2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第3章 §3.5　利用导数研究恒能成立问题

利用导数研究恒能成立问题题型一分离参数求参数范围例•北京模拟已知函数，12022/x=x—2e-Lf+aMaWR.当〃时，求曲线在点处的切线方程；1=0y=r0,10⑵当时，，恒成立，求〃的取值范围.xN2“r20解当时，段一二,1a=0=12X0=0-2e°=-2,f/x=x-le\k=f0=0-le°=-l,所以切线方程为y+2=—%—0,即光+y+2=

0.方法一当时，恒成立，等价于当时，一恒成立.2x22x2x—2e“即2在［上恒成立.—Wx—2e2,+8当尤=时，所以20W0,40R.当时，2x2^x—x0,济、々工—T242e\..所以］怛成立.QW—x/一X、耳x v2e e.2x—1e攻，则尤=gx=g35,«/V因为人所以2,g0,所以在区间+8上单调递增.gx2,所以2所以gxg2=e,QWe.综上所述，，的取值范围是一8,2］e.方法二/Ax=x-le-6z,

①当时，因为QWO x22,所以A所以/x—10,e-«0,x0,则八在［+8上单调递增，x2,加翅成立.2=0

②当时，/幻OvaWe20,所以八处在［+8上单调递增，2,所以人工成立.2=0当时,，x£2,+8g x0,所以在上单调递增，在+8上单调递减，g%0,22,所以是的极大值点，也是的最大值点，即X=2gX gXgXmax=g2=

5.所以故机的取值范围为《，+

82.2022・长春模拟设函数次处=X2—m+2尤+Hnxa£R.若是人九的极值点，求人幻的单调区间；1x=3⑵若火幻，恒成立，求的取值范围.1解〃1/x=2x—+2+9Ji2x—6fx—1-------=-7--x0,又/3=4—w=0,所以经检验符合条件，=6,匕r,72%—3%—1所以‘一，―7令，有或；f x0x1x3令/有x0,lx3,所以的单调递增区间是单调递减区间是/U0,1,3,+8,1,

3.由题意人幻221Q/Umin21,当时，令/有心；aWO x0,1令/有x0,041,所以人在上单调递减，在+8上单调递增，X0,11,所以/Umin=/1=—4—1,所以一即a—121,czW—2,当时,

①々，即时,a0010a2存在火一；1=Q—10即时，存在；@fl,2/1=—4—10第即时，/犬处在+8上单调递增，存在八可知时，力不恒成=1,4=2x20,0,1=-3V0,a021立.综上，aW—

2.•沈阳模拟已知是定义在上的奇函数，当心时:是定义在+

83.2022«r R0/U=f+sin x,gx0,上的函数，且gx=ax+:—2q

0.求函数的解析式；1/U⑵若对于，+°°,使得加成立，求实数的取值范围.Dxi£[―11]3%2E0,igX2a角星设贝]一1x0,x0,所以八―x=f—sin x,又式是奇函数，x所以八-x=—/X,所以/%=—/—%=—2x+sin x,又犬=，2x+sin xx^0,所以/加/U=

91.〔一片十sin%x

0.由题意得於2mingXmin.当时，/x£[0,l]x=2x+cos%0,所以在上单调递增，“X1]所以；7Xmin=A0=0当时，x£[—l,0f x=-2x+cosx0,所以在上单调递增，/U[—1所以«xmin=/—1=-1—sin10,所以/%min=—1—sin

1.对于因为gx,a0,x0,所以ax~\~~—2^2y[a—2,X当且仅当以=匕即等式成立.L\M所以gXmin=2W—2,所以一1—sin l2y[a—2,整理得所以实数的取值范围是a—1o,已知函数心其中人为常数.

4.r=e—Asin当％时，判断在区间+8内的单调性；1=

1./U0,⑵若对任意都有求人的取值范围.x£0,7i,/U1,解当时，得1k=\/U=e—sinx,故/rx=e—cosx,当+8时，/幻恒成立，x£0,0故人在区间+8上单调递增.x0,当兀时，2x£0,sinxe0,l],故即，一女yx1,e sin x1,即xe—ksin x—

10.令vgx=e—ksin x—1,

①当攵时，一WO ksinxNO,又，一e l0,故在兀上恒成立,故女；gx0x£0,WO

②当时，r A0ZW1g x=e—Zrcosx,令r vpx=g x,p x=e+ksin x9故“在九上恒成立,在兀上单调递增,故—左ao j£o,gX x£o,g’0=e°20,即在％兀上单调递增，gx£0,故故攵；gxg0=e°—l=0,1

③当时，由

②可知在兀上单调递增，*1g x£0,设时的根为沏,g x=0则在的上单调递减；gx x£0,在兀上单调递增.x£xo,又g0=e°—1=0,故舍去.gxovO,综上，《一k8,1].

③当时，在区间上,；4222,In°f x0在区间In a,+°°±,f x0,所以在〃上单调递减，在〃，+8上单调递增，人©》不恒成立，不符合题意.综上«x2,ln ln所述，〃的取值范围是一8,2e].【教师备选】,重庆模拟已知函数〃为函数的导函数.2022*x=5—2+lx+mlnx+m,/x«r讨论式元的单调性;1若，恒成立，求力的取值范围.2X—A©2,m%—m+lx+m%—mx—1解J-------------------------------------------------1^x=x-m+l+-=-7-*/V«/V«/V

①当加时，/段单调递减;WO,x£o/x0,当+8时，/单调递增.x£l,o,«xX

②当〃〈

②时,单调递增;Ov2l,%e0,f x0,7U当〃时，单调递减；x£2,l f x0,«x当+8时，/单调递增.x£l,o,«xx

③当根+8时，/单调递增.=1,%e0,%20,«x

④当相时,危单调递增;1,1£0,1f x0,当时,/单调递减;x£l,m f80,当+8时，单调递增.f o,«xx由题意知，恒成立，2%-/U即日一加恒成立，InxNO当时，与恒成立，x=l Nmlnx当0时而黄”；当时，彳0xl Wm.21n x令，ga=21nxEI,x21nx—1川8，*=2lnx2当时，/0xl x0,单调递减且gx gxo,L f时，而L，2°当时，令得xl g x=0,x=#,•••当〈必时，r单调递减,14g XO,gx当心促时，r单调递增，2g x0,gx・・・加gx2g=e,・:mWe.综上知，OWmWe.思维升华分离参数法解决恒能成立问题的策略分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.1恒成立台〃2a//©max；恒成立a Qa W/xmin;能成立a Qa2/xmin;能成立a0/x0aW/Xmax.跟踪训练已知函数1/x=xlnxx

0.⑴求函数的极值；/U—丫2—I—17713⑵若存在x£0,+-,使得*xW——5——成立，求实数机的最小值・解由得/1“r=xlnx,x=l+lnx,令/得x0,令/得x0,0x

1.所以在目上单调递减，在+8上单调递增.7U o,所以在处取得极小值，/UC且为一占无极大值・/D=由於W2/日、2xlnx+f+3得加2---------；------问题转化为加停吟min3=21n x+x+-x

0.X2xln x+f+3令gx=22x3x+2x-39=P则g x=:+l—x+3x—1・—f由得gx0,xl;由/得x0,04Vl.所以在上单调递减，在上单调递增.gx0,11,+8所以则机gXmin=gl=4,

24.故的最小值为m

4.题型二等价转化求参数范围例22022・三门峡模拟已知函数/x=lnx—a^—x,a一/且aWO.⑴当〃时，求函数的单调区间与极大值；=1«x⑵当时，恒成立，求实数〃的取值范围.xl gx=/U+2Qx0解当时，函数=1/x=lnx—f—x,x£0,+°°,口/2r/12x+x-1可付/一x=12x—1=--一x+1211令/解得单调递增;x0,045/U令，可得火单调递减;%0x,单调递减区间为所以函数当■时,Q,+80,23-ln24-由题意，函数工+以=一〃一可得〃21=/2111%f+2lx,x£l,+°°,gx=J—2-x+212QX+lx—1=_X

①当一；，一勿时，龙；4xwl,g工£-时，9+8x0,所以在一灯上单调递减，在一土，+8上单调递增,当+8时，gx1,gxf+8,所以一力，+8,不符合题意；gx£g

②当时，+8时恒有/Q0%ei,avo,故在+8上单调递减,gX1,所以对任意+8都成立，g%0x£l,只需glWO,即一〃解得故a+2-1W0,aWl,0aWl.综上所述，的取值范围是01].【教师备选】2022・西宁模拟已知函数式x=一加+In xae R.讨论的单调性；1/U若存在求的取值范围.2x£l,+°°^Q解函数的定义域为1«x0,+8,

1..11—laxf x=-2czx+;=---当时，/x0,则兀在+8上单调递增,x0,1A由/*°，得而,+刃，于是有段在，意上单调递增，在总+8上单调递减.由於一2a,得〈af—1—In x0,%£1,+°°,2—In x0,x—10,当时，2满足题意；a0^x—1—Inx0,当时，am令2gX=t7A—1—In XX1,-1在+8上单调递增，则不符合题意,g x=-0,gx1,gxg]=o,当时，0a由屋得%£达，+°°\ao,由，得气，祠,g xX1于是有在，忐上单调递减，在总，上单调递增，gx1+8总g%min=g gl=O,则当时，0a13%el,+°°,gx0,A综上，〃的取值范围为一8,思维升华根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解.跟踪训练已知函数，一2«x=e ox.讨论兀的单调性；1x当+8时，都有八工〉一处求实数的取值范围.2x£[0,解、-1»a=e QX£R,当时，/aWO x0,在上单调递增；.\/U R当时，令/Q〉O x0=xln a,令fx0=xln a,在一8,〃上单调递减，在上单调递增.:•/x inIna,+8依题意知，当工£[+8时，火20,xmin—m由⑴知,当时，於在+8上单调递增,[0,当时，在上单调递减，在上单调递增，/x[0,In aIn+8〃1•./Wmin=/ln=/—aln a=a-a\n a—a,解得216fe.综上，实数的取值范围为一21,e.题型三双变量的恒能成立问题例设3-2-3/x=+xln x,gx=x%

3.如果存在即，使得-成立，求满足上述条件的最大整数；1x e[0,2],gx gX22M M2⑵如果对于任意的££仁，」，都有人》⑺成立，求实数的取值范围.s,2s g解存在为,及£[,12],使得成立，g%l—gX2NM等价于成立.[gxi—gX2]max wg x=3f—2x=x3x—2,2令=，得尤=或%=可，g x0••庐一空s•y3j~27,又⑵g0=-3,g=1,•••当尤时，£[0,2]gXmax=g2=l,85A112・・•1-「尸万27药85•••满足条件的最大整数为M

4.则yXmin2gxmax.n n由知当时，12gxmax=g2=l,一]-CL・•・当工£5，2时，«r=—+xln1怛成立,JC_乙_即恒成立.a x4nx人「「1I令〃x=x—/ln x,252,・-:h x=12xln%—x,令0x=1—2xln x—x,・:p x=-3—21nx0,⑴在上单调递减,5,2又1=0,1I.••当工£］时，//51x20,当［］时，x£l,2xW0,ri n在」上单调递增，在［］上单调递减,11,2，••/lxmax=%1=1故心

1.实数〃的取值范围是［.I1,+°°.【教师备选】:已知函数八处=D为正实数.x£R,⑴求函数的单调区间；/U若，及£］不等式仪处一火应|恒成立，求实数，的取值范围.2Vxi4,

1.］

一、解因为人幻=1x£R,所以，=二，gR因为所以令/得；0,x0,043令/得或%0,x0x

3.所以人的单调递增区间为单调递减区间为一8,和10,3,03,+

8.由知府在上单调递增，在上单调递减，210,33,4所以人在［］上的最大值是x0,413=*.又八=一-40,X4=lUe0,所以犬八04,所以在［］上的最小值为八/U0,40=—a若e［］不等式恒成立，Vxi,X20,4l/Ul—/X2|V1则需在光£［］上恒成立，即式一式/X ax-»in10,4301,m m即当解得品.+1,又〉所以，Q0,06Z^-^3故实数的取值范围为，£寸.思维升华“双变量”的恒能成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有1VX1,/UDgX2Vy3mingXmax.三工号仆2V%1££1,2£2,./UlgX2mingXmin.三为£31,V%2eD,“Xlgx2UVXmaxgXmax.2跟踪训练设23Zx=xe,gx=p:+x.令/求尸的最小值；1a=/+gx,X若任意，右［一，且％有河/一於］恒成立，求实数机的2XI%21+8,1%2,32%1—gX2取值范围.解因为1Fx=fx+gxx2=xe+^x+x所以p a=%+ie+i,令解得p ao,x—i,令解得F x0,xv—1,所以在一上单调递减，Fx8,—1在一+8上单调递增，1,故Fxmin=F—1=—1—因为任意e［且2X1,X2—h+°°,X|X2,有］恒成立，/X2gXl—g12所以—颂九一以恒成立，212令一双工尸如一］［即只需〃幻在［一］,上单调递增/lX=3»e—^^,%G—1,+8,+8即可.故〃，在［―上恒成立，故〃，而工故x=x+lOe-1201,+8224We,/n2e,e e即实数机的取值范围是［e,+

8.课时精练

1.2022・商丘模拟已知函数Xx=xmeA-

1.⑴当根时，求函数式幻的图象在处的切线方程；=11,«1当心时，火幻巳求实数机的取值范围.20f—2x,解当时，於当一11=1=x1,则U=e—l,由/比］可得，%=^-1+f l=2e-l.所以函数於的图象在处的切线方程为即1,7D e—l=2e—1X—1,2e-lx_y-e=

0.由x及2xme—l2f—2x x0,EI,2—x则gx=—当时，1x£0,2gx0;。