可求出花园周边与矩形长边的距离，22,利用花园周边与矩形短边的距离=矩形荒地的长-正方形花园的边长+可求出花园周边与矩形短边的距离.2,本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键..【答案】解设直线表达式为丫=251ax+b.・・・42,0,31,1都在丫=％+/的图象上，0=2a+b*tl=a+ft•・,・直线ZB的表达式y=-x+

2.・・,点31,1在y=a/的图象上，y=x22・・・y=-x+2解需X=1y=1・・・a=1,其表达式为y=x

2.・・・点坐标为―2,4,设a,/[1・•・S〉OAD=|4|・四|=2♦M=A乙乙11・*,S^BOC=Sfoc—S〉OAB=^X2X4--x2xl=

3.・•・S^BOC=S〉OAD，・•・2=3,即=•・・・0点坐标为/*3,-3,

3.【解析】已知直线经过力设直线表达式为丫=公+匕，可求直线解析式；将代入抛物线1482,0,31,1,81,1可求抛物线解析式；y=a/2已知4B,C三点坐标，根据作差法可求△OBC的面积，在△D04中，已知面积和底04可求04上的高,即点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出点坐标.本题考查了一次函数、二次函数解析式的求法，要求会用点的坐标表示三角形的面积，从而求出符合条件的点坐标.A.48B.24C.24或40D.48或

80.甲、乙两同学解方程甲看错了一次项，得根和乙看错了常数项，得根和则9/+p%+q=0,27,1—10,原方程为A.%2—9%+14=0B.x2+9%-14=0C.%2—9%+10=0D.%2+9%+14=0某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方

10.81440米,为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作11设%米，则可列方程48=A.%81-4%=440B.%78-2%=440C.%84-2%=440第卷D.%84-4%=440II非选择题小门.若

二、填空题本大题共6小题，共

18.0分已知关于％的方程瓶％+血+是一元二次方程，则的值为.H.m—2%--2―235=

0612.将抛物线y=ax2+c向下平移3个单位长度，得到抛物线y=-2x2-1,则a=,c=.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了

13.169个人.

14.若关于％的一元二次方程a/-％-J=0a H0有两个不相等的实数根，则点Pa+l-a-3在f第象限.

15.已知m2—2m—1=0,n2+2n-1=0且rrm W1,则竺吐巴口的值为.n.如图，在中，动点从点出发，沿方向运动，速度16RtZkACB ZC=90°,AC=30cm,BC=25cm,P CC4是2cmis；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是lcm/s,则经过________s后，P,Q两点之间相星巨25c7n.

三、计算题本大题共2小题，共

12.0分.如图，抛物线的顶点在％轴上，抛物线与轴交于点且矩形的顶点、在抛物17M yN,M=0N=4,ABC43线上，、在％轴上.C求抛物线的解析式；

118.我们知道x2—6x=x2—6%+9—9=%—32—9；—%2+10=—%2—10%+25+25=—x—这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题52+25,1按上面材料提示的方法填空a2-4a==.-a2+12a==.探究当取不同的实数时在得到的代数式小—的的值中是否存在最小值？请说明理由.2Q应用如图.已知线段是上的一个动点，设以为一边作正方形再以348=6,M4M=%,4M、为一组邻边作长方形,问当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若MB MNMBCN M48MBCN存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.

四、解答题本大题共7小题，共

56.0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤本小题分

19.

8.0解方程I%2+4%—5=0；2%2+%—3=

0.本小题分

20.

8.0在同一直角坐标系中画出y=-2%2,y=-2x2+3的图象.分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；1抛物线与抛物线的图象有什么关系？2y=-2/+3y=-2/本小题分

21.

8.0已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同，顶点与抛物线＞相同.y=3/y=%+2求这条抛物线的解析式；1将上面的抛物线向右平移个单位会得到怎样的抛物线解析式？24若中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.32本小题分

22.

8.0已知关于久的方程2m—I%2—2m+lx+1=

0.求证不论为何值，方程必有实数根.1TH当血为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值若没有，请说明理由.2TH本小题分

23.

8.0某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，2044商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件.若商151场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？1600如果你是该商场经理，你将如何决策使商场平均每天能获得最大盈利？是多少？2本小题分

24.

8.0在一块长为米，宽为米的矩形荒地上要建造一个正方形花园.1612要使花园的面积是荒地面积的一半，求正方形花园的边长;1在的条件下，要使花园周边与矩形的周边左、右距离，前、后距离各自相同如图，求与矩形长边、21短边的距离.本小题分

25.

8.0如图，直线过％轴上的点力且与抛物线相交于、两点，点坐标为452,0,y=a%28B1,

1.求直线和抛物线所表示的函数表达式;1在抛物线上是否存在一点°，使得若不存在，说明理由；若存在，请求出点的坐标，与同伴交流.2=S^OBC答案和解析.【答案】1A【解析】解由题意得Q—1H0,解得a H

1.故选A.根据一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程可得2再解即可.a—1H0,此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是且.特别要注意的条a/=0a w0a W0+bx+c件.这是在做题过程中容易忽视的知识点..【答案】2A【解析】解力-是关于％的二次函数，v y=jn—2%2_|_2ni/—2=2,解得或zn=2m=-2,・・♦m—2H0,・・・m=—2,・♦・y=—4x2+4,・・・-40,・・.关于％的二次函数有有最大值4,故选A.根据二次函数的定义得到机解得血或血根据二次函数的性质即可得到结论.2—2=2,=2=-2,本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键..【答案】3A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键.根据配方法的步骤进行配方即可.【解答】解移项得%2+6%=5,配方可得%2+6%+9=5+9,G|J%+32=14,故选A..【答案】4D【解析】解当底边为两腰为关于工的方程产一+忆=的两个根，3,4%0=一针—:.44/c=0,解得k=4,此时方程为/—解得=盯=4%+4=0,2,当腰为时，把％=代入关于％的方程/得33-4x+k=09-12+/c=0,解得k=3,此时方程为％解得2—4%+3=0,=1,=3,三角形三边分别为、、331,综上所述，的值为或k

43.故选D.当底边为3,利用根的判别式的意义得到4=-4尸-轨=0,解得k=4；当腰为3时，把％=3代入关于工的方程/-得解得4%+fc=09-12+k=0,k=

3.本题考查了根的判别式一元二次方程a/+.+c=00的根与/=b2-4ac有如下关系当/0时,方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当/时，方程无实数根.4=

00.【答案】5B【解析】解由题意可知』=一22-4x1x1=0,・・・一元二次方程/—2%+1=o有两个相等的实数根.故选B.本题考查一元二次方程的根的判别式.根据根的判别式即可求出答案..【答案】6A【解析】解把％=代入方程a+lx2+x+a2—1=0得苏解得-1=0,a1=1,a=-1,2而Q+1W0,所以a=

1.故选:A.把％=0代入方程a+I%2+%+a2-1=0得小一1二o,然后解关于@的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值.Q本题考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解..【答案】7B【解析】解・・•主干为1,每个支干长出％个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，.・・小分支的个数为％x%=%2,.,・可列方程为1+x+x2=

57.故选B.关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是，等量关系为主干支干数目+小分支数目把相关数值73”1+=57,代入即可.考查列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的总数的等量关系是解决本题的关键..【答案】8B【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质.利用因式分解法解方程得到右=利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为=5,3,5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为然后计算菱形的面积.6,【解答】解%—5%-3=0,解得％1=5,g=3,・・,菱形一条对角线长为8,・・.菱形的边长为5,.•.菱形的另一条对角线为2x V52-42=6，・・・菱形的面积=5x6x8=

24.故选B..【答案】9D【解析】解由于甲看错了一次项，得根和27,q=2X7=14,由于乙看错了常数项，得根和1-10,.・.—p=1-10=—9,・•・p=9,・,・该方程为%2+9%+14=0,故选D.根据根与系数的关系即可求出答案.本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系，本题属于基础题型..【答案】10D【解析】解设仓库的宽为%米米，则仓库的长为米，4B=%84-4%根据题意得x84-4x=

440.故选D.设仓库的宽为工米米，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为米，再根据矩形的面积公45=%84-4%式即可列出关于％的一元二次方程，此题得解.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键..【答案】一112【解析】解・・,关于无的方程⑺—2%7n2-2_2mx+3m+5=0是一元二次方程，.m2—2=2TH-2W0解得TH=-

2.故答案为-

2.根据一元二次方程的定义列出关于租的不等式组，求出血的值即可.本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元2二次方程是解答此题的关键..【答案】12-22【解析】解将抛物线丫向下平移个单位长度，得到抛物线3y=-2——1,则Q=-2,c=

2.故答案为-2,

2.直接利用平移规律进而得出的值.a,c此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键..【答案】1312【解析】解设每轮传染中平均一个人传染了》个人，根据题意，得1+%2=169。