2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第6章 §6.5　数列求和

【考试要求】

1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式2掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.佚口识梳理】数列求和的几种常用方法

1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.⑴等差数列的前〃项和公式孔1+斯nn-y3〃2irci\I2d.⑵等比数列的前〃项和公式YICL\9q=1,Sn=]a\—a qn-；=~；,户

1.11—q l-q

2.分组求和法与并项求和法1若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.2形如斯=—1〃次〃类型，常采用两项合并求解.

3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前〃项和即可用此法来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法⑴把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.⑵常见的裂项技巧111n例32022・晋中模拟设｛斯｝是各项都为正数的单调递增数列，已知m=4,且斯满足关系式:1+斯=4+a,i+\a,〃£N*.H1求数列｛斯｝的通项公式；2若打=-彳，求数列｛与｝的前〃项和S〃.解1因为斯+1+斯=4+2\/〃+1斯,〃£N*,所以1+—2ya〃+\cin—4,即日斯+1—返2=4,又｛斯｝是各项为正数的单调递增数列，所以，^=2,又或1=2,所以｛诟｝是首项为2,公差为2的等差数歹L所以，Z=2+2〃-1=2〃，所以斯=4*.⑵“a—14〃2—12n—12〃+1nr教师备选」设数列｛斯｝的前〃项和为S，且25〃=3即一

1.⑴求｛斯｝的通项公式；3〃332若=//一亦，求伯〃｝的前〃项和乙，证明〃+1斯+1十1x4⑴解因为2S〃=3斯一1,所以25I=22I=3^I—1,即0=

1.当〃22时，2sLi=3斯一1一1,则2S—2sLi=2a=3a—3a-\,n n n n整理得巫=3,〃—i则数列｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列，故〃〃=1义3〃「=3〃」.3〃

（2）证明由

（1）得b=（3〃-1+］）（3〃+1）nl^-iT+7l+l5T+7-^+所以3所以〃＜不又因为7；为递增数列，333所以〃，丁尸不一w=R，33所以gWT；思维升华利用裂项相消法求和的注意事项（1只氐消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.24号通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如若｛斯｝是等差数列，则一^=［丁一二,斯〃+1如+1/斯斯+224斯斯+21跟踪训练32022•河北衡水中学模拟已知数列｛斯｝满足0=4,且当时,，〃-1如=〃3〃一1+2〃-

2.⑴求证数列倒是等差数列；Q|12记为=号厂，求数列｛瓦｝的前〃项和S〃.⑴证明当〃22时，n—1｝a=〃斯-1+2〃-2,n将上式两边都除以〃〃一1,/日斯斯-1+2〃-2所以数歹“看是以岸=4为首项，2为公差的等差数列.2解由⑴得中=4+2〃-1=2〃+2,即a=2nn-\-1,n.也.2〃+11「_L__!__所以瓦一居一山2笠+12」,所以*=11—£+-/+…+_1_]—H2+2/I-4_几+12_—4〃+12,课时精练

1.已知在等差数列｛斯｝中，S〃为其前〃项和，且43=5,S7=

49.⑴求数列｛斯｝的通项公式；2若为=2%+斯，数列｛为｝的前〃项和为T〃，且石21000,求〃的取值范围.解1由等差数列性质知，§7=704=49,则04=7,故公差1=44—々3=7—5=2,故斯=〃3+-3d—2n—

1.2由⑴知瓦=22〃一】+2〃一1,T〃=21+1+23+3H——F22〃—1+2〃-1=2,+23+-+22/7-1+l+3H——b2H-12」22〃+[〃1+2〃-1=L4+222e2=k+〃-3-易知7；单调递增，且乙=7071000,〃=27661000,故421000,解得几26,〃£N;

2.2020•全国IH改编设数列｛〃〃｝满足0=3,斯+1=3〃一4九⑴计算猜想｛斯｝的通项公式；42，3，2求数列｛2%〃｝的前n项和s〃.解1由题意可得tZ2=3tzi—4=9—4=5,3=32-8=15-8=7,由数列｛斯｝的前三项可猜想数列｛斯｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即斯=2〃+L2由1可知,斯・2=2〃+1・2〃,S〃=3义2+5X22+7X2+…+2〃-1・2厂1+2〃+1・2〃，

①2S^=3X22+5X23+7X24H——F2〃一

1.2〃+2〃+

1.2〃+】，

②由

①一

②得，一S〃=6+2X22+23H——F2〃一2〃+l・2〃+i22X1-2Z-1,=6+2X——--2〃+1・2〃+11—2=1—2〃2由一2,即S〃=2〃一

1.2〃+】+

2.

3.2022・合肥模拟已知数列｛斯｝满足0=2,即+1=斯+2〃.⑴求｛斯｝的通项公式；⑵若瓦=10g2斯，〃=在+盒+…+就,求解1由已知得如+i—斯=2〃，当“22时,〃=1+2—〃1+3—〃2+…+〃—斯-121—2〃I=2+=2〃.=2+2+22H——P2〃—i又1=2,也满足上式，故斯=2〃.2由⑴可知,儿=log2〃〃=〃,1111bnb^i nn+1n〃+1n

4.2022・济宁模拟已知数列｛斯｝是正项等比数列，满足俏是24I,3〃2的等差中项,以=

16.1求数列｛斯｝的通项公式；⑵若瓦=-1〃题22〃+1，求数列电｝的前n项和T.n解1设等比数列｛斯｝的公比为g,因为3是2〃1,32的等差中项,所以2〃3=2〃I+3〃2,即20g2=2〃]+3a、q,因为mWO,所以2q2—3q—2=0,解得q=2或q=一因为数列｛斯｝是正项等比数列，所以q=

2.所以4=

2.2方法一分奇偶、并项求和由1可知,2〃+1=22+1,所以b〃=—l・log2〃2〃+l=—1〃・log222#1=—1〃・2〃+1,

①若〃为偶数，乙=-3+5—7+9----------2n—1+2〃+1=13+5+—7+9-|--------—1+2〃+1]=2*5=〃；

②若〃为奇数，当〃23时，T—T-\~^b—H—1—2/1+1=—n—2,n n n当〃=1时，5=—3适合上式，综上得〃为奇数几为偶数,n,或〃=5+1—1〃一1，〃£N.方法二错位相减法由⑴可知,2〃+1=22〃+1,所以〃=一l〃・10g242〃+l=-lMog22w+12=—1〃・2〃+1,〃=—1»3+—12义5+—1/X7H-------F—1〃・2〃+1,所以一〃=—12乂3+—13义5+—14X7+…+—l〃+i2〃+l,所以27；=-3+2[-12+-134-------------卜一1再一一1严2〃+11——1Y21=-3+2X——+—1〃2〃+1=-3+l--ir-,+-ir2n+l=—2+2〃+2—1〃，所以7；=5+1—1〃一1,〃£N*.

5.2022・重庆调研在等差数列｛斯｝中,已知期=12,08=

36.⑴求数列｛斯｝的通项公式斯；2若,求数列｛0〃｝的前〃项和S〃，4在

①为=——，

②儿=一l〃s，

③d=2%・%这三个条件中任选一个补充在第2问中，并1对其求解.ct\+5d=12,解1由题意知[71+17^=36,解得d=2,0=

2.・・・斯=2+〃-1X2=2几2选条件

①.4_12〃2〃+1nn+191____n_则卜5,=1X2+2X3H M+ln~\~1n~\-1,选条件

②.V a=2n瓦=—1〃%=-1〃・2〃,n9，S〃=2+4—6+8----------F—1〃・2〃，当〃为偶数时，S〃=-2+4+—6+8+…—2〃-1+2〃]=5X2=〃；当〃为奇数时，〃一1为偶数，S=n-i—2n=n~\.n.’2,〃为偶数，,・—n—1,〃为奇数.选条件

③.Cl=2/7,b=2,4〃，n n・••瓦,=22〃♦2〃=2〃♦4〃,.*.S=2X4,+4X42+6X43H——F2〃・4〃，

①ZZ45,；=2X42+4X43+6X44H——^2九一1・4〃+2〃・4田，

②①一

②得41—4—3S〃=2X4i+2X42+2X43H——F2X4”—2〃・4〃+1X2—2〃・4〃+】1—48（1一4〃）+1=-———2〃・4〃+i,—34〃）+专4m.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）若数列｛斯｝为等比数列，且公比不等于1,则其前几项和S尸*V）1q⑵当介2时，即一直.（J）

（3）求S〃=a+2/+3a3+…〃时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.（义）⑷求数列长+2〃+3卜勺前n项和可用分组转化法求和.（V）【教材改编题】

1.数列｛〃〃｝的通项公式是斯=（—1）〃（2〃一1）,则该数列的前100项之和为（）A.-200B.-100C.200D.100答案D解析Sioo=（-l+3）+（-5+7）H——1-（-197+199）=2X50=

100.

2.等差数列｛斯｝中，已知公差d=；,且⑶+的+…+99=50,则〃2+44+…+aioo等于（）A.50B.75C.100D.125答案B角窣析z+a4T---卜100=（1+J）+（43+C）+…+（99+4=（1+仍+…+〃99）+50d=50+25=

75.

3.在数列｛%｝中，斯=品不，若｛如｝的前〃项和为瑞H，则项数〃=.答案2022角窣析Cln=z——I1J）n[n~v1n n-r

1.「，1J1,11・•S〃=1-/丁）+…+丁干=1-占_n_2022=^+7=

2023.*.71=

2022.题型一分组求和与并项求和例1（2022・西安质检）已知各项都不相等的等差数列｛斯｝,6/6=6,又Q],42,4成等比数列.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

（2）设bn=2%+（—1）〃即，求数列｛瓦｝的前2〃项和T2n.解

（1）:｛〃｝为各项都不相等的等差数列，6=6,且0,2,〃4成等比数列.6=1+5d=6,.*A伍1+或2=〃]（〃|+32，0,，数列｛斯｝的通项公式斯=1+〃-lx\=n.2由1知，乩=2〃+—1，，记数列｛勿｝的前2〃项和为72〃,则^=21+22+-+22,+-1+2-3+4----------------\-2n.记A=21+22H---F22,,B=—1+2—3+4-------1~2〃,21—22〃1-2B=—1+2+—3+4H----F]—2〃-1+2〃]=兀故数列｛e｝的前2〃项和〃一7^=A+5=22〃+I+

2.延伸探究在本例2中，如何求数列｛b｝的前〃项和〃解由本例2知瓦=2〃+—1〃几当〃为偶数时，〃=⑵+2T——卜2〃+[—1+2—3+4----------〃-1+川2—2〃+i〃-1-2+2=2,z+1+y-2；当〃为奇数时，7｝=21+22+*+2,Z+[—1+2—3+4----------〃-2+〃-1—n]十I,7—1=2#i—2+—5——〃一/22,〃2〃+1+圻2,〃为偶数，所以*2〃十1一5一],〃为奇数.r教师备选，（202新高考全国I）已知公比大于1的等比数列｛斯｝满足他+4=20,6=

8.

（1）求｛斯｝的通项公式；

（2）记篇为｛诙｝在区间（0,加]（m£N*）中的项的个数,求数列｛篇｝的前100项和Sioo.解

（1）由于数列｛斯｝是公比大于1的等比数列，设首项为外，公比为夕，Qi9+ai/=20,依题意有；oaq=8,〃i=32,

一、0—2,解得11（舍）或，q=]修=2,所以｛斯｝的通项公式为斯=2〃，〃£N*.

（2）由于21=2,22=4,23=8,24=15=,623226=64,2』128,所以历对应的区间为（0,1],则历=0;历，加对应的区间分别为（0,2],（0,3],则2=3=1,即有2个1；d,Z5,〃6,加对应的区间分别为（（（（0,4],0,5],0,6],0,7],则/4=5=6=岳=2,即有22个2；外，仇），…，55对应的区间分别为（0,8],（0,9],…，（0,15],则仇=%=・・・=5=3,即有23个3；bm…,加1对应的区间分别为（0/6],（0,17],…，（0,31],则力16=7=…=弧=4,即有24个4；历2,%3，・・・，63对应的区间分别为032],（0,33],…，（0,63],则人32=b33=・・・=匕63=5,即有25个5；生4,665，・・・，加00对应的区间分别为（0,64],（0,65],…，（0,100],则Z64=Z65=・・=6100=6,即有37个

6.所以Sioo=ix2+2X22+3X23+4X24+5X25+6X37=

480.思维升华

（1）若数列｛金｝的通项公式为c=a±b.且｛斯｝,｛〃｝为等差或等比数列，可n nn采用分组求和法求数列｛金｝的前〃项和.斯，〃为奇数，

（2）若数列｛金｝的通项公式为金=,幺加儿其中数列｛斯｝,｛儿｝是等比数列或等差数列I,力〃,〃为偶数，可采用分组求和法求｛金｝的前n项和.跟踪训练1（2022・重庆质检）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为5〃，怒=9,S5=

25.⑴求数列｛斯｝的通项公式及S;

（2）设小=（一S，求数列也｝的前n项和T.n解

（1）设数列｛〃〃｝的公差为4由Ss=5〃3=25得〃3=1+2d=5,又5=9=1+44,所以d=2,〃i=l,匕j、]〃（1+2加—1）9所以a=2n—1,S=~--------5------=川・nn

（2）结合⑴知儿=（一1）〃层，当〃为偶数时，=31+历）+（/3+84）+（人5+氏）H F（b-\+瓦）n=（-l2+22）+（-32+42）+（-52+62）+-+[-（H-l）2+n2]=2—12+1+4—34+3+6-56+54-------------F[n—n—l][n+n—1]=1+2+3H-----\-n=5•当〃为奇数时，〃一1为偶数，〃=*+—1〃疗、/—1/2〃几+1=一-2_-综上可知，T〃=------2-------na例212分2021・全国乙卷设｛斯｝是首项为1的等比数列，数列｛为｝满足b=n•已知fl题型二错位相减法求和0,3做93成等差数列.⑴求｛斯｝和｛父｝的通项公式；［切入点设基本量q］2记S〃和7；分别为｛斯｝和｛/力｝的前〃项和.证明r惠［关键点b〃=n-

2020.全国I设｛斯｝是公比不为1的等比数列，0为42,3的等差中项.1求｛〃〃｝的公比;2若的=1,求数列｛〃斯｝的前〃项和.解⑴设｛〃〃｝的公比为夕,为的的等差中项,2,•・2勾=Q2+a3=4iq+〃iq2,sWO,.*•T~\~q-2=0,2设｛加局的前〃项和为工,0=1,即=—2厂IS=1X1+2X-2+3X-22H——卜心2尸,W〃一—2S=1X—2+2X—2+3X—2/+…+〃-

1.-2E+2〃，

②1—―2〃；:

①一

②得，3S〃=l+—2+—22+・・・+—2G——2〃=一〃一2〃1—1+3〃一2〃=3，.’1一1+3〃—2〃・・S=g,〃6N.n思维升华1如果数列｛斯｝是等差数列，｛为｝是等比数列，求数列｛斯力〃｝的前〃项和时，常采用错位相减法.⑵错位相减法求和时，应注意

①在写出“SJ与的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“s〃一的表达式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比4是否等于1,如果4=1,应用公式S〃=M

1.且4s〃+i=3S〃一9£N.跟踪训练

22021.浙江已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，0=1求数列｛斯｝的通项公式；2设数列｛勿｝满足3〃+〃-4斯=0〃£N记｛e｝的前〃项和为

4.若7〃W劝〃，对任意恒成立，求实数2的取值范围.解⑴因为4S〃+i=3S「9,所以当〃22时，4S〃=3S〃—1—9,两式相减可得4*=3斯，即誓解得“2=一行，9-4©」所以一所以詈=（•所以数列｛斯｝是首项为一/公比为土的等比数列,2因为3瓦十九一4

④=0,所以0〃=〃—4X©}.所以〃=—3义92义你2_1义佟^义勖+…+⑺—与义凯

①①一

②得乱——3义江图2+0+.且〃・・〃〃

②,7=—3}2_2G3_IXG4+OG5+.+_5XC+_4G+I.9露1一凯1-3=~4+--------------3-----_（L4）XR〃1-4=_“确叫所以=-4〃0〃+

1.因为T^b对任意〃£N*恒成立，nn所以一4〃X O（n—4）X〃］恒成立，即一3〃WA（〃一4）恒成立,—3〃12当麻4时，左右=—3—口，此时丸W1；当〃=4时，一12W0恒成立，—3/212当〃4时‘注口=一3一有,此时扛一

3.所以一3WAWL题型三裂项相消法求和-9-4-X。