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二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考试要求】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【知识梳理】
1.二元一次不等式（组）表示的平面区域不等式表示区域Ax-\-By-\~CQ不包括边界直线—+为+=0某一侧所有点组成Ax+By+CNO包括边界的平面区域不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2,线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量羽y组成的不等式（组）线性约束条件由x,y的二逖不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式，如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解盘为可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）⑴二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.（V）
（2）不等式Ar+8y+C0表示的平面区域一定在直线Ar+gy+C=O的上方.（X）⑶点3,9），（电”）在直线Ar+8y+C=0同侧的充要条件是（—为|+0（乩2+劭2+00,在异侧的充要条件是（Ar1+By1+0（4x2+By+C）
0.（V）2
（4）目标函数z=〃x+/ySW0）中，z的几何意义是直线ax-\-by—z=Q在y轴上的截距.（X）【教材改编题】
1.某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分，用不等式表示就是（）乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为A.180000元B.216000元C.189000元D.256000元答案B解析设生产产品A为x件，产品5为y件，获利z元.%+yW150,x+yW90,5x+3yW600,目标函数z=2100x+900y,作出可行域，如图中阴影部分含边界所示.将z=2lOOx+900^化为了=—$+端3，77由图象可得，当直线y=一3+就过点M时，在y轴上的截距最大，即z最大.x+y=90,联立,5x+3y=600,得M60J00,・••Zmax=2100X60+900X100=216000元,••・利润最大为216000元.思维升华解线性规划应用题的步骤1转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；2求解——解这个纯数学的线性规划问题；3作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案.跟踪训练3某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为A.2400元B.2560元C.28167E D.4576元答案B解析设甲型车x辆，乙型车y辆，运送这批水果的费用为2元,〃0WxW8,044,则〈24x+30y2180,y£N目标函数z=320x+504y,XW8,作出不等式组—所表示的平面区域，如图所示的阴影部分“£N,y£N,含边界.0WyW4,、24x+30y，180作直线320x+504y=0,并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点8,0时，z取得最小值,即z n=8X320+0X504=2560元.mi课时精练x—2y+220,
1.将不等式组八表示的平面区域记为凡则属于尸的点是x十y0A.1,1B.-1,1C.-1,-1D.1,-I答案c[1^0,解析将点1,1代入方程组得故不在区域F内，[20,—10,将点一1,1代入方程组得故不在区域厂内，0=0,[320,将点一1,—1代入方程组得故在区域厂内,[-20,520,将点1,—1代入方程组得故不在区域厂内.10=0,x—30,
2.2022・合肥质检不等式组x+y20,围成的封闭图形的面积是x—y^0A.12B.6C.9D.15答案c解析作出可行域，如图中阴影部分含边界所示,x，95,x295,A《y2380,B.j y380,、z
45、z245x95,x，95,C.380,D.380,、z
45、z45答案D解析“不低于”即“2”，“高于”即“，“超过”即“”，・・・x295,y380,z
45.x—y+10,表示的区域（阴影部分）是（）
2.不等式组Ix十y-3三0答案D解析将点（0,）代入x-y-\-10不成立，则点（0,0）不在不等式x—y+l〈0所表示的平面区域内，将点（0,0）代入x+y—320不成立，则点（0,0）不在不等式x+y—320所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除A,C；x—y+l0不包括边界，用虚线表示，x+y—320包括边界，用实线表示，故选D.x+y—3W0,
3.设变量x,y满足约束条件yNO,则目标函数z=x+2y的最大值为）20，答案解析根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，当目标函数z=x+2y经过点G，D时，z取最大值为题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域例1⑴（
2022.新乡模拟）不等式组，2x—表示的平面区域的面积为j+120答案3解析画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，x+y=2,x=19联立解得即A（l/），[2x-y=\[y=1,99-22x—y=l,x=0,联立，解得即80,-1,t=—1，x=3,x+y=2,联立，解得即C3,-1,t尸—1，3=7,5AABC=1X|3-0|X|1--1|=
3.x—y+120,⑵已知不等式组2x—y—2W0,表示的平面区域为三角形，则实数m的取值范围为xm、答案一38,解析根据题意，先作出不等式组一表示的平面区域，如图中阴影部分所示，2x—y—2W0y=2x—29由「可得A3,4,[j=x+l,要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需加3,所以加的取值范围为一
3.8,【教师备选】已知点A3,0,8—3,2,若直线ax-y-1=0与线段AB总有公共点，则a的取值范围是A.r-i,n_B.-8,—1]U l，+8C.昌,l]D.-8,—|U[l,+0°答案B解析因为直线ax—y—l=0与线段A3总有公共点，所以点A和点3不同在直线的一侧，所以3〃-0—1—3〃-2—10,解得1或aW—即Q的取值范围是-8,-1]U+
8.思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型1确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状.
（2）根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.跟踪训练1（
2022.西安模拟）若不等式组卜+y22,所表示的平面区域被直线y=kx+2分、3x+yW5成面积相等的两个部分，则实数k的值为（）A.1B.2c.3D.4答案A解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，3（0,5）,因为直线丁=辰+2过定点C（0,2）,所以点在可行域内，要使直线y=kx+2将可行域分成面积相等的两部分，x+y=2,由,3x+y=5,则直线＞=履+2必过线段的中点D.所以AB的中点弓，），113将的坐标代入直线丁=履+2,得彳=亦+2,解得％=
1.题型二求目标函数的最值问题x+120,则z=x—^y的最小值是（）例2（2021•浙江）若实数满足约束条件J x—yWO,、2x+3y—1WO,命题点1求线性目标函数的最值A.-2B.—1C.—y D・白答案B解析作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线y=2x并平移，数形结合可知,当平2x~\-3y—1由=0,x+1=0,32,移后的直线经过点A时z取得最小值.Zmin命题点2求非线性目标函数的最值2x—y+220,例31如果点尸⑴y在平面区域卜一2y+l0,上，则”1的取值范围是j+y-2W0A.—2,—j B.-2,—「cl[「1c]C.—2,§D.lg,2答案A解析作出点Px,y所在的平面区域，如图中阴影部分含边界所示，”!表示动点P与定点2,—1连线的斜率.人乙x-2y+1=0,x=l,解得x+y—2=0,ly=L0+111+于是kQE=1y+11因此一2W—W—右x—232工一0,2若变量x,y满足约束条件x+y—3W0,则x—12+V的最小值为、x20,A.1B.T C~^~D.2答案B解析结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分含边界所示，而X—l2+y2的几何意义是可行域内的点与1,0的距离的平方，2又1,0到直线2x-y=0的距离为一，故%—l2+y2的最小值为义J J命题点3求参数值或取值范围%—2,0,例4已知Q0,x,y满足约束条件x+y—3W0,若z=2x+y的最小值为1,则攵等于jeZx—3，A.3B.5C・D.T L_I答案A解析由不等式组知可行域只能是图中aABC内部阴影部分（含边界）所示，作直线/:2x+y=0,平移直线/,只有当/过点5时，z=2x+y取得最小值，易知3（2,一左）,.4-k=l解得左=
3.9【教师备选】X—120,
1.（2022・六安模拟）已知实数满足不等式组卜一220,则z=2x+y的最大值为（）、尤+,一5W0,A.4B.5C.8D.10答案C解析不等式组表示的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,由z=2x+y,得y=-2x+z,作出直线y=-2x,x=3,由即C3,2,=2,向上平移过点时，z=2x+y取得最大值，所以z—2x+y的最大值为2义3+2=
8.x—y+220,
2.已知实数x,y满足不等式«2x+y—5W0,则2=f+y2的最大值为）21，答案10入-y+220,解析根据约束条件«2x+y—50,画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,z=f+V是指可行域内的动点（x,y）与定点（0,0）之间的距离的平方，由图可知，点P到原点O的距离的平方最大，[%—y+2=0,又因为,八[2x+y—5=0,x=1,即、=3,所以Pl,3,故z=l2+32=
10.max
3.设x,y满足约束条件｛1且z=x+〃y的最小值为7,则=____________[x-yW-1,答案3解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分含边界所示，a—1x-y——1x——2~，解得《「x+y=a,a-v1［尸了,£,x=z无最小值,不满足题意;|z
②当Q0时，由z—x^ray得y=-r+11z要使2最小，则直线y=—%+在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在;Vv C-V]Z
③当a0时，由z=x~\-ay得y=—r+-，由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小，此时，一》一1,即..1a-1,a-\-1cr+2a-1此时z—2+a,2=2=
7.即2+2〃-15=0,解得a=3或=一5舍.思维升华常见的三类目标函数1截距型:形如z=ax-\~by.2距离型:形如z=x~a2+y—b
2.3斜率型形如z=J^.X Clx+W3,则51•为的取值跟踪训练21已知Al,2,点Bx,y的坐标x,y满足＜2x—y—2W0,、x21,范围是________答案[1,5]x+yW3,解析作不等式组2x—y—2W0,的可行域，如图中阴影部分含边界所示.1设z=OA OB,则z=x+2y,]z将z=x+2y化为y=一_17由图象可得，当直线y=—那+]过点Al,2时，z取最大值，最大值为
5.17_当直线y=一/+弓过点1,0时，z取最小值，最小值为
1.・为的取值范围是x+y—5W0,22022・平顶山模拟若实数x,y满足约束条件八一220,则的最小值是人IJLj—120,答案5解析作出可行域，如图中阴影部分含边界所示，x+2y+32Cv+lz=x+1=1+^TPv+1_其中攵x+y—5=0,=F即C3,2,J=2表示可行域内点Px，y与定点Q—1,—1连线的斜率,由,2+13由图可得%nin=CQ=3+]=不35所以Zmin=1+2X~=2,x+y—2W0,32022・金华模拟已知x,y满足卜一2y—2W0,若z.一以取得最大值的最优解不唯一,、2x—y+20,则a的值为.答案T或2解析作出可行域，如图中阴影部分含边界所示，作直线Zy—ax=Q,在z=y—ax中，y=ax+z,a是斜率，z是纵截距，直线向上平移，z增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线/与A5或AC平行，所以a=—1或〃=
2.题型三实际生活中的线性规划问题例5（
2022.新乡模拟）快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员.某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）甲批20108快件乙批102010快件快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）A.150元B.170元C.180元D.200元答案B解析设一次派送甲批快件X件、乙批快件y件，〃20x+10yW350,10x+20y250,则x,y满足〈5y£N,2+yW35,x+2W25,即〈GO,5jEN,2x+y=359由解得x=15,y=5,、x+2y=25,小马派送完毕获得的工资z=8x+10y（元），画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,所以目标函数在点M（15,5）处取得最大值，故Zmax=8X15+10X5=170（元）.所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元.【教师备选】某高科技企业生产产品A和产品8需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料kg,乙材料kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,。
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