2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第13章 §13.2　参数方程

参数方程【考试要求】.了解参数方程，了解参数的意义能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数12方程.【知识梳理】参数方程和普通方程的互化

1.⑴曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.⑵一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数X,y t八并且对于方的每一个允许值，由方程组所确定的点/（X,y）都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.常见曲线的参数方程和普通方程

2.点的轨迹普通方程参数方程（一兀\x=x（）+，cos a,直线•（尤—）（y—yo—tan a xo a为参数）

1..Q士y=yo+ts\n a仇x=rcos.八（为参数）圆y=rsinV8X=6ZCOS0,72椭圆（为参数）,.0方=1（泌＞）（y=/sin p,c（/为参数）抛物线y2=2Px（p0）口=2【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“）J”X”

（1）参数方程《中的x,y都是参数/的函数.（J）□=g⑺x=2cos a

（2）方程.（为参数）表示以点（0/）为圆心，以2为半径的圆.（V）j,=l+2sin0[x=2cos/,冗（）已知椭圆的参数方程（，为参数），点在椭圆上，对应参数，点为原3M=1[y=4sin tJ点，则直线的斜率为小.（）Xx=2cos9,「冗一

（4）参数方程（为参数且0,5）表示的曲线为椭圆.（X）」y=5sin0L2所以曲线的极坐标方程为=C2COS

4.由题意，可得2|0M=2,则S/\ABM=S/^OBM~S^OAM=^\OM\-\XB-XA\X2X|4-2cos2^|=|4—2cos2^|,即4—2cos2^,当cos2^=1时，可得SMBM的最小值为

2.课时精练x=2-LZ2,

1.（2020・全国HI）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为.Q为参数且[W1）,[y=2—3t-\-r与坐标轴交于两点.C A,3⑴求|幽⑵以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.x A5解

（1）令％=0,贝ij»+/—2=0,解得t=—2或，=1（舍去），则即）3=2+6+4=12,40,

12.令y=0,则Z2—3/+2=0,解得或/=（舍去），t=21则x=2—2—4=—4,即（）5-4,

0.・•・\AB\=V（0+4）2+（12-0）2=4VT

0.工一12-0

（2）由

（1）可知%A8=0_（_4）=3,则直线的方程为（）AB y=3x+4,即3x—y+12=

0.由仇可得，x=pcos y=2sin直线的极坐标方程为A33pcos8—sin9+12=

0.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线/的参数方

2.xx=tcos a9程为,.（，为参数，£[0,71））,曲线C的极坐标方程为=4siny=1十Zsina⑴写出曲线的直角坐标方程；C（）设直线/与曲线相交于两点，若|尸|=仃，求直线/的斜率.2P,Q解（l）・・・〃=4sina/./）*■=4psin仇由p1=^-\-y1,/sin®=y,得x2+y2=4j.・・•曲线的直角坐标方程为炉+-2）2=

4.X-tcos a,（）把，,代入2f+y2=4y,十y=1Esin a整理得Z2—2zsin a_3=0,设两点对应的参数分别为P,A,d则t\H-2=2sin Gtt\t2=-3,・・・|PQI=1%一亥1=yj（九+小）2—4加友=d4sin2a+12=y/13,—匹——如ZB.V3得sin a-2，a—3取a—3,・••直线/的斜率为

3.（2022・曲靖模拟）在平面直角坐标系xOy中，以为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的圆心的极坐标为《陋，空，半径广=审.C⑴求圆的极坐标方程；C⑵已知过点（）且倾斜角为的直线/交圆于两点，且|出|+『引=行，求角P0,l aA,3a.解⑴圆心小自§的直角坐标为圆的半径厂=小，C则圆的直角坐标方程为

（一）C x—1/+12=

3.x=〃cos仇将公式代入（）（）中，

1.x—l2+y—12=3y=/9Sin0整理得圆的极坐标方程为p2-2pcos9—2sin-1=

0.fx=rcos a,（）过点（）且倾斜角为的直线/的参数方程为.（是参数），2P0,l a/十[y=1Ism a代入圆的直角坐标方程

（一）（丁-）中整理得产一一l12+12=32/cos02=

0.设交点A,B对应的参数分别为小攵，由根与系数的关系得，i+/2=2cosa,32=—20,则|别+九|+防|=一亥|=，|PB|=|11,平方得（九十/2）2—4人亥=11,则4cos2a+8=11,所以土坐（兀），口=或cos1=0*5[x=4cos9+cos a,

4.（2022・宝鸡模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的方程为.八.（6£R,十[y=3sin sin a为参数）.a⑴求曲线的普通方程并说明曲线的形状；G G⑵以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（一，=0,求曲线的对称中心到曲线的距离的最大值.Ci C2夕+x=4cos cos a,解

（1）由曲线G的方程彳.八.（金R,为参数）可知，，十y=3sm sin ax—4cos9=cos a,，c.八,（为参数），6£R,j—3sin=sin a消去参数a得曲线Ci的普通方程为（x—4cos8）2+（y—3sin

（9）2=1,・•・曲线G是以G（4cos，3sin）为圆心，1为半径的圆.（）将曲线的极坐标方程〃（一/）=（）,2C2sin即psin3—pcos8=0,化为直角坐标方程为x—y=

0.曲线的对称中心即为圆心（仇），Ci G4cos3sin，曲线的对称中心到曲线的距离Ci2夕一（＜）|4cos3sin3\|5sin9—^|4V=^2廿43其中满足一一予9sin9=1cos9=（-）—1Wsin9W1,・•・曲线G的对称中心到曲线G的距离的最大值为芈.x=2+2cos a,

5.（

2022.萍乡模拟）在平面直角坐标系中，P为曲线G（a为参数）上的动y=sin a点，将点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）得点，记点的轨迹为以坐标原点P Q QQ,为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.x（）求曲线的极坐标方程；1C2（）是曲线上异于极点的两点，且茅求川一小的取值范围.2432NAO|0|03|x=2+2cos（x—2]2解

（1）曲线G.化为普通方程为匕一^+y2=1,j=sin a-设P点坐标为（x,y）,0点坐标为（%,yf）,则有+1=1，x=|,y=y,消去x,y有（£—l）2+yz2=1,即/此式即为的普通方程.2+y2=2/,C2・••曲线C的极坐标方程为p=2cos

0.2（）设（夕），夕+专）（£（一$2A pi,B2,

3.\OA\-y[3\OB\=-y[3pPi2=2cos0—2A/3COS^+^）（一制,—yf3sin cos9=2sin・・・|04|一市|03|的取值范围是［-2,

1.[x=2+sin2^,1•（为参数）化为普通方程为（将参数方程|尸山【教材改编题】A.y=x—2B.y=x+2C.y=x—22«D.y=x+20WyWl答案c解析代入法，将方程化为但y=x—2,x£[2,3],je[O,l].[x——1+cos a

2.曲线一.八（为参数）的对称中心（）[y=2+sm0在直线上A.y=2x在直线上B.y=-2x在直线上C.y=x—1在直线上D.y=x+lX=—1+cos仇fcos9=x+1解析由得j=2+sin3[sin6=y—

2.答案B所以（（）x+1y+y—22=

1.曲线是以

（一）为圆心，为半径的圆,所以对称中心坐标为

（一）在直线上.1,211,2,y=-2xx=tcos a，已知直线/的参数方程是“为参数），若/与圆交于

3.f+V—4x+3=0A,By=tsin a两点，且|AB|=S，则直线/的斜率为.宏案+亚^口木一15x=tcos a,解析由.为参数），y=tsm a得y=xtan a,设％得直线的方程为〉=日，=tana,由得（）圆心坐标为（）半径为f+y2—4x+3=0,x—22+y2=i,2,0,1,・••圆心到直线了=日的距离为/日,VH付“=蟹题型一参数方程与普通方程的互化例1（2021・全国乙卷）在直角坐标系中，的圆心为C（2,l）,半径为

1.（）写出的一个参数方程；1⑵过点（）作的两条切线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这F4,l x两条切线的极坐标方程.仇x=2+cos解

（1）因为的圆心为（2』），半径为1,所以的参数方程为一.八（为参数）.j=l+sin3⑵当直线斜率不存在时，直线方程为此时圆心到直线距离为〉儿舍去；当直线斜率存在时，x=4,2设切线为）即日一一北+4+1,y1=0,攵|22—1—4+1|/~―z故1—不善一l=h即|2川=后7,4^2=1+A2,解得女=土雪.故直线方程为=乎（工-）或=一半（）4+1%—4+

1.乎或+1psin3=芈+

1.psin0=—即Y=Qsin故两条切线的极坐标方程为在平面直角坐标系xOy中,直线I的参数方程为，Q为参数），以为极【教师备选】+•=2-psin点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为〃=x C4cos

0.⑴求曲线的直角坐标方程及直线/的普通方程；C⑵将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的再将所得到的曲线向左平移个单位长度,C11得到曲线求曲线上的点到直线/的距离的最小值.G,G解

（1）曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x9即（）产x—22+

4.直线/的普通方程为小X—y+2=

0.将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的,,2得2x—22+a=4,即%—亍=12+1,再将所得曲线向左平移个单位长度，1得曲线Clx2+,^=l,x=cos a则曲线的参数方程为.八为参数.G j=2sin0设曲线上任一点尸则点到直线/的距离G cos2sin3,P夕一小||cos2sin8+24也小2其中满足9sinp=—59cos p一5，小一小|2sin0+0|由三角函数知，当时，取最小值火所以点到直线/的距离的最小值为手.sin8+o=l dP思维升华消去方程中的参数一般有三种方法利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.1利用三角恒等式消去参数.2⑶根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.跟踪训练已知直线的参数方程为一为参数，圆的参数方程为1I QC[y=-4t仇x=4cos…「为参数.0,=4sin0⑴求直线/和圆的普通方程；C⑵若直线/与圆C有公共点，求实数的取值范围.解⑴直线/的普通方程为2x—y—2〃=0,圆C的普通方程为x2+y2=i

6.⑵因为直线/与圆有公共点，故圆的圆心到直线/的距离C d=^@W4,解得一小小.2WQW2即实数的取值范围为小，小].[—22题型二参数方程的应用[x=2cos9,例在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线/的参数方2xOy C[y=4sin6x=1+rcos a,程为一.（，为参数）.j=2+sin a⑴求和/的直角坐标方程；C⑵若曲线截直线/所得线段的中点坐标为（）求的斜率.C1,2,I[x=2cos仇解

（1）由曲线的参数方程八（为参数），cos6/—2[y=4sin3得jsin所以像+好=1，即务Si22所以曲线的直角坐标方程为5+%=

1.410当时，/的直角坐标方程为当时，/的直角坐标方程为cos aWOy=tan a-x+2—tan a,cosa=0x=l.（）将/的参数方程代入的直角坐标方程，2整理得关于t的方程（1+3cos2a）P+4（2cos a+sin a）L8=

0.

①因为曲线截直线/所得线段的中点（）在内，1,2C所以

①有两个解，设为亥，则力+/2=

0.42cos a+sin a又由

①得力+一2=1+3cos2a故于是直线/的斜率％=2cos a+sin a=0,tan a=-

2.【教师备选】\x~—yT2cos6,（2022・安阳模拟）在平面直角坐标系工），中，曲线的参数方程为＜（为参数）,lj=sin0直线过点（）且倾斜角为I M1,0a.⑴求出直线/的参数方程和曲线的普通方程；C（）若直线/与曲线交于两点且黑慨；=坐，求的值.2A,B,cosa一||/K7A|\1V1D\\fx=[^cos ax2解

（1）曲线的参数方程（为参数），转换为普通方程为、+y2=l；l^=sin0乙x=1+/cos a,直线/过点（）且倾斜角为则参数方程为为参数）.M l,0a,Qy=/sin a丫x—1+cos a29（）把直线/的参数方程,为参数）代入、+2y2=i.j=/sina乙得到（1+sin2a）/2+2，cos a—1=0,.2cos a所以％+一不而釜,2=，也=一[+口和攵分别为和对应的参数），2/A8外贝亥异号，如一|亥||=|九+刈20,hi,l|MA|-|MB||=|,\MA\-\MB\_y[3由-，32cos ar-“f，口整理付|人+亥|==小访加—i+sm2a2|=]+$2解得半.cos a=±思维升华

（1）解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决.（）X=X+Clt,（）对于形如彳（为参数），当尻时，应先化为标准形式后才能利用的几2r M+wi ry=yo±bt何意义解题.]一/,x=-跟踪训练在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为,（为参数）.以2xOy IZ[y=2+/坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为直线/与x p2+/sin2e=2,曲线交于两点.A,3⑴求直线/的普通方程和曲线的直角坐标方程；C（）已知点尸的极坐标为停野，求解尸引的值.2H解

（1）/的普通方程为工+—1=

0.Vp2+p2sin2^=2,2方法一在直线/上,直线I的参数方程为/为参数,代入曲线的直角坐标方程得@一乎/乎/C+2a+-2=0,即务曲设两点对应的参数分别为/则2+-1=0,A,B1,/2,\y=i—x9方法二消去y,得3X2—4x=0,由1+2y2=2,I朋|・|PB|=V-W2|=『Z2|=|解得％41=0,12=

1.V25A/25V\PA\-\PB\=2X66,不妨设俘,-£,AQ1,3题型三极坐标方程和参数方程的综合应用又例.全国甲卷在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标32021xOy x1正系，曲线的极坐标方程为〃吸C=2cos22，将的极坐标方程化为直角坐标方程；1C5m\PB\=⑵设点的直角坐标为为上的动点，点尸满足於=陋病，写出的轨迹的参数方程，A1,0,M6P G并判断与是否有公共点.C G解由吸得心仇12=2cosa p2=2cos即x2+y2=2-\/2x,整理得一娘X2+9=

2.设的坐标为2P x,y,则赢因为筋=也嬴,=x—1,y,所以所以，冬一坐因为为上的动点，+1,*J,M劭=2,所以化简得陋-x+32+y2=4,即尸点的轨迹的方程为%+也一Ci32+y2=%化成参数方程为Jx=3+2cos t—y12,「为参数,[j=2sin t圆心—也，G30,n=2,C5，0,r=V2,因为—也一也—也，所以与没有公共点.|3|2Ci【教师备选】2022・郑州模拟在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为〃cose+，=乎，曲线的极坐标方程为〃2l+3sin20=

4.写出直线/和曲线的直角坐标方程；1C”;翳已知点若直线/与曲线交于两点，尸的中点为求241,0,P,M,的值•解因为直线/乎，1pcos0+3=故psin0~1=0,QCOS即直线/的直角坐标方程为工一丁一1=0,因为曲线Cp2l+3sin2^=4,则曲线的直角坐标方程为C f+4V=4,即尸

1.点在直线/上,241,0设直线/的参数方程为（/为参数）,q代入曲线的直角坐标方程得低一53+26=

0.设对应的参数分别为亥,p,m6,2^2niI则川2=—5，介+，2=一小~,思维升华参数方程和极坐标的综合应用涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.跟踪训练3（2022・石嘴山模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为x=1+cos a,,=sina（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，axA G点3在线段4的延长线上且满足|04・|06=8,点3的轨迹为Q.⑴求曲线G，2的极坐标方程；

（2）设点M的极坐标为（2,乎），求面积的最小值.x=l+cosa,（为参数）,a y=sm a解

（1）由曲线Ci的参数方程，消去参数，可得普通方程为（）］即又由x—l2+y2=,f+y—21=0,x=pcos仇y=sin仇代入可得曲线的极坐标方程为仇Ci p=2cos设点8的极坐标为点4点的极坐标为So,%），则［08|=,|Q4|=〃o,o=2cos8o,0=00,因为|射4|.|0=8,所以,〃（）=8,Q即］仇即==2cos cos4,。