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推理与证明【考试要求】
1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理3了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点4了解反证法的思考过程和特点.【知识梳理】
1.合情推理类型定义特点由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特归纳推理由部分到整体、由个别到一般征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类比推理由特殊到特殊类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
2.演绎推理⑴定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.22“三段论”是演绎推理的一般模式，包括
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
3.直接证明⑴综合法
①定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
②框图表不尸nQi―户2—--------------------------------其中P表示已知条件、己有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论.
③思维过程由因导果.2分析法
①定义一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止，这种证明等式两边平方得3+弓=整m m〃3即2M.m
84.下面几种推理是合情推理的是（）
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，归纳出〃边形内角和是（〃一2）・
180.A.
①②B.
①③④C.
①②④D.
②④答案c解析
①为类比推理，从特殊到特殊，正确；
②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；
③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误.
5.（
2022.普宁模拟）有一个游戏，将标有数字123,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测甲说乙或丙拿到标有3的卡片；乙说甲或丙拿到标有2的卡片；丙说标有1的卡片在甲手中；丁说甲拿到标有3的卡片.结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）A.1B.2C.3D.4答案C解析乙、丙、丁所说为假=甲拿4,甲、乙所说为假=丙拿1,甲所说为假=乙拿2,故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,
136.观察下列数的特点1,2,2,3,33444,4,…，则第2023项是（）A.61B.62C.63D.64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为123,4,…，n.由吗二0^2023,得〃W63,且〃£N*,工,j63X64t当〃=63时，共有一2—=2016项，则第2017项至第2080项均为64,即第2023项是
64.
7.观察下列各式已知+〃=1,/+及=3,6Z3+/3=4,6Z4+Z4=7,a5+b5=ll,,•,则归纳猜测dJ+b1=.答案29解析观察发现，1+3=4,3+4=7,4+7=11,又7+11=18,11+18=29,.a]+b1=
29.
8.若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积S=:a+b+c»,利用类比思想若四面体内切球半径为R,四个面的面积为Si，S2，S3,S4，则四面体的体积V=答案|/S1+S+S+S234解析设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.
9.选用恰当的证明方法，证明下列不等式.⑴证明加+币2#+小；2设Q,人，C都是正数，求证[+T+/2a+z+c.vv LxL证明⑴要证加+干2也+小，只需证明般+币22审+小¥，即证明入阵2回,也就是证明4240,式子显然成立，故原不等式成立.Q2偌+詈十就管+孰管+加偿制.导2仔2心评2c,所以+贷+辿2Q+/+C,当且仅当〃=Z=c•时，等号成立.cX C
10.若x,y都是正实数，且x+y2,求证二三2与422中至少有一个成立.y x1-4-v-1—I—解假设二一2和—2都不成立，y%即【一N2和1一22同时成立.y Vx0且y0,1+xN2yl+y22x.两式相加得2+x+y22x+2y,即X+yW
2.此与已知条件x+y〉2相矛盾，・・・W^v2和耳22中至少有一个成立.y x
11.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在[2+2+6^中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x,这可以通过方程产心=x确定x=2,类比上述解决方法，则正数1+一1等于1+7^1+止1+小A・2B,2-1+V5n T+小rJ22答案B解析依题意1+1=羽其中X为正数，即f—X—1=0,解得冗=与5负根舍去.
12.大于1的正整数m的三次累可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+53=7+9+11,43=13+15+17+19,…，若〃3分裂后，其中有一个奇数是103,则加的值是A.9B.10C.11D.12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以/有“个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2+3+4+…+加=+%1个奇数，又2〃+1=103时，有n=51,则奇数103是从3开始的第52个奇数，9+29-110+210-1一因为-------2-------=44,-----------2--------=54,所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m=
10.
13.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10[2』4』6；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去，得到一个子数列124,5,7,9/0,12,14,16,17,19,…,则在这个子数列中第2022个数是（）A.3976B.3978C.3980D.3982答案c解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前〃次共取了1+2+3+~+〃=笔匕个数，且第〃次取的最后一个数为〃2,（）,.63X63+1当〃=63时，-----1-------=2016,即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632=3969,即第2016个数为3969,所以当〃=64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980,…,所以第2022个数是
3980.
14.（
2022.平顶山模拟）某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有4B,C,D,石五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知七车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，4两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期.答案四解析由题意，A,只能在每周前三天限行，又昨天5限行，石车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四.这样周
一、周二A,C限行，周三5限行，周四E限行，周五限行.满足题意.
15.已知a,b,ceR,若且£+，一2,则下列结论成立的是（）A.a,b,c同号B.b,c同号，与它们异号C.a,c同号，〃与它们异号D.b,c同号，a与b,c的符号关系不确定答案A解析由翳1知%加号，若N且宗°，不等式―一2显然成立，若小且2则一沁一宗,（-+（-£）»2寸（—凯—汩,即介3-2,这与介亍-2矛盾，故3）且0,即m b,c同号.
16.已知尸为锐角，求证-V+-X2asir夕cos夕解要证~T7三9,cos~a siirasiny cos力•2D14只需证一万十・2・2129,cos«sinxsin2p考虑至ij siRQl,44可知sin2asin22在sin2a]4因而要证
①应先证一丁+—^29,cos asinasin2a+cos24sin2a+cos2cos2a sin2a~sin2a+cos2x94sin2a+cos2a又.cos~a・9sin2cc_^4cos2a+529,2cos a所以原不等式成立.方法叫做分析法.
②框图表示|Q仁Pi|一|7加一|匕仁区］-----------得到一个明显成立的条件（其中表示要证明的结论）.
③思维过程执果索因.
4.间接证明反证法一般地，假设原命题丕成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）
（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（X）
（2）“所有3的倍数都是9的倍数，某数加是3的倍数，则加一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.（V）
（3）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.（X）
（4）用反证法证明结论“泌”时，应假设，＜/”.（X）【教材改编题】
1.已知在数列｛斯｝中，0=1,当几已2时,斯=加1+2〃—1,依次计算2，4后，猜想a的表n达式是（）A.a—3n—1B.斯=4〃—3nC.a=tv D.〃=3〃n答案C解析2=1+3=4,3=2+5=9,4=3+7=16,6Z1=I2,6Z2—22,6/3—32,4=4，猜想2a=n.n2,给出下列命题“
①正方形的对角线相等；
②矩形的对角线相等，
③正方形是矩形，按照三段论证明，正确的是（）A.
①②二
③B.
①③0
②C.
②③=
①D.以上都不对答案c解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论.所以
②③二
①.
3.命题点2类比推理例22022・铜仁质检在△A8C中，BC±AC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆的半径〃―，将此结论类比推广到空间中可得在四面体P—ABC中，PA.PB,PC两两垂直，APA=a.PB=b,PC=c,则四面体尸一ABC的外接球的半径/=.NM+K+Z较安C解析可以类比得到在四面体P-ABC中，PA PB,PC两两垂直，PA=a,PB=b,PC9=c,立¥+.四面体P-ABC的外接球的半径五=下面进行证明可将图形补成以公，PB,PC为邻边的长方体，则四面体P—ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R=--------2--------命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程
①若｛知｝是等比数列，则｛斯+斯是等比数歹U大前提，
②若仇=—1〃，则数列｛与｝是等比数列小前提，
③所以数歹U｛瓦+〃+1｝是等比数歹11结论，以上推理A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案B解析大前提错误当斯=—1〃时，10,此时｛〃〃+即+i｝不是等比数列；小前提正确•・》〃=—1〃，•,*=白需=T心2,〃£N*为常数，Tb-｝—1n•••数列｛与｝是首项为-1,公比为一1的等比数列；结论错误儿+勿+1=—1〃+—1〃+=0,故数歹U｛b+与+1｝不是等比数列.【教师备选】
1.观察下列各式72=49,73=343,74=2401,…，则7223的末两位数字为A.01B.43C.07D.49答案B解析72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,78=823543,…，・・・7〃〃22,〃£N*的末两位数字具备周期性，且周期为4,72023=4X505+3,・・・72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为
43.
2.在等差数列｛斯｝中，若10=0,则有等式41+2+~+斯=1+2+~+419-〃〃19且〃£N*成立，类比上述性质，在等比数列｛仇｝中，若加1=1,则有A.加仇•…•…・历9-”〃vl9且〃£N*B.b1•bZ,b产b1•b•bi-n〃21且N1C.加+岳+…+仇=历+/2+…+9一〃〃vl9且D./1+历+…+Z〃=/1+Z2+…+Z21r〃21且〃WN答案B解析在等差数列｛斯｝中,若s+，=p+qs,九p,g£N*,则〃S+Q尸他+劭右，贝+〃+2++2/”-2-”+-〃09所以----------------\-a=a\-\-ci2~\〃成立，n当m=10时，1+42+~+〃=1+42+—+19-〃〃19且〃£N成立，在等比数列｛瓦｝中,若s+/=p+gs,p,q£N*,则皆瓦=%%,右btn-19贝U瓦+仍〃+2，・・・乃2〃7-2-〃历〃7-1-〃—19所以历历•…%=6也•…为2〃-1-〃成立，当2=11时，bib•…,b〃=b[b2•…・b21rn21且〃£N*成立.
3.“对数函数是非奇非偶函数,/X=10g2|x|是对数函数，因此1X=10g2|x|是非奇非偶函数”，以上推理A.结论正确B.大前提错误C.小前提错误D.推理形式错误答案C解析本命题的小前提是八X=10g2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为«X=10g2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y=logda0且的才是对数函数.故选C.思维升华1归纳推理问题的常见类型及解题策略
①与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号.
②与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律.
③与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法险证其真伪性.⑵类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.跟踪训练112022・南昌模拟已知x0,不等式X+T，2,尤+*23,x+营三4,…，可推广为1+92〃+1，则〃的值为A・〃2B,〃〃C.InD.22,7-2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为「=1;当分母的指数为2时，分子为22=4；当分母的指数为3时，分子为33=27；据此归纳可得x+S、〃+l中，〃的值为〃〃.⑵类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“X”，“一改为正整数改为正整数指数累，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立.在等差数列｛斯｝中有斯知T++=2%〃%:，借助类比，在等比数列｛小｝中有.答案b-kbn+k=bn[nkn解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于如f+a〃+k改写为生-7〃+攵；将右式正整数2改为指数,则相当于2斯改写为朋，・•・等比数列｛d｝中有b〃—kbn+k=bKn%.32022・银川模拟一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.赵说“我选的是A.”钱说“我选的是B,C,D之一.”孙说“我选的是CJ李说“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是.答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A,则孙和李之一选A,出现两人说谎.钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为A,C,B,D或A,D,C,B,所以说假话的人可能是孙、李.题型二直接证明与间接证明命题点1综合法例4设Q,4c均为正数，且Q+Z+C=1,证明烧+纤袅1・证明1由2+/22Q，b2+c2^2bc/+〃222cm得a2+o2+c2Na0+》c+c
4.9由题设得a+Z+c2=1,EP a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3Q/+/C+C〃W1,当且仅当a=b=c”时等号成立.2122n hC2因为石+/22a,—~\~c^2b LzC Czv9当且仅当/=2=,时等号成立，cP廿c，2故工+7+7++/+2〃+b+c,2j22〃h c则7+—+—2a+/7+cb ca2722所以b ca命题点2分析法例5用分析法证明当x20,y20时，^y]x+2y—yfx.证明要证不等式成立，只需证5+也成立，即证、+4方A》山+2y成立，即证x+2y+2d2xy2x+2y成立，即证山孙》成立，因为xNO,y20,所以，语20,所以原不等式成立.命题点3反证法例6已知非零实数a,b,c两两不相等.证明三个一元二次方程依2+2+=0,历2+2cx+a=0,cx2+2tzx+Z=0不可能都只有一个实根.证明假设三个方程都只有一个实根，则
①+
②+
③，得/+/2+2一帅一〃一CQ=O,
④④化为a—b2+/—c2+c—a2—
0.
⑤于是Q=Z=C,这与已知条件相矛盾.因此，所给三个方程不可能都只有一个实根.【教师备选】2022・贵州质检请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明,LI a-\-b^1g tz+lg b1如果40,b0,则1「一2；2⑵2吸一市
3.解1方法一综合法因为a0,b09所以色芋2/而，所以ig J因为lgV^=plg=]lga+lgb,所以1g空方法二分析法要证ig字》电a，即证1g W,；lgQb=lg\/7,即证石，由a0,b0,上式显然成立，则原不等式成立.
（2）方法一（分析法）要证
2、「一书x/T6—3,即证2也+3*7^+市，即证（2也+3）2（715+市F即证17+12g17+2干5,即证12吸2市5,即证6M，g万
5.因为（班）2=72（质）2=70,所以6巾》/沁成立.由上述分析可知2\j2—y[7yfl0—3成立.方法二（综合法）由他-币=/不且
①一3=石宗,由2吸〈E，巾3,可得2#+于〈415+3，十日]__________1__PJ仔至工诉诉不即2y/2~y/7y/7d—3成立.思维升华
（1）综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法.
（2）反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论.跟踪训练2⑴已知a0,b0,求证三华]2a-rb2已知Q+Z+C0,ab-\-bc+cciQ,abc0,求证a0,b3c
0.证明lV«0,bQ,要证号2篝,只要证只要证m+/）2—4ab20,即证dp—24+22（），a~\~b2abC三成立.a~\~而序一2〃/b+庐=（4—/）22恒成立,
（2）假设4,b,c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设［W0,下面分4=0和0两种情况讨论，如果=0,则〃Zc=0与出c0矛盾，所以a=0不可能，如果QVO,那么由H”0可得，bc0又因为a+〃+c0,所以〃+c—0,于是aZ+/c+ca=〃（/+c）+Zc0,这和已知〃〃+〃9C+CQ〉O相矛盾，因此，0也不可能，综上所述，〃0,同理可证/0,c0,所以原命题成立.课时精练
1.指数函数都是增函数（大前提），函数y=Q）是指数函数（小前提），所以函数=（）是增函数（结论）.上述推理错误的原因是（）A.小前提不正确B.大前提不正确C.推理形式不正确D.大、小前提都不正确答案B解析大前提错误.因为指数函数〉=户（0,且〃W1）在1时是增函数，而在01时为减函数.
2.（2022・大庆联考）用反证法证明命题“若/+辰+/+/=（）,则
①c,d都为0”.下列假设中正确的是（）A.假设a,b,c,都不为0B.假设b,c,d至多有一个为C.假设b,c,d不都为0D.假设“，b,c,d至少有两个为答案c解析需假设m b,c,d不都为
0.
3.若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如#|=2喟.若一个“穿墙数”的整数部分等于log28,则分数部分等于（）3「4A.y B.gC.g D.y^答案C解析因为log8=3,2所以可设这个“穿墙数”为3+占，m。
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