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一元二次方程23课标|导|航|◎理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.◎会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.◎了解一元二次方程根与系数的关系（选学）.◎能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.◎能利用一元二次方程解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.本节考点的考查以选择题、填空题和解答题的形式出现，难度中等.其中一元二次方程根的判别式判别方程根的情况和确定字母系数的取值范围,考题以选择题、填空题为主，而一元二次方程的解法和列一元二次方程解决实际问题多以解答题为主.命题点解一元二次方程［年考］1103（•安徽第题）解方程）
1.20191512=
4.解:直接开平方，得即X—1=±2,XI=3^2=—
1.（•安徽第题）解方程:一一
2.2016162X=
4.解:配方，得X2—2x+l=5,整理，得（%—尸=直接开平方，得即15,X—1=±V5,xl=1+V5,x2=1—V
5.（•安徽第题）解方程比尸行
3.2012162—
224.解:原方程X2—2x=2x+l化为X2—4x=l,配方，得X2—4x+4=l+4,整理，得（工-）22=5,直接开平方，得逐,即霓X-2=±1=2+V5,%2=2—V
5.命题点一元二次方程根的判别式［年考］2102（•安徽第题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）
4.20205AA.x2+l=2x B.X2+1=0C.X2—2x=3D.x2—2x=0【解析】因为炉+仁可化为工工+（）所以方程*有两个相等的实数根2%2—21=0/=—22—4*k1=0,2+1=2%人项正确.（•安徽第题）若关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则实数a的值为（）
5.20187x xx+l+ax=0AA.-l B.1或或C-22D.-31【解析】原方程整理为）工=（〃）（）d+3+10=+12—4xlx0=a+l元二次方程有两个相等的实数根，得由2,4=0,即3+1）2=0,解得«|=«2=-1改编题关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为上或V-X xx+2a=-36a百_.【解析】原方程可化为好+仆+由题意知/=卜解得心雷或（23=0,442—4*3=4a2—120,1-^
3.命题点一元二次方程的实际应用［年考］3104•安徽第题据国家统计局数据年全年国内生产总值为万亿元，比年增长
6.20198,
201890.
320176.6%.假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破万亿元的年份为100B年年A.2019B.2020年年C.2021D.2022【解析】根据题意年全年国内生产总值为户万亿元年全年国内生产总值为,
201990.3xl+
6.6%
96.3,2020万亿元万亿元，因此国内生产总值首次突破万亿元的年份是年.
90.3xl+
6.6%2Ho
2.
610010020207.2017•安徽第题一种药品原价每盒元,经过两次降价后每盒元.设两次降价的百分率都为巧则满足82516x DA.16l+2x=25B.25l-2x=16C.161+X2=25D.251-X2=16【解析】原价为25元,每次降价的百分率为占两次降价后的价格为16元，所以x满足251-X2=
16.安徽第题我省年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因
8.2015•
620131.4素，快递业务迅猛发展年增速位居全国第一.若年的快递业务量达到亿件，设年与,
201420154.520142015年这两年的年平均增长率为巧则下列方程正确的是C A.
1.4l+x=
4.5B.
1.4l+2x=
4.5C.
1.41+X2=
4.5D.
1.41+X+
1.41+X2=
4.5【解析】由题可知年的业务量为亿件年的业务量为幻亿件，所以可列方程为2014L4l+x,
20151.41+
21.41+X2=
4.
5.微念，含有一个未知数,未知数的最高次数是
①的金式方程一般形式加/十人厂匕-Oa Ac是常数,且
②0二次《系数不为
0.F1度互的将方程配成行十■人的形式配方时通常先把二次项系数化为1方程•两边近上一次项系数一半的平方一元二次方程及解法《《2公囚挈一元二次方程十3十WO.且
1.》0的求根公式―士二解法|是上■
③〜3区或组侬，方程的右边是，左边院因式分解旺险，出加/.或5/十”.〃「20的方程可通过开平方I运算求解根的判别式，△■
④一元二户一一42~时一元二次方程有
⑤两斤关系上」_的实数根”3•一元二次方程次方程《当〃一IWO时一元二次方程有处」_的实数根•根的判别式I当〃一4w0时一元二次//fVT；实数根•i需;具上I-4ui0«一七二次方包有农色楂.•一元二次方程根与系数的关系若看占是一元二次方程/十6HLX寸0的两根•则力十打・--a步粟审、设、列、解、验、答一元二次方程的实际应用格见问越，浦氏率同甩、钠俾问逋、面枳问图等•考点解一元二次方程1典例•南京解方程:炉一120202x—3=
0.【解析】通过观察方程的特点，本题可采用因式分解法、公式法或配方法求解.【答案】解法（因式分1解法）:原方程可以变形为（）（）或解得x—3x+l=0,Ax-3=0x+l=0,Xl=3^2=—
1.解法（公式法）:乃=—，二（一户-（）22,C=-3,424x1x—3=16,•_-（-2）±V16••X-~~~«2x1•\X1=3,X2=-
1.解法3（配方法）:原方程化为x2-2x=3,配方，得X2—2x+1=3+13P（x—1）2=4,Ax—1=±2,AX1=3,X2=-
1.归纳总结解一元二次方程时要根据方程的特点选用适当的方法,一般地，用因式分解法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，且方程的左边的二次三项式能分解因式.公式法和配方法能解所有的一元二次方程，用公式法解一元二次方程时应将方程化为一般形式;用配方法解一元二次方程时，应先将二次项系数化为并1,把常数项移到方程右边,以方便配方.提分（•浙江丽水）用配方法解方程好+时，配方结果正确的是（）120214%+1=0DA.（x—2）2=5B.（x_2）2=3C.（x+2）2=5D.（x+2）2=3考点一元二次方程根的判别式2典例2（2021•云南）若一元二次方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是（）A.al B.al且存且存CoW10D.al0【解析】■:一元二次方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实数根,4〃c=22—4a0,解得a\^.al且存
0.【答案】D易错提醒本题容易出现的错误是,忽略一元二次方程中二次项的系数不等于这个条件.0提分2（2021・山东荷泽）关于x的方程仅-1）27+（24+
1.+1=0有实数根，则k的取值范围是（D）且写］且际A#/1B.A2144C.k-泉D#44【解析】当左一1对,即厚1时，此方程为一元二次方程.•・•关于X的方程/一1丹2+3+1比+1=0有实数根,（々+）乂（々-）乂一解得左；当九一即二时,方程为工+•••/=212—4121=124320,2;1=0,4131=0,显然有解,综上所述水的取值范围是九4提分32021•北京已知关于x的一元二次方程X2—4/nx+3/n2=
0.⑴求证:该方程总有两个实数根；⑵若加＞且该方程的两个实数根的差为求机的值.0,2,解乃=—=加,；/=〃乂卜二〃，.;无论m取何值时即4/%3♦2—4c=—4m2—43-4,4/20,420,•••该方程总有两个实数根.二”一雨工+即切尸帆＞且该方程的两个实数根的差为；•243-=0,X—M X—30,Axi=/n,X2=3/n.V0,2,3m—w=2,A/w=l.考点一元二次方程的实际应用3典例•山东荷泽端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对32021话小王:该水果的进价是每千克元；22小李:当销售价为每千克元时，每天可售出千克;若每千克降低元,每天的销售量将增加千克.381603120根据他们的对话,解决下面所给的问题:超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求3640这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】设这种水果的销售价每千克降低元.x由题意，得工一38—22160+|x120=3640,整理得X2-12/27=0,解得x=3或x=
9.;要尽可能让顾客得到实惠，••售价为元.38—9=29答:这种水果的销售价应为每千克元.29提分•湖北襄阳随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是42021元，现在生产一吨药的成本是元.设生产成本的年平均下降率为占下面所列方程正确的是50004050C A.50001+X2=4050B.40501+X2=5000C.5000l-x2=4050D.4050l-x2=5000提分如图，有一块宽为的矩形荒地,某公园计划将其分为三部分，分别种植不同的植物.516m若已知A.B地块为正方形，地块的面积电建型里也试求该矩形荒地的长.八C16m AB解:设B地块的边长为x m.根据题意，得X2—X16—x=40,解得不符合题意，舍去，xi=10/2=—2A10+16=26m.答:该矩形荒地的长为26m.。
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