2022年中考数学总复习热点专题突破专题一合情推理

第二部分热点专题突破专题一合情推理I I II命题者说初中阶段考查合情推理的试题通常以数式规律类、图形规律类及数形结合类等形式呈现，无论是哪一类，其本质都是在考查观察、分析、猜想、归纳、验证等能力.多年来，各地中考数学都非常重视这个知识的考查，安徽中考数学更是如此，几乎每年都有这类试题.如年第题、年第题、年第题、年第题和年第题等（注:本书的2017192018182019182020172021188个专项提升只追溯到近年安徽中考，不再往前赘述）.分析近几年这类试题的变化规律可以发现合情推5理类的试题越来越灵活，难度也在逐渐增加.目录类型数式规律类合情推理（年考）类型图形规律类合情推理（年考）类型数形结合类合110521043情推理（年考）101典例精析类型数式规律类合情推理1典例（•合肥包河区一模）观察下列等式:12021第个等式:*=卜（；11+3第个等式代=数（21+第个等式代3第个等式调=系（41+9根据你观察到的规律，解决下列问题⑴请写出第个等式:5⑵请写出第〃个等式—（用含〃的等式表示），并证明.【答案】⑴联号（x l+证明:•••右边=用当干=山=左边,X1+L7i（7i+2）n+1n n•••等式成立.名师点拨⑴继续实验:原题中只写了个等式，如果分析后仍找不出规律，可以按照已知的个等式的规律再写出第44个、第个等式……从而积累数学活动经验，有利于总结归纳发现规律（）检验猜想:如本题归纳出猜

56.2想的等式署告（+）”后应该代入数字检验它的正确性，即检验当〃时“1*=X1+”=1,=2/=3”所得等式与已知等式是否相同（）证明要求:在注意这类问题证明格式的特殊要求的同时，还应注意化简.3的原则是“化繁为简”，即左边复杂则化简左边，右边复杂则化简右边，两边都复杂则两边都化简（）.4改变数据:对于数字变化类合情推理试题，大多是命题者先确定一个代数式（或等式），再令，=1/=2/=3,…”从而命制出试题.比如试题命制者先确定代数式/一就可以写出数据这时第个数据当然是1,0,3,8,15,24,…,/I彦一.知道了这一点，如果找不到规律，就可以适当改变原数据（最后还原），我们把这个经验称之为改1变数据.类型图形规律类合情推理2典例（•安庆二模）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，请根据排列规律完22020成下列问题O OOOOO OOOOO OOOOOO曾守OOO OOOO⑴填写下表:OOOOO⑵根据表中规律猜想，图〃⑶是否存在一个图形恰好由个菱形组成若存在，求出图形序号;若不存在，说明理由.111【答案】（）从上往下依次填入1:13;2L2/i2+n+ln为正整数.（）依题意，得=解得（舍去）3=—11/2=10,••・存在一个图形恰好由111个菱形组成,该图形的序号为⑩.名师点拨继续坚持典例【名师点拨】中的四个经验，这里再强调一点:表格中的数据是结果数据,不1“3,7,13,21,…”利于我们发现规律，我们应该根据图形变化规律记录过程数据,如记为”，这样5+1+1,22+2+1,32+3+1,…就容易发现图〃的菱形的个数为官+/

1.命题拓展考向提究买面直角坐标系中的图彩变化规律（•安徽第题）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方

1.201118向依次不断移动，每次移动个单位.其行走路线如图所示.13,⑴填写下列各点的坐标似4,

141.

46.0;⑵写出点〃的坐标;〃是正整数4⑶指出蚂蚁从点到的移动方向.Aioo Aioi【答案】由题图知，蚂蚁的运动是以为周期，每行走路程为个单位时，其沿轴方向前进个单位,244x2故小〃42,0484,026,0,…ai2%

0.由及知，蚂蚁从点到的移动方向是向上.32100=4x25Aioo Aioi类型数形结合类合情推理3典例如图，每个图形都可以看成由上下左右个等腰梯形组成或者是外围大正方形减去正中34间的正方形阴影部分，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半,设小正方形的面积为则第

①个图形的面积为1,第

②个图形的面积为习=第

③个图形的面积为4x2x1+4X4x5xl+5x30,4x9xl+6x0=48,……根据上述规律，解答下列问题:⑴第

④个图形的面积为；4xxl+x=;第

⑤个图形的面积为；4x xl+x=.⑵第个图形的面积为；」.用含〃的式子填空,24XL X1+x⑶上面的图形还可看成一个大正方形减去中间个小正方形组成，这时，第

①个图形的面积为四第132—2,

②个图形的面积为

②第

③个图形的面积为声＞一4A2—2,52……再根据这个规律，解答下列问题

①按此规律，第个图形的面积为用含〃的式子填空M/-2;

②比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.【解析】每个正方形都看成上、下、左、右个等腰梯形组成时，把第

①个、第

②个、第

③个图形的面4积的过程数据记录下来应为；；；第

④个42xl+l+3x,42+3xl+2+3x_,

4.2+3+4xl+3+3x.444乙图形的面积为；」悌

⑤个图形的面积为〃个4l2+3+4+5xl+4+3x4L2+3+4+5+6xl+5+3x|图形的面积为〃〃〃,每个图形都看成是外围大正方形减去正中间的个小4_2+3+4+…+++lxl+1+31正方形时，不难发现第〃个图形的面积为[〃+，〃〃〃」2VI]2_2=25+22-2,

4.2+3+4+―+++lxlg+3=[n+2V2]2-

2.【答案】⑴14;7;70;20;8;

96.〃〃〃形式不唯一2[2+3+4+…+++1];+

3.

①记.35+2

②结论〃〃；〃」=[〃+鱼]4x.2+3+4+…+++1*1++322—

2.证明:二•右边〃〃=22+8+6,左边〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃=2[1+2+3+…+++-1+―2+…+2+1+2]+2+3=2[+1+2]+2+3=22+8+6,••・左边=右边，结论成立.名师点拨了解几个常见的规律问题，并掌握其合并方法.如:

①雇用;

②^三=工-占;

③1+2+3+…+Ln（n+l）n n+11+21+22+23+•••+2〃=2〃+i—

1.针对训练L观察下歹!］算式3口3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,…，贝!）32022的末位数字是（D）A.l B.3C.6D.9【解析】式子末尾以3,9,7,1这4个数字为一个循环,2022+4=505……2,所以32022的末位数字是

9..将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第〃个图形中“”的个数2是则〃的值是（）78,BOO OOOOO OOOOOOOOOOOOO第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A.ll B.12C.13D.14【解析】:第个图形中“”的个数为第个图形中“”的个数为第个图形中“”的个11,21+2=3,3数为1+2+3=6,……，，第〃个图形中的个数为1+2+3+・・・+〃=吟西，当当为=78时，解得n=

12..观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）3BA.23B.75C.77D.139b a【解析】由图可知，上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为2i,2,23,…,2*由此可得〃立;上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为2\22,23,-%/.=26=64//±边的数与左边的数的和正好等于右边的数,，〃=11+64=

75..观察下列算式，寻找规律填数.4l+3=2x2;l+3+5=3x3;l+3+5+7=4x4;1+3+5+7•••+53+55=28x28,

5.按一定规律排列的一列数依次为:|,除焉兴W…，按此规律，这列数中的第I个数是—黑―J/U1JLJLJL JL.如图用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个61429小正方形……，按这样的方法拼成的第个正方形比第〃个正方形多个小正方形.5+1【解析】首先根据图形中小正方形的个数规律得出变化规律，进而得出答案.・••第1个图形由22=4个小正方形组成，第个图形由个小正方形组成，第个图形由个小正方形组成二第〃个图形由〃232=9342=16个小正方形组成，第〃+个图形由个小正方形组成,，〃〃+121“+22“+22—+12=2+

3.•合肥包河区一模观察下列等式

7.2020第个等式*2Zoo第个等式卜*M31720按照以上规律，解决下列问题⑴写出第个等式:―-|=缸;5解:⑵证明::左边二-高九+12-n2+l=右边,nn+l nn+l写出你猜想的第〃个等式:—彳-高=黠_用含〃的等式表示，并证明.2•••等式成立.•蚌埠经开区二模观察下列等式:

8.2021第个等式；1:=13第个等式；2+22=13+23第个等式3+2+32=13+23+33;第个等式4+2+3+42=13+23+33+43;按照以上规律，解决下列问题写出第个等式；151+2+3+4+52=#+23+33+43+53写出第nn为正整数个等式〃用含〃的等式表示利用你发现的规21+2+3+…+32=13+23+33+・・・+〃3；律求113+123+133+-+1003的值.解原式3+1003—+103=^+23+33+…Q3+23+33+…=1+2+3+―+1002-1+2+3+―+102=50502-552=

25499475..如图是一组完全相同的黑白小球组成的图形.观察各组图形及其对应的关系式.根据发现的规律，解答9•O«•O91X2+2X0+4=2X3下列问题:•ooe2x3+2xl+4=3x4

②oooo•ooe•oooeooooo3x4+2x2+4=4x5ooooo•oooe（）写出第个等式:•OOOO•4x54-2x3+4=5x6177x8+2x6+4=8x9;•ooooe oooooo⑵写出你猜想的第〃个等式:）））（用含〃的等式表示），并证明其正确性.解:⑵

④oooooo oooooo“5+D+25—1+4=5+15+2证明:左边=〃〃〃右边二〃〃〃〃〃2++2—2+4=/+3%+2,2+2++2=2+3+2,••・左边=右边，，等式成立..如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形:10第1个图形第2个图形第3个图形第n个图形解答下列问题:⑴在第个图形中,共有白瓷砖块,在第n个图形中,共有白瓷砖〃）块;4245+2⑵在第〃个图形中,共有瓷中（〃+））块;（用含n的代数式表示）⑶如果每块黑瓷砖元，每块白25+420瓷砖元，当时，求铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖30H=10解（）当时，共有白瓷砖块,黑瓷砖块,则需花费（元）.:3/i=1012048120x30+48x20=

4560.观察以下等式:第个等式:表；第2个等式:；第个等式:111J1+,+=1+1-0Jl+N+*=1+C-I3Jl++全；；+=l+g-按照以上规律，解决下列问题:⑴第个等式是专=4_Jl++1+⑵写出你猜想的第个等式，并证明其正确性.解猜想:岛一+•H2J1+A+7=1+n2n+12n+12n2证明:•••左边二n2n+l2+n2n+l2+n2n+l2/n2n+l2+n+l2+n2{n2n+l2^^7n2n2+1+2n+n2+1+2n+n2拓/九2九2+1+九2x2九+九2+1+2九+九2品不Jn2+12+2mzi2+1+九2_^7n2+l+n2右边=华岑+n+1nnn+l nn+lnn+ln2+l+n nn+l_nn+1+n+1-n_n2+n+lnn+lnn+l5••・左边=右边,即猜想的等式正确..毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合做了如下研究:12三角形正方形五边形数六边形数名称及图形几数数何点数层数第一层几何点1111数第二层几何点2345数第三层几何点3579数第六层几何点621数11____16第〃层几何点数n2〃一13〃一24—-3请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第〃层各个图形的几何点数.解二•三角形数前三层的几何点数分别是1,2,3,，第六层的几何点数是第〃层的几何点数是几6,正方形数前三层的几何点数分别是V1=2x1—1,3=2x2-13=2x3—1,工第六层的几何点数是第〃层的几何点数是2x6—1=11,2H-

1.■二五边形数前三层的几何点数分别是，第六层的几何点数是1=3x1—2,4=3x2—2,7=3x3—2,3x6—2=16,第〃层的几何点数是3n-

2.;六边形数前三层的几何点数分别是•••第六层的几何点数是第〃1=4x1—3,5=4x2—3,9=4x3—3,4x6—3=21,层的几何点数是〃一

43.。