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【考试要求】L认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图3了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识梳理】
1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于二点但不定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形
2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形延长线交于互相平行且相等，垂母线相交于一点—*占
八、、直于底面全等的等腰三全等的等腰轴截面全等的矩形回也!角形梯形侧面展开矩形扇形扇环图
3.三视图与直观图三视图画法规则长对正、高平齐、宽相等
113、得SAA MN=2X2—2X]X2X1—]义1义1=5又易知D\A\为三棱锥D]—A\MN的高，且D\A\=2,113・-D]A\=^X-X2=l.=3S4AMN⑶（
2022.大同模拟）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题“今有刍薨，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈,问积几何？”意思为今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图），下底面宽AD=3丈，长A5=4丈，上棱EF=2丈，功与平面ABCD平行，与平面4BCD的距离为1丈，则它的体积是（）A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.8立方丈答案B解析如图，过E作EG，平面A5CD,垂足为G,过尸作切J_平面45CZ）,垂足为以，过G作PQ〃AQ,交A3于Q,交CZ）于P,H MN//BC,AB N,交CZ）于M,由图形的对称性可知，AQ=BN=1,送作交于QN=2,且四边形AQPO与四边形NBCM都是矩形.则它的体积V=VE-AQPD~^~VEPQ-FMN+VF-NBCM=；・EG・S矩形・；・；1X1X3+yX3X11X1X3=J JJAQPD+S4PQ NQ+77^^^N8CM=X2+1XJ5（立方丈）.工教师备选1（2022•佛山模拟）如图所示，在直径A3=4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC,使NB4C=30，将图中阴影部分，以A5为旋转轴旋转180形成一个几何体，则该几何体的体积为.答案与兀解析如图，过点作CQJLA3于点D在RtAABC中,AC^ABcos30=2小,CD=；AC=W，AD=ACcos30°=3,BD=AB~AD=1,将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去两个同底的半圆锥，故所求几何体的体积为1[-41厂V=-X三义23—gX兀义
（5）2义（3+1）__10=耳兀思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则割补法的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2
（1）（2022・武汉质检）等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）A nB.（1+也）兀小C.2吸兀D.嫄兀或（1+6）兀答案D解析如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边，长为也，所以所形成的几何体的表面积5=兀乂1啦+兀乂12=（啦+1）兀；如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥.圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥的半A/2径为半，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1,所以形成的几何体的表面积S=2X71义半义1=#兀综上可知，形成几何体的表面积是（陋+1）兀或出兀
（2）（2022•天津和平区模拟）已知正方体A3CO—48GQ1的棱长为2,则三棱锥A—8CQ1的体积为（）48A•彳C.4D.6B.T答案B解析如图，三棱锥A—BCQi是由正方体ABC一A/iGO］截去四个小三棱锥A—又Vs..GR=23=8,C—B\C\D\,B\—ABC,D\—ACD,X|X23=1,48所以BCD=8_A一e jDVA4X-=T.课时精练
1.下列说法不正确的是（）A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面答案B解析B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行.2（.2022•梧州调研）在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？（注1丈等于10尺），则这个问题中，葛藤长的最小值为（）A.2丈4尺B.2丈5尺C.2丈6尺D.2丈8尺答案c解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即圆木的高）长24尺，另一条直角边长5X2=10（尺），因此葛藤长的最小值为1242+102=26（尺）,即为2丈6尺.
3.（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A注疝4C.3+小D.2B答案A解析根据三视图可得如图所示的几何体一正三棱锥0—A3C,其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3411+乎*（也）2=支¥.
4.（2022•兰州模拟）玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地””）答案D解析由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，组合体的体积为）））2X X12XV=2XTLX,2+4X
5.（
2022.商洛模拟）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为（）亚^6^6^61809J2»3答案B解析取5c的中点G,连接EG,BD,取8的中点O,连接E，如图，由棱长为2,可得正八面体上半部分的斜高为EG=^/22-l2=V3,高为EO=y[^i=®ABBCEO.、,32X2Xy[28^2则正八面体的体积为V=2X-2X3—3其表面积为S=8义隼区=8X呼9=8小,...此正八面体的体积与表面积之比为害.
6.如图，在正四棱柱ABC一45GA中，AB=1,A4]=#，点£为A3上的动点，则而+CE的最小值为（）A.272B.^/TOC邛+1D.2+也答案B解析如图，连接AG,5G分别延长至兄G,使得AO=A冗BC=BG,连接EG,FG,•/四棱柱ABCD—AiBCQi为正四棱柱，・・・A3_L平面ADDiAi,A3,平面BCCiBi,:.AB±AF AB±BG,9又AB=AD=AF9•••四边形ABGb为正方形，「・EG=y/BE2+BG2=^BE2+BC2=CE,的最小值为DiG,•••QIE+CE又DiG=\+FG2=5，DTF2=屈八•••1£+石的最小值为也.
7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1,2,过直线012的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12吸兀B.12兀C.
8、△兀D.10K答案B解析设圆柱的轴截面的边长为居则由f=8,得x=2S圆柱表=2S底+S侧=2Xi（也门吸,・+271X^2X2^2=
1271.
8.（
2022.邯郸模拟）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为仇这个角接近30°,若取=30，侧棱长为严米，贝立）A.正四棱锥的底面边长为4米B,正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24/平方米D.正四棱锥的侧面积为12小平方米答案C解析如图，在正四棱锥S—A5CD中，为正方形A3CO的中心，”为A3的中点，则SHLAB,设底面边长为2a.因为NSHO=30，
2、心所以OH=AH=ci,OS—□a,SH—鼻a.在RtASAH中，/+俏坐a）2=2i,13J解得4=3,所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S=；X6X25X4=244§（平方米）.
9.如图是水平放置的正方形A3C，在平面直角坐标系X），中，点3的坐标为（2,2）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点）到『轴的距离为.答案*解析利用斜二测画法作正方形ABC的直观图如图,在坐标系xy1中，Bf C=1,CBf=45°.过点8,作/轴的垂线，垂足为点.在Rt△4D1C中，B D=B,Csin45°=lX^-=^-.
10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S=cm
2.答案260071解析将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积Sx7TX40X50+80=2600兀cn.
11.2020•江苏
3.答案12小V解析螺帽的底面正六边形的面积S=6X^X22Xsin60°=6A/3cm2,正六棱柱的体积Vi=
6、「X2=12小cn,JT圆柱的体积V2=7rX2X2=^cm3,所以此六角螺帽毛坯的体积V=V]—V2=f12^/3—^cm
3.
12.2022・佛山质检已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,3满足△SB4为等边三角形,且面积为44,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.答案队
②i解析设圆锥的母线长为/,由ASAB为等边三角形，且面积为4小，所以%sin1=45，解得/=4；又设圆锥底面半径为々h,高为则由轴截面的面积为8,得泌=8；又户+层=16,解得r=h=2y[2,所以圆锥的侧面积5=兀/7=兀义2也X4=8也兀.
13.（2021•全国乙卷）以图
①为正视图，在图
②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视佟I，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可.）图
①图
②图
③图
④图
⑤答案
③④（答案不唯一，
②⑤也可）解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图
②③只能是侧视图，图
④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是
③④或
②⑤.若是
③④，则原几何体如图1所示；若是
②⑤，则原几何体如图2所示.图1图
214.（2022・南京模拟）小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎（如图
①所示），并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为/1,一般的十字捆扎（如图
②所示）所用绳长为/
2.若点心盒的长、宽、高之比为221,则夕的值为.图
①图
②答案M解析•••点心盒的长、宽、高之比是221,•••设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2m由题意可得1\=4X X2yj2a=12y[2a,^26Z+4/2=4X4〃+4X2〃=24m./i_12啦仁啦24a—
2.
15.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的样卯结构.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积A.8（6+672+^3）B.6（8+86+小）为（）C.8（6+6班+也）D.6（8+8小+地）答案A解析由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2吸的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为也，则该几何体的表面积为S=6X「（2+2W）也X也]+8x£x2X小=8（6+6地+小）.2—4X;X
16.（2022・寿光模拟）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和2高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的岸的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是（兀仁10247rA.沙漏中的细沙体积为费cnO1B.沙漏的体积是128兀cnD.该沙漏的一个沙时大约是1985秒答案B解析A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r=|x4=|cm,d Ain17192/z1161024兀A64K3所以体积V=2,7rr，~=3,-9-，T=-81—仁01;B项,沙漏的体积丫=2乂9兀＞＜你＞＜〃=2X^XTCX42X8=^^7r cm3；c项，设细沙流入下部后的高度为小，根据细沙体积不变可知，1024兀1力一81匕j1024兀16兀,七八.所以~gj—3用1，所以⑶心D项，因为细沙的体积为上第cnAO13的沙，所以一个沙时为错误!七错误！X50F985（秒）.22X1Z/斜二测画法
（1）原图形中x轴、y轴、Z轴两两垂直，直观图中/轴、『轴的夹角为45或135，z，轴与/轴和/轴所在平面垂直.直观图
（2）原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=271rl S圆锥侧=兀厂/S圆台侧=兀（r]+〃2）/
5.柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积几何体柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2S底V=ShV=\sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底V=/s上+S下+^Z^/2台体（棱台和圆台）S表面枳=S侧+S上+S下423=4成2球丫=1兀3----【常用结论】
1.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.
2.直观图与原平面图形面积间关系S直观图原图形.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（X）
（2）用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.（V）⑶菱形的直观图仍是菱形.（X）
（4）两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.（X）【教材改编题】
1.如图，长方体ABC一A B，C Df被截去一部分，其中D剩下的几何体是（）「A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱答案C
2.已知圆锥的表面积等于12兀cn,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）A.1cm B.2cm3C.3cm D，2cm答案B解析设圆锥的底面圆的半径为八母线长为因为侧面展开图是一个半圆，所以兀/=2”,即/=2r,所以兀解得r=
2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出的棱锥的体积为Vi=1x|xy6zXy/X■探究核心题型2c=4Sabc^剩下的几何体的体积V=abc—~^cibc=^abc,所以V\:V=l
47.22题型一空间几何体命题点1三视图例1（2021•全国甲卷）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A—EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）答案D解析根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.命题点2直观图例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），NA8C=45，AB=AD=\,DCVBC,则这块菜地的面积为.答案2+田J2解析DC=ABsin45=拳，梯形ABCD=2+*S梯形ABCD=^AD+BQDC命题点3展开图例3（
2021.新高考全国I）已知圆锥的底面半径为陋，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.2^2C.4D.
4、尼答案B解析设圆锥的母线长为/,因为该圆锥的底面半径为也，所以2兀义也=兀/,解得/=2寸1【教师备选】
1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.
2.（2022・益阳调研）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45的等腰梯形,已知直观图OG4C的面积为4,则该平面图形的面积为（）A/B.472C.8^2D.2啦解析由S原图=形2\j2S直观图得,S原图形=2^2X4=8^
2.答案C3•如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R=扇形弧长l=4n,则该圆木,锥的表面积为（）A.2兀B.（4+2小）兀C.（3+小）兀D.8兀+小答案B解析设圆锥底面圆的半径为6则2〃=4兀，解得〃=2,，圆锥的表面积S表=5底面圆+S侧=兀户+*/=兀*22+乂4兀乂小=（4+2小）兀思维升华
（1）由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式.⑵
①在斜二测画法中，平行于X轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.
②S直观图=4S原图形.跟踪训练1
（1）（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位cm）,则该几何体的体积（单位:cm3）^（）A.1B.3C.4Z D.3^2答案A解析方法一由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边长分别为也，2^2,高为孚，该四棱柱的高为1,所以该几何体的体积V=1x（V2+2p）X X善1=
1.方法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形（腰长为2）的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形（腰长为1）的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积V=1X22X1-5义1之X1=T.
（2）（2022・中卫模拟）已知水平放置的8c按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BO=CO=1,A O=与，那么△ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形答案A解析根据斜二测画法还原△A5C在直角坐标系中的图形，如图，则BC=B C=2,AO=2Af Of=^3,AC=AB=yj）2+12=2,他所以△ABC是一个等边三角形.⑶（
2022.曲靖模拟）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为（）A.12^3B.16C.24D.24小答案A解析如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为仇则由题意可得2兀义4=12仇则8=与，在△POP，中，OP=OP=12,则小虫爬行的最短路程为PP=4122+122-2X12X12x（一，=12小.题型二表面积与体积命题点1表面积例4
（1）（2022・成都调研）如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是（）（也+2）兀（9^2+8A.3b.122（也+1）兀（V2+2）7in32答案c解析如图所示，过点尸作尸石，平面ABC,E为垂足，点E为等边三角形A3C的中心，连接AE并延长，BC D.交于点、AE—AD AD=W，普坐IPE=7a2_AE2=哗.J3设圆柱底面半径为广，则厂=AE=与，・・・圆柱的侧面积ST=2PE=2HX坐乂坐=空辱,底面积S2=/X2=7iX停|2义2=华，・・・圆柱的表面积S=S+S2=4^+争2^/2+1K=
3.TT2在梯形ABC中，NA3C=5，AD//BC,3C=2AO=2A5=
2.将梯形ABC绕AO所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为A.5+也兀B.4+姬兀C.5+27271D.3+也兀答案Ajr解析，・,在梯形ABC中，/ABCf AD〃BC,BC=2AD=2AB=2,•••将梯形ABC绕AO所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为8C=2的圆柱挖去一个底面半径为A3=l,高为8-4=2—1=1的圆锥，・•・该几何体的表面积5=兀义卜+2兀*1X2+7TX1X^/12+12=5+V27r.【教师备选】有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,则该塔形几何体的表面积为答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,72,1,・・・S表=2义22+4*[22+（陋）2+12]=
36.・••该几何体的表面积为
36.思维升华
（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.
（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.⑶组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.命题点2体积例5
（1）（2021・新高考全国H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+12小B.28啦型啦56r=3u3答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高h=N2—（2小—也¥=也,下底面面积N=16,上底面面积S2=4,所以该棱台的体积V=[/z（Si+S2+正怎）=:gX（16+4+M）=粤,⑵（2020・新高考全国H）棱长为2的正方体ABC-中，M,N分别为棱8®,A3的中点，则二棱锥4—小/N的体积为.答案1解析如图，由正方体棱长为2,。
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