2022年数学百色专用一轮复习教学案-教材知识特训8几何最值模型

教材知识特训八几何最值模型特训1垂线段最短模型模型点拨直线/外有一定点4点8是直线/上的一个动点，在直线/上求一点8使得A3最小.当/时，线段A3即为所求.【例1】如图，△43C为等边三角形，边长为6,ADLBC,垂足为点，点£和点尸分别是线段AO和45上的两个动点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为3也.【解析】过点作尸于点F,交于点E,则此时CE+Eb的值最小，且最小值为C/的长，根据等边三角形的性质得到BF=^AB,再根据勾股定理即可求得结果.【例2】如图，在ABCQ中，AD=7,AB=25NB=

60.点E是边3上任意一点，沿AE剪开，将”的沿3C方向平移到△QC尸的位置，得到四边形AEFD则四边形AE/7）周长的最小值为

20.【解析】当AEJ_8C时，四边形AEFD的周长最小.VAE1BC,AB=2小,ZB=60°,AAE=3,沿方向平移到△OC/的位置，.EF=BC=AZ）=

7.再根据周长公式即可求解.特训2

（一）“两定一动”求距离和最小同侧B模型点拨

（1）如图1,在定直线/上找一个动点P,使动点P到直线/外两个定点A与3的距离之和最小，即％+PB最小.连接A与直线/交于点即可；

（2）如图2,在定直线/上找一个动点P,使动点P到直线/外两个定点A与3的距离之和最小，即a+PB最小.作定点8关于定直线/的对称点C,连接AC,与直线/交于点即可.【例3】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题诗中将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点5宿营，若点A,B到水平直线/（/表示小河）的距离分别是2,1,A,8两点之间水平距离是4,则AP+尸5的最小值为

5.A【解析】首先作点A关于直线/的对称点4,连接48交直线/于点P,此时AP+P8最小；然后可得AP+PB的最小值为45的长.【例4】（2021•毕节中考）如图，在菱形ABC中，BC=2,ZC=120°,为A5的中点，P为对角线上的任意一点，则AP+尸的最小值为则PA+PQ=PC+PQCQ.通过解【解析】连接PC,AC,RtZkCQB求出CQ,即可得出答案.

（二）“两定一动”求距离差最大同侧异侧图图12模型点拨

（1）如图1,在直线/上取一点P,使得|必一PB|最大.连接AB并与直线/交于点尸即可；

（2）如图2,在直线/上取一点P,使得%—P用最大.作点5关于直线的对称点夕，连接A9并与直线/交于点P即可.【解析】作点A关于CQ的对称点4,连接43并延长,交CD于P,则点P就是使一尸3|的值最大的点,［例5］如图，已知△45C为等腰直角三角形，AC=BC=4,/BCD=15，点、P为CO上的动点，则|%—此时

（三）“一定两动”求距离和最小模型点拨点A在角的内部，在角的两边上分别取两个点N使得△AMN的周长最小.分别作点A关于角两边的对称点4,A”,连接4A,并与角的两边分别交于点N即可.【例6】（2021•百色模拟）如图，已知正比例函数）=依（Z0）的图象与x轴相交所成的锐角为70，定点A的坐标为（0,4）,P为y轴上的一个动点，M,N为函数P=乙

（40）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（C）A.2B.4sin40°C.2y[3【解析】作y轴关于直线），=丘对称的直线OC,直线y=丘关于y轴对称的直线点4是点A关于直线）=日的对称点，作4EJ_OD,垂足为点E,交y轴于点P,交直线y=日于A/,作尸N_L直线=息，垂足为点N,此时最小（垂线段最短），在RtAVEO中利用勾股定理即可得出结果.

（四）图形绕定点旋转求最值模型点拨将绕点C旋转，得到夕C,点E是上的点，点尸为A5上的点，ZkABC旋转过程中，点反对应点为广，可求线段石尸长度的最大值为C尸+CE,最小值为|尸一石|.【例7】如图，在RtA48C中，NACB=90，将aABC绕顶点逆时针旋转得到△A5C,点M是3C的中点,点P是A0的中点，连接PM,若BC=2,ZBAC=30°则线段PM的最大值是

3.9【解析】连接PC.首先根据直角三角形斜边上中线的性质求出PC=2,然后根据三角形的三边关系可得到PMWPC+CM（当点P,C,M在同一条直线上时取“=”），故此可得到PM的最大值为PC+CM的值.特训3过圆心的最值模型（点或线段绕定点旋转）模型点拨已知半径为hAO=d,点尸是上一点，点P运动到点3时，AP取得最小值为A3的长;点尸运动到点时，AP取得最大值为AC的长.【例8】（2021,凉山州中考）如图，等边三角形ABC的边长为4,的半径为小，P为A3边上一动点，过点P作C的切线PQ,切点为Q,则P0的最小值为

3.【解析】连接CP,CQ,作C”_LA5于点H,根据等边三角形的性质得到A3=C3=4,/BCH=g/ACB=x60°=30°,根据直角三角形的性质得到BH=%B=2,CH=根据勾股定理得到产一CQ2=qcp2—3,推出当点p运动到点”时，CP最小，于是得到结,由切线的性质得到CQLPQ,论.【例9】如图，0M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点P是M上的任意一点，PALPB,且以，PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点对称，则45的最小值为

6.【解析】连接0P.VB41PB,A ZAPB=90°.90A=0B,.AB=20P.若要使AB取得最小值，则0P需取得最小值.连接交M于点尸，当点P位于点P，位置时，0P取得最小值（0P的长），过点M作MQJ_x轴于点则0=3,MQ=

4.A0M=

5.又・..MP=2,.0P=

3.AB=20Pf=

6.温馨提示错完鼠《限时制称存》第56页。