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第课时二次函数性质的综合应用2二次函数性质的综合应用多与几何图形、线段的长度、最值问题等知识结合考查，常以代数压轴题的形式出现，有一定的难度.•安徽第题已知抛物线尸穴的对称轴为直线
1.2021222-2x+iwo i.x=求a的值.1若点都在此抛物线上，且一.比较刈与y的大小，并说明理由.2kxiVOJvx2V22⑶设直线产机心0与抛物线尸ax2—2x+l交于点A国与抛物线尸3x—1产交于点C,0,求线段A6与线段5的长度之比.解:⑴由题意知一后所以a=l.=1,2a2yiy.2理由:因为一所以IvxivO,lji4,又因为必所以勺故山12,021,3由x2—2工+1=必得x—12=故y/m,x2y［rn^xi=l—=1+所以线段AB的长度为Vrn=2y/m.x—xi=l+Vni-1-2由3x—1产=必得x—12=季故X3=l—雪，％4=1+等,所以线段CD的长度为等一一等=字，X4-X3=l+1故线段AB与线段CD的长度之比为聋=V
3.-3-.［一题多解］•安徽第题在平面直角坐标系中，已知点直线尸什机经过点2202022A1,2I2,3,C2,1,A,抛物线广产+加什恰好经过A,B,C三点中的两点.1⑴判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由；⑵求a,b的值;⑶平移抛物线产加使其顶点仍在直线尸卢机上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值.+1,j解:⑴点在直线y=x+m上.理由如下3因为直线y=x+m经过点41,2,所以解得m=l,2=1+/%从而直线对应的表达式为y=x+l.又因为点B的坐标满足该表达式，所以点B在这条直线上.2,3⑵因为抛物线j=ax2+ftx+l与直线AB都经过点0,1,且C两点横坐标相同，所以此抛物线只能经过A,C两点.将A,C两点的坐标代入尸口炉十加:得+i,器:解得1，E解法设平移后所得抛物线对应的表达式为尸一一+其顶点坐标为©,£+31:px+q,q.2因为顶点在直线上，所以§+々q.J=x+11=+4T,于是，抛物线与y轴交点的纵坐标为q=T+々+1=—；p-12+*所以当时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值半P=1J解法设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-x-h2+k,2:因为顶点在直线上斯以k=h+l.J=x+1令得平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为一》+加+40,j
1.因为一人入+八-2+1=—0+|,所以当人三时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值*y改编题在平面直角坐标系中，已知抛物线产/+加一经过「三点中的两点.⑴求该抛物线3A—6,C14的表达式.⑵平移抛物线产〃/+能一使其顶点在直线产上.设平移后抛物线顶点的横坐标为点尸四在平移3,3/1G1后的抛物线上，设尸工二求的最小值.h解1抛物线y=ax2+bx-3与j轴的交点的坐标为0,-
3.由一知BC//y轴，31,—6,1,4,•••抛物线y=ax2+bx-3经过两点中的一点.3,C而「三点在同一条直线上，A—1,0,0311,—6•二点不在抛物线y=ax2+bx—3上，51,—6即抛物线y=ax2+bx-3经过点A—l,0,Cl,—
4.将点「代入抛物线y=ax2+bx—3,A—l,0,Cl4瞰；*解得｛MU,•••该抛物线的表达式为y=x2—2x—
3.⑵••平移后抛物线顶点的横坐标为顶点在直线尸上，3/1平移后抛物线顶点的坐标为匕什A31,，平移后的抛物线的表达式为产犷+什X—
31.丁点尸刈在平移后的抛物线上，1牙+什什:.m=l—31=/+2,:./z=PA2=[l—―l]2+^2+Z+22=4+^2+Z+22,工当什取得最小值时/=尸有最小值.242设〃=於+什2=1+0+/.•当仁一州力取得最小值.♦•••仁左有最小值姜.16一题多解]•安徽第题一次函数尸履与二次函数尸〃必+的图象的一个交点坐标为另一
3.[201922+41,2,个交点是该二次函数图象的顶点.求k,a,c的值.1过点且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点为坐标原点,记2A0,/n0vmv
4.0W=OA2+BCW关于m的函数表达式，并求W的最小值.解因为点在一次函数尸的图象上，:11,2h+4所以即k=-
2.2=4+4,因为一次函数产女工+与二次函数尸〃/+图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以点在一次40,c函数的图象上，即c=
4.y=h+4又因为点也在二次函数的图象上，1,2yuaf+c所以2=〃+4,从而a=-
2.⑵解法因为点的坐标为盟〈股过点且垂直于轴的直线与二次函数的图象交于1:A004,A yy=-2/+4点B,C,所以可设点B的坐标为私⑼.由对称性得点C的坐标为一小网,故BC=2|x|.0又因为点在二次函数尸一必+的图象上，324所以-2就+4=犯即就=2—弟从而BC2=4%o=8_2m.又因为所以W=OA2+BC2=m2—2m+8=m—l2+70m4^所以当m=l时有最小值,W
7.解法由⑴得二次函数的表达式为广一必+2:
24.因为点A的坐标为0,⑼0v/nv4,过点A且垂直于y轴的直线与二次函数尸一2必+4的图象交于点B,C,所以令一2，+4=/«,解得xi=#二^,%2=-^2-y,所以BC=2又因为4二也所以J2—yj=m2—2m+8=m—12+70/n4,所以当产时,有最小值=1W
7.改编题在平面直角坐标系中，已知抛物线产/-经过点直线尸与该抛物线的一个交2or+c4—2,0,Ax+2点在轴上，另一个交点在轴上.3y x求a,c,k的值；1⑵在直线BC上方的抛物线上有一点外功过点尸分别作轴,轴的垂线，分别交直线BC于点D,E,令P xy求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值.w=PD+PE,解:⑴由直线y=kx+2知点B的坐标为0,2,将点代入抛物线y=ax2—2ax+c,4—2,010,2二—•R+1x+2,令一；霓2+x+2=0,解得2,4ZXI=442=—•••点C的坐标为4,
0.将点代入广得k=—三C4,0h+2,•••a=-=2,九=一；・42⑵丁OB//PD,.ZOBC=ZPDE.Vtan NOBC年=2,・・.tan ZPDE=—=2,OB PO:.PE=2PD,.PD+PE=3PD.•••抛物线上有一点24二点D的坐标为犯一号m+2,・・・w=PD+PE=3»3一一刎2+如+2--gm+2_=—22+3,•当m=2时,有最小值w
3.•安徽第题如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点与求a,b的值；
4.20162242,486,
0.1⑵点是该二次函数图象上两点之间的一个动点，横坐标为.写出四边形OACB的面积S4,3x2vxv6的最大值.S解将点与点代入广必+,:142,436,0⑵得如图，过点解得作轴的垂线,垂足为连接过点C作尸轴，垂足分别为E.F.+26=4,A x2,0,CD,CE_L4O,_Lx4Q传廨付36a1+6b=0,1S^OAD=~0D,AD=—x2x4=4,44-CESAACD=^AD=1x4xx—2=2x—4,S^BCD^BD.CF=；x4x一；/+3x=—2X+6X,+，—4+—x2+6x=—x2+8x.:.S=SAOAD+SAACD SABCD=4+2XAS关于x的函数表达式为S=-x2+8x2x
6.V S=—x2+8x=—x—42+l6,当时,四边形OACB的面积S有最大值，最大值为A x=
416.典例木牍原MJ已知二次函数y=一d+〃a+皿〃2为常数.当m=2时，若孙丁如〈处是图象上的两点，则下列结论正确的是141]
4201.若则yiyAXI+%22,
2.若则yiyBXI+MV2,2若则yiyC.xi+x—222若则yiyD.Xi+X2—2,23当xl时,y随x的增大而减小，则的取值范围是⑵当x2时随的增大而减小;当x2时随的增大而增大，则m的值为,y x4x当一时的最大值是则m的值是.42WxW4,y15,当一时二次函数产一好+如叶切与直线产有且只有一个交点，则m的取值范围5r+2是.【答案】1B.
24.机
32.2/\2或提示:二次函数尸一，+〃山=—尤一++犯对称轴为直线％=，当一4—
196.2*+2,L\Z/Z4-即时，在范围内随工的增大而减小—当工=时/取得最大值,即—m V—4—24—2—22—2m+m=解得当一三工即—时,在一工元工范围内15,m=—19;234,824少先增大后减小,・・.当％=f时J取得最大值,即？+2m=15,解得ml=—10舍去》m2=6;当千4/4Z即zn8时，在—24工三4范围内,y随工的增大而增大,・・・当尤=4时,y取得最大值,即—42+4m+m解得=，舍去.综上所述第的值为一或=15,nt
196.或提示由一mx+m=x+2,得尢5m-m=2V2—
1.x2+2—m—lx—m+2=
0.
①当抛物线的顶点在直线上时,解得-242一舍去.
②y=x+24=m-l2-4-m+2=0,ml=1,m2=2V2-1当抛物线的顶点在直线冗+上方时,得鱼—或鱼-且此时应满足｛二；；猊案y=240,m21m—21,解得皿海上所述,的取值范围是或皿=m m2V2-
1.。
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