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专题四三角形、8边形的证明与计算||百色中考备考攻略—Q命题规律，纵观近五年百色中考数学试卷，三角形、四边形的证明与计算是每年必考解答题型之一，一般出现在第题，也可能会出现在第题，其中年、年第题考查全等三角形的判定与性质，第题考查相似三2225202120202225角形的判定与性质；年第题综合考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；年2019222018第题综合考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数；年第题综合考查矩22201722形的性质、平行四边形和全等三角形的判定与性质.解题■略，三角形与四边形的计算与证明，在近几年的中考题中的特征为三角形与平行四边形结合在一起、与菱形结合在一起、与矩形结合在一起、与正方形结合在一起，证明三角形全等或特殊四边形的形状、线段的数量关系或位置关系，求角的大小等.分析法，找到证明平行四边形的思路，从结论逆向找到得出结论的条件，然后按照条件在先、结论在后的顺序书写出来，从而得出证明过程，常和综合法相结合.认真审题，灵活运用辅助线，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、勾股定理等知识点.[I中考重难点突破-与全等三角形有关的证明与计算【例】.南京中考如图，与交于点为延长线上一点，过点作120214c3O,OA=OD,/ABO=/DCO,E3C EEFV/CD,交的延长线于点F⑴求证AAOB^ADOC；若求£尸的长.2A3=2,BC=3,CE=1,【解析】1由A4s即可证明AAOB四△QOC;由全等三角形的性质得再证△得器=能，即可求解.2A3=OC=2,BCDSABEF,tLr DLL【解答】1证明在△AOb和△OOC中,/ABO=/DCO,\4Z.AOB=ZDOC,=》0A:.AAOB^ADOCAAS;解由得21,.AB=DC=2,♦；BC=3,CE=\,.BE=BC+CE=
4.工VEF//CD,ABCDSABEF..生—区nnA,
3.8EF~BE^]EF~~y针对训练»►
1.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC,AD=AE,Z1=Z
2.1求证/XABO也△ACE；求证2ZM=ZN.B证明1在△A3和△ACE中,AB=AC,\Z1=Z2,AD=AE,.△A5OHACESAS；2VZ1=Z2,••・ZBAN=ZCAM.由1知△ABD之ZXACE,.ZB=ZC.XVAB=AC,，△ABN会△4CMASA.ZM=NN.题型2【例】如图，四边形是菱形，点”为对角线的中点，点在的延长线上，垂足为点应点2ABC ACE ABCE1AB,/在的延长线上，垂足为点A CFA.AD,E若/区=,求证四边形是菱形；1460°CE//b若的面积为求菱形的面积.2CE=4,/VICE16,48co【解析】根据菱形的性质得到=/项=°,根据角平分线的性质得到根据直角三角形的性质得1/£43CE=CF,到于是得到结论；E//=f7/=*4C,根据三角形的面积公式得到的长，根据勾股定理得到=江衣而，连接则根据相似三角形2AE48OJ_AC,AH=|xc,的性质得到由菱形的面积公式即可得到结果.5Q=2BH,【解答】1证明:四边形A8CO是菱形，NA4O=60，.Z EAC=ZFAC=30o.XVCE1AB,CF±AD:.CE=CF=^AC.9丁点”为对角线的中点，AC•••EH=FH=%C..CE=CF=EH=FH.••四边形厂是菱形；•CE”解石的面积为2CE=4,AAC16,.AE=
8..AC=y]CE+A^=4^
5.连接3D,贝UBQLAC,8过点，AH=3AC=2/.•••/AB=NAEC=90,/BAH=/CAE,:.2BHsLACE.；.喘=笠,即竿=¥./X LLC/£S4OABH=邓..BD=2BH=2小.S菱形ABCD=AC.BD=3X4小乂2小=
20.针对训练»如图，在中，对角线相交于点，分别过点作垂足分别为点平分
2.AC,84C CF±BD,E,EAC ND4E若，求的度数；1NAOE=50NAC8求证2AE=CF.⑴解9AE±BD,.ZAEO=9Q°.V ZAOE=50°,.ZEAO=40°.••FC平分NOA£,.ZDAC=ZEAO=40°.丁四边形ABC是平行四边形，・•・AO〃5c；A ZACB=ZDAC=40°证明:四边形是平行四边形，2ABC.OA=OC.•；AE±BD,CFLBD,.ZAEO=ZCFO=90°.9ZAOE=ZCOF
9.AAEO^ACFOCAAS..AE=CF.拓展题型【例3】2021・卧东南中考在四边形ABC中，对角线AC平分/84D【探究发现】1如图
①，若NBAD=120，NABC=NADC=90°.求证AD-\-AB=AC；【拓展迁移】如图
②，若2NBA£=120,Z/1BC+ZADC=18O°.
①猜想三条线段的数量关系，并说明理由；A AD,AC
②若求四边形的面积.AC=10,A3CQ图
①【解析】由题意可得,从而有则1NACD=NAC3=30°AB=^AC,AZ+4=AC;2
①过点C分别作CEJ_A于E,CF工AB于F.*正△CFBqLCED,得FB=DE,则AD+AB=AD+FB+AF由知代入即可；=AD+DE+AF=AE+AF,1AE+A/=AC,
②将四边形A3CD的面积转化为SMCQ+SAABC，结合
①的结论可解图
②决问题.【解答】⑴证明平分，•••AC NBAZBAD=120°,.ZDAC=ZBAC=6Q°.,•••N4ZC=/A5C=90A ZACD=ZACB=30°..\AD=^AC,AB=}zAC..AD+AB=AC;解2®AD+AB=AC理由过点分别作于C CEL4E,CF±AB F.平分，于工.•••AC NBA CE_1_AD E,CF±AB,CF=CE,/E=NCFB=90VZABC+ZADC=180°,AEDC+ZADC=\S0°,FBC=/EDC在△7和中，CDE=/FBC,-\XE=ZCFB,CE=CF,.ACFB^ACEDAAS..FB=DE..AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF.在四边形AF中，由1知AE+Ab=AC.AD+AB=AC;
②在RtZXACE中，二•AC平分NBA，ZBA£=120°,.ZDAC=ZBAC=6Q°.YVAC=10,ACE=A GsinZZA C=10X sin60°=
573.,:CF=CE,AD+AB=AC9二针•S对四训边练形＞»
3.【问题背景】如图1,已知△ABCS/VLDE,求证△A8OS/\ACE；【尝试应用】如图2,在△A3C和△AQE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,与相交于点点在边上，黑=小，求弟的值;4c OE8cCrDU Y【拓展创新】如图3,是△ABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°,ZBDC=90°,AB=4,AC=2小,直接写出的长.A【问题背景】证明:*.*^ABC^AADE,.AB ACZBAC=ZDAE.・诟=而•••AB AD^BAD=Z CAE.AAC=A£,/.△ABDc^AACE;【尝试应用】解连接EC由已知可得△ABCs△AQE.由知，1AABDSAACE.AE ADr-•••亍=37^=/，zlADE=ZB=/ACE.\9ZAFD=/EFC,.DF AD.AADF^AECF.齐=反,••在中，,RtZXAOE/AOE=30■也.AD ADAE=y[
3.=\/3X^3=
3.••£C=AECE.DF••育=
3.【拓展创新】AD=y[
5.I「百色中考专题过关虐（•无锡中考）已知如图，相交于点，
1.2021AC,05AB=DC,ZABO^ZDCO.A D求证lZ\A30之△OC；2ZOBC=ZOCB.证明在和中，144304AOB=/DOC,-\^ABO=ZDCO,AB=DC,.AABO^ADCOAAS;2由1,知△ABO之△DC，:.OB=OC..ZOBC=ZOCB.
2.2021・台州中考如图，在四边形ABC中，AB=AD=20BC=DC=10y/l1求证AABC^AADC；9⑵当时，求/在的度数.N3C4=4541证明在△ABC和△ADC中，AB=AD,\^BC=DC,AC=AC,.AABC^AADCSSS;解过点作防于点23LAC EVZBC4=45°,BC=1V2,/.B£=BCsinZBCA=
10.又;在中,RtA43E AB=20,BE=10,.^BAE=30°.又丁AABC^AADC,•••/BAE=A DAE.AZBAD=2ZBAE=2X30°=60°.如图，在四边形中，点尸是对角线上的两点，过点作交
3.ABC E,AC AE=CF,DF=BE,M DF//BE,C CGA.AB AB的延长线于点G.求证四边形是平行四边形；1ABCD2若《，则%的面积是.2tan/CA5=NCBG=45°,BC=4y[2BCO91证明9AE=CF,:・AE+EF=CF+EF,即AF=CE.:DF〃BE,.ZDFA=ZBEC.又,DF=BE,•••△ADFmACBEGAS..AD=CB,ZDAF=ZBCE,.AD//CB,四边形是平行四边形；J ABCD224如图，在中，过点作垂足为点连接点/为石上一点，且求证△；
4.A AEJ_QC,BE,8NAbE=ND1ABFS/\BEC4若求尸的长.2AQ=5,AB=8,sin£=T,A⑴证明・•・四边形A3CO是平行四边形，.AB//CD,AD//BC..ZABF=/BEC,ZZ+ZC=180°.V ZAFB+ZAFE=180°,/AFE=/D,:・/C=/AFB..△ABFs/\BEC；2解9AE±DC,AB//DC,.ZAED=ZBAE=9QQ.4在中，RtZXAOE AE=AD sinD=5X-=
4.在RtZMBE中，根产勾股定理,得BE^AE^+AB2=+82=4小.VBC=AD=5,△ABFs^BEC,•竺—迪日竺__n8_••BL BE，15-4小..AF=2y/
5.•湘潭中考如图，矩形中，为边上一点、,将△然£沿翻折后，点恰好落在对角线的
5.2021ABC EBC AE8AC中点尸上.1证明AAEF^ACEF；⑵若小,求折痕的长度.AB=AE⑴证明四边形是矩形，A5CQ.•••/8=90•••将△45E沿A£翻折后，点3恰好落在对角线AC的中点F±,.Z.AFE=ZB=9Q°,AF=CF.VZAFE+ZCF£=180°,AZCFE=180°-ZAFE=90°.在和△£/中，AAEbAF=CF.VlZAFE=ZCFE,EF=EF,.AAEFSACEFSAS;解由知，21AAEF^ACEF,；•/EAF=ZECF.由折叠性质得，/BAE=NEAF,•••/BAE=ZEAF=ZECF.，•••/5=
90.^BAC+ZBCA=9Q°.A3ZBAE=90°.AZBAE=30°.在中，小,RtAABE AB=ZB=90°,■4ABAA£=COS30°=
2..广元中考如图，在弘中，为边的中点，连接若的延长线和的延长线相交于
6.20213c EAE,AE3c1求证:BC=CF；⑵连接AC和BE相交于点G,若△GEC的面积为2,求％5CD的面积.证明在%中,1BCDADII BC,AD=BC,/FCE.为边的中点，•••E OC.ED=EC.在△AO石和△/CE中，ND=NFCE,「ED=EC,/AED=/FEC,•••AADE^AFCEASA..AD=CF..BC=CF\⑵解:四边形是平行四边形，A5c.AB IICD,AB=CD..AABG^ACEG.,AB BGS MBG产丫-CE=EG9=••翁2,S MBG=
4.SM•；DE=CE,.AB=2CE.EG•••△GEC的面积为2,S ABGC~2s GEC=S^ABG=4s△=
8.GEC4,S^ABC—S^BGC+S^ABG=4+8=
12..^ABCD的面积为2SAABC=
24..玉林中考如图，在四边形中，对角线与交于点，已知=，过点
7.202143CO AC84OB=OD,作分别交于点£,连接O EFLBD,A-OC F,E,BF.2设AO〃£R AD-\-AB=12,BD=4小,求A尸的长.⑴求证四边形歹是菱形;£8证明1V OA=OC,OB=OD,•二四边形为平行四边形.ABCD.AB IICD.A ZABZ=Z CDB.在△股£和尸中，ZEBO=ZFDO,\A=,OB OD、/BOE=/DOF,.△BOESADOFASA..BE=DF.•••四边形砧方是平行四边形.WE//ZR••,_L,EF BD•••四边形尸是菱形；OEB解过点/作尸于点2GL45G.-AD IIEF,EF_LBD,.Z.ADB=ZE0B=9Q./.在RtAABZ中，AD2+BD2=AB
2.9AD+AB=12,BD=4小,.AD2+4仍=12-AD
2.解得AO=
4.・・・A8=
8.・・・NABO=
30.丁四边形尸是菱形，OE8工/EBF=2/ABD=60•••△3所是等边三角形.•；OB=OD,EFII AD,.AE=BE=
4.•••FG_LBE,.EG=BG=
2.在尸中，Rt43G BF=4,BG=2,根据勾股定理，得________、产FG=B-BG=m-22=2^
3.在/中，RtA4G AG=6,根据勾股定理，得_______________AF=y/AG^+FG2=^62+2732=
45.
8.2021•凉山州中考如图，在四边形A3CO中，ZADC=ZB=900过点作石，A3于点区若DE=BE.1求证DA=DC；9⑵连接交后于点凡若求的长.AC NAOE=30°,AO=6,b1证明过点作GL8C,交的延长线于点G.9DE±AB,/3=90°,工./DEB=/B=/G=90•••四边形是矩形.OE8G又•••四边形是正方形.•••OE=8E,QE5G工DG=BE=DE,/EDG=90°..Z1EDC+ZCDG=90°.VZAZC=90°,.^EDC+ZADE=90°..^ADE=ZCDG.又・.・/4£=/6=90°,A AADE^ACDGASA\.DA=DC;2解V ZADE=30°,AZ=6,ZA££=90°,.\AE=3,DE=y/AD^AE2=^62-32=
373.由⑴知，AADEMZXCOG,四边形EBG是正方形.；.DG=DE=3事,AE=CG=3,BE=DG=BG=3yf
3.；.BC=BG-CG=3小-3,AB=AE+BE=3+3y[
3.VFEII CB,/.△AEFc^AAfiC..AE_EF3EF即于一小FBFC3+33-3；・EF=6-3p小一•••DF=DE-EF=36-34=6\^-
6.错完鼠《限时制依中》第天“考敦特制四68〜69。
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