2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第8章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质【考试要求】.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.1,掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.2【知识梳理】线面平行的判定定理和性质定理

1.文字语言图形语言符号语言aQa]h^aY^g//a判定平面外一条直线与此平面内的一条直线a//b\定理平行，那么该直线与此平面平行一条直线与一个平面平行，则过这条直线all a性质的任一平面与此平面的交线与该直线平^a//b定理aCB=b,行面面平行的判定定理和性质定理

2.图形语言文字语言符号语言、aUB判定一个平面内的两条相交直线与另一buB定理个平面平行，那么这两个平面平行aCb=P all〃〃a a-性质如果两个平行平面同时和第三个平0a b定理面相交,那么它们的交线平行【常用结论】垂直于同一条直线的两个平面平行，即若，则〃及1a62平行于同一个平面的两个平面平行，即若〃夕，夕〃乃则Q〃/垂直于同一个平面的两条直线平行，即则3Q_LG,b-La,若〃，则［〃£.4a4【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“或“义”J”若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.1X若直线〃平面则过点尸且平行于直线〃的直线有无数条.24a,PRa,X若直线平面处直线平面从则〃3QU8U a//b9a

4.X，，答案解析对于/可能在内，故不能判断/〃故不正确；对于/可能在D.l B C A,a,A B,内，故不能判断/〃故不正确；对于因为由面面平行的定义得/〃％故正确；对a,B C,/U£,//p,Ca于/可能在内，故不能判断/〃％故不正确.D,D

3.（2022・成都模拟）如图，在三棱柱ABC—A/Ci中，AM=2MAi，BN=2NBi,过MN作一平面分别交底面的边于点贝」（）aABC BC,AC E,F,1A.MF//EBB.A\B\//NE四边形为平行四边形C.MNEb四边形石尸为梯形答案D.MN D解析由于三点共面，平面平面凡故跖为异面直线，B,E,b FWBEF,3E MF,故错误；A由于囱，£三点共面，囱金平面囱停平面故为异面直线，故错误；N,NE,A3]NE,45,NE B;在平行四边形囱中，44]3AM=2MAx,故四边形为平行四边形，BN=2NB\,.AM//BN,AM=BN,AMN

8.MN//AB.又平面平面・・・〃平面MNQ ABC,A3U A3C,MN ABC.又平面平面平面〃显然在△中，NU MNEF,MNEFC ABC=EF,:,MN EF,.EF//AB,ABC EFWAB,・••EF¥MN,・•・四边形MNE尸为梯形，故C错误，D正确.（.杭州模拟）已知尸为△所在平面外一点，平面〃平面且交线段以，

4.2022A3C aA3C,a PB,PC于点A,，C,若以:AA=23,则SAA，*cABC等于（）A.23B.25C.49D.425答案D解析二•平面平面a//ABC,f ff〃（f）2，.A C//AC,A B//AB,BCBC,-S^BC=PA M又RI:A4=23,f.PA PA=25,/•SAA BIc:SZ\ABC=4:

25.如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个

5.A,5M,N,正方体中，直线与平面不平行的是（）A3MN答案D解析项，由正方体性质可知〃平面人明平面〃平面排除；A ABNQ,NQU MNQ,MAQ,AB MNQ,项，由正方体性质可知〃平面平面〃平面排除；B,C A8MQ,MQU MNQ,AM MNQ,AB MNQ,项，由正方体性质易知，直线与平面不平行，满足题意.D43MNQ如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，

6.43co—A/1GQ145再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面所在四边形的面积为定值；E/G”

③随着容器倾斜程度的不同，始终与水面所在平面平行；A1G

④当容器倾斜如图⑶所示时，・为定值.A£AH

①②①④A.B.

②③③④C.D.答案B解析根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题中图形易知

①正确；由题图可知水面的边尸的长保持不变，EFGH E但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知

②错误；因为〃平面，平面，AG AC ACu ABC4G ABC所以〃平面，当平面不平行于平面时，不平行于水面所在平面，故4G ABC EVGH ABC AG

③错误；当容器倾斜如题图（）所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱的体积3AE—MG VmUaI//m〃呢它们都缺少同一个条件,

7.考查

①②两个命题，

①l//m=/〃a；2mH a为定值，又高不变，所以必我〃也不变，即为定值，故

④正确.V=Szw”AB,AB补上这个条件就可以使其构成真命题其中/,根为直线，为平面，则此条件为.答案a IQa解析

①由线面平行的判定定理知/田

②由线面平行的判定定理知〃九.如图所示，在正四棱柱一田口中，分别是棱，，的中点,8A3C4E,F,G,CCi GDiDD,N是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件,就有〃平面注5c MEFG”M58DD

1.请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况答案点在线段上或点与M FHM点、重合H解析连接尸图略，”N,FH,N则尸〃HN BD,•••平面〃平面，只需7N S3MWFH,则平面〃平面出MNU FHN,JMN

81..如图，在正方体中,分别是正，的中点,求证9A3CD—A/1GD1E,F,G,H3CCi CQ,A4〃；lBF HDi〃平面；2EG BBiDiD⑶平面/〃平面3BiDiH.证明如图.取的中点连接易证四边形是平行四边形，1M,MW,MG,MG・〃:HD\MC\.又.BF//HDx.取的中点连接£,230,06,则星OE C又DiG*DC,・••OE^DyG.・•・四边形OEGDi是平行四边形，.EG//DxO.又OiOu平面BBiDiD,ECR平面BBQQ,・EG〃平面BBiDiD.由知尸〃由题意易证囱〃31B18又平面平面且囱「“产小，BiDi,HDiU BQiH,BF,BDu BDF,DBCBF=B,・•・平面5/〃平面BiDiH.如图，在四棱锥中，”分别为线段的中点，

10.P—A8CO AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,AD PC,CD与交于点，是线段歹上一点.AC35G（）求证〃平面；1AP8（）求证〃〃平面布2G D证明（）如图，连接1EC因为〃AQ BC,BC=^ADy所以〃所以四边形是平行四边形，所以为的中点.BC AE,BC=AE,ABCE AC又因为尸是的中点，PC所以FO//AP,因为平面bOu BEF,平面所以〃平面APC BEF,AP BEF.（）连接因为忆”分别是）的中点，2A OH,PC,CZ所以FH//PD9因为PQu平面平面PAD,PAD,所以〃平面77/PAD.又因为是的中点，”是的中点，BE CO所以〃O”AQ,因为AQu平面加平面所以〃平面PAD,PAD,0”PAD.又平面所以平面”/〃平面FHCOH=H,FH,OHu OHF,PAD.又因为平面所以〃平面GHu OHF,G”PAD.（•福州检测）如图所示，正方体中，点，分别为棱，

11.2022ABCO—AiBiGDi EF,G,P,AB,CiDi，的中点，则下列叙述中正确的是（）Oi4DiD,GC直线平面A.EbG直线〃平面『B.48E G平面〃平面C.APC EbG平面〃平面D.48Q E/G答案B解析过点区的截面如图所示（“，/分别为的中点），连接易知F,G A4,3C43,BQ,AP,PC,3Q与平面相交于点故错误；EFG Q,A双平面平面■:4EFG,HEU EFG,・・・〃平面故正确；43EbG,B平面平面延长与必必相交，故错误；APU ADDIAI,HGU AQDiAi,”G C易知平面与平面有交点故错误.AiBQ EFGQ,D.如图所示，正方体的棱长为分别是棱，的中点，是棱上的12ABCD-AIiG3,M,N45©G PAD一点，尸=过的平面交上底面于在上，则答案也41,P,M,N PQ,Q CDPQ=.2解析因为平面〃平面平面平面A5co AiBiGA,ABCOA PQVM=PQ,平面平面AIiGOi GPQNM=MN,所以〃MN PQ,又因为〃所以〃MN AC,PQ AC又因为AP=1,济、疼—型_I”_2所以———A CA J92所以也也.PQ=QAC=1X3=2在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是

13.A3CO—A15GA0A3CQ P上的点，则点满足条件时，有平面出〃平面弘CG Q

0.答案为的中点CG解析如图所示，设为的中点，CG因为为的中点，所以〃,连接Q3B4DB,因为产，分别是口，的中点，所以归〃尸，DB又）网平面平面%，尸平面布，平面£i B40,Q3Q0U auB40,所以归〃平面％，〃平面布QB0,又平面归，DiBCQB=B,D\B,Q5U所以平面归〃平面PAO.故为的中点时，有平面归〃平面出CC

0.在三棱锥产一中，尸为△玄的重心，过点作三棱锥的一个截面，使

14.ABC5=6,AC=3,G G截面平行于和则截面的周长为.P3AC答案8解析如图，过点作〃分别交勿，于点区过点作〃交于点G EbAC PCF,E ENP8A5过点歹作尸加〃交于点连接则四边形是平行四边形（平面为所求截N,P38c M,MN,£7/V EFMN面），且EF=MN=^AC=2,；FM=EN=PB=2,所以截面的周长为2X4=

8.（•合肥市第一中学模拟）正方体的棱长为点分别是棱的

15.2022ABCQ—A/iG1,M,N3C,CG中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且必］〃平面则出的长度范围为（）P3CG8AMN,i「回回A BR心，2J142_乎,C.1D.b1答案B解析取向的中点区的中点连接凡C E4EF,取的中点，连接，如图所示，Eb4•・•点M,N分别是棱长为1的正方体43CO—431Gd中棱8C,CG的中点，〃.AM//AxE,MN EF,9平面平面AMHMN^M4EGE/=£,AM,MNU AMN,4E,EFU AiEF,9，平面〃平面AMN AiEF,;动点尸在正方形（包括边界）内运动，3CC/i且〃平面ai AMN,点尸的轨迹是线段.EE=坐，•.•4E=4F=yJ12+2了+乎，EF=/12=.AIO.LEF9・•・当尸与重合时，B41的长度取最小值4，3^2A\O=，4J5当与风或严重合时，的长度取最大值或P B4i AF,AiE=AiF=V...以的长度范围为申］.10g,（•郑州模拟）如图，在三棱锥尸一中，尸两两垂直，16,2022ABC AC,BC,CAC=BC,E,F分别是的中点，△的面积为四棱锥的体积为AC,ABC8,P—ABbE

4.若平面平面％求证；1PE/n8=/,EF//1求三棱锥的表面积.2P-ABC⑴证明产分别是的中点，•:E,AC,8C:.EF//AB9平面％石网平面％TABU3,3,，石方〃平面PAB.又平面平面%平面PE/n5=/,EFU PEF,.EF//L解两两垂直，平面平面即是四棱锥尸一2VAC,BC,PC ACnBC=G AC,BCU ABC,ABC,PC AB//的高.V5AABC=8,AC=BC,ACLBC,・・・AC=3C=

4.•E,尸分别是AC5c的中点，V-ABFE=4P9131即乙.^X-X-ACX BCXPC=4,PC=

2.J I

222222.PA=y4^2=2y[5,5=^4+2=2^5,AB=yj4+4=4y/

2.的面积为:，、小A—停判班..APAB X4ix y22=4•••三棱锥的表面积P—43C5=2x|x4X2+8+476=16+

476.（）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（）4V【教材改编题】下列说法中，与“直线，〃平面，等价的是（）

1.直线，上有无数个点不在平面内A.a直线与平面内的所有直线平行B.直线与平面内无数条直线不相交C.直线，与平面内的任意一条直线都不相交D.答案D解析因为〃平面%所以直线与平面无交点，因此和平面内的任意一条直线都不相交.已知不重合的直线和平面则下列选项正确的是（）

2.m ba,若〃〃则A.a,bUa,若〃〃则〃B.a,b//a,a b若则〃〃C.ab,bUa,aD.若Q〃/,aUa,贝ijb〃□或/Ua答案D解析若〃则〃或异面，错；a a,bUa,a bA若〃则〃〃/或异面或相交，错；a a,b//a,B岩贝！］〃或错；a//b,bUa,Q a aUa,C若〃，贝！〃或对.a aUa,I/a D.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形为截面，则四边形石的形状为3EFGH/G答案平行四边形解析・.・平面ABFE//平面DCGH,又平面EFGHH平面ABFE=EF平面EFGHC平面DCGH=HG,9同理〃尸HG.EH G,■探究核心题型••・四边形E/G”是平行四边形.题型一直线与平面平行的判定与性质命题点直线与平面平行的判定1例如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，尸分别是尸的中1P—A3CA5CE,5C,点，求证（）〃平面；1PB ACb（）尸〃平面2E PAB.证明（）如图，连接交于，连接孔18D AC•/四边形是平行四边形，A3CO•••是的中点，80又丁尸是的中点,PD•・•0F//PB,又平面平面TObu Ab,ACF,••・尸3〃平面ACE⑵取出的中点连接G,GF,BG.丁厂是尸的中点，•・月是山的中位线，•64，GF^AD9•・•底面A3CO是平行四边形，E是5c的中点，•・统%，统•B£.GF BE,四边形是平行四边形，.3EFG:.EF//BG,又「后尸平面平面以3GU3,••・£/〃平面PAB.命题点直线与平面平行的性质2例如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是的中点，在2P—A5CQ A3C MPC上取一点过和％作平面交于点DM G,G8求证PA//GH,证明如图所示，连接交于点，连接AC8•/四边形是平行四边形，A3C•••是的中点，AC又“是的中点，PC.PA//0M,又平面创〃），出平面MU，如〃平面BMD,又平面平面A4/7GG BMD=GH,.PA//GH.【教师备选】如图，四边形是矩形，平面，过作平面尸石交于点交于点A5C P4ABC3C5c APE,OP F,求证四边形是梯形.BCEE证明・••四边形A8CQ为矩形，.BC//AD.平面巾平面必，TAOU3二•〃平面BC PAD.;平面平面BCbEA PAD=EF.平面8CU BCFE,.BC//EF.9AD=BC,ADrEF,・:BCWEF,，四边形是梯形.BCFE思维升华判断或证明线面平行的常用方法1

①利用线面平行的定义无公共点.

②利用线面平行的判定定理Ha,bUa,a//b^a//a.

③利用面面平行的性质〃〃a4QUQ=Q..

④利用面面平行的性质〃从aa,a//a^a///

3.⑵应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.跟踪训练如图所示，已知四边形是正方形，四边形石尸是矩形，是线段的中点.1AC M求证〃平面1AM304若平面平面£=/,平面平面£=根，试分析/与根的位置关系，并证明你的结论.2AOMG⑴证明如图，记与的交点为连接AC BD0,0E因为，分别为政的中点，四边形尸是矩形，M AC,ACE所以四边形是平行四边形，A0EM所以〃日AM又因为平面平面0EU BDE,BDE,所以〃平面AM BDE.解〃证明如下2l m,由知〃平面1AM BDE,又平面平面平面石=/,AMU AOMA所以1//AM,同理，〃平面AM8OE,又平面平面平面〃AMU A3MA BOE=z,所以〃〃所以/〃加2AM,题型二平面与平面平行的判定与性质例如图所示，在三棱柱中，过的平面与上底面交于〃与不重合.3ABC—A15G45G G”G BiCi求证；1BC//GH若分别是的中点，求证平面£砌〃平面2E,F,G AB,AC,45BC//G.证明⑴:在三棱柱中，ABC—A8C；・平面ABC//平面A\B\C\,又•・•平面3cHGG平面A5c=3C,且平面平面尸5C77GG ABCHG,・••由面面平行的性质定理得BC//GH.尸分别为分的中点，2VE,A AC:.EF//BC,:石网平面平面3C77G,BCU BCHG,，石厂〃平面BCHG.又分别为的中点，G,E A/1,A3・AiG统EB,・••四边形AEBG是平行四边形，.A E//GB.X:人网平面平面BC”G,GBU BCHG,・・・4£〃平面BCHG.又・・・4EGE/=E,AiE,EFU平面EFAi,・••平面£/%〃平面BCHG.延伸探究在本例中，若将条件分别是的中点”变为“点、“E,F,G A3,AC,AS D,D\AT分别是上的点，且平面〃平面，试求行的值.AC,4G3Go JLx解如图，连接交囱于，连接48A

5.由平面〃平面AB\D\,且平面平面48cm BCiD=BG,平面平面AiBCi nABiDi=DiO,所以则BCi//D\0,D LZJlCiOD、i iQiDCv又由0f赵女N5所以诟，即灰・【教师备选】=1=1如图，在三棱柱中，分别为囱，囱，的中点.A3C—A/iG E,F,G G4AB求证平面〃平面14GG8ER若平面求证”为的中点.23C证明用分别为母的中点,1V£,BiCi,

4.EF//A\C\,•「平面£网平面AiGu4GG,4GG,••石/〃平面•4GG,又凡分别为的中点，G45,A

3.A F=BG,}%Z//BG,四边形为平行四边形，.A\GBF则BF//A GX9平面叫平面•••AiGU AiGG,84GG,〃平面•••8AiGG,又平面EFCBF=F,EF,8/U BM,••・平面AiGG〃平面BEF.二•平面〃平面平面平面2ABC AjBiCi,A1GGA A/iG=AiG,平面与平面有公共点则有经过的直线，设交于点”，如图，4GG A5C G,G BC则〃得〃4ci GH,G”AGTG为A5的中点，・•.”为BC的中点.思维升华证明面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理.1利用垂直于同一条直线的两个平面平行/，氏〃馀.2I Iga利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行〃夕〃〃3a4y=ay.跟踪训练如图，四棱柱囱的底面是正方形.2A3CO—4G A3CO⑴证明:平面〃平面出；4881若平面平面囱=直线/,证明2ABCOn1BiDM/L证明⑴由题设知囱统所以四边形是平行四边形，所以81,又平面囱小平面闰，BDG CD1B1,所以〃平面30CDB.因为统统4BiG BC,所以四边形是平行四边形，48coi所以〃・A/D]C又冽平面平面囱，4CDiBi,OCU所以〃平面48CDB.又因为平面，80045=3,BD,48U A1所以平面〃平面48CDiBi.由知平面〃平面2143CDM又平面平面直线ABCQG CDiS=I,平面平面=直线ABCDA43BD,所以直线/〃直线8D,在四棱柱中，四边形为平行四边形，A3CD—43iGDi BDDiBi所以所以囱〃B1DJ/BD,1/.题型三平行关系的综合应用例如图，在正方体一中，为的中点.4A5C4BGQ1E A求证/平面；1AEC上是否存在一点使得平面〃平面，若存在，请说明理由.2CG RAEC BUh⑴证明如图，连接交于连接£.5AC0,因为一囱|为正方体，底面为正方形，ABC4ABCQ对角线交于点，AC,所以为的中点，8又因为为的中点，E所以在△中，石是△的中位线，08055所以0E/IB

6.又因为平面平面OEU AEC,AEC,所以〃平面81AEC.⑵解当上的点尸为中点时，即满足平面〃平面立CG AEC3i.连接尸,8D\F,因为尸为的中点，为的中点，CG E所以统CF EDi,所以四边形为平行四边形，CFGE所以尸〃石C,又因为平面平面ECU AEGAFC AEC,所以尸〃平面AEC由知〃平面13AEC,又因为产=n,BDi,DiFu平面BFDI,所以平面〃平面，AEC BFDx【教师备选】如图，四边形与/均为平行四边形，分别是£尸的中点.求证A3CZ AOEM,N,G AB,AD,〃平面；1»E DMF平面〃平面28OE MNG.证明如图，连接则必过尸与的交点，1AE,AE GN连接，则为的中位线，所以石〃M3M

0.又平面平面BEQ DMF,MOU DMF,所以〃平面BE DMF,因为分别为平行四边形尸的边尸的中点，所以〃2N,G AOEAO,E DE GN,又平面平面DEG MNG,GNU MNG,所以〃平面QE MNG.又为的中点，M A5所以为△的中位线，所以〃MN ABDBD MN,又平面平面MNU“NG,BDQ MNG,所以〃平面30MNG,又平面E8OU BOE,DECBD=D,所以平面〃平面BDE MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.跟踪训练如图所示，四边形尸为空间四边形的一个截面，若截面为平行四边形.3EG”A3CO⑴求证〃平面；A3MG”若求四边形周长的取值范围.2A3=4,C£=6,⑴证明•••四边形为平行四边形，EFG”.EF//HG.・・平面平面，•”GU ABD,ERt A5・•・£/〃平面ABD.又•••£人=平面ABC,平面A3DG平面ABC=AB,:.EF//AB9又平面平面・・・〃平面ABC EFGH,EFU EFGH,A3EFGH.⑵解设EF=x0x4,由知1EF//AB,==

9.CF EFx CBAB4==与同理可得1CD//FG,・FG BF=,•*C5BC^FG BFBC-CF%i则可-前—-~1-不BC3•二FG=6—^x.・•・四边形E/G〃的周长£=20+6—|^=12—%.又・・・0x4,A8L12,故四边形周长的取值范围是EFG”8,

12.课时精练（•宁波模拟）下列命题中正确的是（）

1.2022若〃，匕是两条直线，且〃从那么平行于经过匕的任何平面A.若直线和平面满足，〃那么与内的任何直线平行B.a,平行于同一条直线的两个平面平行C.若直线和平面满足〃〃/,则/〃D.4,Z ab@a,aQUQ,答案D解析中，可以在过的平面内；中，与内的直线也可能异面；中，两平面可能相A bB aC交；中，由直线与平面平行的判定定理知〃正确.D ba,.设/是直线，£是两个不同的平面，则下列能判断/〃的是（）2a,〃，A./B a//p/与平面内无数条直线平行B.C.IU a//p。