2022年数学百色专用一轮复习教学案-教材知识特训4全等三角形的常见模型

教材知识特训四全等三角形的常见模型特训1平移模型模型点拨把△ABC沿着某一条直线平行移动，称所得到aOE/与△ABC为平移型全等三角形.图

1、图2是常见的平移型全等三角形.平移模型中，根据“两直线平行，同位角或内错角相等”，可得到两个三角形的两组对应角相等；反之，若两个三角形全等，可得对应角相等，从而得到两直线平行.【例1】如图，将△ABC沿直线A3向右平移后到达的位置.若NCAB=50，ZBDE=100°,则NCBE的度数为30nA R【解析】由平移性质知△ABC名则NEBD=NCAB=50，ZBDE=ZABC=l000根据NCBE=1809特训2翻折（轴对称）模型-ZABC-ZEBD可得答案.模型点拨将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，称其中全等的两个三角形为翻折型全等三角形.此类图形中要注意其隐含条件即公共边或公共角相等.翻折（轴对称）模型的图形，可以看成一个轴对称图形，对应角相等，对应边相等，对应图形全等.【例2】如图，已知NABC=NOC8,添加下列条件中的一个

①NA=NQ；®AC=DB；

③其中不能确定△ABC四△QCB的是—

②（只填序号）.【解析】已知NA3C=NOC3,且8C=C8（公共边）.若添加

①NA=N，则可利用“AAT判定△ABCgZXOCB;若添加

②则属于边边角的顺序，不能判定△A8C也△OQ5;若添加

③A8=OC,则可利用“SAS”判定特训3旋转模型△ABC也△OC

5.模型点拨将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型三角形时，如图1涉及对顶角相等；如图2涉及等角加（减）公共角的条件或结论.在旋转图形中，若某顶点是旋转中心，则在这个顶点处根据“等量加（减）等量，和（差）相等“，可得出两个新的角相等.【例3】如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=8C,点P在斜边A3上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,ZPC2=90°,则%2,PB2,PC三者之间的数量关系是产+/2=

202.【解析】连接

8.・・・乙43=90，AC=BC,・・.NCA3=NCR4=45o.・・・Z^PCQ是等腰直角三角形，.PC=CQ,ZPCQ=90°=ZACB,22=2/＞2利用，苫4£，可［正可得NC4P=NGBQ=45°,可得NABQ=90°,由勾股定理可得即可得出结论.P82+8Q2=PQ2,【例4】如图，△ABC,石均为等边三角形，连接BD,AE求证AE=BD.【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用“边角边证明△BCD和△ACE全等，可得AE=8D.【解答】证明:△ABC和△EC都是等边三角形,B.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=

600..ZACB+ZBCE=ZDCE+/BCE,即ZACE=ZBCD.在CE和△BCD中，AC=BC,・.・1/ACE=/BCD,、CE=CD,.AACE^ABCDSAS.特训4三垂直模型.AE=BD.模型点拨此类图形通常给出BDLAEDE,ABLAC,CE_LA£AC,那么一定有N8=NC4£NCDE,常用到同等角的余角相等.在三垂直模型的图形中，两个三角形的对应角相等，只需找出一组对应边相等，就可得这两个三角形全等.【例5】如图，AB=AC,直线/过点A,直线/,CNJ_直线/,垂足分别为M,N,且BM=AN.1求证AAMB义ACNA；2求证ZBAC=90°.【解析】⑴由HL”证明△AMB之△CM4即可；2先由全等三角形的性质得NBAM=NACM再由NCAN+NACN=90，得NCAN+NB4M=90，即可得出结论.【解答】证明⑴・・・8M_L直线/,CN_L直线/,，ZAMB=ZCNA=90°.9AB=AC,BM=AN,，RtAAMB义RtACNAHL;⑵；RtAAMB^RtA CNA,ZBAM=/ACN.9ZCAN+ZACN=90°

9.ZCAN+ZBAM=90°.特训5半角模型A180°-90°=90°.模型点拨过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型.常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系.【例6】如图，正方形A3CQ中，E,尸分别在边BC,CO上，且N胡尸=45，连接ER这种模型属于“半角模型，，中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路.例如，图中△AO/与△ABG可以看作绕点A旋转90的关系.这可以证明结论“£/=35+田二请补充辅助线的作法，并写出证明过程.⑴延长C8到点G,使BG=，连接4G；2求证EF=BE+DF.【解析】1由于44/与△A5G可以看作绕点A旋转90的关系，根据旋转的性质知BG=OF,从而得到辅助线的作法；2先证明△AOb丝△A3G,得到AG=AF,ZGAB=ZDAF,结合/EAF=45,易知NGAE=45，再证明△46£g/\4所即可得至|EF=BE+DF.【解答】⑴DR2证明•••四边形ABC为正方形，.AB=AD,/ADF=/ABE=/ABG=

90.在△A产和aABG中，=AD AB9•・•{ZADF=ZABG,、DF=BG,.AADF^/\ABGSAS..AF=AG,ZDAF=ZGAB.VZ£AF=45°,J.ZDAF+ZEAB=45°..ZGAB+ZEAB=45°..ZGAE=ZEAF=45°.在△AGE和aA/E中，AG=AF,•・•{ZGAE=ZFAE,AE=AE..A4GE也△4/7ESAS.Z.GE=FE.，EF=GE=BE+GB=BE+DF.。