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等差数列【考试要求】L理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前〃项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.【知识梳理】
1.等差数列的有关概念⑴等差数列的定义一般地，如果一个数列从第1项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母且表示，定义表达式为经一斯—i=d常数522,A£N*.⑵等差中项若三个数曲A,b成等差数列，则A叫做与b的等差中项，且有A=审.
2.等差数列的有关公式1通项公式a=1式.n2前n项和公式Sn=na1+〃『或5”=地空®.
3.等差数列的常用性质1通项公式的推广a=a+n—tndn,n m2若｛斯｝为等差数列，.且攵+/=〃z+〃k,I,贝！J=〃〃+〃〃・3若｛〃〃｝是等差数列，公差为d,则以，四+相，以+2，…攵，是公差为久之的等差数歹U.4数歹U Sm，SzLSm，S3〃「S2〃7，…也是等差数列.5S2〃T=2〃-1斯.6等差数列｛小｝的前〃项和为S”为等差数列.【常用结论】
1.已知数列｛斯｝的通项公式是斯=〃力+以其中p,夕为常数,则数列｛斯｝一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列｛斯｝中，tzi0,d3则存在最大值;若00,d0,则5〃存在最小值.
3.等差数列｛斯｝的单调性当d〉0时，｛斯｝是递增数列；当d0时，｛斯｝是递减数列；当d=0时，｛〃〃｝是常数列.
4.数列｛斯｝是等差数列0S〃=422+8«4,B为常数.这里公差d=2A【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）
（1）等差数列｛〃｝的单调性是由公差d决定的.（V）
（2）若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（X）⑶数列｛斯｝为等差数列的充要条件是对任意都有2斯+]=斯+斯+
2.（V）⑷已知数列｛斯｝的通项公式是斯=p〃+式其中p,q为常数），则数列｛卬｝一定是等差数列.（V）【教材改编题】
1.已知等差数列｛斯｝中,3,前5项和S5=10，则数列｛〃〃｝的公差为（）6/2=A.1B.—41C.-2D.-4答案A解析设等差数列｛斯｝的公差为心755=5^3=10,=d=2,•・〃32+又3,d——
1.•.•42=
2.在等差数列｛斯｝中，若〃++450,则恁=.答案90345+/+47=
3.已知｛斯｝是等差数列，其前〃项和为S〃，若的=2,且S6=30,则89=.ci\+2d=2,2解析由已知可得，1+5d=10,答案126〃i=-10,解叱=
6.,9X8,.Sg=9的+—^~d=-90+36X6=
126.题型一等差数列基本量的运算例1
（1）（2022•包头模拟）已知等差数列｛诙｝中,S〃为其前〃项和，义=24,S=99,则等于97（）A.13B.14C.15D.16§4=24,解析％=99,4〃i+61=24,9m+36d=99,答案C=3,解得彳则41+6d=
15.47=d=
2.记〃为等差数列｛斯｝的前〃项和.已知则下列结论正确的有.填序号2S S4=0,45=5,
①2+03=°;
②斯=2〃-5；
③S尸愉一4；
④d=-
2.答案
①②③梦桁$—4X41+44解析04—2一0，「•41+4=2+3=0,
①正确；5=1+44=5,*+3d=0,**4=1+〃i+d=2,联立***得3,41=-/.a=-3+〃-1X2=2〃-5,n
②正确，
④错误；S=-3九+52=〃2—4〃，
③正确.n【教师备选】
1.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”若“3=5,§4=24,则他等于A.-5B.-7C.-9D.-11答案B解析・・・的=5,S4=24,•・a I+2d=5,4〃i+6d=24,解得3=9,d=—2,••cifi112〃，・・・9=11-2X9=-
7.27答案已知｛斯｝是公差不为零的等差数列，且则…+的=
2.0+00=9,解析=9d=8d,即d.+〃i+1+1=—.9X8_...々+他+…+d=nd.i9=59=9〃]+~2~0+42+…+9278,思维升华等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及
（1）五个量〃，d,S〃,知道其中三个就能求出另外两个（简0,称“知三求二”）.⑵确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项和公差d.0跟踪训练记为等差数列｛斯｝的前〃项和.若则下列选项正确的是（）1
（1）S,6+〃6=24,$6=48,A.ci\—•ct\2B.=:2d=d=C.3D.-3答案A|+6=27d=24,解析因为］+§6=615d=48,1=.2,所以一d=
4.・全国记〃为等差数列｛斯｝的前〃项和.若怎+则
（2）（2020n）S0=—2,6=2,Sio=.答案25解析设等差数列｛处｝的公差为义则2+〃6=21+6d=
2.因为所以1=-2,d=l.所以与义Sio=lOX（—2）+21=
25.题型二等差数列的判定与证明例•全国甲卷）已知数列｛斯｝的各项均为正数，记〃为｛斯｝的前〃项和，从下面
①②③2（2021S中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列｛%｝是等差数列；
②数歹是等差数列；即（1｛a｝
③④=3注若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解
①③=
②.已知｛〃｝是等差数列，a=3ai.2设数列｛斯｝的公差为d,则|+得2=31=4,d=2〃],所以S=na^d=a\.nJ因为数列｛〃〃｝的各项均为正数，所以、因1=小/£1,所以、S+（〃+常数）,所以数列｛小力是等差数列.n1—*\/^=
①②n
③.已知｛斯｝是等差数列，｛曲｝是等差数列.设数列｛斯｝的公差为d,贝I S=na\+^2^d=^n2d-\-^a\~2^n-n因为数列｛低｝是等差数列，所以数列｛低｝的通项公式是关于〃的一次函数，则⑶一苧=0,即d=2a\所以〃92=〃1+1=
31.
②③二
①.已知数列｛低｝是等差数列，30,2=所以+S1=〃1,S2=〃l2=4〃
1.设数列｛低｝的公差为d,d3贝人同一本=也加一西=d,得心，0=所以小Wpi-\~n—ld=nd,所以S〃=〃/，2所以a=S—S-\=n2d2—n—12d2=2d2n—2,是关于n的一次函数，且心满足上式，所以n nn1=数列｛斯｝是等差数列.【高考改编】3Q fS1已知数列｛斯｝中，〃=l,前〃项和为S〃,且满足喝5+lS〃一齐一手=0,证明数列厅，是等i+1—差数列，并求｛斯｝的通项公式.33解因为nS+n+1S——2^=0,n1—n3S〃+Sn Sil_3所以a\一=》7所以〃S〃+i—〃+15〃=/〃〃+1,所以数列引是以为首项，，为公差的等差数列,i_31n~2n~T当〃22时，斯一S〃-Sn-1=3n-2,当〃=1时，上式也成立,所以a=3n—
2.n【教师备选】2022・烟台模拟已知在数列｛〃〃｝中，0=1,斯=2斯—i+l〃N2,〃金N*,记与=log2〃〃+
1.⑴判断｛勾｝是否为等差数列，并说明理由；⑵求数列｛斯｝的通项公式.解1｛儿｝是等差数列，理由如下Zi=log^i+l=log2=1,22当〃N2时，bn—b-\=log26f,+1—log26f-1+1n z/2a~\~12〃—+2n=10§2^+1=1082^-i+l=b•・・｛为｝是以1为首项，1为公差的等差数列.2由⑴知，为=1+〃-1义1=小・••斯+1=2%=2〃，.a=T-\.n思维升华判断数列｛斯｝是等差数列的常用方法1定义法对任意〃£N“，斯+】一〃〃是同一^数.2等差中项法对任意〃22,〃£N*,满足2斯=斯+i+斯-
1.3通项公式法对任意〃金N’,都满足斯=p〃+^S，q为常数.4前〃项和公式法对任意〃£N*,都满足Si=4+珈A,B为常数.跟踪训练2已知数列｛斯｝满足1,且na++1a=2n2+2n.0=n1—n1求2，3；2证明数歹《手｝是等差数列，并求｛斯｝的通项公式.解1由题意可得〃2—2〃i=4,则2=2%+4,又的=1,所以〃2=
6.由2俏一3a12,得23=12+32=2,2由已知得〃〃+1所以6/3=
15.艮喘谭=2,所以数列｛詈｝是首项为早=1,公差为d=2的等差数列,则与=1+2〃-1=2〃-1,所以斯=2〃2—九题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例31已知数歹｛斯｝满足2斯=斯-斯+22,6=12,的+〃5=9,则的+等于U1+1〃〃2+〃4+〃〃1+44A.6B.7C.8D.9答案B解析因为2a=斯-n1+1,所以｛如｝是等差数列，由等差数列性质可得〃++12,246=34=a\+43+05=343=9,所以6+4=3+4=
7.22022•崇左模拟已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且〃恁+150,则民等于3+4+5+47=A.225B.250C.270D.300答案C解析等差数列｛斯｝的前〃项和为s〃，且150,43+04+05+06+47=.•・++++5150,34567=5=解得5=30,S9=D〃I+CI9=9恁=
270.命题点2等差数列前〃项和的性质例41已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，若Sio=lO,$20=60,则等于S40A.110B.150C.210D.280答案D解析因为等差数列｛斯｝的前〃项和为s〃，所以也成等差数列.S10,S20—S10,S30—S20,S40—S30故—S30—S2O+S1O=2S2S10,所以S30=
150.又因为S20—SI0+S40—530=2030—520,所以
280.840=⑵等差数歹间的前〃项和分别为S,若对任意正整数〃都有则反+Vr的值为___________.十匕/779答案1角刀上二501I5_411+〃5_2a8_48用牛祈儿+加厉+/—2b8=酝=72X15—
129.〃8-2X87S15••以==元=3X15-2=方X8-1延伸探究将本例⑵部分条件改为若兽兽=,贝伊=_______________十1946/答案I副拓2怒5-2+〃8-5用牛所儿+氏=赤=7=7951+
9.S9_
2..7Q9i+929怒5-5一酝F=7・【教师备选】
1.若等差数列｛斯｝的前15项和315=30,则2a5—46—访O+〃14等于A.2B.3c.4D.5答案A解析v515=30,^ai+215=30,J「•41+©5=4,・•28=4,・•〃8=
2.•\2a5一〃々++6—〃1+〃14=〃4+6-〃6—aio+〃14=〃4-〃114=〃108-〃10=〃8=
2.
2.已知S〃是等差数列｛斯｝的前〃项和，若|=一2020,舞^一舞女=6,则等于乙1/S2023乙1/乙\j1A.2023B.-2023C.4046D.-4046答案c解析:榭为等差数列，设公差为力，1n ls202_S214，=J=1则20202014—64-6,.・d—1,首项为¥=—2020,・•・=-2020+2023-1X1=2,2023X2=
4046.，§2023=思维升华1项的性质:在等差数列｛〃〃｝中，若m+n=p+q｛m,n,p,g£N*,则即+斯=Clp+lq.2和的性质在等差数列｛斯｝中，S〃为其前〃项和，则Yl｛a+斯+
①S2〃=1+6/2/=…=n
1.=2〃-1斯.
②S2〃-1
③依次上项和成等差数列，即SA,，Sk—Sk,834—82匕…成等差数列.跟踪训练3⑴（2021•北京）｛知｝和｛为｝是两个等差数列，其中京1WZW5）为常值，若0=288,〃5=96,/i=192,则必等于（）A.64B.128C.256D.512答案Bashy96X192则=645=ci\
288.—+192+645因此,=
128.~~2~~3=——=解析由已知条件可得胃=胃,
（2）（2022・吕梁模拟）已知S〃为等差数列｛斯｝的前〃项和，满足俏=3〃30—1,则数1，42=列的前10项和为（）B.55D.651+解析设等差数列｛斯｝的公差为力则+d=3〃i—1,答案C所以Qi=l,d=1,S/1+1n所以n~2。
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